တိုပေါ်လော်ဂျီ

ခွက် နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲ (solid torus) တို့သည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမော်ဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဆိုသည်မှာ ခွက်နှင့် မုန့်လက်ကောက်အခဲတို့၏ အမှတ်များကြားရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု (bijective mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အချိန်နှင့်အမျှ ပြောင်းလဲသွားသော ကြားခံပုံပန်းသဏ္ဌာန်များသည် ထိုပုံဖော်မှု၏ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) သဘောတရားကို သရုပ်ဖော်ပြထားခြင်းသာ ဖြစ်သည်။

တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) သည် ရပ်ဝန်း (space) အတွင်းရှိ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ တည်နေရာနှင့် အစီအစဉ်ကို လေ့လာသော ပညာရပ်ဖြစ်ပြီး သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော အဓိကနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆက်မပြတ် ပုံပျက်သွားခြင်းများ (continuous deformations) အောက်တွင် မပြောင်းမလဲဘဲ ကျန်ရှိနေသော သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည်။

တိုပေါ်လော်ဂျီသည် ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် အစုသီအိုရီ (set theory) တို့၏ သဘောတရားများမှ ဆင်းသက်ပေါက်ဖွားလာခြင်း ဖြစ်သည်။ ၁၉ ရာစုနှောင်းပိုင်းတွင် ၎င်းသည် သီးခြားဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် ပေါ်ပေါက်လာခဲ့ပြီး ယင်းကို လက်တင်ဘာသာဖြင့် တည်နေရာ ဂျီဩမေတြီ ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော geometria situs သို့မဟုတ် နေရာအား ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း ဟုအဓိပ္ပာယ်ရသော analysis situs ဟူ၍ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။

ဆယ်စုနှစ်များစွာတိုင်အောင် တိုပေါ်လော်ဂျီကို အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် အသိအမှတ်ပြုခဲ့ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) နည်းတူ အခြားသော သင်္ချာနယ်ပယ်များစွာအတွက် ဒုတိယမြောက် မဏ္ဍိုင်ကြီးတစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းသည် ဂျီဩမေတြီ၊ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis)၊ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် လီအုပ်စု သီအိုရီ (Lie group theory) တို့အတွက် အထူးပင် အရေးပါလှသည်။ ၎င်းသည် အစုသီအိုရီနှင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) တို့ကိုလည်း များစွာ အထောက်အကူပြု တိုးတက်စေခဲ့သည်။

တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေခံအကျဆုံး သဘောတရားမှာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် နီးစပ်မှု (nearness) ဟူသော အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalised) ဖြစ်ပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း နှင့် စုဆုံမှတ် (limit) ကဲ့သို့သော သင်္ချာအယူအဆများကို ယေဘုယျပြုသည်။ သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံ အများအပြားကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း၏ တည်ဆောက်ပုံပေါ်တွင်သာ မူတည်နေသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ခေါ်ဆိုခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် ပုံပျက်သွားခြင်းများ သို့မဟုတ် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာများအနေဖြင့် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို ဆွဲဆန့်ခြင်း (stretching)၊ ချုံ့ခြင်း (squashing/shrinking)၊ ကွေးခြင်း (Bending)၊ ပုံပျက်စေခြင်း (Distorting) နှင့် လိမ်ခြင်း (Twisting) တို့ ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်သည်။

စက်လုံးမျက်နှာပြင် (sphere) တစ်ခုနှင့် ကုဗတုံး (cube) တစ်ခုကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ထို့အတူ မုန့်လက်ကောက်အခဲ နှင့် လက်ကိုင်ကွင်းတစ်ခုပါသော ခွက်တို့သည်လည်း ဟိုမီယိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ အကြောင်းမှာ ၎င်းတို့အနက်မှ တစ်ခုကို အခြားတစ်ခုအဖြစ်သို့ ဖြတ်တောက်ခြင်းမရှိဘဲ အသွင်ပြောင်းနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ မျက်နှာပြင်သည် စက်လုံးမျက်နှာပြင်နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီသဘောအရ ကွဲပြားခြားနားသည်။ စက်လုံးမျက်နှာပြင်ပေါ်ရှိ မည်သည့် မျဉ်းကွေးပိတ် (closed curve) ကိုမဆို အမှတ်တစ်ခုတည်းဖြစ်သွားရန် အဆက်မပြတ် ကျုံ့ယူသွားနိုင်သော်လည်း မုန့်လက်ကောက် ပေါ်တွင်မူ မျဉ်းကွေးတိုင်းကို ထိုသို့ပြုလုပ်၍ မရနိုင်ပေ။

တိုပေါ်လော်ဂျီကို နယ်ပယ်ခွဲများအဖြစ် ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းနယ်ပယ်ခွဲတို့တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology)၊ ဂျီဩမေတြီသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (geometric topology) အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂရပ်သီအိုရီ (topological graph theory) နှင့် အထုံးသီအိုရီ (knot theory) တို့ ပါဝင်သည်။ အစုသီအိုရီအခြေခံ တိုပေါ်လော်ဂျီ (point-set topology) ကို ဤနယ်ပယ်ခွဲများအားလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည်။ ၎င်းတွင် ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် အလွန်ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကိုပါ အထူးတလည် လေ့လာသည်။

တိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အရေးပါသော သဘောတရားတစ်ခုမှာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ အခြားသော သင်္ချာကတ်တဂိုရီများတွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homomorphisms) ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့်အရာများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous mappings) သည် သဘောတရားကိုက်ညီမှု ရှိသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများကြားတွင် မိမိကိုယ်တိုင်သာမက မိမိ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) ပါ အဆက်မပြတ်ဖြစ်နေသော ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ကို ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အခြားသော ကတ်တဂိုရီများရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) နှင့် သဘောတရား တူညီသည်။ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ရပ်ဝန်းများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ နည်းလမ်းများဖြင့် ခွဲခြားမရနိုင်ပါ။ ဤဘာသာရပ်၏ အခြေခံကျသော ပြဿနာတစ်ခုမှာ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုသည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ် ဖြစ်ခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဆုံးဖြတ်ရန် ဖြစ်သည်။ ပို၍ ယေဘုယျကျကျဆိုရလျှင် စိတ်ဝင်စားဖွယ် ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ တည်ရှိခြင်း ရှိ၊ မရှိ ဖြစ်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) $(X,{\mathcal {T}})$ တစ်ခုတွင် အစု (set) $X$ တစ်ခုနှင့် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံသော $X$ ၏ အစုပိုင်းများ (subsets) စုစည်းမှု ${\mathcal {T}}$ တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည်။

• ဗလာအစု (empty set) $\emptyset$ နှင့် $X$ တို့သည် ${\mathcal {T}}$ တွင် ပါဝင်သည်။
• ${\mathcal {T}}$ အတွင်းရှိ အရေအတွက် အကန့်အသတ်မရှိ မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ အစုဝင်များ၏ ပေါင်းစပ်စု (union) မဆိုသည် ${\mathcal {T}}$ တွင် ပါဝင်သည်။
• ${\mathcal {T}}$ အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင်များ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (finite intersection) မဆိုသည် ${\mathcal {T}}$ တွင် ပါဝင်သည်။

စုစည်းမှု ${\mathcal {T}}$ ကို $X$ အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို နားလည်သဘောပေါက်ပြီးဖြစ်ပါက $(X,{\mathcal {T}})$ အစား $X$ ဟုသာ ရေးသားသည်။ တိုပေါ်လော်ဂျီ ${\mathcal {T}}$ ၏ အစုဝင်များကို အဖွင့်စုများ (open sets) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အစုတစ်ခု၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) သည် အဖွင့်စု ဖြစ်မှသာလျှင် ထိုအစုကို အပိတ်စု (closed set) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) နှင့် တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology)

$X$ သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ $X$ ၏ အစုပိုင်းအားလုံးပါဝင်သော စုစည်းမှု $2^{X}$ သည် $X$ အပေါ် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ (discrete topology) ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အစု$\{\emptyset ,X\}$ သည် $X$ အပေါ်ရှိ တစ်ပိုင်းတစ်စမဟုတ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ (indiscrete topology) သို့မဟုတ် အသေးအဖွဲ တိုပေါ်လော်ဂျီ (trivial topology) ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။

အကြမ်းတိုပေါ်လော်ဂျီ (coarse topology) နှင့် အသေးစိတ်တိုပေါ်လော်ဂျီ (fine topology)

တစ်ခါတရံတွင် အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီ နှစ်ခုကို နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {T}}'$ ဖြစ်သောအခါ တိုပေါ်လော်ဂျီ ${\mathcal {T}}$ ကို ${\mathcal {T}}'$ ထက် ပို၍ ကြမ်းသည် (coarser) ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပြီး တိုပေါ်လော်ဂျီ ${\mathcal {T}}'$ ကို ${\mathcal {T}}$ ထက် ပို၍ အသေးစိတ်သည် (finer) ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။

ကြမ်းသည် နှင့် အသေးစိတ်သည် တို့အစား အချို့က ပိုငယ်သည် (smaller) နှင့် ပိုကြီးသည် (larger) သို့မဟုတ် ပိုအားနည်းသည် (weaker) နှင့် ပိုအားကောင်းသည် (stronger) ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိကြသည်။

အခြေအစု (Basis)

လက်တွေ့တွင် တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုလုံးကို ဖော်ပြမည့်အစား ၎င်းကို ထုတ်လုပ်ပေးနိုင်သည့် အရေအတွက်ပိုနည်းသော အဖွင့်စုများကိုသာ အသုံးပြု၍ ပို၍ လွယ်ကူစေသည်။

အစု $X$ ၏ အစုပိုင်းများ ပါဝင်သော စုစည်းမှု ${\mathcal {B}}$ သည် $X$ အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစု (basis) ဖြစ်ရန် အောက်ပါ အခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။

• $X$ အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် $x$ အတွက်မဆို $x\in B$ ဖြစ်စေမည့် အစု $B\in {\mathcal {B}}$ တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။
• အကယ်၍ $A,B\in {\mathcal {B}}$ ဖြစ်ပြီး $x\in A\cap B$ ဖြစ်ပါက $x\in C\subseteq A\cap B$ ဖြစ်စေမည့် အစု $C\in {\mathcal {B}}$ တစ်ခု အနည်းဆုံး ရှိရမည်။

အခြေအစု ${\mathcal {B}}$ မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ${\mathcal {T}}$ ဆိုသည်မှာ${\mathcal {B}}$ ကို ငုံထားသည့် တိုပေါ်လော်ဂျီများအနက် အကြမ်းဆုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် $U\subset X$ သည် အခြေအစု ${\mathcal {B}}$ မှ ထုတ်လုပ်ပေးသော တိုပေါ်လော်ဂျီတွင် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ $U$ အတွင်းရှိ မည်သည့် $x$ အတွက်မဆို $x\in B\subseteq U$ ဖြစ်စေမည့် $B\in {\mathcal {B}}$ တစ်ခု ရှိနေခြင်းဖြစ်သည်။

$x\in B$ ဖြစ်စေသော ${\mathcal {B}}$ အတွင်းရှိ အစုများကို $x$ ၏ အခြေခံ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (basic open neighborhoods) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ${\mathcal {T}}$ အတွင်းရှိ $x$ ပါဝင်သော အစုများကို $x$ ၏ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (open neighborhoods) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းတို့အားလုံး၏ စုစည်းမှုကို ${\mathcal {T}}_{x}$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။

အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ (Metric spaces)

$X$ သည် မည်သည့် အစုမဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$ ကို $X$ အပေါ်ရှိ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟု ခေါ်သည် ။ မည်သည့် $\varphi ,\psi ,\chi \in X$ အတွက်မဆို

• (M1) အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု (Positivity)၊ $d(\varphi ,\psi )\geq 0$ ။
• (M2) တိကျသေချာမှု (Definiteness)၊ $d(\varphi ,\psi )=0$ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ $\varphi =\psi$ ဖြစ်သည် ။
• (M3) အချိုးညီမှု (Symmetry)၊ $d(\varphi ,\psi )=d(\psi ,\varphi )$ ။
• (M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Triangle inequality)၊ $d(\varphi ,\psi )\leq d(\varphi ,\chi )+d(\chi ,\psi )$။

ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ $(X,d)$ ကို အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း $X$ ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်သော $\varphi$ နှင့် $r>0$ တို့အတွက် အစု $\{B(\varphi ;r)\}$ ကို $\varphi$ ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် $r$ ရှိသော အဖွင့်စက်လုံး (open ball) ဟု ခေါ်သည်။

အဆိုပါ စက်လုံးများဖြစ်သော $\{B(\varphi ;r)\}$ အားလုံး၏ စုစည်းမှုသည် $X$ အပေါ်ရှိ တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုအတွက် အခြေအစုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုတိုပေါ်လော်ဂျီကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ (metric topology) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ကြောင့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခု ပါဝင်သော မည်သည့်အစုမဆိုသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အခြားတစ်ဖက်တွင်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီ ${\mathcal {T}}$ ရှိသော ရပ်ဝန်း $Y$ အပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ${\mathcal {T}}$ တို့ ထပ်တူကျစေမည့် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် $d$ တစ်ခု ရှိနေပါက ထိုရပ်ဝန်း $Y$ ကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်သည် (metrizable) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆိုသည်လည်း အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် သာမန် ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function) ပါဝင်သော $\mathbb {R} ^{n}$ သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအတွက် ဥပမာကောင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) $\mathbb {R}$ ၊ ယူနစ် အပိုင်းအခြား (unit interval) $I:=[0,1]$ ၊ အပိတ် ယူနစ်စက်လုံး (closed unit ball) ${\mathcal {D}}^{n}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\leq 1\}$ နှင့် အတိုင်းအတာ $n$ ခုရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (n-sphere) $S^{n}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid x_{1}^{2}+\ldots +x_{n+1}^{2}=1\}$ တို့သည် အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြသည်။

တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း ဥပမာများ (Examples of topological spaces)

• မည်သည့် အစု $X$ ကိုမဆို အဆုံးရှိဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cofinite topology) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ ၎င်းတွင် အစုပိုင်း $U$ သည် အဖွင့်စုဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်း၏ ဖြည့်စွက်စု (complement) ဖြစ်သော $X\setminus U$ သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) ဖြစ်နေခြင်း သို့မဟုတ် $U=\emptyset$ ဖြစ်နေခြင်း ဖြစ်သည်။ အလားတူပင် မည်သည့်အစုကိုမဆို ဖြည့်စွက်စုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်နေသော အဖွင့်စုများပါဝင်သည့် ရေတွက်နိုင်သောဖြည့်စွက်စု တိုပေါ်လော်ဂျီ (cocountable topology) ဖြင့်လည်း ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။

• ဗလာအစု (empty set) $\emptyset$ နှင့် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစု (one-point set) $\{*\}$ တို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့၏ တိုပေါ်လော်ဂျီများသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) တိုပေါ်လော်ဂျီများ ဖြစ်ကြသည်။ မည်သည့် ရပ်ဝန်း $X$ အတွက်မဆို $\emptyset \to X$ နှင့် $X\to *$ ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည့် ဖန်ရှင်များသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြသည်။ $\mathbf {Set}$ ကတ်တဂိုရီတွင်ကဲ့သို့ပင် $\mathbf {Top}$ ကတ်တဂိုရီတွင် ဗလာအစုသည် အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်ပြီး အမှတ်တစ်မှတ်တည်းပါသော အစုသည် အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) ဖြစ်သည်။

• ကိန်းစစ်မျဉ်း $\mathbb {R}$ သည် သာမန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီအပြင် အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများကိုလည်း လက်ခံနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $\mathbb {R}$ အပေါ်တွင် $a<b$ ဖြစ်သော $[a,b)$ ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများကို အခြေအစု (basis) အဖြစ် အသုံးပြုထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု ရှိသည်။ ၎င်းကို စုဆုံမှတ်အောက်ခြေ တိုပေါ်လော်ဂျီ (lower limit topology) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစု (totally ordered set) $X$ တစ်ခုအတွက် $(a,b)=\{x\in X\mid a<x<b\}$ ပုံစံရှိ အပိုင်းအခြားများနှင့်အတူ $(a,\infty )$ နှင့် $(-\infty ,b)$ တို့သည် အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (order topology) ဟုခေါ်သော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ကိန်းစစ်အစု $\mathbb {R}$ သည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသောအစုဖြစ်ပြီး ၎င်းအပေါ်ရှိ အစဉ် တိုပေါ်လော်ဂျီသည် သာမန် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ထပ်တူကျသည်။

• သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) $\mathbb {N}$ နှင့် ကိန်းပြည့်များ (integers) $\mathbb {Z}$ အစုတို့ကို အများအားဖြင့် တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီများ (discrete topologies) အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသော်လည်း အခြားသော တိုပေါ်လော်ဂျီများလည်း တည်ရှိသည်။ အထူးသဖြင့် $a\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ နှင့် $b\in \mathbb {Z}$ တို့အတွက် $S(a,b)=\{an+b\mid n\in \mathbb {N} \}$ ပုံစံရှိ အစုများနှင့် ဗလာအစု $\emptyset$ တို့ကို အဖွင့်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီတစ်ခု $\mathbb {Z}$ အပေါ်တွင် တည်ရှိသည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီကို အသုံးပြု၍ သုဒ္ဓကိန်းများ (prime numbers) အနန္တတိုင် တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။

• $R$ သည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring with unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး $\operatorname {spec} R$ သည် $R$ ၏ သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ (prime ideals) အစုဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ $\operatorname {spec} R$ အပေါ်ရှိ ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology) ကို $V(E)=\{p\in \operatorname {spec} R\mid E\subseteq p\}$ ပုံစံရှိ အစုများကို အပိတ်စုများအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤနေရာတွင် $E$ သည် $R$ ၏ မည်သည့် အစုပိုင်းမဆို ဖြစ်သည်။

• ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) $V$ တစ်ခုပေါ်ရှိ စံနှုန်း (norm) ဆိုသည်မှာ $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R}$ သို့မဟုတ် $\mathbb {C}$ သို့ ပုံဖော်ထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းစံနှုန်းသည် $\|v\|\geq 0$ နှင့် $\|v\|=0\iff v=0$ ဖြစ်ခြင်း၊ $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ ဖြစ်ခြင်း နှင့် $\|\alpha v\|=|\alpha |\|v\|$ ဖြစ်ခြင်း စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ စံနှုန်းရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းတိုင်းသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး $d(\varphi ,\psi )=\|\varphi -\psi \|$ ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အတိုင်းအတာအဆုံးရှိသော (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်တွင် မည်သည့် စံနှုန်းကို ရွေးချယ်သည်ဖြစ်စေ သက်ဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် အချင်းချင်း ဟိုမီယိုမော်ဖစ် (homeomorphic) ဖြစ်ရုံသာမက လုံးဝတူညီသော ရပ်ဝန်းများပင် ဖြစ်ကြသည်။

အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function)

တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခုကြားရှိ ဖန်ရှင် $f:X\to Y$ တစ်ခုသည် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (continuous function) ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ $Y$ အတွင်းရှိ $U$ သည် အဖွင့်စုဖြစ်တိုင်း ၎င်း၏ မူလပုံရိပ် (preimage) ဖြစ်သော $f^{-1}(U)$ သည် $X$ အတွင်း၌ အဖွင့်စု ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။

မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း $X$ အတွက်မဆို ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) $\operatorname {id} _{X}:X\to X$ သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးရန် လွယ်ကူသည်။ ထို့အပြင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများဖြစ်သော $X$၊ $Y$၊ $Z$ တို့နှင့် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဖြစ်သော $f:X\to Y$ နှင့် $g:Y\to Z$ တို့အတွက် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) ဖြစ်သော $gf:=g\circ f:X\to Z$ သည်လည်း အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ထိုဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့်လည်း ပြည့်စုံသည်။

ဤအချက်များကို စုစည်းကြည့်ပါက တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများသည် ၎င်းတို့၏ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များနှင့်အတူ ကတ်တဂိုရီ (category) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ ထိုကတ်တဂိုရီကို သင်္ချာနယ်ပယ်တွင် $\mathbf {Top}$ ဟု အများအားဖြင့် သတ်မှတ်ခေါ်ဆိုကြသည်။

တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Topological properties)

သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအောက်တွင် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အဓိကထားလေ့လာလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ဆိုသည်မှာ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များ (homeomorphisms) ကြောင့် ပြောင်းလဲသွားခြင်းမရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာသည့် ဘာသာရပ်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (topological properties) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ရပ်ဝန်းတစ်ခုနှင့်တစ်ခုကို ခွဲခြားရာတွင် အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ $X$ နှင့် $Y$ တို့သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ် ဖြစ်ပြီး $X$ တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ရှိနေပါက $Y$ တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ် $X$ တွင် တိကျသော ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု မရှိပါက $Y$ တွင်လည်း ထိုဂုဏ်သတ္တိ မရှိနိုင်ပါ။

တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်သည့် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် $f:X\to Y$ မဆိုသည် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သောကြောင့် $X$ နှင့် $Y$ တို့ကို အစုများအနေဖြင့် ကြည့်လျှင် အရွယ်အစား တူညီရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်အသွင်ပြောင်းနိုင်ခြင်း (metrizability) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဆက်စပ်နေမှု (connectedness)၊ ကျစ်လျစ်မှု (compactness)၊ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်မှု (Hausdorff)၊ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်မှု (first countability) စသည့် ဂုဏ်သတ္တိများသည်လည်း အရေးပါသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ ဖြစ်ကြသည်။

သို့သော် ဂုဏ်သတ္တိတိုင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်ဟု မဆိုနိုင်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) တိုင်း စုဆုံသည်ဆိုပါက ထိုအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (complete metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သို့သော် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ခြင်းသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ပါ။ သက်သေပြရမည်ဆိုလျှင် $(-1,1)\to \mathbb {R}$ သို့ ပုံဖော်ထားသော $x\mapsto {\frac {x}{1-x^{2}}}$ သည် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် တစ်ခုဖြစ်သော်လည်း $\mathbb {R}$ သည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး $(-1,1)$ သည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း မဟုတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဤဥပမာအရ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (boundedness) သည်လည်း တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ မဟုတ်ကြောင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပါက ထိုရပ်ဝန်းကို အကန့်အသတ်ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သိသာထင်ရှားစွာပင် $(-1,1)$ သည် အကန့်အသတ်ရှိသော်လည်း $\mathbb {R}$ သည် အကန့်အသတ်မရှိပါ။

ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ နှင့် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Hausdorff spaces and Separated maps)

ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces)

ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ (Hausdorff spaces) သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ၏ အရေးပါသော အတန်းအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းရပ်ဝန်းများတွင် အမှတ်များကို ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) ဖြင့် ခွဲခြားထားနိုင်သည်။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများကို ခွဲခြားနိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (separated spaces) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။

• တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း $X$ တစ်ခုရှိ မတူညီသော အမှတ်အတွဲ $x,y\in X$ တိုင်းအတွက် $x\in U$ နှင့် $y\in V$ ဖြစ်စေမည့် ဘုံမပါသော အဖွင့်စုများ (disjoint open sets) $U,V\subset X$ တည်ရှိနေခြင်းသည် ထိုရပ်ဝန်း $X$ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။

• ထောင့်ဖြတ် (diagonal) $\Delta (X)\subset X\times X$ သည် အပိတ်စုပိုင်း (closed subset) တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းသည် ရပ်ဝန်း $X$ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။

• အကယ်၍ $f:X\to Y$ သည် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု တစ်ခုဖြစ်ပြီး $Y$ သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက $f$ ၏ ဂရပ် (graph) သည် $X\times Y$ အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။

• အကယ်၍ $f:X\to Y$ နှင့် $s:Y\to X$ တို့သည် $f\circ s=\operatorname {id} _{Y}$ ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ ဖြစ်ပြီး $X$ သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ပုံရိပ် (image) $s(Y)$ သည် အပိတ် ဖြစ်သည်။

• အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများဖြစ်သော $X\to Z$ နှင့် $Y\to Z$ တို့အတွက် အကယ်၍ $Z$ သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ဖြစ်ပါက ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fibre product) $X\times _{Z}Y$ သည် $X\times Y$ အတွင်း အပိတ် ဖြစ်သည်။

ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps)

ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှုများ (Separated maps) သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းများ၏ သဘောတရားကို အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဆီသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။

• အကယ်၍ ထောင့်ဖြတ် $\Delta :X\to X\times _{Y}X$ သည် အပိတ် ပုံဖော်မှု (closed map) တစ်ခုဖြစ်ပါက အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု $f:X\to Y$ ကို ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဟု ခေါ်ဆိုသည်။
• ပုံဖော်မှု $f:X\to Y$ တစ်ခုသည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ $\Delta (X)\subset X\times _{Y}X$ သည် အပိတ်စုပိုင်း ဖြစ်နေခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအချက်သည် $Y$ အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ ပုံဖော်ထားသော $X$ အတွင်းမှ မည်သည့် မတူညီသော အမှတ်များ $x,x'\in X$ မဆိုတွင် ဘုံမပါသော အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင်များ (disjoint open neighborhoods) ရှိရမည်ဟု ဆိုခြင်းနှင့်လည်း ထပ်တူညီသည်။
• အကယ်၍ အရင်းအမြစ် (domain) $X$ သည် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု $f:X\to Y$ မဆိုသည် အလိုအလျောက် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သွားသည်။
• အကယ်၍ $f:X\to Y$ သည် ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်ပါက မည်သည့် အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု $Y'\to Y$ တစ်လျှောက်မဆိုရှိ ၎င်း၏ အခြေခံအရာဝတ္ထု ပြောင်းလဲခြင်း (base change) $Y'\times _{Y}X\to Y'$ သည်လည်း ခွဲခြားနိုင်သော ပုံဖော်မှု ဖြစ်သည်။

ကိုးကား

• The Stacks project authors၊ "Chapter 5: Topology"၊ The Stacks project၊ 25 June 2026 တွင် ပြန်စစ်ပြီး
• Bradley၊ Tai-Danae; Bryson၊ Tyler; Terilla၊ John (2020)၊ Topology: A Categorical Approach၊ The MIT Press၊ ISBN 978-0262539357