ကိန်းယောင်

ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်းရှိ ကိန်းယောင်ယူနစ် $i$ ကို ဖော်ပြရာတွင် သမားရိုးကျအားဖြင့် ကိန်းစစ်များကို အလျားလိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိပြီး ကိန်းယောင်များကို ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် ရေးဆွဲလေ့ရှိသည်။

$i$ ၏ ထပ်ကိန်းများသည် စက်ဝိုင်းပုံသဘာဝ ရှိသည်။
$\ \vdots$
$\ i^{-2}=-1{\phantom {i}}$
$\ i^{-1}=-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}$
$\ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}$
$\ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}$
$\ \vdots$
$i$ သည် ၄ ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ရင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။

ကိန်းယောင် (imaginary number) နှင့် အထူးသဖြင့် ကိန်းယောင်သီးသန့်ကိန်း (purely imaginary number) သည် ကိန်းစစ် (Real number) နှင့် ကိန်းယောင်ယူနစ် (Imaginary unit) $i$ တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ ယင်းကိန်းယောင်ယူနစ်ကို $i^{2}=-1$ ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ကိန်းယောင်သီးသန့် $bi$ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် $-b^{2}$ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $5i$ သည် ကိန်းယောင်သီးသန့်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏နှစ်ထပ်ကိန်းမှာ $-25$ ဖြစ်သည်။

ကိန်းထွေး (Complex number) $z$ တစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (Real part) $\Re (z)$ သည် သုညဖြစ်လျှင် ၎င်းကို ကိန်းယောင်သီးသန့် (purely imaginary) ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ယင်းအချက်က ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (Complex conjugate) အရ ${\bar {z}}=-z$ ဖြစ်ကြောင်းကို ညွှန်ပြနေသည်။

ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းနှင့် ပတ်သက်၍ သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ $2+3i$ ကဲ့သို့သော ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် မည်သည့်ကိန်းထွေးကိုမဆို ကိန်းစစ်များနှင့် ခွဲခြားရန် "ကိန်းယောင်" ဟု ကျယ်ပြန့်စွာ ခေါ်ဆိုခဲ့ကြသည်။ သို့သော် ခေတ်သစ်သင်္ချာတွင် $2+3i$ ကို ကိန်းထွေးအဖြစ်သာ သတ်မှတ်ပြီး၊ ကိန်းစစ်ပိုင်း သုညဖြစ်နေသော $bi$ ပုံစံရှိသည့် ကိန်းများကိုသာ "ကိန်းယောင်သီးသန့်" ဟု တိကျစွာ ခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်း သုညကို ကိန်းစစ်အဖြစ်ရော ကိန်းယောင်သီးသန့်အဖြစ်ပါ သတ်မှတ်ထားသည်။

သမိုင်းကြောင်း (History)

ဂရိ သင်္ချာပညာရှင်နှင့် အင်ဂျင်နီယာဖြစ်သူ အလက်ဇန္ဒရီးယားမှ ဟီးရွန်းကို အနုတ်ကိန်းတစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းပါဝင်သော တွက်ချက်မှုတစ်ခုအား ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သူအဖြစ် မှတ်တမ်းတင်ထားသည်။ သို့ရာတွင် ၁၅၇၂ ခုနှစ်၌ ကိန်းထွေးများ မြှောက်ခြင်းအတွက် စည်းမျဉ်းများကို ပထမဆုံး ရေးဆွဲခဲ့သူမှာ ရာဖေးလ် ဘွန်ဘယ်လီ ဖြစ်သည်။ ယင်းသဘောတရားသည် ၁၅၄၅ ခုနှစ်ထုတ် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို၏ အာ့စ် မဂ်နာ (Ars Magna) စာအုပ်ကဲ့သို့သော ပုံနှိပ်ထုတ်ဝေမှုများတွင် စောစီးစွာ ပါဝင်ခဲ့သည်။

ထိုအချိန်က ကိန်းယောင်များနှင့် အနုတ်ကိန်းများကို ကောင်းစွာ နားလည်နိုင်ခြင်းမရှိခဲ့ပေ။ သုညအား တစ်ချိန်က ယူဆခဲ့သကဲ့သို့ပင် ၎င်းတို့ကို စိတ်ကူးယဉ်မျှသာဖြစ်သည် သို့မဟုတ် အသုံးမဝင်ဟု တချို့က ရှုမြင်ခဲ့ကြသည်။ အခြားသော သင်္ချာပညာရှင်များစွာသည် ကိန်းယောင်များ အသုံးပြုခြင်းကို လက်ခံရန် နှေးကွေးခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့အထဲတွင် ရီနေ ဒေကားတ်လည်း ပါဝင်ပြီး သူ၏ ၁၆၃၇ ခုနှစ်ထုတ် လာ ဂျီဩမေတြီ (La Géométrie) စာအုပ်တွင် ၎င်းတို့အကြောင်းကို ရေးသားခဲ့သည်။ ဒေကားတ်သည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများ၏ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော အဖြေများကို ရည်ညွှန်းရန် "ကိန်းယောင်" ဟူသော ဝေါဟာရကို တီထွင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ မူလက ယင်းကို နှိမ့်ချသောသဘောဖြင့် အသုံးပြုခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။

ကိန်းယောင်များကို အသုံးပြုခြင်းသည် လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ၊ အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ နှင့် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် တို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်များမတိုင်မီအထိ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် လက်ခံခြင်း မခံရပေ။ ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်များအဖြစ် ကိန်းထွေးများ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အရေးပါမှုကို ကက်စ်ပါ ဗက်ဆယ်လ်က ပထမဆုံး ဖော်ပြခဲ့သည်။ ၁၈၄၃ ခုနှစ်တွင် ဝီလီယံ ရိုဝမ် ဟာမီတန်သည် ပြင်ညီတစ်ခုရှိ ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး (Imaginary Axis) အယူအဆကို အတိုင်းအတာလေးခုရှိသော ကွာတာနီယွန် (Quaternion) ကိန်းယောင်များ၏ ရပ်ဝန်းတစ်ခုအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ယင်းရပ်ဝန်းတွင် အတိုင်းအတာသုံးခုသည် ကိန်းထွေးဖီးလ်ဒ်အတွင်းရှိ ကိန်းယောင်များနှင့် ဆင်တူဖြစ်သည်။

ဂျီဩမေတြီနည်းအရ အနက်ဖွင့်ဆိုချက် (Geometric interpretation)

ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း ကိန်းထွေးတစ်ခုအား ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု။

ကိန်းထွေးပြင်ညီအတွင်း ၉၀-ဒီဂရီ လှည့်ခြင်းများ။

ဂျီဩမေတြီနည်းအရ ကိန်းယောင်သီးသန့်များကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) ၏ ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်တွင် တွေ့ရှိရသည်။ ယင်းက ၎င်းတို့ကို ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး (Real axis) နှင့် ထောင့်မှန်ကျ တည်ရှိစေသည်။ ကိန်းယောင်များကို ရှုမြင်နိုင်သော နည်းလမ်းတစ်ခုမှာ အပေါင်းတန်ဖိုးများက ညာဘက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ်တန်ဖိုးများက ဘယ်ဘက်သို့ တိုးသွားသည့် စံဖြစ်သော အလျားလိုက် ကိန်းမျဉ်း သို့မဟုတ် ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး ကို စဉ်းစားရန်ဖြစ်သည်။ ယင်းဝင်ရိုးပေါ်ရှိ သုညမှတ်တွင် ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုးဖြစ်သည့် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး ကို ဆွဲသားထားသည်။ ထိုဝင်ရိုးတွင် အပေါင်း ကိန်းယောင်များက အထက်သို့ တိုးသွားပြီး အနုတ် ကိန်းယောင်များက အောက်သို့ တိုးသွားသည်။

ဤကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုတွင် $i$ ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာ (Origin) ကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ $-i$ ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီသည်။ အလားတူစွာ အပေါင်းကိန်းစစ် $b$ ပါဝင်သည့် ကိန်းယောင်သီးသန့် $bi$ ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် မူလနေရာကို ဗဟိုပြု၍ ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်သွားစေသည်။ ထို့ပြင် ပမာဏကိုလည်း $b$ ဆ အရွယ်ပြောင်းသွားစေသည်။ $b<0$ ဖြစ်သောအခါ ယင်းသည် ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ် လှည့်ခြင်းကို ဖော်ပြပြီး $|b|$ ဆ အရွယ်ပြောင်းခြင်း (Scaling) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။

ကိန်းယောင်ယူနစ် i (Imaginary unit i)

ညီမျှခြင်း $x^{2}=-1$ ၏ အဖြေနှစ်ခုကို ကိုယ်စားပြုသော ကိန်းထွေးများဖြစ်သည့် $+i$ နှင့် $-i$ တို့သည် ကိန်းယောင်ယူနစ်များ ဖြစ်ကြသည်။

အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ (Square roots of negative numbers)

အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ၏ ပင်မတန်ဖိုးများအဖြစ် ဖော်ပြထားသော ကိန်းယောင်များနှင့် တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်ရာတွင် ဂရုစိုက်ရန် လိုအပ်သည်။ ${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$ ဟူသော ဖော်ပြချက်ပုံစံကို ရံဖန်ရံခါ အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ သို့ရာတွင် အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များမှ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း စည်းမျဉ်းများကို ကိန်းထွေးများဆီသို့ ရိုးရှင်းစွာ ပြောင်းလဲအသုံးပြုခြင်းသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုများကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အောက်ပါညီမျှခြင်းသည် အကျုံးမဝင်ပေ။

$\textstyle {\sqrt {6}}={\sqrt {(-2)\cdot (-3)}}\mathrel {\stackrel {\text{ (invalid) }}{=}} {\sqrt {-2}}\cdot {\sqrt {-3}}=i{\sqrt {2}}\cdot i{\sqrt {3}}=-{\sqrt {6}}$

အလားတူစွာ အောက်ပါတွက်ချက်မှုမှာလည်း အကျုံးမဝင်ပေ။

$-1=i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}\mathrel {\stackrel {\text{ (invalid) }}{=}} {\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$

အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များအတွက် မှန်ကန်သည့် ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}$ ဟူသော စည်းမျဉ်းသည် ကိန်းထွေး နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖန်ရှင် တွင် အမြဲတမ်း အကျုံးမဝင်ပေ။

အသုံးချမှုများ (Application)

ကိန်းယောင်များ၏ အစုထဲတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေများ (Real roots) မရှိသော ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $x^{2}-4=0$ ညီမျှခြင်းတွင် အဖြေအဖြစ် ကိန်းစစ်နှစ်ခုဖြစ်သော $+2$ နှင့် $-2$ တို့ ရှိသည်။ သို့သော်လည်း ကိန်းစစ်များ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းများသည် မည်သည့်အခါမျှ အနုတ်ကိန်းမဖြစ်နိုင်သောကြောင့် $x^{2}+4=0$ ညီမျှခြင်းတွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ မရှိနိုင်ပေ။ ယင်းညီမျှခြင်း၏ အဖြေများမှာ $+2i$ နှင့် $-2i$ ဟူသော ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခုဖြစ်သည်။

သမိုင်းကြောင်းအရ တတိယထပ် ညီမျှခြင်းများ (Cubic equations) ကို ဖြေရှင်းရာတွင် ဖြေရှင်းမရနိုင်သော အခြေအနေဟု ခေါ်သည့် ကာဆပ်စ် အီရီဒျူဆီဘစ်လစ် (Casus irreducibilis)နှင့် ကြုံတွေ့ရသောအခါ အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများကို ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းရန် မဖြစ်မနေ လိုအပ်လာခဲ့သည်။

ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများ (Arithmetic rules)

ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်များ သို့မဟုတ် ခြားနားခြင်းများသည် အမြဲတမ်း ကိန်းယောင်သီးသန့်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (Distributive law) ကိုလည်း အသုံးပြုနိုင်သည်။

$bi-ci=(b-c)\cdot i$

ကိန်းယောင်သီးသန့် နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်များ သို့မဟုတ် စားလဒ်များသည် အမြဲတမ်း ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။

$bi\cdot ci=bc\cdot i^{2}=-bc$

ထပ်ကိန်းများ (Powers)

ကိန်းယောင်ယူနစ်၏ ထပ်ကိန်းများသည် တန်ဖိုးလေးခုကို စက်ဝိုင်းပုံ လှည့်လည်နေသည်။

${\begin{aligned}i^{-1}&={\frac {1}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i\\i^{0}&=1\\i^{1}&=i\\i^{2}&=-1\\i^{3}&=i^{2}\cdot i=-i\\i^{4}&=i^{2}\cdot i^{2}=(-1)^{2}=1\end{aligned}}$

ယေဘုယျအားဖြင့် $n\in \mathbb {Z}$ အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

${\begin{aligned}i^{4n}&=1\\i^{4n+1}&=i\\i^{4n+2}&=-1\\i^{4n+3}&=-i\\i^{2n}&=(i^{2})^{n}=(-1)^{n}\end{aligned}}$

ကိန်းထွေးများ (Complex numbers)

အက္ခရာသင်္ချာအရ ကိန်းယောင်ယူနစ် $i$ ကို $x^{2}+1$ ဟူသော ပိုလီနိုမီရယ် (Polynomial) ၏ ကိန်းရင်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤ $i$ ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်များ၏ ဖီးလ်ဒ် ကို တိုးချဲ့လိုက်သောအခါ ကိန်းထွေးများ၏ ဖီးလ်ဒ် (Field extension) ကို ရရှိသည်။ ယင်းပိုလီနိုမီရယ်၏ ဒုတိယမြောက် ကိန်းရင်းမှာ $-i$ ဖြစ်သည်။

ကိန်းယောင်သီးသန့်ဖြစ်သော ကိန်းထွေးများသည် လီအက္ခရာသင်္ချာ (Lie algebra) ${\mathfrak {u}}(1)$ ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ သင်္ချာနည်းအရ ပိုမိုရိုးရှင်းစေရန် လီအက္ခရာသင်္ချာကို အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (Isomorphism) အဆင့်အထိသာ လိုအပ်သောအခါများတွင် ကိန်းစစ်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော $\mathbb {R}$ ဖြင့် အစားထိုးလေ့ရှိသည်။ သို့သော် ကိန်းယောင်သီးသန့်များ၏ အက္ခရာသင်္ချာဖြစ်သော $i\mathbb {R}$ ကို အသုံးပြုခြင်းက ပိုမိုမြင့်မားသောအတိုင်းအတာများ (higher dimensions) တွင် အသုံးပြုသည့် ကိန်းအုံ (Matrix) ပုံသေနည်းများနှင့် ${\mathfrak {u}}(1)$ တို့အကြား ပိုမိုကိုက်ညီမှု ရှိစေသည်။

အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's Formula)

အွိုင်လာ ပုံသေနည်းမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

ယင်းညီမျှခြင်းတွင် $x=\pi$ အတွက် အွိုင်လာ၏ ထပ်တူညီမှု (Euler's identity) ကို ရရှိသည်။ ထိုထပ်တူညီမှုက ကိန်းယောင်ယူနစ် $i$ နှင့် အခြား အခြေခံ သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသေ သုံးခုတို့၏ တိကျသော ဆက်သွယ်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်ပေးသည်။

$e^{i\pi }+1=0$

$e^{i\pi }=-1$

ကိုးကား (References)

• Bronstein, Ilja N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, Gerhard; Muehlig, Heiner (2008). Taschenbuch der Mathematik (7th ed.). Harri Deutsch. ISBN 978-3-8171-2007-9.
• Nahin, Paul (1998). An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1.
• How can one show that imaginary numbers really do exist? (University of Toronto Mathematics Network)
• Imaginary number at nLab
• Imaginary unit at nLab