ကွန်ပလက်စ်ကိန်း

"ကွန်ပလက်စ်ကိန်း"ကို ဤနေရာသို့ ညွှန်းသည်။ ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော ကိန်းများအကြောင်းအတွက် ကိန်းကို ကြည့်ပါ။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်း တစ်ခုကို ကွန်ပလက်စ် မျက်နှာပြင်ကို ပြသသည့် အာဂန်ပုံဖြင့် ပြနိုင်သည်။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းဆိုသည်မှာ ကိန်းစစ် (real) နှင့် စိတ်ကူးယဉ် (imaginary) အပိုင်းတို့ ပါဝင်သော ကိန်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကို a + bi ဆိုသည့် ပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်ပြီး a နှင့် b တို့မှာ ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြပြီး i မှာ သုံးနေကျ စိတ်ကူးယဉ်ကိန်း၏ ယူနစ်ဖြစ်ပြီး i²= -1 ဆိုသည့် ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတွင် သာမန်ကိန်းစစ်များ ပါဝင်ပြီး အခြားကိန်းအပိုများကို ထည့်သွင်းထားခြင်းဖြင့် ပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းကို ချဲ့ထွင်ထားခြင်းပင် ဖြစ်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ အချို့ကိစ္စများတွင် ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေကို ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် အချို့သော ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) မှာ ကိန်းစစ်အဖြေမရှိပါ။ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း $x^{2}-1=0$ ကို $x$ အတွက်ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ $x^{2}+1=0$ ကို ဖြေရှင်းပါက ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ (real root) တစ်ခုမျှမရှိသည်ကို တွေ့ရမည်။ (မည်သည့် ကိန်းစစ် $x$ ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပြီးပါက $x^{2}$ ၏တန်ဖိုးမှာ အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ရာ တစ်သာထပ်ပေါင်းပါက ပေါင်းလဒ်မှာ သုညထက် အနည်းဆုံး တစ်ယူနစ်ပိုကြီးနေမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် $x^{2}+1$ သည် သုညနှင့် မည်သို့မှ ညီမည်မဟုတ်ပါ။) ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားနိုင်ရန် ကိန်းအသစ်များလိုအပ်လာသည်။ ထိုအခါ $x^{2}+1=0$ ၏ (ကိန်းစစ်မဖြစ်နိုင်သော) ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခုကို i ဟု သတ်မှတ်ကာ ၎င်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် (imaginary unit) ဟုခေါ်သည်။ (ဖော်ပြပါ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းကို ရှင်းပါက $x^{2}=-1$ ဟုထွက်ရာ i ကို -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ i သည် -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်ပါက -i သည်လည်း -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သတိချပ်သင့်သည်။) အချုပ်ဆိုရသော် i ဆိုသည်မှာ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရသည့် ကိန်းသစ်တစ်ခုဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ မည်သည့်ကိန်းစစ်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ မရနိုင်ရာ i မှာ ကိန်းစစ်မဟုတ်သည့် ကိန်းအသစ်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။
ကိန်းယောင်ယူနစ်ကို အသုံးပြု၍ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု ဆိုသည်မှာ a+bi သဏ္ဌာန်ရှိသည့် ကိန်းတစ်ခုကို ဆိုသည်။ ဤတွင် a နှင့် b မှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ သာဓက၊ $2+3i,-2+(1/3)i,4-\pi i$။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်း -2+(1/3)i ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) မှာ -2 ဖြစ်ပြီး ကိန်းယောင်ပိုင်း (imaginary part) မှာ 1/3 ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျဆိုရသော် ကွန်ပလက်စ်ကိန်း a+bi ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းမှာ a ဖြစ်၍၊ ကိန်းယောင်ပိုင်းမှာ b ဖြစ်သည်။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်း $z$ ၏ကိန်းစစ်ပိုင်းကို $Re(z)$ ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ကိန်းယောင်ပိုင်းကို $Im(z)$ ဖြင့်လည်းကောင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဥပမာ $Re(-2+(1/3)i)=-2$ နှင့် $Im(-2+(1/3)i)=1/3$ ဖြစ်သည်။
ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစုကို သင်္ကေတ $\mathbb {C}$ သုံး၍ ရေးနိုင်သည်။
ကိန်းစစ်တိုင်းမှာ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းဖြစ်သည်။ သာဓကဆိုရသော် ကိန်းစစ် 4 ကို 4+0i ဟူ၍ ရေးနိုင်သောကြောင့် ကိန်းစစ် ၄မှာ ကိန်းစစ်ပိုင်း ၄ရှိပြီး ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညရှိသည့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့သော် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိုင်း ကိန်းစစ်မဟုတ်ပါ။ ပို၍တိတိကျကျ ဆိုရသော် ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းစစ်များ မဟုတ်ကြပါ။
ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစုကို ပို၍စနစ်ကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ် တည်ဆောက်လိုပါက ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ရှိ ကွင်း (ring) များ တိုးချဲ့တည်ဆောက်ခြင်းဟူသည့် သဘောတရားကို သုံးလေ့ရှိသည်။ ထိုသို့အဓိပ္ပာယ် ဖွင့်လိုပါက ကွန်ပလက်စ်ကိန်းစု ဆိုသည်မှာ $\mathbb {R}$ အပေါ်တွင် ကိန်းရင်းများဖြင့် ထပ်ဖြည့်တည်ဆောက်ထားသည့်အစု (algebraic closure of $\mathbb {R}$) ဖြစ်သည်။

ဆက်သွယ်ချက်များနှင့် လုပ်ထုံးများ

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခု ညီခြင်း

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခု $z=a+bi$ နှင့် $w=c+di$ တို့ကို $a=c$ နှင့် $b=d$ ဖြစ်မှသာ တူသည်ဟုခေါ်ပြီး $z=w$ ဟုရေးသည်။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခု ပေါင်းခြင်းနှင့် မြောက်ခြင်း

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ၏ ပေါင်းခြင်းနှင့် မြောက်ခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပါယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ $z=a+bi$ နှင့် $w=c+di$ တို့သည် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခုဖြစ်သော်
$z+w=(a+c)+(b+d)i$
$zw=(ac-bd)+(ad+bc)i$
ဟုသတ်မှတ်သည်။ ဤတွင် $a,b,c,d$ တို့သည် ကိန်းစစ်များဖြစ်ကြသည်။ အထက်ပါအတိုင်း ပေါင်းခြင်းနှင့် မြောက်ခြင်းကို သတ်မှတ်ခဲ့သော် $(\mathbb {C} ,+,.)$ သည်အပေါင်းထပ်တူရကိန်း $0=0+0i$ နှင့် အမြောက်ထပ်တူရကိန်း $1=1+0i$ ရှိသည့် field တစ်ခုဖြစ်ကြောင်းတွေ့နိုင်သည်။ ထို့ပြင်

$-z=(-a)+(-b)i$

နှင့် $z\neq 0$ ဖြစ်ပါက

${\frac {1}{z}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}i$

ဖြစ်သည်။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခု၏ ပေါင်းခြင်းကို ဗက်တာများပေါင်းခြင်းဖြင့် အလွယ်တကူသရုပ်ဖော်နိုင်သည်။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ မြောက်ခြင်းကိုမူ ပိုလာပုံစံ (polar form) ပြောင်းပြီးမှသာလျှင် သိသိသာသာသရုပ်ဖော်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု၏ အတိုင်းအတာ (magintude)

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု $z=a+bi$ ၏ အတိုင်းအတာကို

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {(Re(z))^{2}+(Im(z))^{2}}}$

ဖြင့်သတ်မှတ်သည်။ $z$ ကို Coordinate ပြင်ညီပေါ်တွင် $(a,b)$ အားကိုယ်စားပြုသည့် အမှတ်တစ်ခုဟု မြင်ကြည့်သော် $|z|$ သည် မူလမှတ် (origin) နှင့် $(a,b)$ ကြားရှိ အကွာအဝေးပင်ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပါယ်သတ်မှတ်ချက်အရ $|z|$ သည် အမြဲတစေ အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်လေသည်။ ထို့ပြင်

$Re(z)\leq |z|,Im(z)\leq |z|$

ဖြစ်ကြောင်းကိုလည်း သတိပြုသင့်သည်။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတို့၏ အတိုင်းအတာသည် ကိန်းစစ်တစ်ခုဖြစ်သည့်အလျောက် ယင်းနှင့်သက်ဆိုင်သော မညီမျှချက်များကိုလည်း ဖော်ထုတ်နိုင်ပေသည်။ ဥပမာအနေဖြင့်

$||z|-|w||\leq |z+w|\leq |z|+|w|$

သည် တြိဂံမညီမျှချက် (Triangle inequality) အဖြစ် လူသိများသည်။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု၏ ကွန်ဂျူဂိတ်

ကွန်ပလက်စ်ကိန်း $z=a+bi$ ၏ကွန်ဂျူဂိတ်ကို ${\overline {z}}=a-bi$ ဟုသတ်မှတ်သည်။ $z$ ကို Coordinate ပြင်ညီပေါ်တွင် $(a,b)$ အားကိုယ်စားပြုသည့် အမှတ်တစ်ခုဟု မြင်ကြည့်သော် ${\overline {z}}$ သည် $(a,b)$ ကို x ဝင်ရိုးအတိုင်း အလင်းပြန် (reflect) လုပ်ရာမှ ရရှိလာသည်အမှတ်ပင်ဖြစ်သည်။
ကွန်ပလက်စ်ကိန်း $z$ ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းကို $z$ နှင့် ${\overline {z}}$ တို့ကိုသာသုံး၍ အောက်ပါအတိုင်း အလွယ်တကူပြန်လည်ရေးနိုင်သည်။

$Re(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}},Im(z)={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}$

ထို့အပြင် $|z|$ နှင့်ဆက်စပ်၍လည်း အောက်ပါမှန်ကန်ချက်ကို အလွယ်တကူရရှိနိုင်သည်။

$z{\overline {z}}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$