သုဒ္ဓကိန်း

တစ်ထက်ကြီးသော ကိန်းပြည့် (integer) $p$ တစ်ခုတွင် အပေါင်းဆခွဲကိန်း (positive divisor) အနေဖြင့် ၁ နှင့် $p$ ကိုယ်တိုင်သာရှိပါက ၎င်းကို သုဒ္ဓကိန်း (prime number) သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်းပြည့် ဟုခေါ်သည် ။ တစ်ထက်ကြီးပြီး သုဒ္ဓကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းများကို ဆပေါင်းကိန်း (composite number) ဟုခေါ်သည်။ ကိန်း $1$ သည် အထူးကိန်းဖြစ်ပြီး သုဒ္ဓကိန်းအဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဆပေါင်းကိန်းအဖြစ်လည်းကောင်း မသတ်မှတ်ပါ။ $2$ သည် တစ်ခုတည်းသော စုံကိန်း (even number) ဖြစ်သည့် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး ကျန်ရှိသော သုဒ္ဓကိန်းများအားလုံးမှာ မကိန်း (odd number) များဖြစ်ကြသည် ။ သင်္ချာပညာတွင် သုဒ္ဓကိန်းများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန်အတွက် အင်္ဂလိပ်အက္ခရာ $p$ နှင့် $q$ တို့ကို အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။

အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များ နှင့် စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ (Definitions and Divisibility Properties)

ကွင်းသီအိုရီ (ring theory) တွင် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ ပိုမိုတိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုသည် ။ ယူနစ် (unit) မဟုတ်သော ကိန်းပြည့် $p$ တစ်ခုသည် ကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ် $ab$ ကို စား၍ပြတ်ပါက ၎င်းသည် $a$ ကိုသော်လည်းကောင်း၊ $b$ ကိုသော်လည်းကောင်း စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည် ။ ကိန်းပြည့်များစနစ်တွင် ယူနစ်များမှာ $1$ နှင့် $-1$ တို့ဖြစ်ကြသည်။ ဤသတ်မှတ်ချက်အရဆိုလျှင် အပေါင်းသုဒ္ဓကိန်းများသာမက $-2$, $-3$, $-5$ စသည့် အနုတ်ကိန်းများကိုလည်း သုဒ္ဓကိန်းများအဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။

ဤအခြေခံ စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိ (divisibility property) ကို ယူကလစ်ဒ် အထောက်အကူပြု သီအိုရမ် (Euclid's lemma) မှ ဆင်းသက်ရရှိသည်။ အကယ်၍ သုဒ္ဓကိန်း $p$ သည် $ab$ ကိုစား၍ပြတ်ပြီး $a$ ကိုစား၍မပြတ်ပါက ၎င်းသည် $b$ ကိုသာ တိကျစွာစား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိကို အောက်ပါအတိုင်း တိုးချဲ့အသုံးပြုနိုင်သည်။

• ဆခွဲကိန်းများစွာ ပါဝင်ခြင်း

သုဒ္ဓကိန်း $p$ သည် ကိန်းပြည့်များစွာ၏ မြှောက်လဒ် $a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}$ ကို စား၍ပြတ်ပါက ၎င်းသည် အဆိုပါ ကိန်းပြည့်များအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) ဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။

• သုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်ခြင်း

သုဒ္ဓကိန်း $p$ သည် အခြားသုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ် $q_{1}\cdot q_{2}\cdots q_{n}$ ကို စား၍ပြတ်ပါက $p$ သည် ၎င်းသုဒ္ဓကိန်းများအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုနှင့် တိကျစွာ ညီမျှရမည်ဖြစ်သည်။ သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုကို $1$ နှင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်ဖြင့်သာ စား၍ပြတ်သောကြောင့် ထိုသို့ညီမျှခြင်းဖြစ်သည်။

ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (The Fundamental Theorem of Arithmetic)

တစ်ထက်ကြီးသော ကိန်းပြည့်တိုင်းသည် သုဒ္ဓကိန်းများ သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်များ ဖြစ်ကြသည် ။ ထို့ကြောင့် သုဒ္ဓကိန်းများကို ကိန်းပြည့်အားလုံး၏ အခြေခံတည်ဆောက်ပုံအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤသဘောတရားကို ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Arithmetic) အဖြစ် ပုံသေထုတ်ပြန်ထားသည် ။ ၎င်းသီအိုရမ်အရ တစ်ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်တိုင်းကို သုဒ္ဓကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည် ။ အဆိုပါ ဖော်ပြချက်သည် သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အစီအစဉ်ကို ထည့်သွင်းမစဉ်းစားပါက တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) ဖော်ပြချက်ဖြစ်သည်။

သက်သေပြချက်ကို အပိုင်းနှစ်ပိုင်းဖြင့် ခွဲခြားထားသည်။

• တည်ရှိမှု (Existence)

ကိန်းတစ်ခုသည် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်ပါက ၎င်းတွင် အငယ်ဆုံး အပေါင်းဆခွဲကိန်းတစ်ခု ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ယင်းဆခွဲကိန်းမှာ သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ထိုသုဒ္ဓကိန်းဖြင့် စားလိုက်သောအခါ ပိုမိုငယ်ရွယ်သော ကိန်းပြည့်တစ်ခုကို ရရှိသည်။ ထိုငယ်ရွယ်သောကိန်းသည် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်နေသေးပါက အထက်ပါလုပ်ငန်းစဉ်ကို ထပ်မံလုပ်ဆောင်နိုင်သည်။ ကိန်းများ ဆက်တိုက်ငယ်သွားမည်ဖြစ်ရာ အဆုံးတွင် အဆုံးရှိသော သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်းများကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။

• တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (Uniqueness)

ကိန်းပြည့်တစ်ခုကို မတူညီသော သုဒ္ဓကိန်းမြှောက်လဒ် နှစ်စုဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်ဟု မှတ်ယူကြပါစို့။ ၎င်းတို့ကို ငယ်စဉ်ကြီးလိုက် စီထားပါက ပထမအစုမှ အငယ်ဆုံးသုဒ္ဓကိန်းသည် ဒုတိယအစု၏ မြှောက်လဒ်တစ်ခုလုံးကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ အထက်တွင်ဖော်ပြခဲ့သော စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိအရ ပထမအစုမှ အငယ်ဆုံးသုဒ္ဓကိန်းသည် ဒုတိယအစုမှ အငယ်ဆုံးသုဒ္ဓကိန်းနှင့် ထပ်တူညီရမည်ဖြစ်သည်။ ၎င်းတူညီသောကိန်းများကို ချေဖျက်ခြင်းဖြင့် အစုနှစ်ခုလုံးရှိ သုဒ္ဓကိန်းများ အားလုံး တူညီကြောင်း တွေ့ရှိရမည်ဖြစ်သည်။

သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (prime factorization) တွင် တူညီသော သုဒ္ဓကိန်းများ အကြိမ်ကြိမ်ပါဝင်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့ကို ထပ်ကိန်းများ (exponents) အသုံးပြု၍ စုစည်းရေးသားခြင်းကို ပုံမှန်ပုံစံ (canonical form) ဟုခေါ်သည်။ ကိန်း $n$ ၏ ပုံမှန်ပုံစံကို $n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\dots p_{r}^{k_{r}}$ ဟု ရေးသားသည်။ ဤနေရာတွင် $k$ သည် အပေါင်းကိန်းပြည့်ဖြစ်ပြီး $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{r}$ အတိုင်း ငယ်စဉ်ကြီးလိုက် စီစဉ်ထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $360$ ၏ သုဒ္ဓကိန်းများကို $360=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$ ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။

တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဆခွဲကိန်းခွဲခြင်းသည် ကိန်းစနစ်တိုင်းတွင် အလိုအလျောက် မှန်ကန်သော ဂုဏ်သတ္တိမဟုတ်ပါ။ အပေါင်းစုံကိန်းများ သီးသန့်ပါဝင်သော ကိန်းစနစ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်နိုင်သည်။ ၎င်းစနစ်တွင် အခြားစုံကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရသော စုံကိန်းကို e-သုဒ္ဓကိန်း (e-prime) ဟု သတ်မှတ်ပါစို့။ ဤစနစ်တွင် $60$ ကို $60=2\cdot 30$ သို့မဟုတ် $60=6\cdot 10$ ဟူ၍ မတူညီသော e-သုဒ္ဓကိန်းများဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ မကိန်းများမပါဝင်သောကြောင့် ပုံမှန် သုဒ္ဓကိန်း စားကိန်းဂုဏ်သတ္တိများ ပျက်ယွင်းသွားခြင်းဖြစ်သည်။

အခြေခံသီအိုရမ်ကို အသုံးပြု၍ ${\sqrt {2}}$ သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည်။ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် (Pythagorean) ပညာရှင်များ ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သော ဤအချက်ကို ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) ဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ ${\sqrt {2}}$ ကို ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational number) $a/b$ ဟု မှတ်ယူပါစို့။ ထိုအပိုင်းကိန်းသည် အချိုးအကျဆုံးဖြစ်ပြီး (fraction being completely reduced) $a$ နှင့် $b$ တွင် $1$ မှလွဲ၍ အခြားဘုံဆခွဲကိန်း မရှိဟု ယူဆရမည်ဖြစ်သည်။ ညီမျှခြင်းကို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်လိုက်ပါက $2=a^{2}/b^{2}$ ဖြစ်ပြီး $a^{2}=2b^{2}$ ကို ရရှိသည်။ ထို့ကြောင့် $b$ သည် $a^{2}$ ကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ $b$ သည် $1$ ထက်ကြီးပါက အခြေခံသီအိုရမ်အရ $b$ တွင် အနည်းဆုံး သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း $p$ တစ်ခုရှိရမည်ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ $p$ သည် $b$ ကိုစား၍ပြတ်ပြီး $a^{2}$ (တစ်နည်းအားဖြင့် $a$) ကိုလည်း စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ $a$ နှင့် $b$ တွင် ဘုံဆခွဲကိန်းမရှိဟူသော မူလယူဆချက်နှင့် ဆန့်ကျင်နေသည်။ ထို့ကြောင့် $b=1$ ဖြစ်ရမည်ဖြစ်ပြီး $a^{2}=2$ သို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ သို့ရာတွင် မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမျှ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်၍ $2$ မရနိုင်သောကြောင့် မူလယူဆချက် မှားယွင်းပြီး ${\sqrt {2}}$ သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။

သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ကြောင်း စစ်ဆေးခြင်း (Testing for Primality)

ကိန်းတစ်ခုသည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ခြင်း ရှိမရှိ စစ်ဆေးရန် တိုက်ရိုက်အကျဆုံးနည်းလမ်းမှာ ငယ်ရွယ်သော ကိန်းများဖြင့် စား၍စမ်းသပ်ခြင်းဖြစ်သည်။ သို့သော် ကိန်းအားလုံးဖြင့် စမ်းသပ်ရန်မလိုအပ်ပါ။ ဆပေါင်းကိန်း $a>1$ တိုင်းတွင် ${\sqrt {a}}$ ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော သုဒ္ဓကိန်း ဆခွဲကိန်း $p$ တစ်ခု အမြဲတည်ရှိသည်။ ဆပေါင်းကိန်း $a$ ကို $a=bc$ ဟု သတ်မှတ်ပြီး $b\leq c$ ဟု ယူဆပါစို့။ $b$ ကို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက $b^{2}\leq bc=a$ ဖြစ်လာသည်။ နှစ်ဖက်စလုံးကို နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ရှာလိုက်ပါက $b\leq {\sqrt {a}}$ ကို ရရှိသည်။ $b$ တွင် သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း အနည်းဆုံးတစ်ခု ပါဝင်ရမည်ဖြစ်ရာ ထိုဆခွဲကိန်းသည်လည်း ${\sqrt {a}}$ ထက် ငယ်ရမည် သို့မဟုတ် ညီရမည်ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $509$ သည် သုဒ္ဓကိန်းဟုတ်မဟုတ် စစ်ဆေးရာတွင် ${\sqrt {509}}$ ($23$ အောက်ငယ်သော) သုဒ္ဓကိန်းများဖြစ်သည့် $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ နှင့် $19$ တို့ဖြင့်သာ စားကြည့်ရန် လိုအပ်သည်။ မည်သည့်ကိန်းနှင့်မျှ စား၍မပြတ်ပါက $509$ သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ကြောင်း အတည်ပြုနိုင်သည်။

ဤသဘောတရားကို အခြေခံ၍ ရှေးဟောင်းဂရိသင်္ချာပညာရှင် အီရာတိုစ်သီးနီးစ် (Eratosthenes) သည် အီရာတိုစ်သီးနီးစ်၏ ဆန်ခါ (Sieve of Eratosthenes) ဟုခေါ်သော နည်းလမ်းကို တီထွင်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် သတ်မှတ်ထားသော ကန့်သတ်ချက် $n$ အောက်ရှိ သုဒ္ဓကိန်းအားလုံးကို ရှာဖွေနိုင်သည့် နည်းလမ်းဖြစ်သည်။ $2$ မှစ၍ $n$ အထိ ကိန်းစဉ်များကို ရေးချရမည်ဖြစ်သည်။ ပထမဆုံးကိန်း $2$ ကို သုဒ္ဓကိန်းအဖြစ် မှတ်သားပြီး $2$ ၏ ဆတိုးကိန်းများ (multiples) အားလုံးကို စာရင်းမှ ချေဖျက်ရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့နောက် ချေဖျက်မခံရသော ကိန်း $3$ ကို သုဒ္ဓကိန်းအဖြစ် မှတ်သားပြီး ၎င်း၏ ဆတိုးကိန်းများကို ချေဖျက်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤလုပ်ငန်းစဉ်ကို ${\sqrt {n}}$ အထိရောက်သည်အထိ လုပ်ဆောင်ပါက စာရင်းတွင် ကျန်ရှိနေသော ကိန်းများအားလုံးသည် သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။

အနန္တဖြစ်တည်မှု (The Infinitude of Primes)

သုဒ္ဓကိန်းများ၏ အရေအတွက်သည် အနန္တ (infinite) ဖြစ်ကြောင်း ယူကလစ်ဒ် (Euclid) က ရှေးခေတ်ကတည်းက သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှုဖြင့် သက်သေပြချက်အရ သုဒ္ဓကိန်းအရေအတွက်သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) အဖြစ် $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}$ သာရှိသည်ဟု ယူဆပါစို့။ ထိုသုဒ္ဓကိန်းများအားလုံးကို မြှောက်၍ $1$ ပေါင်းထည့်ပါက ကိန်းအသစ် $P=(p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n})+1$ ကို ရရှိသည်။ အခြေခံသီအိုရမ်အရ $P$ တွင် သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း $p$ တစ်ခုရှိရမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ $p$ သည် မူလစာရင်းထဲတွင် ပါဝင်ခဲ့ပါက ၎င်းသည် မြှောက်လဒ်ပိုင်းကို စား၍ပြတ်မည်ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ $p$ သည် $P$ နှင့် မြှောက်လဒ်ပိုင်းတို့၏ ကွာခြားချက်ဖြစ်သော $1$ ကိုလည်း စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သည်။ မည်သည့်သုဒ္ဓကိန်းမှ $1$ ကို စား၍မပြတ်နိုင်သဖြင့် ဤသည်မှာ ဝိရောဓိ (paradox) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် သုဒ္ဓကိန်းအရေအတွက်သည် အဆုံးရှိမဖြစ်နိုင်ပါ။

သုဒ္ဓကိန်း $p$ ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော သုဒ္ဓကိန်းများ အားလုံး၏ မြှောက်လဒ်ကို $p^{\#}$ ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ယူကလစ်ဒ် ပုံသေနည်းမှ ရရှိလာသော $p^{\#}+1$ ပုံစံ ကိန်းများကို ယူကလစ်ဒ် ကိန်းများ (Euclid numbers) ဟုခေါ်သည်။ အချို့သော ယူကလစ်ဒ် ကိန်းများမှာ သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသော်လည်း အမြဲတမ်းမဟုတ်ပါ။ ဥပမာအားဖြင့် $13$ အထိ သုဒ္ဓကိန်းများကို မြှောက်၍ $1$ ပေါင်းပါက $30031$ ကို ရရှိပြီး ၎င်းသည် ဆပေါင်းကိန်း ($59\cdot 509$) ဖြစ်သည်။ သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်သော ယူကလစ်ဒ် ကိန်းများ အနန္တရှိမရှိ ဆိုသည်မှာ ယနေ့တိုင် အဖြေမထွက်သေးသော သင်္ချာပြဿနာတစ်ခု ဖြစ်သည်။

အနန္တဖြစ်တည်မှုကို အခြားသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုဖြင့်လည်း သက်သေပြနိုင်သည်။ $2$ မှစတင်သော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို စဉ်းစားပါ။ နောက်ဆက်တွဲကိန်းများကို ရှေ့ကိန်းများအားလုံးမြှောက်၍ $1$ ပေါင်းခြင်းဖြင့် ဖန်တီးသည်။ ဥပမာ $n_{1}=2$, $n_{2}=n_{1}+1=3$, $n_{3}=(n_{1}\cdot n_{2})+1=7$ အစရှိသဖြင့်ဖြစ်သည်။ ဤကိန်းစဉ်တန်းရှိ မည်သည့်ကိန်းနှစ်ခုမျှ ဘုံပါဝင်သော သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်း မရှိနိုင်ပါ။ ဘုံဆခွဲကိန်းရှိပါက ၎င်းသည် ကွာခြားချက် $1$ ကို စား၍ပြတ်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ကိန်းအသစ်တိုင်းတွင် မတူညီသော သုဒ္ဓကိန်းဆခွဲကိန်းများ ပါဝင်နေသဖြင့် သုဒ္ဓကိန်းအရေအတွက်သည် အနန္တဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။

ဖြန့်ကျက်တည်ရှိပုံ အတိုင်းအတာ (The Distribution and Size)

$n$ ကြိမ်မြောက် သုဒ္ဓကိန်းကို $p_{n}$ ဟု သင်္ကေတပြုပါက မညီမျှခြင်းများ (inequalities) ကို အသုံးပြု၍ ၎င်း၏ အရွယ်အစားကို ခန့်မှန်းနိုင်သည်။ ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်အရ $p_{n}\leq (p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n-1})+1$ ဖြစ်ကြောင်း သိရသည်။ ပိုမိုတိကျသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်းအရ $p_{n}$ သည် အမြဲတမ်း $2^{2^{n-1}}$ အောက် ငယ်ရမည် သို့မဟုတ် ညီရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းပြည့် $n\geq 1$ တိုင်းအတွက် ကြီးမားလှသော $2^{2^{n}}$ ထက်ငယ်သည့် သုဒ္ဓကိန်း အနည်းဆုံး $n+1$ ခု ရှိသည်။

၁၈၄၅ ခုနှစ်တွင် ဂျိုးဇက် ဘာထရန် (Joseph Bertrand) အဆိုပြုခဲ့ပြီး ချေဘီရှက်ဗ် (Chebyshev) သက်သေပြနိုင်ခဲ့သော ဘာထရန်၏ အဆို (Bertrand's Conjecture) ကို အသုံးပြု၍ ပိုမိုတိကျစွာ ခန့်မှန်းနိုင်သည်။ ယင်းအဆိုအရ ကိန်းပြည့် $n\geq 2$ တိုင်းအတွက် $n$ နှင့် $2n$ အကြားတွင် သုဒ္ဓကိန်း အနည်းဆုံးတစ်ခု အမြဲတမ်း ရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် $p_{n}<2^{n}$ ဟူသော ပိုမိုကျဉ်းမြောင်းသည့် ကန့်သတ်ချက်ကို ရရှိသည်။

သုဒ္ဓကိန်းများသည် အနန္တဖြစ်သော်လည်း ၎င်းတို့၏ ဖြန့်ကျက်တည်ရှိပုံမှာ အလွန် ပုံမှန်မဟုတ်ပေ။ တစ်ခါတစ်ရံတွင် အလွန်နီးကပ်စွာ တည်ရှိပြီး တစ်ခါတစ်ရံတွင် ကြီးမားသော ကွာဟချက်များ ရှိသည်။ $11$ နှင့် $13$ ကဲ့သို့သော ဆက်တိုက်ဖြစ်နေသည့် မကိန်း သုဒ္ဓကိန်းစုံတွဲများကို အမြွှာသုဒ္ဓကိန်းများ (twin primes) ဟုခေါ်သည်။ အဆိုပါ အမြွှာသုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိမရှိ ဆိုသည်မှာ အဖြေမထွက်သေးသော ပြဿနာဖြစ်သည်။

ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် ဆက်တိုက်ဖြစ်နေသော သုဒ္ဓကိန်းနှစ်ခုကြားရှိ ကွာဟချက်သည် အလိုရှိသလောက် ကြီးမားနိုင်သည်။ မည်သည့် ကိန်းပြည့် $n$ အတွက်မဆို သုဒ္ဓကိန်းများ လုံးဝမပါဝင်သော ဆက်တိုက်ဖြစ်သည့် ဆပေါင်းကိန်း $n$ ခုပါဝင်သည့် အပိုင်းအခြားတစ်ခုကို အမြဲရှာဖွေနိုင်သည်။ ဖက်တိုရီရယ် (factorial) ကို အသုံးပြု၍ ၎င်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ $(n+1)!+2$ မှ $(n+1)!+(n+1)$ အထိ ကိန်းများကို စဉ်းစားပါ။ ပထမကိန်းသည် $2$ ဖြင့် စား၍ပြတ်ပြီး နောက်ဆုံးကိန်းသည် $n+1$ ဖြင့် စား၍ပြတ်သည်။ ကိန်းတိုင်းတွင် ဆခွဲကိန်းတစ်ခုစီ အတိအကျရှိနေသဖြင့် ၎င်းတို့အားလုံးသည် ဆပေါင်းကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။

အထူးသုဒ္ဓကိန်းများနှင့် ပုံသေနည်းများ (Special Primes and Formulae)

$1$ များကိုသာ ထပ်တလဲလဲ အသုံးပြုရေးသားထားသော ကိန်းများကို ရပ်ပ်ယူနစ် (repunit) ဟုခေါ်သည်။ $1$ များ $n$ ကြိမ်ပါဝင်သော ရပ်ပ်ယူနစ်ကို $R_{n}=(10^{n}-1)/9$ ဟု တွက်ချက်နိုင်သည်။ ၎င်းကိန်းများသည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ရန် အလွန်ခဲယဉ်းသည်။ $R_{n}$ သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်နိုင်ရန်အတွက် $n$ ကိုယ်တိုင်သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ရမည် ဟူသော အခြေခံစည်းမျဉ်းရှိသည်။ သို့သော် $n$ သည် သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်တိုင်း $R_{n}$ သည် သုဒ္ဓကိန်းမဖြစ်နိုင်ပါ။ ဥပမာ $R_{3}=111$ ဖြစ်သော်လည်း ၎င်းသည် $3\cdot 37$ ဖြင့် စား၍ပြတ်သည်။ ဤကဲ့သို့သော ရပ်ပ်ယူနစ် သုဒ္ဓကိန်းများ အလွန်နည်းပါးစွာသာ ရှာဖွေတွေ့ရှိထားသည်။

မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့်ကိုမဆို $4$ ဖြင့်စားသောအခါ ရရှိသည့် အကြွင်းကို မူတည်၍ $4n$, $4n+1$, $4n+2$ သို့မဟုတ် $4n+3$ ပုံစံများအဖြစ် ခွဲခြားနိုင်သည်။ $4n$ နှင့် $4n+2$ များသည် $2$ မှလွဲ၍ ကျန်စုံကိန်းများဖြစ်သောကြောင့် ဆပေါင်းကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် မကိန်း သုဒ္ဓကိန်းများသည် $4n+1$ (ဥပမာ $5,13,17$) သို့မဟုတ် $4n+3$ ($3,7,11$) ပုံစံ တစ်ခုခုသာ ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သည်။ $4n+1$ ပုံစံ ကိန်းများကို အချင်းချင်းမြှောက်ပါက ရလဒ်သည်လည်း $4n+1$ ပုံစံသာ ဖြစ်ရမည်ဟူသော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။ ယူကလစ်ဒ်၏ သက်သေပြချက်နည်းတူ $4n+3$ ပုံစံ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။

$4n+1$ ပုံစံ သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တရှိကြောင်းကိုမူ ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ သီအိုရမ် (Dirichlet's Theorem) ကို အသုံးပြု၍ သက်သေပြရသည်။ ၎င်းသီအိုရမ်အရ အစကိန်း $a$ နှင့် ကွာခြားချက် $b$ တို့တွင် $1$ မှလွဲ၍ ဘုံဆခွဲကိန်း မရှိပါက အဆိုပါ ဂဏန်းသင်္ချာ ကိန်းစဉ်တန်း (arithmetic progression) တွင် သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တပါဝင်သည်။ $4n+1$ တွင် $1$ နှင့် $4$ ကြား ဘုံဆခွဲကိန်းမရှိသဖြင့် သုဒ္ဓကိန်းများ အနန္တပါဝင်သည်။ သို့ရာတွင် မည်သည့် ကိန်းစဉ်တန်းမှ သုဒ္ဓကိန်းများချည်း သီးသန့် အဆုံးအစမရှိ မပါဝင်နိုင်ပါ။

ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ သင်္ချာပညာရှင်များသည် ကိန်းပြည့်များကို ထည့်သွင်းတွက်ချက်ပါက သုဒ္ဓကိန်းများကိုသာ အဖြေထုတ်ပေးမည့် ပုံသေနည်း သို့မဟုတ် ဖန်ရှင် (function) များကို ရှာဖွေခဲ့ကြသည်။ လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) ၏ ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ပုံသေနည်း $f(n)=n^{2}+n+41$ သည် အလွန်ထင်ရှားသည်။ $n=0$ မှ $39$ အထိ ထည့်သွင်းတွက်ချက်ပါက သုဒ္ဓကိန်းများကိုသာ ရရှိသော်လည်း $40$ ထည့်သွင်းသောအခါ $41^{2}$ ကို ရရှိသဖြင့် ဆပေါင်းကိန်းဖြစ်သွားသည်။ မည်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်မျှ သုဒ္ဓကိန်းများကိုချည်း သီးသန့် မထုတ်ပေးနိုင်ကြောင်း သက်သေပြထားပြီးဖြစ်သည်။ သို့သော် ဒဗလျူ အိတ်ချ် မေးလ်စ် (W. H. Mills) ၏ မေးလ်စ် ပုံသေနည်း (Mills's formula) မှာမူ ခြွင်းချက်ဖြစ်သည်။ တိကျသော ကိန်းစစ် $r$ အတွက် $\lfloor r^{3^{n}}\rfloor$ သည် အမြဲတမ်း သုဒ္ဓကိန်း ဖြစ်လာသည်။ သို့သော် ၎င်း $r$ ၏ တန်ဖိုးကို အတိအကျ မတွက်ချက်နိုင်သဖြင့် လက်တွေ့အသုံးချ၍ မရနိုင်ပါ။

သက်သေမပြရသေးသော အဆိုများ (Unproved Conjectures)

$4$ ထက်ကြီးသော စုံကိန်းတိုင်းကို မကိန်း သုဒ္ဓကိန်း နှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ရေးသားနိုင်သည် ဟူသော ဂိုးဘတ်ခ် ၏ အဆို (Goldbach's conjecture) သည် အလွန်ထင်ရှားသည် ။ ယင်းကို အဓိက ဂိုးဘတ်ခ် အဆိုအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး၊ ယင်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော အားနည်း ဂိုးဘတ်ခ် အဆို (Odd or Weak Goldbach Conjecture) တွင် $7$ ထက်ကြီးသော မကိန်းတိုင်းကို မကိန်း သုဒ္ဓကိန်း သုံးခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်ဟု ဆိုသည်။ အကယ်၍ အဓိက ဂိုးဘတ်ခ် အဆို မှန်ကန်ပါက အားနည်း ဂိုးဘတ်ခ် အဆိုသည်လည်း အလိုအလျောက် မှန်ကန်မည်ဖြစ်သည်။ ၁၉၃၇ ခုနှစ်တွင် အိုင် အမ် ဗီနိုဂရာဒေါ့ဗ် (I. M. Vinogradov) က လုံလောက်စွာ ကြီးမားသော မကိန်းများအတွက် အားနည်း ဂိုးဘတ်ခ် အဆို မှန်ကန်ကြောင်း အတိအကျ သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ဂိုးဘတ်ခ် အဆိုနှင့် မကိုက်ညီသော စုံကိန်းများ၏ အချိုးအစားသည် သုညရာခိုင်နှုန်းသို့ ချဉ်းကပ်သွားကြောင်းကိုလည်း ၎င်းက သက်သေပြခဲ့သည်။

ဆေးလ်ဗက်စတာ (Sylvester) ၏ အဆိုအရ $4$ ထက်ကြီးသော စုံကိန်း $2n$ တိုင်းကို သုဒ္ဓကိန်းနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ရေးသားနိုင်ပြီး တစ်ခုသည် $n/2$ ထက် ကြီး၍ အခြားတစ်ခုသည် $3n/2$ ထက် ငယ်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဒီ ပိုလီနက် (de Polignac) က မကိန်းတိုင်းကို သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုနှင့် $2$ ၏ ထပ်ကိန်း တစ်ခု ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်ဟု အဆိုပြုခဲ့သော်လည်း $509$ နှင့် $877$ ကဲ့သို့သော ကိန်းများကြောင့် ၎င်းအဆို မှားယွင်းကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။

ကိုးကား

• Burton၊ David M. (2010)။ Elementary Number Theory (7th ed.)။ McGraw-Hill။ ISBN 978-0-07-338314-9။