အစု

အွိုင်လာ ပုံကြမ်း (Euler diagram) တစ်ခုအတွင်းရှိ ဗဟုဂံများ (polygons) ၏ အစု (set) တစ်ခု။

တူညီသော အစုဝင်များ (elements) ပါဝင်သောကြောင့် ဤအစုသည် အထက်ပါအစုနှင့် ညီမျှသည်။

သင်္ချာတွင် အစု (set) ဆိုသည်မှာ ကွဲပြားခြားနားသော အရာများကို စုစည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအရာများကို အစု၏ အစုဝင်များ သို့မဟုတ် အဖွဲ့ဝင်များ (members) ဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းတို့သည် ပုံမှန်အားဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများ (mathematical objects) ဖြစ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အစုဝင်များသည် ကိန်းများ (numbers) ၊ သင်္ကေတများ (symbols) ၊ ရပ်ဝန်း (space) အတွင်းရှိ အမှတ်များ (points) ၊ မျဉ်းများ (lines) ၊ အခြားသော ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ (geometric shapes) ၊ ကိန်းရှင်များ (variables) ၊ ဖန်ရှင်များ (functions) ၊ အခြားသော အစုများပင် ဖြစ်နိုင်သည်။

သင်္ချာပညာရပ်တွင် အစု သို့မဟုတ် စုစည်းမှု (collection) ဆိုသည်မှာ မည်သည့်အရာဖြစ်ကြောင်းကို တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်လေ့မရှိပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အရာတစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုရာတွင် ယခင်က ကြိုတင်သတ်မှတ်ထားပြီးသား အခြားအရာများကို အခြေခံရန် လိုအပ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ထို့အစား အစုများကို အခြေခံ အရာဝတ္ထုများ (foundational objects) အဖြစ် အသုံးပြုကြသည်။ ၎င်းတို့၏ ပြုမူပုံများကို စုစည်းမှုများနှင့်ပတ်သက်သော ပင်ကိုသိစိတ် (intuition) အပေါ် အခြေခံထားသည့် နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤသည်မှာ ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီ (Euclidean geometry) ရှိ အမှတ်များနှင့် မျဉ်းများ၏ အခန်းကဏ္ဍနှင့် ဆင်တူသည်။ ယူကလစ်ဒ်သည် အမှတ် ဆိုသည်ကို အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝစွာ မသတ်မှတ်ခဲ့ပေ။ ထို့အစား ယူကလစ်ဒ်သည် အမှတ်များနှင့် မျဉ်းများ မည်သို့ပြုမူသည်ဟူသော ကျွန်ုပ်တို့၏ ပင်ကိုသိစိတ်အပေါ် အခြေခံထားသည့် နဂိုမှန်အဆိုများကို ပေးခဲ့သည်။ အခြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများအားလုံးနီးပါးကို အစုများ အသုံးပြု၍ တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pair) $(x,y)$ ကို အစု $\{\{x\},\{x,y\}\}$ အဖြစ် ပုံစံတကျ (formal) သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ထိုမှတစ်ဆင့် $x$ နှင့် $y$ တို့ကို အစီအစဉ်အတိုင်း ပြန်လည်ရယူနိုင်သည်။

အစုသီအိုရီ (set theory) သည် ကွဲပြားခြားနားသော နဂိုမှန်အဆို စနစ်များနှင့် ၎င်းတို့၏ အကျိုးဆက်များကို လေ့လာသည်။ ၂၀ ရာစု၏ ပထမတစ်ဝက်မှစတင်၍ ZFC ကို နဂိုမှန်အဆို စနစ်အဖြစ် အများဆုံးအသုံးပြုလာကြသည်။ ZFC ဆိုသည်မှာ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (axiom of choice) ပါဝင်သော ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ (Zermelo–Fraenkel set theory) ဖြစ်သည်။

နောက်ခံသမိုင်းကြောင်း (History)

၁၉ ရာစု မကုန်ဆုံးမီအချိန်အထိ အစုများကို သီးခြားခွဲ၍ လေ့လာခဲ့ခြင်းမရှိပေ။ ၎င်းတို့ကို ကိန်းစဉ်များ (sequences) နှင့်လည်း ရှင်းလင်းစွာ ခွဲခြားထားခြင်း မရှိခဲ့ပေ။ သင်္ချာပညာရှင်အများစုသည် အနန္တ (infinity) ကို ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်နိုင်စွမ်းရှိသော အခြေအနေ (potential) အဖြစ်သာ ရှုမြင်ခဲ့ကြသည်။ အဆုံးသတ်မရှိသော ဖြစ်စဉ်တစ်ခု၏ ရလဒ်အဖြစ် ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့သည် အနန္တအစုများ (infinite sets) ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားရန် တွန့်ဆုတ်ခဲ့ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းကို အမှတ်များ၏ အစုတစ်ခုအဖြစ် မရှုမြင်ခဲ့ပေ။ ၎င်းကို အမှတ်တစ်ခု တည်ရှိနိုင်သော နေရာ (locus) အဖြစ်သာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။

အနန္တအစုများကို ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) က သင်္ချာနည်းကျ စတင်လေ့လာခဲ့သည်။ ကန်တာသည် ၁၈၄၅ ခုနှစ်တွင် မွေးဖွားပြီး ၁၉၁၈ ခုနှစ်တွင် ကွယ်လွန်ခဲ့သည်။ ဤလေ့လာမှုက ပင်ကိုသိစိတ်နှင့် ဆန့်ကျင်နေသော (counterintuitive) အဆိုများနှင့် ဝိရောဓိများ (paradoxes) ကို ပေါ်ပေါက်လာစေခဲ့သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းမျဉ်း (number line) ပေါ်ရှိ အမှတ်များ၏ အနန္တအရေအတွက်သည် သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) ၏ အနန္တအရေအတွက်ထက် တိကျစွာ ပိုမိုကြီးမားသည် (strictly larger)။ ထို့ပြင် မည်သည့် မျဉ်းပိုင်း (line segment) မဆိုတွင် ပါဝင်သော အစုဝင်အရေအတွက်သည် မျဉ်းတစ်ကြောင်းလုံးတွင် ပါဝင်သော အစုဝင်အရေအတွက်နှင့် တူညီနေသည်။ အစုများအားလုံးပါဝင်သော အစုတစ်ခု တည်ရှိသည်ဟု ယူဆခြင်းက ရပ်ဆဲလ်၏ ဝိရောဓိ (Russell's paradox) ဟုခေါ်သော ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။ ဤအချက်က သင်္ချာပညာရပ်ကို အခြေခံဆိုင်ရာ အကျပ်အတည်း (foundational crisis) ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့ပြီး ၎င်းကိုဖြေရှင်းချက်အဆိုပြုမှုများ ပေါ်ထွက်လာစေခဲ့သည်။ ထိုဖြေရှင်းချက်များအနက်မှ ယေဘုယျအားဖြင့် ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီကို အစုသီအိုရီနှင့် သင်္ချာပညာရပ်တစ်ခုလုံး၏ အခြေခံအဖြစ် လက်ခံကျင့်သုံးလာခဲ့ကြသည်။ သို့သော်လည်း သင်္ချာပညာရပ်၏ အစိတ်အပိုင်းအများစုသည် ထိုသီအိုရီကို အပြည့်အဝ အသုံးပြုရန် မလိုအပ်ပေ။

တစ်ချိန်တည်းမှာပင် အစုများကို သင်္ချာပညာရပ်နယ်ပယ်အသီးသီးတွင် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် စတင်အသုံးပြုလာကြသည်။ အထူးသဖြင့် ပုံမှန်အားဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures) နှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်းများ (mathematical spaces) ကို အစုများ အသုံးပြု၍ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ကြသည်။ ထို့ပြင် ရှေးက သင်္ချာဆိုင်ရာ ရလဒ်များစွာကိုလည်း အစုများ အသုံးပြု၍ ပြန်လည်ဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ယူကလစ်ဒ် သီအိုရမ် (Euclid's theorem) ကို သုဒ္ဓကိန်းများ (prime numbers) ၏ အစုသည်အနန္တ ဟူ၍ မကြာခဏ ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ သင်္ချာပညာရပ်တွင် အစုများကို ဤကဲ့သို့ ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုလာမည်ကို ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) က ကြိုတင်ဟောကိန်းထုတ်ခဲ့သည်။ ကန်တာ ဖန်တီးပေးခဲ့သော နိဗ္ဗာန်ဘုံမှ ကျွန်ုပ်တို့ကို မည်သူမျှ နှင်ထုတ်နိုင်မည်မဟုတ်ပါ ဟု ၎င်းက ဆိုခဲ့သည်။

အခြေခံ သဘောတရားများ (Basic Concepts)

သင်္ချာတွင် အစုဆိုသည်မှာ ကွဲပြားခြားနားသော အရာများကို စုစည်းထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုအရာများကို အစု၏ အစုဝင်များ သို့မဟုတ် အဖွဲ့ဝင်များဟု ခေါ်သည်။ အစုတစ်ခုကို စုစည်းမှု သို့မဟုတ် မိသားစု (family) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ အထူးသဖြင့် ၎င်း၏ အစုဝင်များသည် ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင် အစုများဖြစ်နေသောအခါတွင် ထိုသို့ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည်။ ဤသို့ခေါ်ဆိုခြင်းက အစုနှင့် ၎င်း၏ အဖွဲ့ဝင်များအကြား ရောထွေးမှုကို ရှောင်ရှားနိုင်စေသည်။ အစုတစ်ခုကို ၎င်း၏ အစုဝင်များကို စာရင်းပြုစုဖော်ပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ၊ ၎င်း၏ အစုဝင်များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ပေးသော ဂုဏ်သတ္တိ (property) တစ်ခုခုကို ပေးခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် သုဒ္ဓကိန်းများ ပါဝင်သော အစု သို့မဟုတ် သတ်မှတ်ထားသော အတန်းတစ်ခုရှိ ကျောင်းသားအားလုံးပါဝင်သော အစု တို့သတ်မှတ်နိုင်သည်။

အကယ်၍ $x$ သည် အစု $S$ ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်ပါက $x$ သည် $S$ တွင် ပါဝင်သည် ဟု ဆိုကြသည်။ ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် $x\in S$ ဟု ရေးသားသည်။ $y$ သည် $S$ တွင် မပါဝင်ပါ ဟူသော အဆိုကို $y\not \in S$ အဖြစ် ရေးသားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $\mathbb {Z}$ သည် ကိန်းပြည့်များ (integers) အားလုံး၏ အစုဖြစ်ပါက $-3\in \mathbb {Z}$ ဖြစ်ပြီး $1.5\not \in \mathbb {Z}$ ဖြစ်သည်။ အစုကျယ်ပြန့်မှု နဂိုမှန်အဆို (axiom of extensionality) အရ အစုနှစ်ခု ညီမျှရန်မှာ တူညီသော အစုဝင်များ ပါဝင်ခြင်းသည် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုသည်။

အစုဝင် တစ်ခုမျှမပါဝင်သော အစုတစ်ခု ရှိသည်။ အစုကျယ်ပြန့်မှု နဂိုမှန်အဆိုအရ ထိုကဲ့သို့သော အစုသည် တစ်ခုတည်းသာ ရှိသည်။ ၎င်းကို ဗလာအစု (empty set) ဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းကို $\varnothing$ သို့မဟုတ် $\emptyset$ သို့မဟုတ် $\{\}$ ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။

အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) ဆိုသည်မှာ အစုဝင် တစ်ခုတိတိသာ ပါဝင်သော အစုဖြစ်သည်။ အကယ်၍ $x$ သည် ထိုအစုဝင်ဖြစ်ပါက အဆိုပါ အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုကို $\{x\}$ ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ အစု $\{\emptyset \}$ နှင့် $\emptyset$ တို့သည် ကွဲပြားသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ပထမအစုတွင် အစုဝင် တစ်ခု ပါဝင်ပြီး ဒုတိယအစုတွင် မည်သည့် အစုဝင်မှ မပါဝင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ပထမအစုတွင်ပါဝင်သော အစုဝင်မှာ $\emptyset$ ပင်ဖြစ်သည်။

ပထမဆုံး သဘာဝကိန်း $n$ ခုကို အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်များနှင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) ပြုလုပ်နိုင်သော သဘာဝကိန်း $n$ တစ်ခု တည်ရှိနေပါက ထိုအစုကို အဆုံးရှိအစု (finite set) ဟု ခေါ်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် $n$ သည် အစု၏ အစုဝင် အရေအတွက်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုကြသည်။ ထိုကဲ့သို့သော $n$ မတည်ရှိပါက ထိုအစုကို အနန္တအစု ဟု ခေါ်သည်။ ဗလာအစုသည် အစုဝင် အရေအတွက် $0$ ခု ပါဝင်သော အဆုံးရှိအစု ဖြစ်သည်။

$\mathbb {N}$ ဟူသော အစုမှာ သဘာဝကိန်းများ အားလုံးကို စုစည်းပြထားသည်။ $\mathbb {Z}$ ဟူသော အစုမှာ ကိန်းပြည့်များ (integers) အစု ဖြစ်၍ အနုတ်ကိန်းများပါ ပါဝင်၍ သဘာဝကိန်းများအစုထက် ကြီးမားသွားသည်။ အစု $\mathbb {Q}$ မှာ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (rational numbers) အစု ဖြစ်ပြီး အစု $\mathbb {R}$ မှာ ကိန်းစစ်များ (real numbers) အစု ဖြစ်သည်။ $\mathbb {C}$ အစုမှာ ကိန်းထွေးများ အစု ဖြစ်သည်။

သဘာဝကိန်းများသည် အနန္တအစု တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ ၎င်းကို ယေဘုယျအားဖြင့် $\mathbb {N}$ ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ အခြားသောအနန္တအစုများ၏ ဥပမာများတွင် ကိန်းပြည့်များ $\mathbb {Z}$ ၊ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ $\mathbb {Q}$ ၊ ကိန်းစစ်များ $\mathbb {R}$ နှင့် ကိန်းထွေးများ $\mathbb {C}$ တို့ ပါဝင်သည်။ ထို့ပြင် သုညမဟုတ်သော ကိန်းစစ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (real vector spaces) ၊ မျဉ်းကွေးများ (curves) နှင့် အခြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်း အများစုသည်လည်း အနန္တအစုများ ဖြစ်ကြသည်။

အစုတစ်ခုအား သတ်မှတ်ခြင်း (Defining a Set)

အစုကျယ်ပြန့်မှု နဂိုမှန်အဆိုအရ အစုတစ်ခုကို သတ်မှတ်ရန်အတွက် ၎င်း၏ အစုဝင်များကို စာရင်းပြုစုခြင်း သို့မဟုတ် ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုကို ဖော်ပြခြင်းတို့ဖြင့် လုံလောက်သည်။ ထိုဂုဏ်သတ္တိသည် ပိုမိုကြီးမားနိုင်သော အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်များထဲမှ သက်ဆိုင်ရာ အစုဝင်များကို ခွဲခြားသတ်မှတ်ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။

စာရင်းချ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Roster notation)

စာရင်းချ သို့မဟုတ် ရေတွက်ဖော်ပြခြင်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (enumeration notation) ဆိုသည်မှာ ၁၉၀၈ ခုနှစ်တွင် အန်းစ် ဇာမီလို (Ernst Zermelo) က စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အစုတစ်ခုကို သတ်မှတ်ရာတွင် ၎င်း၏ အစုဝင်များကို တွန့်ကွင်းများ (braces) ကြားတွင် ကော်မာများဖြင့် ခြား၍ စာရင်းပြုစုဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $\{4,2,1,3\}$ နှင့် $\{{\text{blue, white, red}}\}$ တို့ကို တွန့်ကွင်းများဖြင့် ပိတ်ထားသောကြောင့် ၎င်းတို့သည် အစီအစဉ်များ (tuples) အဖြစ်မဟုတ်ဘဲ အစုများဖြစ်ကြောင်း တွေ့နိုင်သည်။

ဗလာအစုအတွက် သုံးသော $\{\}$ နှင့် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစုအတွက် သုံးသော $\{x\}$ သင်္ကေတများသည် စာရင်းချ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း၏ ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။

အစုတစ်ခုကို သတ်မှတ်ရာတွင် အစုဝင်ဖြစ်နိုင်ချေရှိသောအရာတစ်ခုစီသည် ထိုအစုထဲတွင် ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိဆိုသည့်အချက်ကသာ အရေးကြီးသည်။ ထို့ကြောင့် အစုဝင်များကို ထပ်ခါတလဲလဲ ရေးသားခြင်း သို့မဟုတ် အစီအစဉ်ပြောင်း၍ ရေးသားခြင်းတို့ကြောင့် အစုတစ်ခု၏ သဘောသဘာဝ ပြောင်းလဲသွားမည်မဟုတ်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ $$\{1,2,3,4\}=\{4,2,1,3\}=\{4,2,4,3,1,3\}$$

အစုဝင်များအားလုံးကို ထုတ်လုပ်ပေးသော ထင်ရှားသည့် ပုံစံတစ်ခု ရှိနေပါက ထိုသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို အတိုချုံးရန်အတွက် အစက်များ (ellipsis) ကိုအသုံးပြုနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $\{1,2,3,\ldots ,10\}$ သည် $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ အတွက် အတိုကောက်ရေးသားချက် ဖြစ်သည်။ စာရင်းချ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းရှိ အစက်များကို အချို့သော အနန္တအစုများကို ဖော်ပြရာတွင်လည်း အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းပြည့်များအားလုံးပါဝင်သော အစုကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ $$\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$$ သို့မဟုတ် $$\{0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots \}$$

အစုတည်ဆောက်မှု သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Set-builder notation)

အစုတည်ဆောက်မှု သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အစုတစ်ခုကို ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ပုံသေနည်း (logical formula) တစ်ခုခုနှင့် ကိုက်ညီသော အစုဝင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် အစုတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသည်။ ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် $P(x)$ သည် ကိန်းရှင် $x$ အပေါ်မူတည်သော ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ပုံသေနည်းတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုပုံသေနည်းသည် $x$ ၏ တန်ဖိုးအပေါ်မူတည်၍ မှန်ခြင်း သို့မဟုတ် မှားခြင်းကို အကဲဖြတ်ပေးသည်။ ထိုအခါ အောက်ပါဖော်ပြချက်သည် $P(x)$ မှန်ကန်စေမည့် $x$ အားလုံး၏ အစုကို ညွှန်းဆိုသည်။ $$\{x\mid P(x)\}$$ သို့မဟုတ် $$\{x:P(x)\}$$ ဥပမာအားဖြင့် အစု $F$ ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ $$F=\{n\mid n{\text{ is an integer, and }}0\leq n\leq 19\}$$ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း $\mid$ ကို "ဖြစ်စေသော (such that)" ဟု ဖတ်သည်။ ပုံသေနည်းတစ်ခုလုံးကို "$F$ သည် သုညမှ ၁၉ အထိတွင် ကိန်းပြည့်ဖြစ်စေသော $n$ များအားလုံး ပါဝင်သည့် အစုဖြစ်သည်" ဟု ဖတ်နိုင်သည်။

အချို့သော ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ ပုံသေနည်းများကို အစုတည်ဆောက်မှု သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတွင် အသုံးပြု၍မရနိုင်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် $S{\text{ is a set }}$ သို့မဟုတ် $S{\text{ is a set and }}S\not \in S$ ဖြစ်သည် ကဲ့သို့သော အဆိုများဖြစ်သည်။

အစုပိုင်းများ (Subsets)

အစု $B$ ၏ အစုပိုင်းတစ်ခု ဆိုသည်မှာ $A$ ၏ အစုဝင်တိုင်းသည် $B$ ၏ အစုဝင်လည်း ဖြစ်နေသော အစု $A$ ကို ဆိုလိုသည်။

အောက်ဖော်ပြပါတို့သည် တူညီသောအရာကို ကွဲပြားစွာ ဖော်ပြထားသည်။

• $A$ သည် $B$ ၏ အစုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။

• $\forall x;(x\in A\implies x\in B)$ ဖြစ်သည်။

• $A$ သည် $B$ တွင် ပါဝင်သည် (is contained)။

• $A\subseteq B$ ဖြစ်သည်။

• $B$ သည် $A$ ၏ မူလအစု (superset) ဖြစ်သည်။

• $B$ သည် $A$ ကို ငုံထားသည် (contains)။

• $B\supseteq A$ ဖြစ်သည်။

$\subseteq$ ဖြင့် တည်ဆောက်ထားသော အစုများအကြား ဆက်သွယ်ချက်ကို ပါဝင်ခြင်း (inclusion) သို့မဟုတ် ငုံထားခြင်း (containment) ဟု ခေါ်သည်။

$A\subseteq B$ နှင့် $A\neq B$ ဖြစ်ပါက အစု $A$ ကို အစု $B$ ၏ အစုပိုင်းအစစ် (proper subset) ဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းကို ညွှန်းဆိုရန် $A\subsetneq B$ သို့မဟုတ် $A\subsetneqq B$ ဟု ရေးသားကြသည်။ ထိုနည်းတူစွာ $B\supsetneq A$ သို့မဟုတ် $B\supsetneqq A$ ဟုလည်း ရေးသားနိုင်သည်။

သင်္ကေတ $A\subset B$ သည် များသောအားဖြင့် $A\subseteq B$ ကို ဆိုလိုသော်လည်း အချို့သော စာရေးသူများက $A\subset B$ ကို $A\subsetneq B$ ၏ အဓိပ္ပာယ်အဖြစ် အသုံးပြုကြသည်။ အဓိပ္ပာယ် ရောထွေးမှုကို ရှောင်ရှားရန် မိမိဆိုလိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ $A\subseteq B$ သို့မဟုတ် $A\subsetneq B$ ဟု ရှင်းလင်းစွာ ရေးသားနိုင်သည်။

ဥပမာများ (Examples)

• လူသားအားလုံး၏ အစုသည် နို့တိုက်သတ္တဝါအားလုံး၏ အစု၏ အစုပိုင်းအစစ် တစ်ခုဖြစ်သည်။

• $\{1,3\}\subset \{1,2,3,4\}$ ဖြစ်သည်။

• $\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}$ ဖြစ်သည်။

ငုံထားခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties of Containment)

• အစုနှစ်ခု ညီမျှရန်မှာ တစ်ခုကိုတစ်ခု အပြန်အလှန် ငုံထားခြင်းသည် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် $A=B$ သည် $A\subseteq B$ နှင့် $B\subseteq A$ ဖြစ်ခြင်းတို့နှင့် ထပ်တူညီသည် (equivalent)။

• ဗလာအစုသည် မည်သည့်အစု၏ မဆို အစုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $\varnothing \subseteq A$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။