P-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း

ကိန်းသီအိုရီတွင် ကိန်းပြည့် n တစ်ခု၏ p-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း သို့မဟုတ် p-အခြေခံကိန်း အစဉ် ဆိုသည်မှာ n ကို စား၍ပြတ်သော သုဒ္ဓကိန်း p ၏ အမြင့်ဆုံး ထပ်ကိန်းကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းကို $\nu _{p}(n)$ ဖြင့် သင်္ကေတပြုသည်။ အခြားတစ်နည်းဆိုရသော် $\nu _{p}(n)$ သည် $n$ ၏ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်းတွင် $p$ ပါဝင်သည့် ထပ်ကိန်းဖြစ်သည်။

p-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းသည် သာမန် ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) နှင့် ဆင်တူသော်လည်း အဓိကကွာခြားချက်မှာ p-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးသည် အာခီမီးဒီးစ် (Archimedean) မဟုတ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ သာမန် ပကတိတန်ဖိုးအပေါ် မူတည်၍ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ပြည့်စုံစေခြင်း (completion of the rational numbers) သည် ကိန်းစစ်များ $\mathbb {R}$ ကို ရရှိစေသော်လည်း p-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးအပေါ် မူတည်၍ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ပြည့်စုံစေခြင်းသည် p-အခြေခံကိန်းများ $\mathbb {Q} _{p}$ ကို ရရှိစေသည်။

သဘာဝကိန်းများကို ၎င်းတို့၏ ၂-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းများအလိုက် ဖြန့်ဝေထားမှုဖြစ်ပြီး သက်ဆိုင်ရာ နှစ်၏ ထပ်ကိန်းများကို ဒသမကိန်းစနစ်ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသည်။ သုညတွင် အဆုံးမရှိသော တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း ရှိသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် နှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ

p သည် သုဒ္ဓကိန်း တစ်ခုဖြစ်ပါစေ။

ကိန်းပြည့်များ

ကိန်းပြည့် $n$ တစ်ခု၏ p-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

$\nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}$

ဤတွင် $\mathbb {N} _{0}$ သည် သဘာဝကိန်းများ အစုကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ၎င်းတွင် သုညလည်း ပါဝင်သည်။ ထို့ပြင် $m\mid n$ သည် $n$ အား $m$ ဖြင့် စားပြတ်မှုကို ကိုယ်စားပြုသည်။ အထူးသဖြင့် $\nu _{p}$ သည် ဖန်ရှင် $\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup {\infty }$ တစ်ခုဖြစ်သည်။

ဥပမာအားဖြင့် $|{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}$ ဖြစ်သောကြောင့် $\nu _{2}(-12)=2$ ၊ $\nu _{3}(-12)=1$ နှင့် $\nu _{5}(-12)=0$ တို့ ဖြစ်ကြသည်။ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း $p^{k}\parallel n$ ကို $k=\nu _{p}(n)$ ဟု အဓိပ္ပာယ်သက်ရောက်ရန် တစ်ခါတစ်ရံ အသုံးပြုသည်။ $n$ သည် အပေါင်းကိန်းပြည့် တစ်ခုဖြစ်ပါက $\nu _{p}(n)\leq \log _{p}n$ ဖြစ်သည်။ ဤအချက်သည် $n\geq p^{\nu _{p}(n)}$ မှနေ၍ တိုက်ရိုက် သက်ရောက်သည်။

ရာရှင်နယ်ကိန်းများ

p-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများဆီသို့ အောက်ပါ ဖန်ရှင်အဖြစ် တိုးချဲ့နိုင်သည်။

$\nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$

၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

$\nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).$

ဥပမာအားဖြင့် ${\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}$ ဖြစ်သောကြောင့် $\nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3$ နှင့် $\nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2$ တို့ ဖြစ်ကြသည်။

အချို့သော ဂုဏ်သတ္တိများမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

$\nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)$

$\nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

ထို့ပြင် $\nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)$ ဖြစ်ပါက

$\nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

ဤနေရာတွင် $\min$ သည် ကိန်းနှစ်ခုအနက် ပိုငယ်သောတန်ဖိုးကို ကိုယ်စားပြုသည်။

ကိန်းပြည့်များ၏ p-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းအတွက် ပုံသေနည်း

လီဂျန်ဒါ၏ ပုံသေနည်း (Legendre's formula) က $\nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}}$ ဖြစ်ကြောင်း ပြသသည်။

မည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့် n အတွက်မဆို $n={\frac {n!}{(n-1)!}}$ ဖြစ်၍ $\nu _{p}(n)=\nu _{p}(n!)-\nu _{p}((n-1)!)$ ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $\nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}$ ဖြစ်သည်။

ဤအဆုံးမရှိ ပေါင်းလဒ်ကို $\sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(n)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}$ အထိ လျှော့ချနိုင်သည်။

ဤပုံသေနည်းကို အနုတ်ကိန်းပြည့် တန်ဖိုးများအထိ တိုးချဲ့နိုင်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။

$\nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(|n|)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {|n|}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {|n|-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}$

p-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုး

ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ သဘောတရားအရ စစ်မှန်သော စံနှုန်း တစ်ခု မဟုတ်သော်လည်း p-အခြေခံကိန်း စံနှုန်းဟုလည်း ခေါ်ဆိုလေ့ရှိသည့် $\mathbb {Q}$ အပေါ်ရှိ p-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးကို အောက်ပါ ဖန်ရှင်အနေဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

$|\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

$|r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.$

ထို့ကြောင့် မည်သည့် $p$ အတွက်မဆို $|0|_{p}=p^{-\infty }=0$ ဖြစ်ပြီး ဥပမာအားဖြင့် $|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$ နှင့် ${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8$ တို့ ဖြစ်ကြသည်။

p-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးသည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသည်။

အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း (Non-negativity)	$|r|_{p}\geq 0$
အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (Positive-definiteness)	$|r|_{p}=0\iff r=0$
မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (Multiplicativity)	$|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$
အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်ခြင်း (Non-Archimedean)	$|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$

မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (multiplicativity) $|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$ အရ ယူနစ်ရင်းများ (roots of unity) ဖြစ်သော $1$ နှင့် $-1$ တို့အတွက် $|1|_{p}=1=|{-1}|_{p}$ ဖြစ်ကြောင်း သိနိုင်ပြီး ရလဒ်အနေဖြင့် $|{-r}|_{p}=|r|_{p}$ လည်း ဖြစ်သည်။ နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု (subadditivity) $|r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}$ သည် အာခီမီးဒီးစ်မဟုတ်သော (non-Archimedean) တြိဂံ မညီမျှခြင်း $|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$ မှနေ၍ ဖြစ်ပေါ်လာသည်။

မြှောက်လဒ် ပုံသေနည်း

ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း (exponentiation) $p^{-\nu _{p}(r)}$ တွင် အခြေခံ $p$ ကို ရွေးချယ်မှုသည် ဂုဏ်သတ္တိအများစုအတွက် ကွာခြားမှုမရှိစေသော်လည်း ၎င်းသည် ဤမြှောက်လဒ် ပုံသေနည်းကို အထောက်အကူပြုသည်။

$\prod _{0,p}|r|_{p}=1$

ဤနေရာတွင် မြှောက်လဒ်ကို သုဒ္ဓကိန်းများ $p$ အားလုံးနှင့် $|r|_{0}$ ဟု သတ်မှတ်ရေးသားထားသော ပုံမှန် ပကတိတန်ဖိုး အပေါ်တွင် တွက်ချက်ယူထားခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း ကို ရိုးရှင်းစွာ တွက်ချက်ခြင်းမှ ဆင်းသက်လာသည်။ သုဒ္ဓဆခွဲကိန်း $p^{k}$ တစ်ခုစီတိုင်းသည် p-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုး တွက်ချက်ရာတွင် ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်ကိန်းအဖြစ် ထွက်ပေါ်လာပြီး နောက်ဆုံးတွင် ပုံမှန် အာခီမီးဒီးစ် ပကတိတန်ဖိုးနှင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ အားလုံးချေဖျက်သွားခြင်းဖြစ်သည်။

အော့စထရော့စကီး သီအိုရမ် (Ostrowski's theorem) အရ ပုံသေနည်းတွင် ပါဝင်သော ပုံမှန် နှင့် p-အခြေခံကိန်း ပကတိတန်ဖိုးများ အားလုံးသည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အပေါ်ရှိ ထပ်တူညီမှု အထိ (up to equivalence) တူညီသော ပကတိတန်ဖိုးများ ဖြစ်ကြသည်။ အလားတူ မြှောက်လဒ် ပုံသေနည်းတစ်ခုကို အလုံးစုံ ဖီးလ်ဒ်များ (global fields) ကို နဂိုမှန်အဆိုအရ သတ်မှတ်ရန် အသုံးပြုနိုင်ပြီး ထိုဖီးလ်ဒ်များထဲတွင် ရာရှင်နယ်ကိန်းများသည် အရှင်းလင်းဆုံး ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည်။

အကွာအဝေး ဖန်ရှင် နှင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (metric and completion)

အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း တစ်ခုကို အစု $\mathbb {Q}$ အပေါ်တွင် အောက်ပါအကွာအဝေး ဖန်ရှင် တစ်ခုဖြင့် ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။ အဆိုပါ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ်သော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် ဖြစ်ပြီး ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်းတွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (translation-invariant) ရှိသည်။ ၎င်းကို

$d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

အနေဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

$d(r,s)=|r-s|_{p}.$

ဤအကွာအဝေး ဖန်ရှင်အပေါ် အခြေခံ၍ $\mathbb {Q}$ ကို ပြည့်စုံစေခြင်း အားဖြင့် p-အခြေခံကိန်းများ ပါဝင်သော အစု $\mathbb {Q} _{p}$ ရစေသည်။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများကဲ့သို့ပင် ၎င်းတို့သည်ဖီးလ်ဒ် (field) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ p-အခြေခံကိန်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း နှင့် ပကတိတန်ဖိုး တို့ကို $\mathbb {Q} _{p}$ သို့ တိုးချဲ့နိုင်သောကြောင့် ၎င်းသည် ပြည့်စုံသော တန်ဖိုးဖြတ် ဖီးလ်ဒ် (complete valued field) တစ်ခု ဖြစ်သည်။