ဖန်ရှင်

ဖန်ရှင်များ
အခြေခံ သဘောတရားများ အရင်းအမြစ်စု ပစ်မှတ်စု ပုံရိပ် မူလပုံရိပ် ဖန်ရှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်
ဖန်ရှင် အမျိုးအစားများ အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် စုံကိန်းဖန်ရှင်နှင့် မကိန်းဖန်ရှင် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ
အခြေခံ ဖန်ရှင်များ ပိုလီနိုမီရယ် ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် လော့ဂရစ်သမ် ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း ဖန်ရှင်များ
ပုံဖော်မှု နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု အပေါင်းအခြေခံ ပုံဖော်မှု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်

$X$ မှ $Y$ သို့ သွားသော ဖန်ရှင် (function) $f$ တစ်ခု။ အနီရောင် ဘဲဥပုံ $X$ အတွင်းရှိ အမှတ်များအစု (set) သည် $f$ ၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) ဖြစ်သည်။ အပြာရောင် ဘဲဥပုံ $Y$ အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် $f$ ၏ ပစ်မှတ်စု (codomain) ဖြစ်သည်။ အဝါရောင် ဘဲဥပုံအတွင်းရှိ အမှတ်များအစုသည် $f$ ၏ ပုံရိပ်အစု သို့မဟုတ် ပုံရိပ် (range or image) ဖြစ်သည်။

သင်္ချာတွင် အစု $X$ နှင့် $Y$ ကြားရှိ ဖန်ရှင် $f:X\to Y$ သည် $X$ အတွင်းရှိ အစုဝင် (element) $x$ တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် $Y$ အတွင်းရှိ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) အစုဝင် $f(x)$ တစ်ခုစီကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ဖန်ရှင်များကို ပုံဖော်မှုများ (mappings) သို့မဟုတ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) ဟူ၍လည်း အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ခေါ်ဆိုကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) $f:X\to Y,\quad x\mapsto f(x)$ သည် ဖန်ရှင် $f$ က အစုဝင် $x$ ကို $f(x)$ သို့ ပုံဖော်ပေးကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများတိကျစွာ စာရင်းချပြခြင်းဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တစ်ခုကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ညီမျှခြင်း (equality) သဘောတရားကို အခြေခံအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့် $x_{1},x_{2}\in X$ အတွက်မဆို $x_{1}=x_{2}$ ဖြစ်ပါက $f(x_{1})=f(x_{2})$ ဖြစ်ပေါ်စေမည်ဖြစ်သည်။

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (Category theory) တွင် အစုများ အားလုံးနှင့် ၎င်းတို့ကြားရှိ ဖန်ရှင်များကို စုစည်းလိုက်သောအခါ အစုများ ကတ်တဂိုရီ (category of sets) ကို ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ၎င်းကို $\mathbf {Set}$ ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အစုများကို ဤကတ်တဂိုရီ၏ အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး ဖန်ရှင်များကိုမူ ထိုအရာဝတ္ထုများကြားရှိ မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) သို့မဟုတ် မြားများ (arrows) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

သမိုင်းကြောင်းဆိုင်ရာ တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှု (Historical Evolution)

ဖန်ရှင်ဆိုင်ရာ မှီခိုမှု (functional dependence) ဟူသော သဘောတရားသည် $17$ ရာစုတွင် ဖဲမ၊ ဒေကားတ်၊ နယူတန်နှင့် လိုက်ဘ်နစ်ဇ်တို့၏ လေ့လာတွေ့ရှိချက်များမှတစ်ဆင့် သီးခြားရပ်တည်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခုအဖြစ် စတင်ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ လိုက်ဘ်နစ်ဇ်သည် ဖန်ရှင်ဟူသော ဝေါဟာရကို စတင်သုံးစွဲခဲ့သူဖြစ်သည်။ $18$ ရာစုအရောက်တွင် ဘာနူးလီနှင့် အွိုင်လာတို့က ဖန်ရှင်များကို ကိန်းရှင်များ (variables) နှင့် ကိန်းသေများ (constants) ပေါင်းစပ်ဖွဲ့စည်းထားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်များ (mathematical expressions) အဖြစ် ပုံစံတကျ (formally) ဖွဲ့စည်းခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် လိုဘာချက်ဗ်စကီးနှင့် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေးတို့က ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ရန်အတွက် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ပုံသေနည်း (analytic formula) တစ်ခု မဖြစ်မနေ လိုအပ်သည်ဟူသော တင်းကျပ်သည့်ကန့်သတ်ချက်ကို အတိအလင်း ဖယ်ရှားပေးခဲ့ကြသည်။ $1888$ ခုနှစ်တွင် ဒက်ဒီကင်းက ဖန်ရှင်ဆိုသည်မှာ အလိုရှိရာ အစုများ (arbitrary sets) အကြားရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း ခေတ်သစ် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို (formal definition) ခိုင်မာစွာ အတည်ပြုပေးခဲ့သည်။

နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော အစုသီအိုရီ (axiomatic set theory) မပေါ်ပေါက်မီက ပုံစံတကျမဟုတ်သော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များသည် သင်္ချာနည်းကျ လုံလောက်မှုမရှိခဲ့ပေ။ ဥပမာအားဖြင့်

• ဖန်ရှင်တစ်ခုကို အက္ခရာသင်္ချာ စည်းမျဉ်း (algebraic rule) တစ်ခု သို့မဟုတ် ပုံစံတကျ ဖော်ပြချက် (formal expression) အဖြစ် သတ်မှတ်မည်ဆိုပါက မှားယွင်းမည်ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ပုံစံတကျ ဖော်ပြချက်များအစုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) သာဖြစ်ပြီး $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ဖန်ရှင်များအစုကမူ ရေတွက်၍မရသောအစု (uncountable set) ဖြစ်နေသောကြောင့်ဖြစ်သည်။
• ထို့အတူ ဖန်ရှင်ကို မျဉ်းကွေး (curve) တစ်ခုအဖြစ် ဂျီဩမေတြီနည်းအရ သတ်မှတ်ခြင်းသည်လည်း ချောမွေ့မှုမရှိသော သို့မဟုတ် အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ပုံဖော်မှုများ (discontinuous mappings) တွင် အသုံးမဝင်ပေ။ ၎င်းအပြင် မျဉ်းကွေးဆိုသည်မှာ ကိုယ်တိုင်က တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်မထားသော ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ သဘောတရား (geometric concept) တစ်ခုသာ ဖြစ်နေသည်။
• ထို့အပြင် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်အများစုတွင် အနန္တ (infinite) ဖြစ်သော တန်ဖိုးအရေအတွက်များ ပါဝင်လေ့ရှိသောကြောင့် ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တန်ဖိုးများပါဝင်သည့် ဇယား (table of values) တစ်ခုဖြင့် တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်ရန်မှာလည်း မဖြစ်နိုင်ပေ။

ဖန်ရှင်ဟူသော အယူအဆသည် အစုသီအိုရီမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သော်လည်း ချာ့ခ်ျကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များကမူ ဖန်ရှင်ဆိုသော သဘောတရားသည် အလွန်အခြေခံကျလွန်းသဖြင့် ၎င်းကို ပရစ်မစ်တစ် (primitive) အဖြစ် သို့မဟုတ် အဓိပ္ပာယ်သီးခြားဖွင့်ဆိုရန်မလိုသော အခြေခံသဘောတရား (undefinable) အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်ကြောင်း အဆိုပြုခဲ့ကြသည်။ ဤဖန်ရှင်သဘောတရား၏ ဆင့်ကဲတိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုသည် နောက်ဆုံးတွင် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီအတွက် လမ်းစဖွင့်ပေးနိုင်ခဲ့သည်။ ထိုသီအိုရီတွင် ဖန်ရှင်များနှင့် ၎င်းတို့ကို ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (compositions) က နေရာတိုင်းတွင် တွေ့ရှိရသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများကို (algebraic structures) ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းပေးထားသည်။

အခြေခံ ဝေါဟာရများ (Basic Terminology)

• အရင်းအမြစ်စု (Domain) $X$ - ဖန်ရှင် $f$ ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အစုဖြစ်သည်။
• ပစ်မှတ်စု (Codomain) $Y$ - ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများ ကျရောက်နိုင်သော အစုဖြစ်သည်။
• ပုံရိပ်အစု သို့မဟုတ် ပုံရိပ် (Range or Image) $\operatorname {im} (f)$ - ဖန်ရှင်က ပုံဖော်ပေးလိုက်သော တိကျသည့် တန်ဖိုးများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $\operatorname {im} (f)=\{y\in Y\mid \exists x\in X:y=f(x)\}$ ဟု သတ်မှတ်သည်။
  အကျယ်တဝင့် ဖော်ပြထားသောဆောင်းပါး - ပုံရိပ် နှင့် မူလပုံရိပ်

ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စုကို $\operatorname {dom} (f)$ ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်း၏ ပုံရိပ်ကို $\operatorname {im} (f)$ ဟု သင်္ကေတပြုသည်။

ပုံသေနည်း (formula) တစ်ခုသည် သတ်မှတ်ပေးထားသော အရင်းအမြစ်စု $X$ နှင့် ပစ်မှတ်စု $Y$ တို့အပေါ် မူတည်၍ ကွဲပြားသော ဖန်ရှင်များအဖြစ် သင်္ချာနည်းကျ သက်ရောက်မှုရှိသည်။ ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်များ (rational functions) သည် သုညဖြင့်စားခြင်း (division by zero) ကို ရှောင်ရှားရန် အရင်းအမြစ်စုများကို ကန့်သတ်ထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $x\mapsto (3x^{2}-1)/(x^{2}-3x+2)$ သည် $\mathbb {R} \setminus \{1,2\}\to \mathbb {R}$ သို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ပြောင်းပြန် တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များ (inverse trigonometric functions) မှ ဥပမာ $\arcsin x$ ၏ ပစ်မှတ်စုများကို $[-\pi /2,\pi /2]$ အဖြစ် ကန့်သတ်ထားသည်။ ဤသည်မှာ တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းရှိသော ပုံဖော်မှု (single-valued mapping) အဖြစ် ထိန်းသိမ်းထားရန်ဖြစ်သည်။

ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal Definition)

နဂိုမှန်အဆိုနည်းကျ ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခြင်း (axiomatic formalization) သည် $x\in A$ ဟူသော အစုဝင်ဖြစ်မှု (membership)၊ $A=B\iff (x\in A\iff x\in B)$ ဟူသော အစုကျယ်ပြန့်မှု (extensionality) အားဖြင့် ညီမျှခြင်း သဘောတရားနှင့် $\{a,b\}$ တည်ရှိကြောင်း အခိုင်အမာဆိုသော အတွဲဖွဲ့ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (axiom of pairing) တို့ကို အသုံးပြု၍ ဖန်ရှင်များကို တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

စံဖြစ်သော ကူရာတော့ဗ်စကီး အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pair) $\langle a,b\rangle$ ကို $\{\{a\},\{a,b\}\}$ ဟူသော အစုအဖြစ် တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်သည်။ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (Cartesian product) $X\times Y$ ဆိုသည်မှာ $x\in X$ နှင့် $y\in Y$ ဖြစ်သော ထိုသို့သောအစီအစဉ်ကျအတွဲများ အားလုံးပါဝင်သည့် အစုဖြစ်သည်။

ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ဖန်ရှင် $f:X\to Y$ သည် တိကျသော နှစ်လုံးသွင်းဆက်သွယ်ချက် (binary relation) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် $X\times Y$ ၏ အစုပိုင်း (subset) $S\subseteq X\times Y$ ဖြစ်ပြီး ၎င်းတွင် $X$ အတွင်းရှိ $x$ တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ပထမအစိတ်အပိုင်းအဖြစ် $x$ ပါဝင်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ $\langle x,y\rangle$ တစ်ခုတည်းသီးသန့် (exactly one) ပါဝင်သည်။ ဒုတိယအစိတ်အပိုင်းကို $y=f(x)$ ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းအစုပိုင်း $S$ ကို ဖန်ရှင်၏ ဂရပ် (graph) အဖြစ် အတိအလင်း သတ်မှတ်သည်။

မည်သည့် $x\in \operatorname {dom} (f)$ အတွက်မဆို ၎င်းနှင့်ဆက်စပ်နေသော တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အရာဝတ္ထု $y$ သည် $x$ ရှိ $f$ ၏ တန်ဖိုးဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $f(x)$ သို့မဟုတ် $f_{x}$ ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ အကယ်၍ $x\notin \operatorname {dom} (f)$ ဖြစ်ပါက $f(x)$ ဟူသော တန်ဖိုးကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်မထားပေ။ $\operatorname {dom} (f)=X$ နှင့် $\operatorname {im} (f)\subseteq Y$ ဖြစ်ပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို $f:X\to Y$ သို့မဟုတ် $(f(x))_{x\in X}$ သို့မဟုတ် $(f_{x})_{x\in X}$ ဟု သတ်မှတ်သည်။

ဖန်ရှင်နှစ်ခုသည် တူညီသော အရင်းအမြစ်စု၊ တူညီသော ပစ်မှတ်စုနှင့် တူညီသော ဂရပ် သို့မဟုတ် တန်ဖိုးများ တို့ ရှိမှသာလျှင် သင်္ချာနည်းအရ ညီမျှသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ အစုသီအိုရီ၏ အစုကျယ်ပြန့်မှု နဂိုမှန်အဆိုအရ $f$ နှင့် $g$ ဖန်ရှင်နှစ်ခုသည် $\operatorname {dom} (f)=\operatorname {dom} (g)$ ဖြစ်ပြီး မည်သည့် $x\in \operatorname {dom} (f)$ အတွက်မဆို $f(x)=g(x)$ ဖြစ်မှသာလျှင် $f=g$ ထပ်တူညီကြသည်။

ဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties of Functions)

အကျယ်တဝင့် ဖော်ပြထားသောဆောင်းပါးများ - အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်, ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်, နှင့် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်

ဖန်ရှင် $f$ တစ်ခုနှင့် အစု $X$, $Y$ တို့အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။

• $\operatorname {dom} (f)=X$ ဖြစ်ပါက $f$ သည် $X$ အပေါ်ရှိ ဖန်ရှင် (function on $X$) ဖြစ်သည်။
• $\operatorname {im} (f)\subseteq Y$ ဖြစ်ပါက $f$ သည် $Y$ အတွင်းသို့ ဖန်ရှင် (function into $Y$) ဖြစ်သည်။

အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်များက ပစ်မှတ်စုသို့ မည်သို့ပုံဖော်သည်ဆိုသည့်အချက်အပေါ် မူတည်၍ ဖန်ရှင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။

အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်သော ဖန်ရှင် (non-injective function)

• အင်ဂျက်တစ် (Injective) - အစု $X$ ၏ မတူညီသော အစုဝင်များကို $Y$ ၏ မတူညီသော အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ အကယ်၍ $x_{1}\neq x_{2}$ ဖြစ်ပါက $f(x_{1})\neq f(x_{2})$ ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $f(x_{1})=f(x_{2})\implies x_{1}=x_{2}$ ဖြစ်ရမည်။ ၎င်းကို တစ်-တစ် ဖန်ရှင် (one-to-one function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ ဗလာမဟုတ်သော အရင်းအမြစ်စုရှိသည့် ဖန်ရှင်တစ်ခုတွင် ဘယ်ပြောင်းပြန် (left inverse) တစ်ခု ရှိမှသာလျှင် ၎င်းဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည်။
• ဆာဂျက်တစ် (Surjective) - ဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်သည် ပစ်မှတ်စု တစ်ခုလုံးနှင့် ညီမျှနေသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် $\operatorname {im} (f)=Y$ ဖြစ်သည်။ $Y$ အတွင်းရှိ မည်သည့် အစုဝင် $y$ အတွက်မဆို $y=f(x)$ ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် $x$ တစ်ခု $X$ အတွင်း အမြဲတမ်းတည်ရှိသည်။ ၎င်းကို လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် (onto function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (axiom of choice) အရ ဗလာမဟုတ်သော အရင်းအမြစ်စုရှိသည့် မည်သည့် ဆာဂျက်တစ်ဖန်ရှင်တွင်မဆို ညာပြောင်းပြန် (right inverse) တစ်ခု အမြဲရှိကြောင်း အခိုင်အမာဆိုထားသည်။
• ဘိုင်ဂျက်တစ် (Bijective) - အင်ဂျက်တစ်လည်းဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်လည်းဖြစ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ဤပုံဖော်မှုတွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် ပြောင်းပြန် (unique two-sided inverse) တစ်ခု ရှိသည်။

ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဝေါဟာရများ (Homomorphisms and Categorical Terminology)

ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Homomorphisms) သည် အခြေခံ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများကို ထိန်းသိမ်းထားသော ဖန်ရှင်များဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ၎င်းတို့သည် $t(g_{1}g_{2})=t(g_{1})t(g_{2})$ ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ တိကျခိုင်မာသော ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (categorical algebra) သည် ပုံဖော်မှုများကို တင်းကျပ်သော အစုဝင်များဖြင့် သတ်မှတ်မည့်အစား ချေဖျက်ခွင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (cancellation properties) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

• မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism) - ၎င်းကို $t\circ g_{1}=t\circ g_{2}\implies g_{1}=g_{2}$ ကဲ့သို့သော ဘယ်ဘက်မှ ချေဖျက်နိုင်သော ဂုဏ်သတ္တိ (left-cancellation property) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အစုများ ကတ်တဂိုရီ အတွင်းရှိ အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်တစ်ခုနှင့် တိတိကျကျ ထပ်တူညီသည်။
• အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism) - ၎င်းကို $g_{1}\circ t=g_{2}\circ t\implies g_{1}=g_{2}$ ကဲ့သို့သော ညာဘက်မှ ချေဖျက်နိုင်သော ဂုဏ်သတ္တိ (right-cancellation property) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် အစုများ ကတ်တဂိုရီတွင် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင်တစ်ခုနှင့် ထပ်တူညီသော်လည်း နေရာတိုင်းတွင် ထပ်တူညီခြင်းမရှိပေ။ ဥပမာအားဖြင့် ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ သည် တင်းကျပ်စွာ ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်သော်လည်း ကွင်းများ ကတ်တဂိုရီ (category of rings) အတွင်း၌မူ အပီမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။
• အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ၊ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Isomorphisms, Endomorphisms, Automorphisms) - ၎င်းတို့မှာ အသီးသီးအားဖြင့် တည်ဆောက်ပုံကို ထိန်းသိမ်းထားသော ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှုများ (bijective structure-preserving maps)၊ မိမိကိုယ်တိုင်သို့ ပုံဖော်သော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (self-mapping homomorphisms) နှင့် မိမိကိုယ်တိုင်သို့ ပုံဖော်သော ဘိုင်ဂျက်တစ် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြသည်။

ဂရပ်များ (Graphs)

ဖန်ရှင် $f:X\to Y$ ၏ ဂရပ် ဆိုသည်မှာ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် $X\times Y$ ၏ အစုပိုင်း $G_{f}$ ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

• $G_{f}=\{(x,y)\in X\times Y\mid y=f(x)\}$

ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းကိုသာ တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် ဒေါင်လိုက်မျဉ်း (vertical line) $L_{x}=\{(x,y)\in X\times Y\mid y\in Y\}$ မဆို ဂရပ် $G_{f}$ ကို $(x,f(x))$ ဟူသော အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌သာ ဖြတ်သန်းသွားမည် ဖြစ်သည်။

• ဂရပ် အချို့၏ ဥပမာများ
• 
  မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် ၎င်းသည် အဖိုင်း ပုံဖော်မှု (affine mapping) ဖြစ်သည်။
• 
  $5$-ဒီဂရီရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (quintic function)
• 
  ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (complex exponential function) ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part)
• 
  ဆိုင်း ဖန်ရှင် (sine function)
• 
  ပုံမှန် ဖြန့်ဖြူးခြင်း (normal distribution) ဖြစ်သော ဂေါက်ရှန်း ခေါင်းလောင်းပုံ မျဉ်းကွေးများ (Gaussian bell curves)
• 
  ကိန်းရှင် $2$ ခု ပါဝင်သော ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ မျက်နှာပြင်ပြ ဂရပ်
• 
  ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီပေါ်ရှိ ဗက်တာစက်ကွင်း (vector field)
• 
  ကိန်းထွေး ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (complex Riemann zeta function) အတွက် အရင်းအမြစ်စု အရောင်ခြယ်ထားမှု (domain coloring)

ဖန်ရှင် ဥပမာများ (Examples of Functions)

ကိန်းရှင် $x$ တစ်ခုပါဝင်သော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant real-valued function) တစ်ခု။

• ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (Identity function) - အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်တိုင်းကို ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင်ဆီသို့သာ ပြန်လည်ပုံဖော်ပေးသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် $\operatorname {id} _{X}:X\to X$ ဖြစ်ပြီး $\operatorname {id} _{X}(x)=x$ ဟု သတ်မှတ်သည်။
• ဝိသေသလက္ခဏာ ဖန်ရှင် (Characteristic function) - အစုဝင်တစ်ခုသည် အစုပိုင်း $A\subset X$ အတွင်း ပါဝင်ခြင်း ရှိမရှိကို ညွှန်ပြပေးသည်။ ၎င်းကို အညွှန်း ဖန်ရှင် (indicator function) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုပြီး $\chi _{A}:X\to \{0,1\}$ ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်း၏တန်ဖိုးများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

$\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&:x\in A\\0&:x\notin A\end{cases}}$

• ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (Constant function) - အစု $X$ အတွင်းရှိ မည်သည့်အစုဝင် $x$ ကိုမဆို $Y$ အတွင်းရှိ ပုံသေအစုဝင် $c$ တစ်ခုတည်းဆီသို့သာ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင် $f:X\to Y$ ဖြစ်သည်။ $X$ အတွင်းရှိ အစုဝင် $x$ အားလုံးအတွက် $f(x)=c$ ဖြစ်သည်။
• ဗလာစု ဖန်ရှင် (Empty function) - မည်သည့် အစု $X$ အတွက်မဆို ဗလာစု ဖန်ရှင် $\emptyset \to X$ သည် အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်နေသည်။ ထို့ကြောင့် ဗလာအစု $\emptyset$ သည် အစုများ ကတ်တဂိုရီ $\mathbf {Set}$ အတွင်းရှိ အစ အရာဝတ္ထု (initial object) ဖြစ်သည်။
• ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ပုံဖော်မှု (Real-valued mapping) - $f=\{(x,1/x^{2})\mid x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\}$ သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များအစု $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ မှ ကိန်းစစ်များဆီသို့ သွားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် လွှမ်းခြုံဖန်ရှင် မဟုတ်သကဲ့သို့ တစ်-တစ် ဖန်ရှင်လည်း မဟုတ်ပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် $f(1)=f(-1)$ ဖြစ်နေသောကြောင့်ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင်ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် $x\mapsto x^{4}\quad (x\neq 0)$ အဖြစ် ပြောင်းလဲသွားသည်။

အသုံးချမှုများ (Applications)

• အက္ခရာသင်္ချာနှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ သတ်မှတ်ချက်များ (Algebraic & Analytic Assignments) - ဖန်ရှင်များကို $x\mapsto 2+x$ ကဲ့သို့သော စံ ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (standard numerical operations)၊ သွယ်ဝိုက် ဖော်ပြချက်များ (implicit expressions) သို့မဟုတ် စုဆုံမှတ်ဆိုင်ရာ ပြောင်းလဲမှုများ (limit transitions) မှတစ်ဆင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $\sin \theta$ ကို ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) $\theta -\theta ^{3}/3!+\dots$ ဖြင့် တင်းကျပ်စွာ သတ်မှတ်သည်။
• အပိုင်းလိုက်နှင့် အက္ခရာသင်္ချာမဟုတ်သော ဖန်ရှင်များ (Piecewise & Non-Algebraic) - ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင် (absolute value function) ကဲ့သို့သော အရင်းအမြစ်စုတစ်ခုအပေါ်တွင် ပြောင်းလဲနေသော အခြေအနေများကို သတ်မှတ်ခြင်း သို့မဟုတ် ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ ဖန်ရှင်ကဲ့သို့သော ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံများကို (logical structures) သတ်မှတ်ခြင်း ဖြစ်သည်။ ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ ဖန်ရှင်သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများကို (rational numbers) $1$ သို့၊ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို (irrational numbers) $0$ သို့ ပုံဖော်ပေးသည်။
• ဂျီဩမေတြီ ပုံဖော်မှုများ (Geometric Maps) - ဖန်ရှင်များသည် ကိန်းဂဏန်းများထက်ကျော်လွန်၍ သက်ရောက်နိုင်သည်။ $2$ အတိုင်းအတာ (dimension) ရှိသော ပြင်ညီပေါ်တွင် စက်လုံးမျက်နှာပြင် (sphere) ကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်းသည် ပုံဖော်မှု $S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ တစ်ခုဖြစ်သည်။ အချိန်ကာလတစ်ခုအတွင်း ရွေ့လျားနေသော အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ရူပဗေဒဆိုင်ရာ လမ်းကြောင်း (physical trajectory) သည် ဖန်ရှင် $t\mapsto (x(t),y(t),z(t))$ တစ်ခုဖြစ်သည်။
• မျဉ်းဖြောင့် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (Linear Transformations) - မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (linear combinations) မှ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော ဖန်ရှင်များ $T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းတို့ကို အခြေအစု ဗက်တာများ (basis vectors) ၏ ပုံရိပ်များက အပြည့်အဝ ဆုံးဖြတ်ပေးသောကြောင့် ၎င်းတို့ကို ကိန်းအုံများ (matrices) ဖြင့် ရှင်းလင်းစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။

ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များကို ခွဲခြားခြင်း (Classification of Numerical Functions)

• အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (Boundedness) - ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် $f:X\to \mathbb {R}$ တစ်ခု၏ ပုံရိပ်အစုသည် ကိန်းစစ် ကိန်းသေ $c\in \mathbb {R}$ တစ်ခုဖြင့် ကန့်သတ်ခံရပါက ၎င်းဖန်ရှင်ကို အထက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသည် (bounded from above) သို့မဟုတ် အောက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသည် (bounded from below) ဟု သတ်မှတ်သည်။
• အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ နှင့် ကိန်းလွန် (Algebraic vs. Transcendental)
  • အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များ (Algebraic functions) သည် $a_{k}(x)y^{k}+\dots +a_{1}(x)y+a_{0}(x)=0$ ဟူသော ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း (irreducible polynomial equation) တစ်ခု၏ အဖြေများဖြစ်သည်။ ထိုညီမျှခြင်းရှိ မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (coefficients) $a_{i}(x)$ ကိုယ်တိုင်သည် ကိန်းရှင်များ $x_{1},\dots ,x_{n}$ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များ ဖြစ်ကြသည်။
  • ကိန်းလွန် ဖန်ရှင်များကို (Transcendental functions) အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များအစုမှ သီးခြားဖယ်ထုတ်ထားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များအဖြစ် တိကျစွာ ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။
• ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များ (Analytic Functions) - စုဆုံသော ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (convergent power series) ဖြင့် ဒေသအလိုက် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သော ဖန်ရှင်များဖြစ်သည်။
• ဘလဲ နှင့် တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ (Baire and Measurable Functions) - ဘလဲ အတန်းအစားများ (Baire classes) ကို အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များမှတစ်ဆင့် အမှတ်အလိုက် စုဆုံမှတ်များ (pointwise limits) ကို အစဉ်လိုက်ရယူခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များ (measurable functions) သည် လီဘက်ဂ် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (Lebesgue integration) အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ဖြစ်သည်။

အသွင်ပြောင်းခြင်းများနှင့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အုပ်စုများ (Transformations and Geometric Groups)

ဖန်ရှင်များသည် ရပ်ဝန်းများအပေါ်တွင် ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှုများအဖြစ် သက်ရောက်သည့်အခါ ကလပ်စစ်ကယ် ဂျီဩမေတြီများနှင့် အချိုးညီမှုများ (classical geometries and symmetries) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။

• ပါမြူတေးရှင်း အုပ်စုများ (Permutation Groups) - ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (symmetric group) $S_{n}$ သည် အဆုံးရှိအစုတစ်ခု၏ ပါမြူတေးရှင်းဆိုင်ရာ ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု $n!$ ခုကို ဖမ်းယူထားပြီး ၎င်းတို့ကို နှစ်လုံးဖလှယ်ချက် (transposition) ဖန်ရှင်များ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းများအဖြစ် ခွဲခြမ်းနိုင်သည်။
• မျဉ်းဖြောင့် အုပ်စုများ (Linear Groups) - ၎င်းတို့တွင် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်ရှိ ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော (nonsingular) ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ အားလုံးပါဝင်သည့် ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု (General Linear Group $GL(V)$)၊ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) $1$ ရှိသော အထူး မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု (Special Linear Group) နှင့် အတွင်းမြှောက်လဒ်များကို (inner products) ထိန်းသိမ်းထားသော ထောင့်မှန်ကျ အုပ်စုများ (Orthogonal Groups) တို့ ပါဝင်သည်။
• အဖိုင်း အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (Affine Transformations) - ၎င်းတို့သည် $\sum w_{i}=1$ ဟူသော ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် တင်းကျပ်စွာ ထိန်းချုပ်ထားသော အလေးချိန်ပေး ဘာရီစင်ထရစ် ပျမ်းမျှတန်ဖိုးများကို (weighted barycentric averages) ထိန်းသိမ်းထားသော ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ $t:A\to A$ ဖြစ်ကြသည်။ သာဓကအားဖြင့် ၎င်းတို့သည် $t(\sum w_{i}P_{i})=\sum w_{i}t(P_{i})$ ဟူသော ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည်။ ဤကန့်သတ်ချက်မရှိပါက ပုံဖော်မှုများသည် ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း (translational) အဖိုင်း ဂျီဩမေတြီ (affine geometry) ကို ဖမ်းယူနိုင်စွမ်းရှိမည်မဟုတ်ပေ။
• အာလန်ဂန် အစီအစဉ် ($1872$) (The Erlangen Program (1872)) - ကလိုင်း၏ မူဘောင်အရ သင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီတစ်ခုကို ၎င်း၏ အသွင်ပြောင်းအုပ်စု (transformation group) ဖြင့် အပြည့်အဝ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ထိုအုပ်စုသည် ၎င်း၏ ရည်ရွယ်ထားသော တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများကို ထိန်းသိမ်းထားသည့် တိကျသော ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များအစုဖြစ်သည်။ ဂျီဩမေတြီ ပုံသဏ္ဌာန် နှစ်ခုသည် ထိုအုပ်စုမှ ဖန်ရှင်တစ်ခုမှတစ်ဆင့် အချင်းချင်း ပုံဖော်နိုင်မှသာလျှင် ပင်ကိုယ်အားဖြင့် ထပ်တူညီကြသည်။
• တိုပေါ်လော်ဂျီ (Topology) - တိုပေါ်လော်ဂျီသည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) ဖန်ရှင်များဖြစ်ပြီး အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်များလည်း ပါရှိသည့် အထူး ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများဖြစ်သော ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်များကို (homeomorphisms) ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသည်။

ဖန်ရှင်များဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (Operations on Functions)

$f:A\to B$ နှင့် $g:B\to C$ တို့ကို ပေါင်းစပ်၍ $g\circ f:A\to C$ ကို ရသည်။

ကန့်သတ်ခြင်း (Restriction)

အကယ်၍ $f:X\to Y$ နှင့် $U\subset X$ ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် $f$ ကို $U$ အပေါ်သို့ ကန့်သတ်ခြင်းအား $f|_{U}:U\to Y$ သို့မဟုတ် $f|_{U}=\{(x,y)\in f\mid x\in U\}$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤနေရာတွင် $U$ အတွင်းရှိ အစုဝင် $x$ အားလုံးအတွက် $f|_{U}(x)=f(x)$ ဖြစ်သည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ဖန်ရှင် $f$ သည် $f|_{U}$ ၏ တိုးချဲ့ချက် (extension) တစ်ခုဖြစ်သည်။

ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition)

ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော $f:X\to Y$ နှင့် $g:Y\to Z$ တို့ကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ ဖန်ရှင်အသစ် $g\circ f:X\to Z$ ကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

• $(g\circ f)(x)=g(f(x))$

ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ဖန်ရှင်များကို အဆင့်ဆင့် သက်ရောက်စေခြင်းဖြစ်ပြီး ၎င်းကို အစုသီအိုရီနည်းအရ $\{\langle x,z\rangle \mid \exists y\in Y{\text{ where }}\langle x,y\rangle \in f{\text{ and }}\langle y,z\rangle \in g\}$ ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် အခြေအနေတိုင်းတွင် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံသော (associative) တွက်ချက်မှုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ ဖြစ်သည်။

ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ညာဘက်မှ ဘယ်ဘက်သို့ တွက်ချက်ရသည်။ ပုံစံတကျဆိုရသော် ဖန်ရှင် $f$ ၏ ပစ်မှတ်စုသည် ဖန်ရှင် $g$ ၏ အရင်းအမြစ်စုနှင့် ညီမျှနေမှသာလျှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း $g\circ f$ ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။

အနည်းဆုံးအားဖြင့် ဤတွက်ချက်မှု မှန်ကန်စေရန် $\operatorname {im} (f)\subseteq \operatorname {dom} (g)$ ဟူသော အခြေအနေ ပြည့်စုံရမည်။ ၎င်းအပြင် $\operatorname {im} (f)\subseteq \operatorname {dom} (g)$ ဖြစ်ပါက $\operatorname {dom} (g\circ f)=\operatorname {dom} (f)$ ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်၏ အရင်းအမြစ်စုကို $\operatorname {dom} (g\circ f)=\operatorname {dom} (f)\cap f^{-1}[\operatorname {dom} (g)]$ ဟု သတ်မှတ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် $g\circ f\neq f\circ g$ ဖြစ်သည်။

ဥပမာ - $f(x)=x^{2}-1\quad (x\in \mathbb {R} )$ နှင့် $g(x)={\sqrt {x}}\quad (x\geq 0)$ တို့ဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်၏ အရင်းအမြစ်စု $\operatorname {dom} (f)\cap f^{-1}[\operatorname {dom} (g)]$ သည် $\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 1\lor x\leq -1\}$ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်သည် $(g\circ f)(x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad (x\geq 1\lor x\leq -1)$ ဖြစ်သည်။

ပြောင်းပြန်များ (Inverses)

ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) $I_{X}:X\to X$ ၏ ဂရပ်သည် $X\times X$ ၏ ထောင့်ဖြတ် (diagonal) $\Delta \subseteq X\times X$ နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ အကယ်၍ $g\circ f=I_{X}$ ဖြစ်ပါက ဖန်ရှင် $g$ သည် $f$ ၏ ဘယ်ပြောင်းပြန် (left inverse) ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ $f\circ g=I_{Y}$ ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ညာပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်သည်။

ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် $f:X\to Y$ တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) $f^{-1}:Y\to X$ အမြဲရှိသည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။ $f(x)=y$ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ $f^{-1}(y)=x$ ဖြစ်သည်။ သင်္ချာနည်းအရ ၎င်းသည် $f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}$ နှင့် $f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}$ ဖြစ်ခြင်းနှင့် ထပ်တူညီသည်။

ဥပမာ - မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် $g(x)=2x-1\quad (x\in \mathbb {R} )$ သည် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်မှာ $g^{-1}(x)={\frac {x+1}{2}}\quad (x\in \mathbb {R} )$ ဖြစ်သည်။

အကယ်၍ ဖန်ရှင် $f:X\to Y$ သည် အင်ဂျက်တစ်သာဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ်မဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အလုံးစုံလွှမ်းခြုံနိုင်သော ပြောင်းပြန် $f^{-1}:Y\to X$ မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် ပစ်မှတ်စုကို ၎င်းဖန်ရှင်၏ ပုံရိပ်အထိသာ ကန့်သတ်လိုက်မည်ဆိုပါက ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု ${\tilde {f}}:X\to \operatorname {im} (f)$ ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသို့ ကန့်သတ်ထားသော ဖန်ရှင်တွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် ပြောင်းပြန် (two-sided inverse) ${\tilde {f}}^{-1}:\operatorname {im} (f)\to X$ တိတိကျကျ တည်ရှိသည်။

ကိုက်ညီမှုရှိသော စနစ်များ (Compatible Systems)

ဖန်ရှင်နှစ်ခုဖြစ်သော $f$ နှင့် $g$ တို့သည် မည်သည့် $x\in \operatorname {dom} (f)\cap \operatorname {dom} (g)$ အတွက်မဆို $f(x)=g(x)$ ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့သည် ကိုက်ညီမှုရှိကြသည်။ ၎င်းသည် $f\cup g$ ကိုယ်တိုင်က ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်နေခြင်းနှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။ ဖန်ရှင်များအစု ${\mathcal {F}}$ တစ်ခုအတွင်းရှိ ဖန်ရှင်စုံတွဲတိုင်းသည် ကိုက်ညီမှုရှိပါက ၎င်းအစုကို ကိုက်ညီမှုရှိသော စနစ် (compatible system) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် ကိုက်ညီမှုရှိသော စနစ် ${\mathcal {F}}$ အတွက်မဆို ၎င်း၏ ပေါင်းစပ်စု (union) $\bigcup {\mathcal {F}}$ သည် ${\mathcal {F}}$ အတွင်းရှိ $f$ အားလုံးကို တိုးချဲ့ပေးထားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုမှာ $\operatorname {dom} \left(\bigcup {\mathcal {F}}\right)=\bigcup \{\operatorname {dom} (f)\mid f\in {\mathcal {F}}\}$ ဖြစ်သည်။

ပုံရိပ်များ၊ မူလပုံရိပ်များ နှင့် ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်းများ (Images, Pre-images and Function Spaces)

• အစုတစ်ခု၏ ပုံရိပ် (Image of a Set) - $A\subset X$ ဖြစ်ပါက အစုပိုင်း $A$ အတွင်းရှိ အမှတ်များအပေါ် သက်ရောက်သော $f$ ၏ တန်ဖိုးများအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

$f(A)=\{y\in Y\mid \exists x\in A:y=f(x)\}$

• အစုတစ်ခု၏ မူလပုံရိပ် (Preimage of a Set) - $B\subset Y$ ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးများသည် အစုပိုင်း $B$ အတွင်း ကျရောက်နေသော $X$ အတွင်းရှိ အမှတ်များအစုကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

$f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$

ဤမူလပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု $f^{-1}(B)$ သည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် $f^{-1}$ တည်ရှိသည်ဖြစ်စေ၊ မတည်ရှိသည်ဖြစ်စေ အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်ပြည့်ဝသော အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။

• အစုများ၏ အပြန်အလှန်သက်ရောက်မှု ကွာခြားချက်များ (Set interaction asymmetry) - မူလပုံရိပ်များအပေါ် တွက်ချက်မှုများကို အပြည့်အဝ ထိန်းသိမ်းထားနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $f^{-1}(S\setminus T)=f^{-1}(S)\setminus f^{-1}(T)$ ဖြစ်သည်။ ပုံရိပ်များအပေါ် တွက်ချက်မှုများကိုမူ အပြည့်အဝ ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ခြင်းမရှိသော်လည်း အစုပိုင်းများကိုမူ ဖွဲ့စည်းပေးနိုင်သည်။ သာဓကအားဖြင့် $f(A)\setminus f(B)\subset f(A\setminus B)$ ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် $f$ သည် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်မှသာလျှင် တိကျသောညီမျှခြင်းကို အခြေအနေတိုင်းတွင် ရရှိနိုင်သည်။
• ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်းများနှင့် စံနှုန်းများ (Function Spaces and Norms) - ဘုံတူညီသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် ဖန်ရှင်များ စုစည်းမှုများသည် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ သို့မဟုတ် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (complete metric or normed vector spaces) ကို ဖွဲ့စည်းပေးသည်။ ဥပမာများအနေဖြင့် စူပရီမမ် စံနှုန်း (supremum norm) ပါရှိသော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များဖြစ်သည့် $C(X)$ နှင့် အင်တီဂရယ်ကိုအခြေခံသော $p$-စံနှုန်းပါရှိသည့် တိုင်းတာနိုင်သော ဖန်ရှင်များဖြစ်သော လီဘက်ဂ် ရပ်ဝန်းများ (Lebesgue spaces) $L_{p}(X)$ တို့ ပါဝင်သည်။
• ချောမွေ့သော ဖန်ရှင်များ၏ သိပ်သည်းမှု (Density of Smooth Functions) - ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နှင့် ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (partial differential equations) ၏ အခြေခံမူဝါဒတစ်ခုမှာ $C_{0}^{\infty }$ ဟု သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသော အကြိမ်ရေအနန္တ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်များ (infinitely differentiable functions) သည် $L_{p}$ နှင့် ဆိုဘိုလတ်ဗ် ရပ်ဝန်းများ (Sobolev spaces) ကဲ့သို့သော အခြေခံ ဖန်ရှင်နယ် ရပ်ဝန်းများ (functional spaces) အတွင်း သိပ်သည်းသည် (dense) ဟူသောအချက်ဖြစ်သည်။ ယင်းက အလွန်ချောမွေ့ပြီး ကောင်းမွန်စွာ ပြုမူသော ဖန်ရှင်များအပေါ် သက်သေပြထားသည့် သီအိုရမ်များကို စုဆုံမှတ် လုပ်ငန်းစဉ်များ (limiting processes) မှတစ်ဆင့် ထိုရပ်ဝန်းအတွင်းရှိ ဖန်ရှင်များ အားလုံးဆီသို့ ပုံစံတကျ တိုးချဲ့ခွင့်ပြုသည်။
• ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်း နှင့် မြှောက်လဒ်များ (Function Spaces and Products) - $X$ မှ $Y$ သို့ သွားနိုင်သည့် ဖြစ်နိုင်သမျှ ဖန်ရှင်များအားလုံး စုဝေးထားသော ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်း (function space) ကို $Y^{X}$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ $I$ ဟူသော အညွှန်းအစု (index set) ပေါ်တွင် အခြေခံ၍ အစု $S_{i}$ များကို သတ်မှတ်ပေးသော ကိန်းစဉ်တစ်ခု $S=(S_{i})_{i\in I}$ အတွက် ၎င်း၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်ကို $\prod _{i\in I}S_{i}=\left\{f:I\to \bigcup _{i\in I}S_{i}\ {\bigg |}\ \forall i\in I,f(i)\in S_{i}\right\}$ ဟု သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းကို $\prod (S_{i})_{i\in I}$ ဟုလည်း သင်္ကေတပြုနိုင်သည်။ အကယ်၍ မည်သည့် $i\in I$ အတွက်မဆို $S_{i}=Y$ ဖြစ်ပါက $\prod _{i\in I}S_{i}=Y^{I}$ ဖြစ်သည်။ $I$ အပေါ်ရှိ ဖန်ရှင် $S$ ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသော မိသားစုတစ်ခုအတွက် ပေါင်းစပ်စုများနှင့် ထပ်တူပိုင်းအစုများကို $\bigcup _{i\in I}S_{i}$ နှင့် $\bigcap _{i\in I}S_{i}$ ဟု ပုံမှန်ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် $X\times Y$ အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင်များအတွက် ၎င်းတို့၏ တန်ဖိုးများကို $f((x,y))$ အစား $f(x,y)$ ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။

အခြေခံ အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ထပ်တူညီချက်များ (Fundamental Set-Theoretic Identities)

ဖန်ရှင်များ၏ မိသားစုများနှင့် သက်ဆိုင်သော နိယာမများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

ဒီမော်ဂန် နိယာမများ (De Morgan's Laws)

$X\setminus \bigcup _{i\in I}F_{i}=\bigcap _{i\in I}(X\setminus F_{i})$

$X\setminus \bigcap _{i\in I}F_{i}=\bigcup _{i\in I}(X\setminus F_{i})$

ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမများ (Distributive Laws)

$\left(\bigcup _{x\in X}F_{x}\right)\cap \left(\bigcup _{y\in Y}G_{y}\right)=\bigcup _{(x,y)\in X\times Y}(F_{x}\cap G_{y})$

$\bigcap _{x\in X}\left(\bigcup _{y\in Y}F_{x,y}\right)=\bigcup _{f\in Y^{X}}\left(\bigcap _{x\in X}F_{x,f(x)}\right)$

ဆက်သွယ်ချက်များနှင့် စားလဒ်များ (Relations and Quotients)

နှစ်လုံးသွင်း ဆက်သွယ်ချက် (binary relation) ဆိုသည်မှာ $X\times Y$ ၏ အစုပိုင်း $R\subseteq X\times Y$ မည်သည့်အစုပိုင်းကိုမဆို ဆိုလိုသည်။ $X$ အပေါ်ရှိ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) $E$ သည် ကိုယ်ပြန်ဟပ်ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံသော (reflexive)၊ အချိုးညီသော (symmetric) နှင့် ကူးပြောင်းနိုင်သော (transitive) ဂုဏ်သတ္တိများ ပြည့်စုံပြီး $X$ ကို အစုခွဲစနစ် (partition) တစ်ခုအဖြစ် ခွဲခြားပေးသည်။ မည်သည့်ဖန်ရှင် $f$ အတွက်မဆို ၎င်း၏ ကာနယ်အတွဲ (kernel pair) $E_{f}$ ကို $xE_{f}y\iff f(x)=f(y)$ အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းသည် စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) တစ်ခုကို ထုတ်လုပ်ပေးပြီး သဘာဝကျစွာဖြင့် ဆာဂျက်တစ် ပုံဖော်မှုတစ်ခုကို ပေးစွမ်းသည်။

နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ (Binary Operations)

အစု $X$ တစ်ခုပေါ်ရှိ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) ကို $f:X\times X\to X$ ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဥပမာ အုပ်စု (group) ဆိုသည်မှာ အစု $G$ တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု $\star$ တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်သည်။

ကိုးကား

• Hrbáček၊ Karel; Jech၊ Thomas (1999)၊ Introduction to Set Theory (3rd ed.)၊ Marcel Dekker