အတိုင်းဆ

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း (metric space) ဆိုသည်မှာ အစု (set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အစုဝင်များ (elements) ကြား၌ အကွာအဝေး (distance)ဟူသော သဘောတရားတစ်ခုကို တွဲဖက်ထားသည်။ ထို အကွာအဝေးကို အတိုင်းဆ (metric) သို့မဟုတ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (distance function) ဟုခေါ်သော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြင့် တိုင်းတာသည်။^[၁] အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်းများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) နှင့် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တို့ရှိ သဘောတရားများစွာကို လေ့လာရန်အတွက် ယေဘုယျကျသော မူဘောင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

အမည်ပေးမှု

အင်္ဂလိပ်စာလုံး metric မှ ဘာသာပြန်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းအင်္ဂလိပ်စာလုံးမှာလည်း ရှေးဂရိဝေါဟာရ "metron" မှ ဆင်းသက်သည်။ ၎င်းက "တိုင်းထွာမှု၊ တိုင်းဆချက် (a measure)" ဖြစ်လေရာ မြန်မာစကားသို့ အတိုင်းဆ ဟု ဘာသာပြန်ခြင်း ဖြစ်သည်။
metric ကို တိုက်ရိုက်မွေးစား ပြောဆိုလျှင် မတ်ထရစ် ဟု ရေးနိုင်သကဲ့သို့ မြန်မာစာ၌ ရရစ်က "ရ"ဖြင့် ဗျည်းတွဲပြုကြောင်း^[၂]ကို အသုံးချခြင်းအားဖြင့် မတ်ထြစ် ဟုလည်း တူညီစွာ သဘောသက်ရောက်နိုင်၏။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

$X$ သည် မည်သည့် အစု (set) မဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$ ကို $X$ အပေါ်ရှိ အတိုင်းဆ (metric) ဟု ခေါ်သည်။ မည်သည့် $\varphi ,\psi ,\chi \in X$ အတွက်မဆို

(M1) $d(\varphi ,\psi )\geq 0$ (အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု - Positivity)
(M2) $d(\varphi ,\psi )=0$ ဖြစ်လျှင်နှင့်မှသာလျှင် (if and only if) $\varphi =\psi$ ဖြစ်သည် (တိကျသေချာမှု - Definiteness)
(M3) $d(\varphi ,\psi )=d(\psi ,\varphi )$ (အချိုးညီမှု - Symmetry)
(M4) $d(\varphi ,\psi )\leq d(\varphi ,\chi )+d(\chi ,\psi )$ (တြိဂံ မညီမျှခြင်း - Triangle inequality)

ဤကဲ့သို့ အတိုင်းဆ တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ $(X,d)$ ကို အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း (metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း $X$ ၏ အစုဝင်များကို အမှတ်များ (points) ဟုလည်း ရည်ညွှန်းခေါ်ဆိုသည်။ ကိန်းဂဏန်း $d(\varphi ,\psi )$ သည် $\varphi$ နှင့် $\psi$ အမှတ်များကြားရှိ အကွာအဝေး (distance) ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် အစု $X$ တစ်ခုတည်းအပေါ်တွင် အတိုင်းဆ အများအပြားကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ထိုသို့သော အခြေအနေမျိုးတွင် အခြေခံ အမှတ်များအစု (underlying set of points) တူညီနေသော်လည်း အတိုင်းဆ $d$ ပါရှိသော အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း $(X,d)$ နှင့် အတိုင်းဆ $d^{\prime }$ ပါရှိသော အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း $(X,d^{\prime })$ တို့ကို ကွဲပြားခြားနားသော ရပ်ဝန်းများအဖြစ် ခွဲခြားသတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။

ဥပမာများ (Examples)

ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ရပ်ဝန်းများ (Real and Complex Spaces): $\mathbb {R}$ နှင့် $\mathbb {C}$ တို့ပေါ်တွင် $d(x,y):=|x-y|$ သည် အတိုင်းဆတစ်ခုဖြစ်သည် ။

ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း (Euclidean Space): $\mathbb {R} ^{m}$ နှင့် $\mathbb {C} ^{m}$ တို့ပေါ်တွင် $x=(x_{1},...,x_{m})^{\top }$ နှင့် $y=(y_{1},...,y_{m})^{\top }$ အမှတ်များအတွက် ယူကလစ်ဒ် အတိုင်းဆ (Euclidean metric) ကို $d(x,y):=\left(\sum _{i=1}^{m}|x_{i}-y_{i}|^{2}\right)^{1/2}$ ဟု သတ်မှတ်သည် ။ ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီ (2D Euclidean plane) တွင် ဤဖန်ရှင်သည် $d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$ ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) ကို အခြေခံ၍ အကွာအဝေး တွက်ချက်ခြင်းပင် ဖြစ်သည် ။

တက္ကစီကား ရပ်ဝန်း (Taxicab Space): တက္ကစီကား အတိုင်းဆ (Taxicab metric သို့မဟုတ် Manhattan distance) ကို $d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|$ ဟု သတ်မှတ်သည် ။ ဤအတိုင်းဆသည် မြို့ပြလမ်းကွက်များကဲ့သို့ ထောင့်မှန်ကျသော လမ်းကြောင်းများအတိုင်း သွားလာရသည့် အကွာအဝေးကို တွက်ချက်ပေးသည် ။

အကန့်အသတ်ရှိသော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင်များ (Bounded Continuous Functions): $D\subset \mathbb {R} ^{m}$ $D\subset \mathbb {R} ^{m}$ အတွက် $BC(D)$ $BC(D)$ သည် $D$ $D$ ပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်ရှိပြီး အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ (bounded continuous functions) ၏ အစုဖြစ်သည် ။ ၎င်းအပေါ်တွင် စူပရီမမ် အတိုင်းဆ (supremum metric) ကို $d_{\infty }(\varphi ,\psi ):=\sup _{x\in D}|\varphi (x)-\psi (x)|$ $d_{\infty }(\varphi ,\psi ):=\sup _{x\in D}|\varphi (x)-\psi (x)|$ အဖြစ် သတ်မှတ်သည် ။
- အင်တီဂရယ် အတိုင်းဆ (Integral Metric): $-\infty <a<b<\infty$ ဖြစ်သော အပိုင်းအခြား $[a,b]$ အတွက် $BC([a,b])$ ပေါ်တွင် $d_{1}(\varphi ,\psi ):=\int _{a}^{b}|\varphi (x)-\psi (x)|dx$ သည် အခြားအတိုင်းဆတစ်ခုဖြစ်သည် ။

တစ်ပိုင်းတစ်စ အတိုင်းဆ (Discrete Metric): မည်သည့် အစု $X$ ပေါ်တွင်မဆို $\varphi \neq \psi$ ဖြစ်လျှင် $d_{dis}(\varphi ,\psi ):=1$ ဖြစ်ပြီး $\varphi =\psi$ ဖြစ်လျှင် $d_{dis}(\varphi ,\psi ):=0$ ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုသည် တစ်ပိုင်းတစ်စ အတိုင်းဆ (discrete metric) ဖြစ်သည် ။

အခြေခံ သတ္တိများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ သဘောတရားများ

အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း (Metric Space) တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အခြေခံသတ္တိများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ သဘောတရားများ ပါဝင်သည် ။

စတုဂံ မညီမျှခြင်း (Quadrilateral Inequality)

အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း $X$ တစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် $\varphi ,\psi ,\varphi ^{\prime },\psi ^{\prime }\in X$ အတွက်မဆို အောက်ပါ စတုဂံ မညီမျှခြင်းရှိသည် ။

$|d(\varphi ,\psi )-d(\varphi ^{\prime },\psi ^{\prime })|\leq d(\varphi ,\varphi ^{\prime })+d(\psi ,\psi ^{\prime })$

သက်သေပြချက် (Proof):(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) အရ  $d(\varphi ,\psi )\leq d(\varphi ,\varphi ^{\prime })+d(\varphi ^{\prime },\psi ^{\prime })+d(\psi ^{\prime },\psi )$   ဖြစ်သည် ။ ၎င်းမှ (M3) အချိုးညီခြင်း (symmetry) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့်  $d(\varphi ,\psi )-d(\varphi ^{\prime },\psi ^{\prime })\leq d(\varphi ,\varphi ^{\prime })+d(\psi ,\psi ^{\prime })$  ကို ရရှိသည် ။ ထိုနည်းတူစွာ  $d(\varphi ^{\prime },\psi ^{\prime })-d(\varphi ,\psi )\leq d(\varphi ,\varphi ^{\prime })+d(\psi ,\psi ^{\prime })$  ကို ရနိုင်သည် ။ □

စက်လုံးများ (Balls)

အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း $X$ ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်သော $\varphi$ နှင့် $r>0$ တို့အတွက်

အစု $B(\varphi ;r):={\psi \in X:d(\varphi ,\psi )<r}$ ကို $\varphi$ ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် $r$ ရှိသော အဖွင့်စက်လုံး (open ball) ဟု ခေါ်သည် ။
အစု $B[\varphi ;r]:={\psi \in X:d(\varphi ,\psi )\leq r}$ ကို $\varphi$ ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် $r$ ရှိသော အပိတ်စက်လုံး (closed ball) ဟု ခေါ်သည် ။

အဖွင့်စု (Open Sets)

အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း $X$ ၏ အစုပိုင်း $U$ အတွင်းရှိ မည်သည့် $\varphi \in U$ အတွက်မဆို $B(\varphi ;r)\subset U$ ဖြစ်စေမည့် $r>0$ တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို $U$ ကို အဖွင့်စု (open set) ဟု ခေါ်သည် ။

အဖွင့်စက်လုံးများသည် အဖွင့်စုများ ဖြစ်ကြသည် ။

သက်သေပြချက် (Proof):  $\varphi \in B(f;r)$  ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့ ။ ထိုအခါ  $\rho :=r-d(f,\varphi )>0$  ဖြစ်ပြီး မည်သည့်  $\psi \in B(\varphi ;\rho )$  အတွက်မဆို တြိဂံ မညီမျှခြင်းအရ  $d(f,\psi )\leq d(f,\varphi )+d(\varphi ,\psi )<d(f,\varphi )+\rho =r$  ဖြစ်သည် ။ ဆိုလိုသည်မှာ  $\psi \in B(f;r)$  ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့်  $B(\varphi ;\rho )\subset B(f;r)$  ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည် ။  □

အတိုင်းဆ ရပ်ဝန်း $X$ နှင့် အစုလွတ် (empty set) တို့သည် အဖွင့်စုများ ဖြစ်ကြသည် ။ အဖွင့်စုများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection of finitely many open sets) သည် အဖွင့်စုသာ ဖြစ်သည်။

သက်သေပြချက် (Proof):ပထမအဆိုမှာ သိသာသည် ။  $U_{1},...,U_{n}$  တို့သည် အဖွင့်စုများဖြစ်ပြီး  $\varphi \in U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{i}$  ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့ ။ ထို  $\varphi$  သည်  $U_{i}$  တစ်ခုစီတိုင်းတွင် ပါဝင်သည် ။ ထို့ကြောင့်  $i=1,...,n$  အတွက်  $B(\varphi ;r_{i})\subset U_{i}$  ဖြစ်စေမည့်  $r_{i}>0$  တစ်ခု တည်ရှိသည် ။  $r:=\min _{i=1,...,n}r_{i}$  ဟု သတ်မှတ်လိုက်လျှင်  $B(\varphi ;r)\subset U$  ဖြစ်လာသည် ။ □

မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ အဖွင့်စုများအားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စု (union of arbitrarily many open sets) သည် အဖွင့်စုသာ ဖြစ်သည်။

သက်သေပြချက် (Proof): $U_{i}$ ,  $i\in I$  တို့သည် အဖွင့်စုများဖြစ်ပြီး  $\varphi \in U:=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  ဖြစ်လျှင်  $\varphi$  သည် အချို့သော  $U_{i}$  တွင် ပါဝင်သည် ။ ထို့ကြောင့်  $B(\varphi ;r)\subset U_{i}\subset U$  ဖြစ်စေမည့်  $r>0$  တစ်ခု တည်ရှိသည် ။ □