ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ

ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (Commutative algebra) ကို အစောပိုင်းတွင် အိုင်ဒီးလ် သီအိုရီ (ideal theory) ဟု လူသိများခဲ့သည်။ ၎င်းသည် အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) ဘာသာရပ်၏ အခွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းဘာသာရပ်သည် ဖလှယ်ရ ကွင်းများ (commutative rings) ကို လေ့လာသည်။ ထို့အပြင် အဆိုပါကွင်းများ၏ အိုင်ဒီးလ်များ (ideals) နှင့် ယင်းကွင်းများအပေါ် အခြေခံထားသော မော်ဂျူးများကိုလည်း (modules) လေ့လာသည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (algebraic geometry) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (algebraic number theory) နှစ်ခုစလုံးသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာအပေါ်တွင် အခြေခံ၍ တည်ဆောက်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ထင်ရှားသော ဖလှယ်ရ ကွင်းများ၏ ဥပမာများတွင် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းများ (polynomial rings) ပါဝင်သည်။ ထို့အပြင် ရိုးရိုး ကိန်းပြည့်များ (ordinary integers) $\mathbb {Z}$ အပါအဝင် ကိန်းပြည့်ရင်းများ၏ (algebraic integers) ကွင်းများနှင့် p-အခြေခံကိန်းပြည့်များ (p-adic integers) လည်း ပါဝင်သည်။

ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီအတွက် အဓိကကျသော နည်းစနစ်ပိုင်းဆိုင်ရာ ကိရိယာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ရလဒ်များနှင့် သဘောတရားများစွာသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ သဘောတရားများနှင့် အလွန်နီးကပ်စွာ ဆက်စပ်နေသည်။

မဖြစ်မနေ ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ ရှိရန်မလိုအပ်သော ကွင်းများကို လေ့လာခြင်းကို ဖလှယ်၍မရသော အက္ခရာသင်္ချာ (noncommutative algebra) ဟု ခေါ်သည်။ ယင်းတွင် ကွင်းသီအိုရီ (ring theory)၊ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု သီအိုရီ (representation theory) နှင့် ဘာနက် အက္ခရာသင်္ချာများ၏ (Banach algebras) သီအိုရီတို့ ပါဝင်သည်။

အကျဉ်းချုပ် (Overview)

ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာသည် အခြေခံအားဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီနှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီတို့တွင် ဖြစ်ပေါ်လာသော ကွင်းများကို လေ့လာခြင်း ဖြစ်သည်။

ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာများ၏ သဘောတရားများစွာသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီနှင့် ဆက်စပ်၍ တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာခဲ့သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီတွင် တွေ့ရလေ့ရှိသော ဖလှယ်ရ ကွင်းများ၏ အဓိက အတန်းအစားဖြစ်သည့် ဒက်ဒီကင်း ကွင်းများ (Dedekind rings) ပါဝင်သည်။ ထို့အပြင် ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ တိုးချဲ့ချက်များ (integral extensions) နှင့် တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း ကွင်းများ (valuation rings) တို့လည်း ပါဝင်သည်။

ဖီးလ်ဒ် (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ ကိန်းရှင်များ (indeterminates) အများအပြားပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းများသည် ဖလှယ်ရ ကွင်းများ၏ ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီသည် အခြေခံအားဖြင့် ဤကွင်းများ၏ ဘုံ သုညမှတ်များကို (zeros) လေ့လာခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ၏ ရလဒ်များနှင့် သဘောတရားများစွာသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာတွင် ၎င်းတို့နှင့် ကိုက်ညီသော သဘောတရားများ ရှိကြသည်။ ၎င်းတို့၏ အမည်များသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ်ကို မကြာခဏ ပြန်လည်သတိရစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ခရူးလ် အတိုင်းအတာ (Krull dimension)၊ ကွင်းတစ်ကွင်းအား ဒေသအလိုက်ဖြစ်စေခြင်း (localization of a ring)၊ ဒေသအလိုက် ကွင်း (local ring) နှင့် ပုံမှန် ကွင်း (regular ring) တို့ ဖြစ်ကြသည်။

အဖိုင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစု (affine algebraic variety) တစ်ခုသည် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းတစ်ခုအတွင်းရှိ သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ် (prime ideal) တစ်ခုနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထိုကဲ့သို့သော အဖိုင်း အဖြေစု၏ အမှတ်များသည် ဤသုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်ကို ငုံထားသော အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ်များနှင့် (maximal ideals) ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ မူလက အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစုတစ်ခုပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology) ကို မည်သည့် ဖလှယ်ရ ကွင်း၏မဆို သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ၏ အစုများဆီသို့ တိုးချဲ့သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ဤတိုပေါ်လော်ဂျီအတွက် အပိတ်စုများသည် (closed sets) ပေးထားသော အိုင်ဒီးလ်တစ်ခုကို ငုံထားသည့် သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ၏ အစုများ ဖြစ်ကြသည်။

ကွင်းတစ်ခု၏ ရောင်စဉ် (spectrum of a ring) သည် ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ တပ်ဆင်ထားသော သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် ကွင်းပါသော ရပ်ဝန်း (ringed space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ၎င်းသည် ဤတိုပေါ်လော်ဂျီ၏ အခြေအစု (basis) တစ်ခုရှိ အဖွင့်စုများ၌ (open sets) ကွင်းကို ဒေသအလိုက်ဖြစ်စေမှုများလည်း ပါဝင်သည်။ ၎င်းသည် ဂရိုသန်ဒိခ် (Grothendieck) မိတ်ဆက်ခဲ့သော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီကို ယေဘုယျပြုထားသည့် စကင်းမ် သီအိုရီ (scheme theory) ၏ အစမှတ် ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ သီအိုရီသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာအပေါ်တွင် ခိုင်မာစွာ အခြေခံထားသည်။ ယင်းသည် ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ တိုးတက်မှုများစွာကို လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။

သမိုင်းကြောင်း (History)

အစောပိုင်းက အိုင်ဒီးလ် သီအိုရီဟု လူသိများသော ဤဘာသာရပ်သည် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) ၏ အိုင်ဒီးလ်များဆိုင်ရာ သုတေသနများမှ စတင်ခဲ့သည်။ ယင်းသုတေသနများသည် အန်းစ် ကူးမား (Ernst Kummer) နှင့် လီယိုပို ကရိုနက်ကာ (Leopold Kronecker) တို့၏ အစောပိုင်း လုပ်ငန်းများအပေါ်တွင် အခြေခံထားသည်။ နောင်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) သည် အစောပိုင်း အသုံးအနှုန်းဖြစ်သော ကိန်းကွင်း (number ring) ကို ယေဘုယျပြုရန် ကွင်း (ring) ဆိုသည့် ဝေါဟာရကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်သည် ပိုမို၍ သရုပ်မဲ့ (abstract) ဖြစ်သော ချဉ်းကပ်မှုတစ်ရပ်ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) နှင့် စံပြု မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ သီအိုရီ (classical invariant theory) ကဲ့သို့သော အရာများအပေါ် အခြေခံထားသည့် ပိုမိုခိုင်မာ၍ တွက်ချက်မှုကို ဦးတည်သော နည်းလမ်းများကို အစားထိုးရန် ၎င်းချဉ်းကပ်မှုကို အသုံးပြုခဲ့သည်။ ဟီလ်ဘတ်သည် အမ်မီ နိုသာ (Emmy Noether) အပေါ် ကြီးမားစွာ လွှမ်းမိုးမှုရှိခဲ့သည်။ သူမသည် အစောပိုင်း ရလဒ်များစွာကို ယခုအခါတွင် နိုသာ အခြေအနေ (Noetherian condition) ဟု သိကြသည့် အစဉ်လိုက်တိုး ချိတ်တန်း အခြေအနေ (ascending chain condition) တစ်ခုအဖြစ် ပြန်လည်ပုံဖော်ခဲ့သည်။ နောက်ထပ် အရေးကြီးသော မှတ်တိုင်တစ်ခုမှာ ဟီလ်ဘတ်၏ တပည့် အီမန်နျူရယ် လာစကာ (Emanuel Lasker) ၏ ရလဒ်များပင် ဖြစ်သည်။ သူသည် ပရိုင်မရီ အိုင်ဒီးလ်များကို (primary ideals) မိတ်ဆက်ခဲ့ပြီး လာစကာ-နိုသာ သီအိုရမ်၏ (Lasker–Noether theorem) ပထမဆုံးပုံစံကို သက်သေပြခဲ့သည်။

ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာကို ရင့်ကျက်သော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ် မွေးဖွားလာစေရန် အဓိက တာဝန်ရှိသူမှာ ဗုဖ်ဂန် ခရူးလ် (Wolfgang Krull) ဖြစ်သည်။ သူသည် ကွင်းတစ်ကွင်း၏ ဒေသအလိုက်ဖြစ်စေခြင်း (localization) နှင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ဟူသော အခြေခံသဘောတရားများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ပုံမှန် ဒေသအလိုက် ကွင်းများ၏ (regular local rings) သဘောတရားကိုလည်း မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ သူသည် ကွင်းတစ်ကွင်း၏ ခရူးလ် အတိုင်းအတာ သဘောတရားကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ယင်းကို နိုသာ ကွင်းများအတွက် ပထမဆုံး မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ထို့နောက် ၎င်း၏ သီအိုရီကို ယေဘုယျ တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း ကွင်းများနှင့် ခရူးလ် ကွင်းများပါ (Krull rings) လွှမ်းခြုံနိုင်ရန် တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ယနေ့တိုင်အောင် ခရူးလ်၏ ပရင်စီပယ် အိုင်ဒီးလ် သီအိုရမ်ကို (Krull's principal ideal theorem) ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာတွင် အရေးအကြီးဆုံးသော အခြေခံသီအိုရမ်တစ်ခုအဖြစ် ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် ယူဆကြသည်။ ဤရလဒ်များသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီထဲသို့ ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာကို မိတ်ဆက်ပေးရန် လမ်းခင်းပေးခဲ့သည်။ ဤအကြံဉာဏ်သည် အဆိုပါ ဂျီဩမေတြီဘာသာရပ်ကို ကြီးမားစွာ တော်လှန်ပြောင်းလဲစေခဲ့သည်။

ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ခေတ်သစ် တိုးတက်မှုအများစုသည် မော်ဂျူးများကို (modules) အထူးပြုလေ့လာကြသည်။ ကွင်း R တစ်ခု၏ အိုင်ဒီးလ်များနှင့် R-အက္ခရာသင်္ချာများ နှစ်ခုစလုံးသည် R-မော်ဂျူးများ၏ အထူးအခြေအနေများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် မော်ဂျူးသီအိုရီသည် အိုင်ဒီးလ် သီအိုရီနှင့် ကွင်း တိုးချဲ့ခြင်းများဆိုင်ရာ သီအိုရီ (theory of ring extensions) နှစ်ခုစလုံးကို လွှမ်းခြုံထားသည်။ မော်ဂျူးသီအိုရီကို အသုံးပြု၍ ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာသို့ ခေတ်သစ် ချဉ်းကပ်မှုပုံစံသည် ကရိုနက်ကာ၏ လုပ်ငန်းများတွင် အစပျိုးနေပြီ ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း ယင်းချဉ်းကပ်မှုကို ခရူးလ်နှင့် နိုသာတို့၏ ဂုဏ်ကျေးဇူးအဖြစ် အများအားဖြင့် အသိအမှတ်ပြုကြသည်။

အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီနှင့် ဆက်စပ်မှုများ (Connections with algebraic geometry)

ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာသည် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု အမြဲတမ်း ဖြစ်ခဲ့သည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစုများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် အသုံးပြုသော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်းများနှင့် ၎င်းတို့၏ စားလဒ်များ (quotients) ပုံစံဖြင့် ပါဝင်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များ နှောင်းပိုင်းတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစုများကို အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck) ၏ စကင်းမ် (scheme) သဘောတရားအတွင်းသို့ ပေါင်းသွင်းခဲ့သည်။ ၎င်းတို့၏ ဒေသအလိုက် အရာဝတ္ထုများသည် အဖိုင်းစကင်းမ်များ (affine schemes) သို့မဟုတ် သုဒ္ဓကိန်း ရောင်စဉ်များ (prime spectra) ဖြစ်ကြသည်။ ယင်းတို့သည် ဒေသအလိုက် ကွင်းပါသော ရပ်ဝန်းများ (locally ringed spaces) ဖြစ်ပြီး ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ဖလှယ်ရ ကွင်းများ၏ ကတ်တဂိုရီနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက် ထပ်တူညီသော (ဒွန်တွဲ) ကတ်တဂိုရီတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ ဤသည်မှာ ဖီးလ်ဒ် k အပေါ်ရှိ အဖိုင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေစုများ၏ ကတ်တဂိုရီနှင့် အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ကိန်းပါ လျှော့ချထားသော k-အက္ခရာသင်္ချာများ၏ (finitely generated reduced k-algebras) ကတ်တဂိုရီတို့ကြားရှိ ဒွန်တွဲမှု (duality) ကို တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ကပ်ခြင်း (gluing) သည် ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ တစ်လျှောက်တွင် ဖြစ်ပေါ်သည်။ တစ်စုံတစ်ဦးသည် ဒေသအလိုက် ကွင်းပါသော ရပ်ဝန်းများ၏ ကတ်တဂိုရီအတွင်းတွင် ကပ်ခြင်းကို ပြုလုပ်နိုင်သည်။ သို့သော် ယိုးနေဒါ ထည့်သွင်းခြင်း (Yoneda embedding) ကို အသုံးပြု၍ အဖိုင်းစကင်းမ်များ ကတ်တဂိုရီအပေါ်ရှိ အစုများ၏ အကြိုစည်းများ (presheaves of sets) ပါဝင်သည့် ပိုမို၍ သရုပ်မဲ့ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌လည်း ကပ်ခြင်းကို ပြုလုပ်နိုင်သည်။ ထို့နောက် အစုသီအိုရီ ရှုထောင့်မှ ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီကို ဂရိုသန်ဒိခ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Grothendieck topology) ရှုထောင့်မှ ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီဖြင့် အစားထိုးခဲ့သည်။ ဂရိုသန်ဒိခ်သည် ကြမ်းတမ်းသော ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီထက် ပိုမိုထူးခြားပြီး ဂျီဩမေတြီအရ ပိုမိုအသေးစိတ်ကာ ပိုမိုသိမ်မွေ့သော ဥပမာများကို ရည်ရွယ်၍ ဂရိုသန်ဒိခ် တိုပေါ်လော်ဂျီများကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ အဆိုပါ ဥပမာများမှာ အေတဲလ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (étale topology) နှင့် ပြန့်ကားသော ဂရိုသန်ဒိခ် တိုပေါ်လော်ဂျီများ (flat Grothendieck topologies) နှစ်ခုဖြစ်သည့် fppf နှင့် fpqc တို့ ဖြစ်ကြသည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် နစ်ဇ်နီဗစ်ချ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (Nisnevich topology) အပါအဝင် အခြားသော ဥပမာအချို့သည်လည်း ထင်ရှားလာခဲ့သည်။ အစည်းများကို (Sheaves) ဂရိုသန်ဒိခ်၏ ရှုထောင့်မှ စတက်များ (stacks) အဖြစ်သို့ ထပ်မံ၍ ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ အများအားဖြင့် ကိုယ်စားပြုနိုင်မှုဆိုင်ရာ အခြေအနေအချို့ကို ထပ်တိုးပေးခြင်းဖြင့် အာတင် စတက်များ (Artin stacks) နှင့် ပိုမို၍အသေးစိတ်သော ဒေလင်း-မမ်းဖို့ဒ် စတက်များ (Deligne–Mumford stacks) ဆီသို့ ဦးတည်သွားစေသည်။ ထိုနှစ်ခုစလုံးကို အများအားဖြင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ စတက်များ (algebraic stacks) ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။

ကိုးကား

Atiyah၊ Michael; Macdonald၊ Ian G. (2018) [1969]၊ Introduction to Commutative Algebra၊ CRC Press၊ ISBN 978-0-429-96218-9
Bourbaki၊ Nicolas (1998) [1989]၊ "Chapters 1–7"၊ Commutative algebra၊ Elements of Mathematics၊ Springer၊ ISBN 3-540-64239-0
Bourbaki၊ Nicolas (2006) [1983]၊ "Chapitres 8 et 9"၊ Algèbre commutative၊ Éléments de mathématique၊ Springer၊ ISBN 978-3-540-33942-7
Eisenbud, David (1995)၊ Commutative algebra with a view toward algebraic geometry၊ Graduate Texts in Mathematics၊ 150၊ New York: Springer-Verlag၊ xvi+785၊ ISBN 0-387-94268-8၊ MR 1322960
Goblot၊ Rémi (2001)၊ Algèbre commutative, cours et exercices corrigés (2e ed.)၊ Dunod၊ ISBN 2-10-005779-0
Kunz၊ Ernst (1985)၊ Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry၊ Birkhauser၊ ISBN 0-8176-3065-1
Matsumura၊ Hideyuki (1980)၊ Commutative algebra၊ Mathematics Lecture Note Series၊ 56 (2nd ed.)၊ Benjamin/Cummings၊ ISBN 0-8053-7026-9
Matsumura၊ Hideyuki (1989)၊ Commutative Ring Theory၊ Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.)၊ Cambridge University Press၊ ISBN 0-521-36764-6
Nagata၊ Masayoshi (1975) [1962]၊ Local rings၊ Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics၊ 13၊ Interscience၊ ISBN 978-0-88275-228-0၊ OCLC 1137934
Reid၊ Miles (1996)၊ [[[:တမ်းပလိတ်:GBurl]] Undergraduate Commutative Algebra] တန်ဖိုး |url= စစ်ဆေးရန် (အကူအညီ)၊ London Mathematical Society Student Texts၊ Cambridge University Press၊ ISBN 978-0-521-45889-4
Serre၊ Jean-Pierre (2000)၊ Local algebra၊ Springer Monographs in Mathematics၊ ဘာသာပြန်သူ Chin၊ CheeWhye၊ Springer၊ ISBN 3-540-66641-9
Sharp၊ R.Y. (2000)၊ Steps in commutative algebra၊ London Mathematical Society Student Texts၊ 51 (2nd ed.)၊ Cambridge University Press၊ p. 2000၊ ISBN 0-521-64623-5
Zariski၊ Oscar; Samuel၊ Pierre (1975)၊ Commutative algebra၊ Graduate Texts in Mathematics၊ 28၊ Springer၊ ISBN 978-0-387-90171-8 Zariski၊ Oscar; Samuel၊ Pierre (1975)၊ Vol II၊ 29၊ Springer၊ ISBN 978-0-387-90089-6