တြိဂံ

တြိဂံသည် ဂျီဩမေတြီဘာသာရပ်၏ အခြေခံအကျဆုံးသော ပုံသဏ္ဌာန်များထဲမှတစ်ခုဖြစ်ပြီး ထိပ်စွန်းသုံးခုရှိသည် ဗဟုဂံတစ်ခုဖြစ်သည်။ အကယ်၍ တြိဂံတစ်ခု၏ ထိပ်စွန်းသုံးခုသည် A၊ Bနှင့် C သာဖြစ်မည်ဆိုပါက ထိုတြိဂံအား ရည်ညွှန်းလိုလျှင် $\triangle ABC$ ဟု သုံးနှုန်းသည်။

တြိဂံအမျိုးအစားများ

အနားများအရသတ်မှတ်ခြင်း

• သုံးနားညီတြိဂံ၏ အနားအားလုံး၏ အလျားသည် တူညီကြသည်။ သုံးနားညီတြိဂံ၏ ထောင့်များသည် ၆၀° စီရှိကြပြီး ပုံမှန်ပိုလီဂွန်(regular polygon) တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။

• နှစ်နားညီတြိဂံတွင် အနားနှစ်ခုသည် တူညီကြသည်။ နှစ်နားညီတြိဂံတွင် ထောင့်နှစ်ခုသည် တူညီကြသည်။ ထိုထောင့်နှစ်ခုမှာ တူညီသောအနားနှစ်ခု၏ မျက်နှာချင်းဆိုင်ရှိ ထောင့်နှစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည်ပင် နှစ်နားညီတြိဂံ၏ သိအိုရမ်ဖြစ်ပြီး Euclid ဟုလည်း သိကြသည်။ အချို့သင်္ချာကျွမ်းကျင်သူများသည် နှစ်နားညီတြိဂံသည် တူညီသောအနားနှစ်ခုရှိရန် တိတိကျကျ လိုအပ်သည်ဟု ဆိုကြသည်။ အခြားသောသူများမှာမူ တူညီသောအနား အနည်းဆုံးနှစ်ခုသာလိုသည်ဟု ဆိုကြသည်။ နောက်ပိုင်းအဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်များတွင် သုံးနားညီတြိဂံအားလုံးသည် နှစ်နားညီတြိဂံများ ဖြစ်သည်ဟု ဆိုသည်။ ၄၅-၄၅-၉၀ ထောင့်မှန်တြိဂံသည် နှစ်နားညီတြိဂံ ဖြစ်သည်။

• scalene တြိဂံတွင် အနားများအားလုံးသည် မတူညီကြပေ။ ထို့အတူ ထောင့်အားလုံးလည်း မတူညီကြပေ။

သုံးနားညီတြိဂံ	Iနှစ်နားညီတြိဂံ	အနားမညီတြိဂံ

Hatch အမှတ်အသားများ (tick အမှတ်အသားများဟုလည်း ခေါ်သည်။) တို့ကို တြိဂံနှင့် အခြားဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာပုံများတွင် သုံးသည်။ အလျားတူညီသည့် အနားများကို မှတ်သားရန်/သတ်မှတ်ရန် သုံးသည်။ မှတ်သားရာတွင် အမှတ်အသားသည် အထက်ပါပုံတွင်ပါသည့်အတိုင်း တိုတောင်းသောမျဉ်းပိုင်း ဖြစ်ရမည်။ အနားနှစ်ခုတွင် မှတ်သားထားသော ပုံစံအရေအတွက် တူညီလျှင် ထိုအနားနှစ်ခုသည် တူညီသည်ဟု ဆိုလိုသည်။ တြိဂံတွင် သုံးသည့်မျဉ်းပိုင်းအရေအတွက်သည် သုံးခုထက်ပိုလေ့ မရှိပေ။ သုံးနားညီတြိဂံတွင် သုံးသောမျဉ်းပိုင်းသည် အနားသုံးခုစလုံးတွင် တူညီကြသည်။ နှစ်နားညီတြိဂံတွင် အနားနှစ်ခုအတွက် တူညီ၏။ အနားမညီတြိဂံ (scalene triangle) တွင် မည်သည့်အနားမှ တူညီခြင်းမရှိသည့်အတွက် မျဉ်းပိုင်းများလည်း မတူညီပေ။ ထို့နည်းတူစွာ စက်ဝန်းပြတ်များ ၁၊ ၂၊ ၃ အစရှိသည့်အရအတွက်မှာလည်း ထောင့်များတူညီမှုကို ရည်ညွှန်းသည်။ သုံးနားညီတြိဂံ၏ ထောင့်သုံးခုစလုံးတွင် တူညီသော အမှတ်အသားပုံစံ ရှိကြသည်။ နှစ်နားညီတြိဂံတွင် တူညီသောအမှတ်အသားပုံစံ နှစ်ခု ရှိသည်။ နားမညီတြိဂံ၏ ထောင့်တို့သည် မတူညီသည့်အတွက် အမှတ်အသားပုံစံတို့လည်း မတူကြပေ။

အတွင်းထောင့်များအရသတ်မှတ်ခြင်း

တြိဂံများကို ၎င်းတို့၏ အတွင်းထောင့်များအလိုက် အမျိုးအစား ခွဲခြားနိုင်သည်။ ထောင့်များကို ဒီဂရီဖြင့် မှတ်သားကြသည်။

• ထောင့်မှန်တြိဂံတွင် ၎င်း၏ အတွင်းထောင့်သည် ၉၀° (ထောင့်မှန်) ရှိသည်။ ထောင့်မှန်တြိဂံကို အင်္ဂလိပ်ဝေါဟာရဖြင့် right triangle, right-angled triangle, rectangled triangle အစရှိသဖြင့် သုံးနှုန်း၏။ ထောင့်မှန်၏ မျက်နှာချင်းဆိုင်အနားသည် ထောင့်မှန်ခံအနား (hypotenuse) ဖြစ်ပြီး အရှည်ဆုံးလည်း ဖြစ်သည်။ ကျန်အနားနှစ်ခုကို legs သို့မဟုတ် catheti (singular: cathetus) ဟု ခေါ်၏။ ထောင့်မှန်တြိဂံသည် ပိုက်သာဂိုရပ်သီအိုရမ် ကို လိုက်နာသည်။ ထိုသီအိုရမ်မှာ legs နှစ်ခု၏ အလျားနှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ ပေါင်းခြင်းသည် ထောင့်မှန်ခံအနားနှစ်ထပ်ကိန်းနှင့် ညီကြသည်။ a² + b² = c² ၊ a နှင့် b သည် legs အနားများ ဖြစ်၏၊ c သည် ထောင့်မှန်ခံအနား ဖြစ်သည်။ ထူးခြားသည့် ထောင့်မှန်တြိဂံများသည် ထောင့်မှန်တြိဂံများပင် ဖြစ်သော်လည်း တွက်ချက်မှုများကို လွယ်ကူစွာလုပ်ဆောင်နိုင်သည့် ဂုဏ်သတ္တိ ရှိကြ၏။ တစ်ခုကို ပြရသော် ၃-၄-၅ ထောင့်မှန်တြိဂံတွင် ၃^၂ + ၄^၂ = ၅^၂ ဖြစ်၏။ ထိုအခြေအနေမျိုးတွင် ၃၊ ၄၊ ၅ တို့သည် Pythagorean triple တစ်ခုပင် ဖြစ်၏။ နောက်တစ်ခုမှာ နှစ်နားညီတြိဂံ၏ ထောင့်နှစ်ခုသည် အတိုင်းအတာဖြင့် ၄၅° စီ ရှိကြသည်။
• ၉၀° တန်ဖိုးရှိသည့်ထောင့်မပါရှိသည့် တြိဂံကို oblique triangle ဟု ခေါ်သည်။
• တြိဂံ၏ အတွင်းထောင့်အားလုံးသည် ၉၀° ထက်နည်းပါက ထောင့်ကျဉ်းတြိဂံ ဟု ခေါ်သည်။ ထိုတြိဂံတွင် အနား c သည် အရှည်ဆုံးဖြစ်ပါက a² + b² > c² ဖြစ်သည်။ a နှင့် b သည် အခြားသောအနားများ ဖြစ်ကြ၏။
• တြိဂံ၏ အတွင်းထောင့်တစ်ခုသည် ၉၀° ထက် ကြီးနေပါက ထောင့်ကျယ်တြိဂံဟု ခေါ်သည်။ ထိုတြိဂံတွင် အနား c သည် အရှည်ဆုံးဖြစ်ပါက a² + b² < c² ဖြစ်သည်။ a နှင့် b သည် အခြားသောအနားများ ဖြစ်ကြ၏။
• တြိဂံ၏ အတွင်းထောင့်တစ်ခုသည် ၁၈၀° (and collinear vertices) ရှိပါက degenerate ဖြစ်သည်။ right degenerate triangle တွင် collinear vertices ရှိကြသည်။ ထိုထဲမှ နှစ်ခုသည် coincident ဖြစ်ကြသည်။

တြိဂံတွင် ထောင့်နှစ်ခု၏ အတိုင်းအတာသည် တူညီပါက အနားနှစ်ခုသည်လည်း တူညီကြသည်။ ထို့ကြောင့် ထိုတြိဂံသည် နှစ်နားညီတြိဂံ ဖြစ်သည်။ ထိုကဲ့သို့ပင် တြိဂံတွင် ထောင့်အားလုံး၏ အတိုင်းအတာသည် တူညီပါက အနားအားလုံးသည်လည်း တူညီကြသည်။ ထို့ကြောင့် ထိုတြိဂံသည် သုံးနားညီတြိဂံ ဖြစ်သည်။

Right	Obtuse	Acute
	$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	Oblique

အခြေခံအချက်များ

တြိဂံတစ်ခု၏ အတွင်းထောင့်များပေါင်းခြင်းသည် အမြဲတမ်း ၁၈၀ ဒီဂရီ ရှိသည်။ တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်နှစ်ခုတန်ဖိုးကို သိရှိပါက အခြားကျန်သော ထောင့်တစ်ခု၏ တန်ဖိုးကို တွက်ချက်သိရှိနိုင်သည်။ တြိဂံတစ်ခု၏ အပြင်ထောင့်သည် ကပ်လျက်မရှိသည့် အတွင်းထောင့်နှစ်ခု ပေါင်းခြင်းနှင့် ညီမျှသည်။ ဤသည်မှာ အပြင်ထောင့်သီအိုရမ် ဖြစ်သည်။ တြိဂံတစ်ခု၏ အပြင်ထောင့်သုံးခု ပေါင်းခြင်းသည် ၃၆၀ ဒီဂရီ ရှိသည်။

သဏ္ဌာန်တူခြင်းနှင့် ထပ်တူညီခြင်း

တြိဂံတစ်ခုသည် သက်ဆိုင်ရာတြိဂံတစ်ခုနှင့် ထောင့်များ တူညီကြပါက သဏ္ဌာန်တူသည်။ သက်ဆိုင်ရာအနားများတွင် တူညီသောအလျားများ ရှိပါက ထိုတြိဂံနှစ်ခုတို့သည် သဏ္ဌာန်တူကြသည်။ ထိုအနားများသည် တူညီသော အချိုးများရှိကြသည်။ တြိဂံနှစ်ခုသဏ္ဌာန်တူသည်ကို သတ်မှတ်ရန် ထိုဂုဏ်သတ္တိသည် လုံလောက်သည်။

တြိဂံများ သဏ္ဌာန်တူခြင်းကို ဖော်ပြရန် အခြေခံသီအိုရမ်များ ရှိသည်။

• တြိဂံတစ်ခု၏ အတွင်းထောင့်တစ်စုံသည် အခြားတြိဂံ၏ အတွင်းထောင့်တစ်စုံနှင့် တူညီသော အတိုင်းအတာများ ရှိလျှင် ထိုတြိဂံနှစ်ခုသည် သဏ္ဌာန်တူကြသည်။

• တြိဂံတစ်ခု၏ အနားတစ်စုံသည် အခြားသောတြိဂံ၏ အနားတစ်စုံနှင့် တူညီသော အတိုင်းအတာများရှိလျှင် ထိုတြိဂံနှစ်ခုသည် သဏ္ဌာန်တူကြသည်။ ထို့ပြင် ထိုတြိဂံ၏ ပါဝင်သည့်ထောင့်များတွင် အတိုင်းအတာတူညီကြပါကလည်း သဏ္ဌာန်တူကြသည်။ (ဗဟုဂံ တစ်ခု၏ ပါဝင်သည့်ထောင့်ဆိုသည်မှာ ထိုဗဟုခံတွင် ပါဝင်သည့်အနားနှစ်ခုကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည့် အတွင်းထောင့် ဖြစ်သည်။

• တြိဂံတစ်ခု၏ အနားသုံးစုံသည် တူညီသော အချိုးများရှိကြပါက ထိုတြိဂံနှစ်ခုသည် သဏ္ဌာန်တူကြသည်။

• တြိဂံနှစ်ခုတို့သည် တူညီသော အရွယ်အစားနှင့် ပုံသဏ္ဌာန်ရှိပါက ထပ်တူညီကြသည်။ အတွင်းထောင့်များအားလုံးသည် အတိုင်းအတာတူညီပါက၊ သက်ဆိုင်ရာအနားများသည် အလျားတူညီကြပါက ထပ်တူညီကြသည်။ (ဤသည်မှာ တူညီမှုခြောက်ခု ဖြစ်၏၊ ထပ်တူညီမှုကို ပြသရန် အခါများစွာတွင် တူညီမှု သုံးခုသာ လိုအပ်သည်။)

တြိဂံနှစ်ခု ထပ်တူညီခြင်းကို ပြသရန် လုံလောက်သောလိုအပ်ချက်အချို့ ရှိသည်။ ၎င်းတို့သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်၏။

• SAS - တြိဂံတစ်ခု၏ အနားနှစ်ဖက်သည် အခြားတြိဂံတစ်ခု၏ အနားနှစ်ဖက်နှင့် တူညီသောအတိုင်းအတာရှိပြီး ထိုတြိဂံနှစ်ခုတွင် ပါဝင်သည့်အနားတို့သည်တူညီခြင်း။

• ASA - တြိဂံနှစ်ခုတို့၏ အတွင်းထောင့်နှစ်ခုနှင့် ပါဝင်သည့် အနားတစ်ခုတို့သည် အသီးသီးတူညီသော အတိုင်းအတာများ၊ အလျားများ ရှိကြခြင်း။

• SSS - တြိဂံတစ်ခု၏ အနားတစ်ခုချင်းစီသည် အခြားတြိဂံတစ်ခု၏ သက်ဆိုင်ရာအနားများနှင့် တူညီခြင်း။

• AAS - တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်နှစ်ခုနှင့် သက်ဆိုင်ရာအနားတို့သည် အခြားတြိဂံတစ်ခုနှင့် တူညီသော အတိုင်းအတာများ၊ အလျား ရှိကြခြင်း။ (ဤသည်ကို တစ်ခါတစ်ရံ AacorrS အဖြစ် ရည်ညွှန်းကြသည်။ အထက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သည့် ASA လည်း ပါဝင်သည်။)

ထပ်တူညီခြင်းကို သက်သေပြန်ရန် အခြားလုံလောက်သည့် အခြေအနေများလည်း ရှိကြသည်။ ၎င်းတို့မှာ −

တြိဂံ၏ဧရိယာကို တွက်ချက်ခြင်း

(အခြေ×အမြင့်)÷2

တြိဂံတစ်ခု၏ ထောင့်များ၊ အနားများကို တိုင်းတာတွက်ချက်သည့် နည်းလမ်းများစွာ ရှိ၏။ တိကျသေချာသော တွက်ချက်နည်းများသည် ထောင့်မှန်တြိဂံ၏ တန်ဖိုးတို့ကို တွက်ချက်ရန် ဖြစ်၏။ အခြားသော အခြေအနေများတွင် ပိုမိုရှုပ်ထွေးသော နည်းလမ်းများကို လိုအပ်သည်။

ထောင့်မှန်တြိဂံ၏ တြီဂိုအချိုးများ

ထောင့်မှန်တြိဂံတွင် ထောင့်တစ်ခုသည် အမြဲတမ်း ၉၀° (π/2 radians) ရှိ၏။ ပုံတွင် ထောင့် C ဖြစ်သည်။ ထောင့် A နှင့် B သည် အမြဲတမ်း ပြောင်းလဲသည်။ Trigonometric functions သည် ထောင့်မှန်တြိဂံ၏ အတွင်းထောင့်နှင့် အနားများ၏ အလျားတို့ကြား ဆက်သွယ်မှုကို သတ်မှတ်သည်။

ထောင့်မှန်တြိဂံတွင် တြီဂိုအချိုးများဖြစ်သည့် sine, cosine နှင့် tangent တို့ကို အနားများ၊ ထောင့်များ ရှာဖွေတွက်ချက်ရန် အသုံးပြုသည်။ တြိဂံတစ်ခု၏ အနားများသည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် -

• ထောင့်မှန်ခံအနားသည် ထောင့်မှန်၏ မျက်နှာချင်းဆိုင်အနား ဖြစ်သည်။ ထောင့်မှန်ခံအနားသည် ထောင့်မှန်တြိဂံ၏ အရှည်ဆုံးအနားလည်း ဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အနား h ဖြစ်သည်။
• မျက်နှာချင်းဆိုင်အနားသည် ရည်ရွယ်သည့်ထောင့်၏ မျက်နှာချင်းဆိုင်ရှိ အနားဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အနား a ဖြစ်သည်။ * နီးစပ်အနားသည် ရည်ရွယ်သည့်ထောင့်နှင့် ထောင့်မှန်တို့ကို ဆက်စပ်လျက်ရှိသည့် အနားဖြစ်သည်။ ပုံတွင် အနား b ဖြစ်သည်။

Sine, cosine and tangent

ထောင့်တစ်ခု၏ sine သည် ဆန့်ကျင်ဘက်အနားနှင့် ထောင့်မှန်ခံအနားတို့၏ အချိုးဖြစ်သည်။

$\sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,.$

ပြင်ပလင့်များ

• Ivanov၊ A.B. (2001)၊ "Triangle"၊ in Hazewinkel၊ Michiel (ed.)၊ Encyclopedia of Mathematics၊ Springer၊ ISBN 978-1-55608-010-4
• Clark Kimberling: Encyclopedia of triangle centers. Lists some 5200 interesting points associated with any triangle.