ကိုဩဒိနိတ်စနစ်

အတိုင်းအတာ (dimension) နှစ်ခုရှိသော ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်စနစ် (Cartesian coordinate system) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထင်ရှားစွာပြသထားသော အမှတ်များ၏ ကိုဩဒိနိတ်များ (coordinates) မှာ $(2,3)$၊ $(-3,1)$ နှင့် $(-1.5,-2.5)$ တို့ဖြစ်ကြပြီး မူလနေရာ (origin) မှာ $(0,0)$ ဖြစ်သည်။

ကိုဩဒိနိတ်စနစ် (coordinate system) သည် ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း (Euclidean space) ကဲ့သို့သော မန်နီဖိုး (manifold) တစ်ခုပေါ်ရှိ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများ၏ တည်နေရာကို တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ သတ်မှတ်ရန်နှင့် စံသတ်မှတ်ရန်အတွက် ကိုဩဒိနိတ်များဟုခေါ်သည့် အစီအစဉ်ကျသော ကိန်းတစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပိုသော ကိန်းများကို အသုံးပြုသည်။ ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ တည်နေရာများအတွက် ကိန်းဂဏန်းတန်ဖိုးများကို သတ်မှတ်ပေးခြင်းဖြင့် ကိုဩဒိနိတ်များသည် ဂျီဩမေတြီ ပြဿနာများကို ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများအဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲပေးနိုင်ပြီး ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်လုပ်ငန်းစဉ်ကိုလည်း လုပ်ဆောင်ပေးနိုင်သည်။ ဤအချက်သည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ၏ အဓိက အခြေခံအုတ်မြစ် ဖြစ်လာသည်။ ကိုဩဒိနိတ်များကို သင်္ချာနည်းအရ တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ဖလှယ်၍မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့ကို အစီအစဉ်ကျ အစုဝင်များ (ordered tuple) တစ်ခုအတွင်းရှိ သီးခြားတည်နေရာဖြင့်ဖြစ်စေ သို့မဟုတ် $x$-ကိုဩဒိနိတ် ကဲ့သို့သော တိကျသည့် အမည်များဖြင့်ဖြစ်စေ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ ခွဲခြားသတ်မှတ်ထားသည်။ အခြေခံ သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် ကိုဩဒိနိတ်များကို ယေဘုယျအားဖြင့် ကိန်းစစ်များ (real numbers) ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ သို့သော် ကိုဩဒိနိတ်များသည် ကိန်းထွေးများ (complex numbers) ဖြစ်နိုင်သည့်အပြင် ဖလှယ်ရ ကွင်းများ (commutative rings) ကဲ့သို့သော ပိုမိုနက်နဲသည့် သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ စနစ်များ၏ အစုဝင်များ (elements) လည်း ဖြစ်နိုင်သည်။

အများသုံး ကိုဩဒိနိတ်စနစ်များ (Common Coordinate Systems)

ကိန်းမျဉ်း နှင့် ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်များ (Number Line and Cartesian Coordinates)

အချင်းချင်း ထောင့်မှန်ကျနေသော ဝင်ရိုးများတစ်လျှောက်ရှိ ၎င်း၏ $x$၊ $y$ နှင့် $z$ ကိုဩဒိနိတ်များမှတစ်ဆင့် အမှတ်တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပြသထားသည့် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်စနစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

အရှင်းလင်းဆုံး ဖွဲ့စည်းပုံမှာ ကိန်းမျဉ်း (number line) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော မူလနေရာမှ လက္ခဏာပါရှိသော အကွာအဝေးကို အခြေခံ၍ မျဉ်းတစ်ကြောင်းပေါ်ရှိ အမှတ်များကို ကိန်းစစ်များဖြင့် သတ်မှတ်ပေးသည့် အတိုင်းအတာတစ်ခုရှိသော စနစ်ဖြစ်သည်။ ကိန်းမျဉ်း၏ အများသိ လက်တွေ့ဥပမာတစ်ခုမှာ သာမိုမီတာဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် သုညအထက် အပူချိန်များသည် အပေါင်း ကိုဩဒိနိတ်များဖြစ်ကြပြီး သုညအောက် အပူချိန်များသည် အနုတ် ကိုဩဒိနိတ်များဖြစ်ကြသည်။

ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာများအတွက် မူလပုံစံမော်ဒယ်မှာ ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်စနစ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ပြင်ညီတစ်ခုအတွင်းရှိ ထောင့်မှန်ကျမျဉ်းများ သို့မဟုတ် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ရပ်ဝန်း (three-dimensional space) တစ်ခုအတွင်းရှိ အချင်းချင်း ထောင့်မှန်ကျနေသော ပြင်ညီများထံသို့ လက္ခဏာပါရှိသော အကွာအဝေးများကို တိုင်းတာသည်။ ဖြတ်မှတ် $O$ ကို မူလနေရာအဖြစ် သတ်မှတ်ထားပြီး ၎င်းနေရာတွင် ထောင့်မှန်ကျစွာ ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ကြောင်းကို အထိုင် ဝင်ရိုးများအဖြစ် အသုံးပြုကာ ထောင့်မှန် ကိုဩဒိနိတ်များ (rectangular coordinates) ကို တည်ဆောက်ထားသည်။ ဤဝင်ရိုးများပေါ်တွင် $O$ မှစ၍ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော မျဉ်းပိုင်းများဖြစ်သည့် $x$ နှင့် $y$ တို့ကို နေရာချထားသည်။ အခြေအနေကို နားလည်သဘောပေါက်နိုင်ရန် သက်ဆိုင်ရာ ပုံကြမ်းကို ကြည့်ပါ။ ဤမျဉ်းပိုင်းများ၏ အစွန်းမှတ်များမှ ထောင်လိုက်ရေးဆွဲထားသော ထောင့်မှန်ကျမျဉ်းများသည် ဖြတ်မှတ် $p$ ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ထိုအမှတ် $p$ ကို $x,y$ ကိုဩဒိနိတ်များဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ကိန်းစစ် ကာတီးရှန်း ပြင်ညီ (real Cartesian plane) တွင် $x$-ဝင်ရိုးသည် $(a,0)$ ပုံစံရှိသော အမှတ်များအစု (set of points) ဖြစ်သည်။ $y$-ဝင်ရိုးသည် $(0,b)$ ပုံစံရှိသော အမှတ်များအစု ဖြစ်ပြီး ၎င်းတို့ တိကျစွာ ဖြတ်သန်းသွားသော အမှတ် $(0,0)$ သည် မူလနေရာ ဖြစ်သည်။ ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်များသည် ပြီးပြည့်စုံသော ဂရစ်ကွန်ရက်ပုံစံ ခင်းကျင်းထားသည့် မြို့ပြမြေပုံတစ်ခုကဲ့သို့ လုပ်ဆောင်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ မူလနေရာတွင် ဗဟိုပြုထားပြီး အချင်းဝက် ၂ ရှိသော စက်ဝိုင်းကဲ့သို့သော ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်တစ်ခုကို $x^{2}+y^{2}=4$ ဟူသော အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းကို အသုံးပြု၍ တည်ဆောက်ထားသည်။

ဤထောင့်မှန်ကျ ဖွဲ့စည်းပုံကို အတိုင်းအတာ $n$ ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း ($n$-dimensional Euclidean space) အထိ လွယ်ကူစွာ ချဲ့ထွင်နိုင်သည်။ ထို့ပြင် အတိုင်းအတာသုံးခုတွင် ၎င်းကို ညာလက်သုံးစနစ် (right-handed system) သို့မဟုတ် ဘယ်လက်သုံးစနစ် (left-handed system) အဖြစ် တိကျစွာ ဦးတည်သတ်မှတ်နိုင်သည်။

ဝင်ရိုးစွန်း၊ ဆလင်ဒါပုံ နှင့် စက်လုံးပုံ ကိုဩဒိနိတ်များ (Polar, Cylindrical, and Spherical Coordinates)

အမှတ် $P$ တစ်ခုကို ၎င်း၏ အချင်းဝက် အကွာအဝေး (radial distance) $\rho$၊ အလျားလိုက်ထောင့် (azimuth angle) $\varphi$ နှင့် ဒေါင်လိုက်အမြင့် $z$ တို့ဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်ပြသထားသည့် ဆလင်ဒါပုံ ကိုဩဒိနိတ်စနစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

အခြားနည်းလမ်းတစ်ခုအနေဖြင့် ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ်စနစ် (polar coordinate system) သည် ဗဟိုစွန်းမှတ်တစ်ခုမှ အချင်းဝက် အကွာအဝေးတစ်ခုနှင့် ဝင်ရိုးစွန်း ဝင်ရိုး (polar axis) တစ်ခုမှ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် (counterclockwise) ထောင့်တစ်ခုတို့ကို အသုံးပြု၍ ပြင်ညီတစ်ခုရှိ အမှတ်များကို သတ်မှတ်သည်။ ကာတီးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်များနှင့်မတူဘဲ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ်များသည် အပြည့်အဝ တစ်ခုတည်းသီးသန့် မဖြစ်ပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ကိုဩဒိနိတ်စုံတွဲများစွာသည် တူညီသော ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာ အမှတ်တစ်ခုတည်းကို ပုံဖော်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $360^{\circ }$ အပြည့် လှည့်ခြင်းများကို ပေါင်းထည့်ခြင်းမှတစ်ဆင့် ယင်းသို့ ပုံဖော်နိုင်သည်။ ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ်များ၏ လက်တွေ့ဥပမာတစ်ခုမှာ ရေဒါ မျက်နှာပြင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် လေယာဉ်ပျံတစ်စင်းကို ရေဒါတာဝါတိုင်မှ ၎င်း၏ အကွာအဝေးနှင့် သံလိုက်အိမ်မြှောင် လားရာတို့ဖြင့် ရှာဖွေပေးသည်။ ဤစနစ်တွင် ကာတီးရှန်း စက်ဝိုင်း $x^{2}+y^{2}=4$ ကို ကိန်းသေ ညီမျှခြင်း $r=2$ အဖြစ် အလွန်ရိုးရှင်းစွာ ဖော်ပြနိုင်ပြီး ပြန့်ကားနေသော ခရုပတ်ပုံတစ်ခုကိုမူ $r=\theta$ ဖြင့် ပုံဖော်ထားသည်။

ဤအချင်းဝက်ဆိုင်ရာ သဘောတရားကို အတိုင်းအတာသုံးခုဆီသို့ ဆက်လက်ချဲ့ထွင်နိုင်သည်။ ဆလင်ဒါပုံ ကိုဩဒိနိတ်စနစ် (cylindrical coordinate system) ဖြင့် ချဲ့ထွင်ရာတွင် ဝင်ရိုးစွန်း အခြေခံအပေါ်သို့ ကာတီးရှန်း အမြင့် ကိုဩဒိနိတ်တစ်ခုကို ပေါင်းထည့်သည်။ စက်လုံးပုံ ကိုဩဒိနိတ်စနစ် (spherical coordinate system) ကို အသုံးပြု၍ ချဲ့ထွင်ရာတွင်မူ အချင်းဝက် အကွာအဝေးတစ်ခုနှင့် သက်ဆိုင်ရာ ထောင့်နှစ်ခုကို အသုံးပြု၍ ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ အချက်အလက်များကို တိုင်းတာသည်။ အလားတူပင် လတ္တီတွဒ်၊ လောင်ဂျီတွဒ်နှင့် ကမ္ဘာမြေအလယ်ဗဟိုမှ အကွာအဝေးတို့ကို အသုံးပြု၍ ကမ္ဘာမြေပေါ်ရှိ တည်နေရာများကို အတိအကျ သတ်မှတ်ရန်အတွက် စက်လုံးပုံ ကိုဩဒိနိတ်များကို ပထဝီဝင်တွင် အသုံးပြုသည်။

တစ်ပြေးညီ နှင့် ပရိုဂျက်တစ် ကိုဩဒိနိတ်များ (Homogeneous and Projective Coordinates)

အခြားသော အခြေခံ ကွဲလွဲမှုတစ်ခုမှာ တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်စနစ် (homogeneous coordinate system) ဖြစ်သည်။ ဤစနစ်တွင် ကိုဩဒိနိတ်များ၏ အချိုးများသာလျှင် ဂျီဩမေတြီအရ အရေးပါမှုရှိသည်။ ၎င်းသည် ပရိုဂျက်တစ် ရပ်ဝန်းများ (projective spaces) ကို သင်္ချာနည်းကျကျ လွှမ်းခြုံပေးပြီး အနန္တအမှတ်များ (points at infinity) ကို သီးခြား ဂျီဩမေတြီ ချွင်းချက်များအဖြစ် သတ်မှတ်မည့်အစား အက္ခရာသင်္ချာနည်းအရ ချောမွေ့စွာ ပေါင်းစည်းပေးသည်။ ပရိုဂျက်တစ် ပြင်ညီ (projective plane) တစ်ခုကို ဖီးလ်ဒ် (field) $k$ အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာ သုံးခုရှိသော ဘယ် ဗက်တာရပ်ဝန်း (left vector space) $V$ ကို အသုံးပြု၍ ကိုဩဒိနိတ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ထိုစနစ်ရှိ အမှတ်များ မှာ $V$ ၏ အတိုင်းအတာ တစ်ခုရှိသော ရပ်ဝန်းပိုင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် မူလနေရာကို ဖြတ်သန်းသွားသော မျဉ်းများဖြစ်ကြပြီး ထိုစနစ်ရှိ မျဉ်းများ မှာမူ အတိုင်းအတာ နှစ်ခုရှိသော ရပ်ဝန်းပိုင်းများ (subspaces) ဖြစ်ကြသည်။ အနန္တရှိ မျဉ်း ဟုခေါ်သော တိကျသည့် ပြင်ညီ $W$ ကို ဖယ်ထုတ်လိုက်ခြင်းအားဖြင့် အဖိုင်း ပြင်ညီ (affine plane) $\Pi _{W}$ ကို ရရှိသည်။ အကယ်၍ $W$ ကို အခြေအစု ဗက်တာများ (basis vectors) $\langle A_{2},A_{3}\rangle$ ဖြင့် ဖြန့်ကျက်ထားပါက မည်သည့် အဖိုင်း အမှတ် $L$ ကိုမဆို တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဗက်တာ (vector) $A_{1}+\xi A_{2}+\eta A_{3}$ ဖြင့် ဖြန့်ကျက်ထားသည်။ စကေလာများ (scalars) $(\xi ,\eta )$ သည် ပရိုဂျက်တစ် အမှတ်အတွက် အဖိုင်း ကိုဩဒိနိတ်များ (affine coordinates) အဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ တစ်ပြေးညီ ကိုဩဒိနိတ်များ၏ လက်တွေ့အသုံးချမှုတစ်ခုမှာ အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ကွန်ပျူတာဂရပ်ဖစ် နယ်ပယ်တွင် ဖြစ်သည်။ ၎င်းစနစ်သည် မီးရထားသံလမ်းများကို အဆုံးမှတ်တစ်ခုတွင် စုဆုံသွားစေခြင်းကဲ့သို့သော အမြင်အာရုံ အချိုးအစားကို ဆော့ဖ်ဝဲလ်များမှ လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်ခွင့်ပေးသည်။ သင်္ချာနည်းအရ စံ အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ကာတီးရှန်း အမှတ် $(3,4)$ ကို $(3,4,1)$ ကဲ့သို့သော ၃-ခုတွဲအဖြစ် ရေးသားသည်။ ၎င်းသည် ထိုလားရာရှိ အနန္တရှိ အမှတ်ကို သုညဖြင့် စားခြင်း မရှိဘဲ $(3,4,0)$ အဖြစ် သေသပ်စွာ ဖမ်းယူပေးသည်။

ဖွဲ့စည်းပုံဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများ (Structural Elements)

မတူညီသော ကိုဩဒိနိတ် မျက်နှာပြင်သုံးခု၏ ဖြတ်သန်းခြင်းဖြစ်သည်။ ရပ်ဝန်းအတွင်းရှိ တိကျသော အမှတ်တစ်ခုကို ဤမျက်နှာပြင်များ ဖြတ်သန်းသွားသည့် တိကျသော နေရာမှတစ်ဆင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ သတ်မှတ်ထားသည်။

ပုံမှန် အပိုင်းအခြားများဖြင့် ဖြတ်သန်းသွားသော ကိုဩဒိနိတ် မျက်နှာပြင်များဖြစ်သည့် ပြင်ညီများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားပြီး ဖြောင့်တန်းသော ကိုဩဒိနိတ် မျဉ်းများကို ထုတ်လုပ်ပေးသည့် အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဂရစ်ကွန်ရက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

ဤစနစ်များ၏ ဖွဲ့စည်းပုံဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများသည် ကွဲပြားသော ဂျီဩမေတြီ အရာဝတ္ထုများကို ထုတ်ပေးသည်။ အခြားသော ကိုဩဒိနိတ်များကို ကိန်းသေအဖြစ် ထားရှိပြီး ကိုဩဒိနိတ်တစ်ခုကို ပြောင်းလဲခြင်းသည် ကိုဩဒိနိတ် မျဉ်းကွေး (coordinate curve) တစ်ခုကို ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ အကယ်၍ ဤမျဉ်းကွေးသည် တိကျစွာ ဖြောင့်တန်းနေပါက ၎င်းကို ကိုဩဒိနိတ် မျဉ်း (coordinate line) အဖြစ် ဖွဲ့စည်းသတ်မှတ်သည်။ ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုး (coordinate axis) တစ်ခုကို အခြားသော ကိန်းသေ ကိုဩဒိနိတ်များအားလုံး သုညနှင့် ညီမျှနေသည့် ကိုဩဒိနိတ် မျဉ်းတစ်ကြောင်းအဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။

အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ရပ်ဝန်းတွင် ကိုဩဒိနိတ်တစ်ခုကို ကိန်းသေအဖြစ် ထားရှိပြီး ကိုဩဒိနိတ်နှစ်ခုကို ပြောင်းလဲခြင်းသည် ကိုဩဒိနိတ် မျက်နှာပြင် (coordinate surface) တစ်ခုကို ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ ထို့နောက် ကိုဩဒိနိတ် မျက်နှာပြင်နှစ်ခု၏ ဖြတ်သန်းခြင်းသည် ကိုဩဒိနိတ် မျဉ်းကွေးတစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။ အတိုင်းအတာ $n$ ခုအထိ ယေဘုယျပြုလုပ်ရာတွင် ကိုဩဒိနိတ်တစ်ခုတည်းကို သတ်မှတ်ထားခြင်းသည် အတိုင်းအတာ $(n-1)$ ခုရှိသော ကိုဩဒိနိတ် ဟိုက်ပါမျက်နှာပြင် (coordinate hypersurface) တစ်ခုကို တည်ဆောက်ပေးသည်။

မတူညီသော ကိုဩဒိနိတ်စနစ်များသည် ကွဲပြားသော ဂျီဩမေတြီ အစုများကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မော်ဒယ်ပြုလုပ်သည့်အခါ ၎င်းတို့ကို ဒွန်တွဲမှုရှိသည်ဟု ယူဆကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တစ်ပြေးညီစနစ်များသည် အမှတ်များနှင့် မျဉ်းများ နှစ်မျိုးစလုံးကို ပုံဖော်ပေးနိုင်သည်။ ဤသို့ ဒွန်တွဲမှုရှိခြင်းသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ရလဒ်များကို ဒွန်တွဲမှု မူဝါဒ (principle of duality) မှတစ်ဆင့် အပြန်အလှန် သယ်ဆောင်ခွင့် ပြုသည်။

အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ နှင့် နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အခြေခံအုတ်မြစ်များ (Algebraic and Axiomatic Foundations)

ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ မူဝါဒ (The Analytic Geometry Principle)

ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ၏ အခြေခံ သဘောတရား (fundamental concept) မှာ အမှတ်များကို ဖီးလ်ဒ် $k$ မှ အစုဝင်များ၏ အတွဲများ $(x,y)$ အဖြစ် ဖော်ပြခြင်းနှင့် မျဉ်းများကို မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ (linear equations) ဖြင့် ဖော်ပြခြင်းတို့မှတစ်ဆင့် အခြေခံ ဂျီဩမေတြီ ပြဿနာများကို အက္ခရာသင်္ချာ ပြဿနာများဆီသို့ အသွင်ပြောင်းလဲခြင်း ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ ကာတီးရှန်း ပြင်ညီသည် ဂျီဩမေတြီ သီအိုရီအတွက် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ မော်ဒယ်အဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီများနှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ပြင်ညီများ (hyperbolic planes) ကဲ့သို့သော သရုပ်မဲ့ ဖော်ပြထားသော ဂျီဩမေတြီများအတွင်းသို့ ကိုဩဒိနိတ်များကို သင်္ချာနည်းကျကျ ထည့်သွင်းရန် ဖြစ်နိုင်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ အမှတ်များနှင့် မျဉ်းများ ဖြတ်သန်းခြင်းနှင့်သာ သက်ဆိုင်သော မည်သည့် ဂျီဩမေတြီ သီအိုရမ်ကိုမဆို ဂဏန်းသင်္ချာ စည်းမျဉ်းများ (laws of arithmetic) အရ ထပ်တူညီစွာ သုညဖြစ်သွားသော အက္ခရာသင်္ချာ ဖော်ပြချက်တစ်ခုအဖြစ် ဘာသာပြန်ဆိုနိုင်သည်။

ကိုဩဒိနိတ်သတ်မှတ်ခြင်း သီအိုရမ် (Coordinatization Theorem)

ပြောင်းပြန်အားဖြင့် အခြေခံ ဖြတ်သန်းမှု နဂိုမှန်အဆိုများကို (axioms) ပြည့်စုံစေပြီး လုံလောက်သော အချိုးညီမှုများကို (symmetries) ပိုင်ဆိုင်ထားသော အမှတ်များ နှင့် မျဉ်းများ အစုများ (sets) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် မည်သည့် သရုပ်မဲ့ ပြင်ညီ ဂျီဩမေတြီကိုမဆို ဖီးလ်ဒ် $k$ ဖြင့် အပြည့်အဝ ကိုဩဒိနိတ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ တိကျစွာဆိုရသော် မည်သည့်အမှတ်ကိုမဆို အခြားမည်သည့်အမှတ်သို့မဆို ပုံဖော်ပေးနိုင်သော ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်းများ (translations) ရှိနေရမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ဂျီဩမေတြီတစ်ခုတွင် ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်းများ၏ ဖလှယ်ရအုပ်စု (commutative group) $T$ ရှိပါက ကိုဩဒိနိတ်စနစ်တစ်ခုကို ဂျီဩမေတြီသီးသန့်နည်းဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။

• မူလနေရာ (The Origin) - အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အမှတ် $O$ တစ်ခုကို ရွေးချယ်ပြီး $(0,0)$ ကိုဩဒိနိတ်များကို သတ်မှတ်ပေးသည်။
• ဝင်ရိုးများနှင့် ယူနစ်အမှတ်များ (The Axes and Unit Points) - မတူညီသော လားရာများရှိသည့် ထပ်တူရ မဟုတ်သော ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်းနှစ်ခုဖြစ်သော $\tau _{1}$ နှင့် $\tau _{2}$ တို့ကို ရွေးချယ်သည်။ $O$ ကို ဖြတ်သန်းသွားသော ၎င်းတို့၏ လမ်းကြောင်းများသည် ကိုဩဒိနိတ် ဝင်ရိုးများအဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ထို့ပြင် ၎င်းတို့၏ ပုံရိပ်များဖြစ်သော $\tau _{1}(O)$ နှင့် $\tau _{2}(O)$ တို့သည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ယူနစ်အမှတ်များ အဖြစ် လုပ်ဆောင်ကာ ၎င်းတို့ကို $(1,0)$ နှင့် $(0,1)$ ဟု သတ်မှတ်သည်။
• ကိုဩဒိနိတ်များ သတ်မှတ်ခြင်း (Assigning Coordinates) - မည်သည့် အမှတ် $P$ ကိုမဆို တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ရွှေ့ပြောင်းခြင်း $\tau _{OP}=\tau _{1}^{\xi }\tau _{2}^{\eta }$ ဖြင့် ရောက်ရှိနိုင်သည်။ ထိုထပ်ကိန်းများဖြစ်သော $\xi$ နှင့် $\eta$ ကို ကိုဩဒိနိတ်စုံတွဲ $(\xi ,\eta )$ အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤထပ်ကိန်းများသည် လမ်းကြောင်းကို ထိန်းသိမ်းထားသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ (homomorphisms) ဖီးလ်ဒ်မှ လာခြင်းဖြစ်သည်။

မျဉ်းပိုင်းများ၏ အက္ခရာသင်္ချာ (Algebra of Segments)

ကိုဩဒိနိတ်စနစ်တစ်ခုကို ထပ်တူညီခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများအပေါ် မှီခိုခြင်းမရှိဘဲ အသစ်ပြန်လည် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော မျဉ်းပိုင်းများ၏ အက္ခရာသင်္ချာ (algebra of segments) အပေါ်တွင်သာ အခြေခံ၍ တည်ဆောက်နိုင်ကြောင်း ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) က သရုပ်ပြခဲ့သည်။ ဤသရုပ်ပြချက်သည် ဒေဆာ့ဂ် ၏ သီအိုရမ် (Desargues's theorem) အပေါ် အမှီသဟဲပြုထားသည်။ ဤမော်ဒယ်တွင် ဖြတ်သန်းသွားသော အထိုင်မျဉ်းနှစ်ကြောင်းကို စောင်းနေသော ဝင်ရိုးများအဖြစ် ရွေးချယ်ထားသည်။ ထို့နောက် အမှတ်တစ်ခုမှ ဤဝင်ရိုးများဆီသို့ ပြိုင်မျဉ်းများ ရေးဆွဲခြင်းဖြင့် ကိုဩဒိနိတ်များကို ရရှိသည်။

မျဉ်းများ နှင့် မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ (Lines and Linear Equations)

ကိုဩဒိနိတ်များသည် မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်ကို ပြုလုပ်ခွင့်ပေးသည်။ မသိကိန်း (unknowns) $n$ ခု ပါဝင်သော မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်း $m$ ခု ပါဝင်သည့် စနစ်တစ်ခုကို ဂျီဩမေတြီနည်းအရ မျဉ်းဖြောင့်ဆိုင်ရာ မျိုးကွဲ (linear variety) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသော အဖြေ ဗက်တာတစ်ခု၏ ကိုဩဒိနိတ်များအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုမျိုးကွဲသည် အဖိုင်း ရပ်ဝန်းပိုင်း (affine subspace) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပြင်ညီတစ်ခုရှိ ဖြောင့်တန်းသော မျဉ်းတိုင်းကို ကိုဩဒိနိတ် $x$ နှင့် $y$ တို့တွင် မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်သော ညီမျှခြင်းတစ်ခုဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြထားပြီး ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်လည်း မှန်ကန်သည်။

• စံပုံစံ (Standard Form) - $a$ နှင့် $b$ နှစ်ခုစလုံး သုညမဟုတ်သည့် အခြေအနေတွင် မျဉ်းများကို မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်း $ax+by+c=0$ အား ပြည့်စုံစေသော အမှတ်များ၏ အစုပိုင်းများအဖြစ် (subsets) ဂျီဩမေတြီနည်းအရ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဒေါင်လိုက်မဟုတ်သော မည်သည့်မျဉ်းကိုမဆို $y=mx+b$ အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် $m$ သည် စောင်းကိန်း (slope) ကို ကိုယ်စားပြုပြီး $b$ သည် $y$-ဖြတ်မှတ် (y-intercept) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ မျဉ်းများသည် တိကျစွာ တူညီသော စောင်းကိန်းကို မျှဝေခံစားပါက သို့မဟုတ် နှစ်ကြောင်းစလုံး ဒေါင်လိုက်ဖြစ်နေပါက ပြိုင်တူဖြစ်ခြင်းကို အတည်ပြုနိုင်သည်။
• အမှတ်နှစ်ခု ပုံစံ (Two-Point Form) - ကွဲပြားသော အမှတ်များဖြစ်သည့် $A=(a_{1},a_{2})$ နှင့် $B=(b_{1},b_{2})$ တို့အတွက် ဆက်သွယ်ပေးသော မျဉ်းမှာ $y-a_{2}={\frac {b_{2}-a_{2}}{b_{1}-a_{1}}}(x-a_{1})$ ဖြစ်သည်။ ဤသို့ဖြစ်ရန် ၎င်းမျဉ်းသည် ဒေါင်လိုက် မဖြစ်ရပေ။ စောင်းကိန်း $m_{1}$ နှင့် $m_{2}$ အသီးသီးရှိကြသော ထောင့်မှန်ကျ မျဉ်းနှစ်ကြောင်းသည် $m_{1}m_{2}=-1$ ကို ပြည့်စုံစေသည်။
• ကိန်းရှင်ကြားခံ နှင့် ဗက်တာ ပုံစံများ (Parametric and Vector Forms) - အစီအစဉ်ကျအတွဲများကို ဗက်တာများအဖြစ် သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် မျဉ်းတစ်ကြောင်းကို $Q=P+tA$ အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် $A=(\gamma ,\delta )$ သည် သုညမဟုတ်သော လားရာပြ ဗက်တာ (direction vector) တစ်ခု ဖြစ်သည်။

အကွာအဝေး တိုင်းတာမှုများ နှင့် မက်ထရစ် တည်ဆောက်ပုံများ (Distance Metrics and Metric Structures)

အလျား သို့မဟုတ် ထောင့်ကဲ့သို့သော မက်ထရစ် တည်ဆောက်ပုံများရှိ (metric structures) ကိုဩဒိနိတ်များသည် ဗက်တာများကြားရှိ အစုံလိုက်တွဲဖက်မှုများကို (pairings) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ထိုတွဲဖက်မှုများသည် ၎င်းတို့၏ ကိုဩဒိနိတ်များ၏ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် ဖန်ရှင် (bilinear function) $XY=\sum _{i,\mu =1}^{n}g_{i\mu }x_{i}y_{\mu }$ ကို ထုတ်ပေးသည်။ ထိုညီမျှခြင်းတွင် မက်ထရစ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများဖြစ်သော $g_{i\mu }$ များကို ကိုဩဒိနိတ် အခြေအစု ဗက်တာများ၏ မြှောက်လဒ်များဖြင့် ဆုံးဖြတ်သည်။ ဗက်တာတစ်ခုအား ၎င်းကိုယ်တိုင်ဖြင့် စကေလာမြှောက်လဒ် (scalar product) ပြုလုပ်ခြင်းသည် ကိုဩဒိနိတ်များအပေါ် နှစ်ထပ်ကိန်းအရ မှီခိုနေသော ဖော်ပြချက်တစ်ခုအဖြစ်သို့ ပြန့်ကားသွားပြီး ဒုတိယထပ်ကိန်း ပုံစံ (quadratic form) တစ်ခုကို ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။

ကိန်းစစ် ကာတီးရှန်း ပြင်ညီ၏ စံမော်ဒယ် (standard model) တွင် ထပ်တူညီမှုကို ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean distance function) အားဖြင့် ဆုံးဖြတ်သည်။ ၎င်းပုံသေနည်းမှာ $d(A,B)={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}$ ဖြစ်သည်။ သို့သော် အစားထိုး အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များသည် ကွဲပြားသော ဂျီဩမေတြီ မော်ဒယ်များကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။

• တက္ကစီကား ဂျီဩမေတြီ (Taxicab geometry) - အကွာအဝေးကို $d(A,B)=|a_{1}-b_{1}|+|a_{2}-b_{2}|$ အဖြစ် တွက်ချက်သည်။ ဤအမည်သည် မြို့တစ်မြို့အတွင်း တက္ကစီတစ်စီး မောင်းနှင်သည့် ပုံစံကို အစွဲပြု၍ ခေါ်ဝေါ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အဆောက်အအုံများကို ထောင့်ဖြတ် မောင်းနှင်၍မရနိုင်သောကြောင့် အလျားလိုက်နှင့် ဒေါင်လိုက် လမ်းများကိုသာ တိကျစွာ လိုက်နာရမည်ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ $(0,0)$ နှင့် $(3,4)$ အမှတ်များကြားရှိ အကွာအဝေးသည် စံ ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တွင် တိကျစွာ ၅ (${\sqrt {3^{2}+4^{2}}}$) ဖြစ်သော်လည်း တက္ကစီကား အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တွင်မူ ၇ ($|3|+|4|$) ဖြစ်သည်။
• စူပရီမမ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Supremum metric) - $d(A,B)=\sup\{|a_{1}-b_{1}|,|a_{2}-b_{2}|\}$ အဖြစ် ဖော်ပြသည်။
• ပြောင်းလဲထားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များ (Altered Metrics) - စံ ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေးကို အလျားလိုက်နှင့် ဒေါင်လိုက် မျဉ်းပိုင်းများအတွက် အသုံးပြုပြီး အခြားမျဉ်းပိုင်းများအားလုံးအတွက် နှစ်ဆတိုးခြင်းသည် ကာတီးရှန်း မော်ဒယ်တစ်ခုကို ဖန်တီးပေးသည်။ ဤမော်ဒယ်သည် မျဉ်းပိုင်းများကို ရှေ့နောက်ညီညွတ်စွာ မိတ္တူကူးခြင်းနှင့် ပေါင်းထည့်ခြင်းများ ပြုလုပ်နိုင်ကြောင်း ရိုးရှင်းစွာ ဖော်ပြသည့် မျဉ်းပိုင်းများအတွက် ဟီလ်ဘတ်၏ ထပ်တူညီခြင်း နဂိုမှန်အဆိုများဖြစ်သော C1၊ C2 နှင့် C3 တို့ကို ပြည့်စုံစေသော်လည်း တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) ကို ချိုးဖောက်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် အနား-ထောင့်-အနား (Side-Angle-Side) နဂိုမှန်အဆိုကို မအောင်မြင်စေပေ။

ကိုဩဒိနိတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Coordinate Transformations and Topology)

ကိုဩဒိနိတ်များ ပြောင်းလဲခြင်း (Change of Coordinates)

ဖွဲ့စည်းပုံများအကြား သင်္ချာဆိုင်ရာ ပုံဖော်မှုသည် ကိုဩဒိနိတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများအပေါ် မှီခိုသည်။ ရပ်ဝန်းတစ်ခုမှ ၎င်းကိုယ်တိုင်ဆီသို့ မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်း (linear transformation) တစ်ခုကို ရွေးချယ်ထားသော အခြေအစုတစ်ခုနှင့် နှိုင်းယှဉ်၍ $n\times n$ ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုဖြင့် ဖော်ပြသည်။ အကယ်၍ ကိန်းအုံ $A$ သည် အခြေအစုအဟောင်းတစ်ခုရှိ အသွင်ပြောင်းခြင်းကို ဖော်ပြပြီး $D$ သည် အခြေအစုအသစ်တစ်ခုမှ အဟောင်းတစ်ခုဆီသို့ ကူးပြောင်းမှုကို (transition) ဖော်ပြပါက ထိုပုံဖော်မှုကို စနစ်သစ်တွင် $D^{-1}AD$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ မက်ထရစ် ကိန်းအုံများဖြစ်သော $G$ များသည် $D^{T}GD$ ဆီသို့ ထပ်တူညီစွာ အသွင်ပြောင်းသွားသည်။

အခြေခံ အသွင်ပြောင်းခြင်းများတွင် အောက်ပါတို့ ပါဝင်သည်။

• ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်းများ (Translations) - အက္ခရာသင်္ချာနည်းအရ $x^{\prime }=x+a$ နှင့် $y^{\prime }=y+b$ ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပြီး တိကျသော ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်းကို ထုတ်လုပ်ပေးသည်။
• လှည့်ခြင်းများ (Rotations) - ထောင့် $\alpha$ ဖြင့် မူလနေရာကို လှည့်ခြင်းသည် တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များ (trigonometric functions) ကို အသုံးပြုသည်။ ၎င်းပုံသေနည်းများမှာ $x^{\prime }=x\cos \alpha -y\sin \alpha$ နှင့် $y^{\prime }=x\sin \alpha +y\cos \alpha$ တို့ဖြစ်ကြသည်။ သို့မဟုတ်ပါက တြီဂိုနိုမေတြီ ကင်းမဲ့သော အက္ခရာသင်္ချာသီးသန့် ထပ်တူညီသည့် ပုံစံများကို အသုံးပြုသည်။ ကွန်ပျူတာ ပရိုဂရမ်ရေးဆွဲခြင်းနှင့် ဗီဒီယိုဂိမ်း ဖန်တီးခြင်းတို့တွင် ဤကိန်းအုံများကို အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ဇာတ်ကောင်များကို ရွှေ့ပြောင်းရန် သို့မဟုတ် လှည့်ရန်အတွက် အမြဲတစေ အသုံးပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိုဩဒိနိတ် အမှတ် $(1,0)$ ကို ၉၀ ဒီဂရီ လက်ယာရစ်ဆန့်ကျင်ဘက် လှည့်ခြင်း (counterclockwise rotation) ပြုလုပ်ရာတွင် ၎င်းကို အသွင်ပြောင်း ကိန်းအုံ (transformation matrix) ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ ဖြင့် မြှောက်ခြင်းအားဖြင့် သင်္ချာနည်းအရ $(0,1)$ သို့ အသွင်ပြောင်းသွားစေသည်။

ဤတွက်ချက်မှုများသည် အချိုးညီသော အမြင်နှစ်ခုကို ထုတ်ပေးသည်။ ၎င်းတို့မှာ အခြေခံ မူလနေရာ သို့မဟုတ် ဝင်ရိုးများကို ရွှေ့ပြောင်းပေးသော ပုံသေ တွက်ချက်မှုများနှင့် ကိုဩဒိနိတ်အသစ်များကို မူလ ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ တည်နေရာများဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော လှုပ်ရှား တွက်ချက်မှုများ ဖြစ်ကြသည်။

တိုပေါ်လော်ဂျီ နှင့် မန်နီဖိုးများ (Topology and Manifolds)

အဆင့်မြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ သီအိုရီ (topological theory) တွင် ပြင်ညီကို ကိန်း-ပြင်ညီ တစ်ခုအပေါ်သို့ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းရှိသည့် နည်းလမ်းဖြင့် ပုံဖော်ပေးသော အမှတ်များ၏ စနစ်တစ်ခုအဖြစ် အခြေခံအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ မန်နီဖိုးများသည် ဒေသအလိုက် အမှတ်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ကိုဩဒိနိတ်တစ်စုံကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးရန် ကိုဩဒိနိတ် ပုံဖော်မှု သို့မဟုတ် မြေပုံချပ် (chart) တစ်ခုအပေါ် မှီခိုသည်။ ဤပုံဖော်မှုသည် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အဖွင့်စုပိုင်းမှ ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်းတစ်ခု၏ အဖွင့်စုပိုင်းဆီသို့ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် (homeomorphism) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ရှုပ်ထွေးသော တည်ဆောက်ပုံများကို အလုံးစုံ ကိုဩဒိနိတ်စနစ်တစ်ခုတည်းဖြင့် ဖုံးအုပ်၍မရနိုင်သောကြောင့် ထပ်နေသော ကိုဩဒိနိတ် ပုံဖော်မှုများ၏ စုစည်းမှုများကို ပေါင်းစပ်၍ မြေပုံစု (atlas) တစ်ခု ဖွဲ့စည်းသည်။ ဤသို့ဖြင့် ရပ်ဝန်းကို မန်နီဖိုးတစ်ခုအဖြစ် ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ပေးသည်။

သရုပ်မဲ့ ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ နှင့် စံမဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီများ (Abstract Generalizations and Non-Standard Geometries)

ဖီးလ်ဒ်များ နှင့် တည်ဆောက်နိုင်စွမ်း (Fields and Constructibility)

ကာတီးရှန်း သဘောတရားသည် ကိန်းစစ်များအပြင် မည်သည့် သရုပ်မဲ့ ဖီးလ်ဒ်သို့မဆို ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ ထိုဖီးလ်ဒ်တွင် အမှတ်တစ်ခုသည် ထိုဖီးလ်ဒ်၏ အစုဝင်များဖြစ်သော $F^{2}$ အစုမှ အစီအစဉ်ကျအတွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုလေးခုနှင့် ${\sqrt {1+\omega ^{2}}}$ တွက်ချက်မှုတို့ဖြင့် တိကျစွာ ရရှိလာသော အက္ခရာသင်္ချာ ဒိုမိန်း $\Omega$ မှနေ၍ ကိုဩဒိနိတ် မော်ဒယ်တစ်ခုကို တည်ဆောက်နိုင်သည်။

ပေတံနှင့် ကွန်ပါကိုသာ အသုံးပြု၍ ဂျီဩမေတြီနည်းအရ တည်ဆောက်နိုင်သော အမှတ်များ၏ ကိုဩဒိနိတ်များသည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဆက်တိုက်ဖြစ်နေသော ဒုတိယထပ်ကိန်း တိုးချဲ့ချက်များ (quadratic extensions) တွင် တည်ရှိသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုရှုထောင့်အရ ပေးထားသော အမှတ်များ၏ ကိုဩဒိနိတ်များကို ရှာဖွေရသည့် ဂျီဩမေတြီ ပြဿနာသည် အတိုင်းအတာ $2^{n}$ ခုရှိသော ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension of degree $2^{n}$) အတွင်း တည်ရှိနေခြင်းသည် ယင်းသို့ တည်ဆောက်ခြင်းများ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် $\mathbb {Q}$ ဖြင့် ကန့်သတ်ထားသော ကာတီးရှန်း ပြင်ညီသည် မျဉ်း-စက်ဝိုင်း ဖြတ်သန်းခြင်း ဂုဏ်သတ္တိများကို မအောင်မြင်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် တြိဂံတစ်ခု၏ အောက်ခြေကို $(0,0)$ နှင့် $(1,0)$ တို့တွင် ထားရှိပါက အထက် ထိပ်စွန်းမှတ် (vertex) သည် ကိုဩဒိနိတ် $({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}})$ တွင် တည်ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ${\sqrt {3}}$ သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) တစ်ခုဖြစ်သောကြောင့် ဂျီဩမေတြီသည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများကိုသာ တိကျစွာ ကန့်သတ်ထားပါက ဤကိုဩဒိနိတ်သည် ရုပ်ပိုင်းဆိုင်ရာအရ တည်ရှိမည်မဟုတ်ပေ။

ဖလှယ်၍မရသော ဖီးလ်ဒ်များ (Non-Commutative Fields)

အကယ်၍ ကိုဩဒိနိတ် ဖီးလ်ဒ် $k$ သည် ဖလှယ်၍မရသော သဘောသဘာဝရှိပါက ၎င်းသည် တိမ်းစောင်း ဖီးလ်ဒ် (skew field) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပုံဖော်မှုများကို ဘယ်ဘက် သို့မဟုတ် ညာဘက်တွင် ရေးသားရန် ရွေးချယ်ခြင်းသည် ကွဲပြားပြီး ပြောင်းပြန် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော (anti-isomorphic) ဂျီဩမေတြီနှစ်ခုကို ထုတ်လုပ်ပေးသည်။ ဘယ် ဂျီဩမေတြီတွင် ဖြောင့်တန်းသော မျဉ်းများသည် $xa+yb+c=0$ ပုံစံကို ယူကြပြီး ညာ ဂျီဩမေတြီတွင်မူ $ax+by+c=0$ ကို အသုံးပြုသည်။ အခြေခံ ဖီးလ်ဒ် $k$ သည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိရှိခြင်းသည် ဤဂျီဩမေတြီများ ဂျီဩမေတြီနည်းအရ ထပ်တူကျရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ ၎င်းအချက်သည် ပက်ပတ်စ် ၏ သီအိုရမ် (Pappus's theorem) မှန်ကန်ခြင်းနှင့် တိုက်ရိုက် ထပ်တူညီသည်။ ဟီလ်ဘတ် သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဖလှယ်ရ နိယာမ (commutative law of multiplication) ကို ဖယ်ချန်ထားသည့် ဒေဆာ့ဂ် ကိန်းစနစ် ကို အသုံးပြု၍ ရပ်ဝန်းအတွင်းရှိ ကိုဩဒိနိတ်များကို အလားတူ သရုပ်ပြခဲ့သည်။

အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်သော ကိုဩဒိနိတ်များ (Non-Archimedean Coordinates)

ကိုဩဒိနိတ်များသည် ပမာဏ (magnitude) အားဖြင့် အစဉ်လိုက် စီစဉ်နိုင်သော်လည်း အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်သော နဂိုမှန်အဆိုကို တမင်တကာ ချိုးဖောက်ထားသော အက္ခရာသင်္ချာ ဖန်ရှင်များ၏ ဒိုမိန်း $\Omega (t)$ တွင် ပါဝင်သည့် မှန်ကန်သော ဂျီဩမေတြီတစ်ခုကိုလည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် မည်သည့် ကိန်းပြည့်ဖြင့် မြှောက်ထားသော ကိုဩဒိနိတ် မျဉ်းပိုင်းမဆို အခြား ကိုဩဒိနိတ် မျဉ်းပိုင်းတစ်ခုထက် ဆက်လက်၍ ပိုငယ်နေနိုင်သည်။

သီးသန့်ပြုလုပ်ထားသော စနစ်များ နှင့် အသုံးချမှုများ (Specialized Systems and Applications)

• မျဉ်းကွေး ကိုဩဒိနိတ်များ (Curvilinear coordinates) - ဖြောင့်တန်းသော မျဉ်းများအစား မျဉ်းကွေးများ၏ ဖြတ်သန်းခြင်းအပေါ် အခြေခံ၍ ရပ်ဝန်းဆိုင်ရာ ဂရစ်ကွန်ရက်များကို တည်ဆောက်သည်။ ကိုဩဒိနိတ် မျက်နှာပြင်များသည် ထောင့်မှန်ကျစွာ ဆုံတွေ့ပါက ၎င်းတို့ကို ထောင့်မှန်ကျစနစ်အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး စောင်းလျဉ်းစွာ ဖြတ်သန်းပါက တိမ်းစောင်းစနစ်အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
• ပလပ်ကာ ကိုဩဒိနိတ်များ (Plücker coordinates) - ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်းရှိ မျဉ်းများကို တစ်ပြေးညီ ၆-ခုတွဲတစ်ခုမှတစ်ဆင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။
• ဘယ်ရီဆန်ထရစ် နှင့်မျဉ်းသုံးကြောင်းအခြေပြု စနစ်များ (Barycentric and Trilinear systems) - တြိဂံများကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရန်အတွက် အထူး ဖန်တီးထားသည်။
• ထောင့်မှန်ကျ နှင့် ဆင်ပလက်တစ် အခြေအစုများ (Orthogonal and Symplectic Bases) - ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ဆင်ပလက်တစ် ရပ်ဝန်းများတွင် (symplectic spaces) ကိုဩဒိနိတ်များကို ထောင့်မှန်ကျသော ဟိုက်ပါဘောလစ် စုံတွဲများ အပေါ် အခြေခံ၍ ရွေးချယ်နိုင်သည်။ ယင်းက $2\times 2$ အကွက်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော မက်ထရစ် ကိန်းအုံများကို ထုတ်ပေးသည်။

မက္ကင်းနစ် ဘာသာရပ်တွင် ယေဘုယျပြုထားသော ကိုဩဒိနိတ်များနှင့် (generalized coordinates) ပုံမှန် ကိုဩဒိနိတ်များကို (canonical coordinates) လာဂရန်ဂျီယန် နှင့် ဟာမီတိုနီယန် ချဉ်းကပ်မှုများ၌ (Lagrangian and Hamiltonian approaches) တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်စွာ အသုံးပြုသည်။ ဤဖွဲ့စည်းပုံများသည် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ ရွေ့လျားမှုဗေဒ (kinematics) ဆီသို့ တိုက်ရိုက် ပုံဖော်ပေးကာ ဒေသအလိုက် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (local transformations) နှင့် ဦးတည်ချက် ကိန်းအုံများမှတစ်ဆင့် ပုံသေကိုယ်ထည် ရွေ့လျားပြောင်းလဲမှု (rigid body dynamics) ကို ခြေရာခံပေးသည်။ ကြီးမားသော အတိုင်းအတာဖြင့် အသုံးချမှုများတွင် ဂြိုဟ်ဆိုင်ရာ လတ္တီတွဒ်များအတွက် ပထဝီဝင် ကိုဩဒိနိတ်စနစ်များနှင့် (geographic coordinate systems) GPS လမ်းကြောင်းရှာဖွေရေးအတွက် အရေးပါသော ကမ္ဘာဗဟိုပြု ကာတီးရှန်း ဖွဲ့စည်းပုံများ (Earth-centered Cartesian structures) ပါဝင်သည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ဂျီဩမေတြီသည် ကိုဩဒိနိတ် ကင်းစင်သော ပင်ကို ညီမျှခြင်းများကို (intrinsic equations) အသုံးပြုနိုင်သည်။ ဝှီးဝဲလ် (Whewell) နှင့် ဆီဇာရို (Cesàro) ညီမျှခြင်းများသည် ယင်းသို့သော ညီမျှခြင်းများ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် မျဉ်းကွေးအလျား (arc length) နှင့် ကွေးညွှတ်မှု (curvature) ကဲ့သို့သော မပြောင်းလဲသော ပမာဏများမှတစ်ဆင့် မျဉ်းကွေးများကို တိကျစွာ ဖော်ပြသည်။