အိုင်ဂန်ဖန်ရှင်

အိုးစည်မျက်နှာပြင်ဖှန်ရှင် (vibrating drum problem) သည် ၎င်းအပေါ် လက်ပလေ့စ် လုပ်ဆောင်ချက် ပြုလုပ်ပြီးနောက် ပင်ကိုဖှန်ရှင်၏ ဆပြောင်းရလဒ်မျိုးသာ ထွက်ပေါ်သဖြင့် အိုင်ဂန်ဖှန်ရှင် (ဆပြောင်းဖှန်ရှင်) ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်ပေမည်။

အိုင်ဂန်ဖှန်ရှင် (သို့) ဆပြောင်းဖှန်ရှင် ^{(p-သံ မဟုတ်ဘဲ f-သံ အဖြစ်နှာမှုတ်သံ ပါကြောင်းကို ဟထိုးဖြင့် စနစ်တကျဖော်ပြလျက်)} (အင်္ဂလိပ်: eingenfunction သို့မဟုတ် eingen function) ဆိုသည်မှာ ၎င်းအပေါ်ကို အချို့သော လုပ်ဆောင်ချက် (operator)တို့ သက်ရောက်လိုက်လျှင်လည်း ဖန်ရှင်အသစ်သဖွယ် မဖြစ်ဘဲ ပင်ကိုဖှန်ရှင်ကို စကေလာ (သို့) မြှောက်ဖော်ကိန်းထီး တစ်ခုဖြင့် မြှောက်ထားသကဲ့သို့သာ ရလဒ်ထွက်ပေါ်သော ဖှန်ရှင်မျိုး ဖြစ်သည်။ သင်္ချာဇာတ်ကောင်တစ်ခုကို ကိန်းထီးဖြင့် မြှောက်ခြင်းမှာ ဆပြောင်းခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ (ဥပမာအားဖြင့် 2 နှင့် မြှောက်လိုက်ခြင်းသည် ၂ဆ ဖြစ်စေခြင်း၊ ½ နှင့် မြှောက်လိုက်ခြင်းသည် ဆဝက် ဖြစ်စေခြင်း၊ $-1$ နှင့် မြှောက်လိုက်ခြင်းသည် ပင်ကို တစ်ဆအတိုင်းပင် ဆန့်ကျင်ဘက် လားရာ ရှိစေခြင်း ဖြစ်၏။) ထို့ကြောင့် အိုင်ဂန်ဖှန်ရှင်ကို ဘာသာပြန်လိုလျှင် ဆပြောင်းဖှန်ရှင် ဟု ပြန်ဆိုနိုင်သည်။

သင်္ချာစကားဖြင့်လျှင် D က တည့်တိုးဆက်သွယ်ချက် ရှိသော လုပ်ဆောင်ချက် (linear operator) ဖြစ်ပြီး $f$ က (သုည မဟုတ်သော) အိုင်ဂန်ဖှန်ရှင်တခု ဆိုအံ့၊ ၎င်းအိုင်ဂန်ဖှန်ရှင်အပေါ် ၎င်းလုပ်ဆောင်ချက် သက်ရောက်လိုက်လျှင် -

$$Df=\lambda f$$

ဤသို့ ထွက်ပေါ်မည်။ $\lambda .$ ဟု ပြထားသည်က အထက်တွင် ဆိုခဲ့သော မြှောက်ဖော်ကိန်း (သို့) ဆပြောင်းကိန်း (သို့) စကေလာ ဖြစ်ပြီး ဤဖြစ်စဉ်မျိုးတွင် အိုင်ဂန်တန်ဖိုး (eingenvalue) ဟု ခေါ်သည်။

ဥပမာ

ကိန်းအုံများဖြင့်

v က (သုည မဟုတ်သော) ဗှတ္တာအဖြစ် တိုင်ထီးကိန်းအုံ (column vector) ဖြစ်ကာ T က တည့်တိုးဆက်သွယ်ချက် ရှိသည့် လုပ်ဆောင်ချက်အဖြစ် ထောင့်စက် ကိန်းအုံ ဖြစ်လျှင် -

$$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$$

ဟု ထွက်ပေါ်ကာ $\lambda .$ က အိုင်ဂန်တန်ဖိုးအဖြစ် ဆပြောင်းကိန်း (စကေလာ) ဖြစ်သည်။

ကွမ်တမ်သုံးသင်္ချာဖြင့်

$e^{kx}$ က ${\frac {\partial }{\partial x}}$ ဟူသော လုပ်ဆောင်ချက်နှင့် တွဲလျှင် အိုင်ဂန်ဖှန်ရှင် တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် -

$${\frac {\partial e^{kx}}{\partial x}}=ke^{kx}$$

ဟု အိုင်ဂန်တန်ဖိုး (ဆပြောင်းကိန်း) $k$ မြှောက်ထားသည့် မူရင်း $e^{kx}$ အဖြစ် ရလဒ်ထွက်သောကြောင့်ဖြစ်သည်။
ကွမ်တမ် သဘောယန္တရားတွင် လှိုင်းသရုပ် (wavefunction) များမှာ အိုင်ဂန်ဖှန်ရှင်ဖြစ်လျက် တန်ဖိုးအနန္တသို့ မချဉ်းကပ်သော (well-defined)၊ ခုချင်းအလွားကုန်သော (bijective) စသည့် သဘောသတ္တိတို့လည်း ရှိရသည်။