တည်နေရာ

တာရင်းအမှတ်မှ ဖြာဆန့်သော ဤ ${\vec {r}}$ ဗှတ္တမှာ အမှတ် $\mathrm {P} (x,y,z)$ ၏ တည်နေရာပြ ဗှတ္တာအဖြစ် ရှိအံ့။ ကာတက်စီးယန်း အမှတ်ချအိမ်၌မူ ${\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}$ ဟု ဖြစ်။

ဂျီဩမေတြီတွင် အမှတ်တခုခု၏ တည်နေရာ(ပြ) ဗှတ္တာ (အင်္ဂလိပ်: position vector) ဟူသည်မှာ လက်ရှိအသုံးပြုရာ အမှတ်ချအိမ် (သို့) တွေ့ကြုံရှုထောင့် ၏ တာရင်းအမှတ်နေရာမှ စံထား၍ ၎င်းအမှတ်၏ အာကာသ(နေရာရပ်ဝန်း) အတွင်း တည်နေရာကို ဖော်ပြသည့်၊ ဗှတ္တာ တခုအဖြစ် အမှတ်ချအိမ်၏ စံတိုင်တို့ အသီးသီးအလျောက် ပမာဏပြကိန်း $x^{i}$ တို့နှင့် အမှတ်ချအိမ်၏ စံအလွှားစိပ် $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ တို့၏

$$x^{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}=x^{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+x^{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+...+x^{n}\mathbf {\hat {e}} _{n}$$

ဟူသော (တိုင်းကြောင်း အရေအတွက် $n$-ခု ရှိသလောက်၏ ပေါင်းလဒ်) ပုံစံမျိုးဖြင့် ထွက်ပေါ်တည်ရှိ၏။
တနည်းအားဖြင့်၊ တာရင်းအမှတ်ကို ၎င်းအမှတ်Pထံသို့ အရွေ့ (displacement) ပြောင်းရွှေ့ကြည့်မှုမျိုး ဖြစ်လေရာ

$\mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.$

ဟုလည်း ဆိုနိုင်၏။

သမားရိုးကျ ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်းသဘော အတွင်း -
$x^{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}$ ပုံစံနှင့်၊ အသုံးများသော ကာတက်စီးယန်း အမှတ်ချအိမ်အတွင်း တိုင်းကြောင်း (dimension) ၃ခုအဖို့ တည်နေရာပြ ဗှတ္တာက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်မည်။

$$x^{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}=x\mathbf {\hat {i}} +y\mathbf {\hat {j}} +z\mathbf {\hat {k}}$$

$${\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {i}} \\\mathbf {\hat {j}} \\\mathbf {\hat {k}} \end{bmatrix}}=x\mathbf {\hat {i}} +y\mathbf {\hat {j}} +z\mathbf {\hat {k}}$$

ဟု ကိန်းအုံတို့နှင့် တွက်ထုတ်ပုံမှာ အရင်းခံသင်္ချာပုံသေနည်းမျိုး ဖြစ်၏။ မြှောက်လဒ် ကိန်းအုံ ၃ခု၌ အလယ်ရှိ ထောင့်စက်ကိန်းအုံမှာ အတိုင်းဆတာအုံ အဖြစ် ပါဝင်ခြင်း ဖြစ်၏။

တည်နေရာ(Position) နှင့် အကွာအဝေး(Distance)

တည်နေရာမှာ ဗှတ္တာ တိုင်းဖွယ် ဖြစ်၍ ပမာဏ သဘောရော၊ ဦးတည်ချက်(ဘက်လှည့်) သေဘာပါ ပါရှိ၏။ တည်နေရာ၏ ပမာဏရင်းသီးသန့်ကို အကွာအဝေး ဟူသော (ပမာဏသီးသန့်) စကေလာတိုင်းဖွယ် အဖြစ် ရှိအံ့။
ဤသည်မှာ ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း၏ တာသေရင်း (မပြောင်းအလျား; invarience) လည်း ဖြစ်၍ ဤသို့ တွက်နိုင်၏။ တာသေရင်းမှာ ၎င်းအလျားသေ ဝှေ့ယမ်းနိုင်သော စက်ဝန်းလုံးအပိုင်း၏ အချင်းဝက်သဖွယ် ဖြစ်၍၊ ၎င်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းကို $r^{2}$ ဟု ရေးနိုင်၏။

$$r^{2}={\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$$

ကိုယ်ပြန်မြှောက်ဒ် (inner product) အဖြစ်လည်း တွက်ထုတ်နိုင်၏။

$$\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =(x\mathbf {\hat {i}} +y\mathbf {\hat {j}} +z\mathbf {\hat {k}} )\cdot (x\mathbf {\hat {i}} +y\mathbf {\hat {j}} +z\mathbf {\hat {k}} )=x^{2}+y^{2}+z^{2}$$