အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်

အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ
အုပ်စုဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ မက်ဂ်မာ ဆီမီးအုပ်စု မိုနွိုက် အုပ်စု အဘီလီယန်အုပ်စု အုပ်စုပိုင်း
ကွင်းဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ ကွင်း ဖလှယ်ရ ကွင်း ဖီးလ်ဒ် အစားကွင်း
မော်ဂျူးများ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ မော်ဂျူး ဗက်တာရပ်ဝန်း
မော်ဖစ်ဇင်များ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် အပီမော်ဖစ်ဇင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်
အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ စားလဒ်အုပ်စု / စားလဒ်ကွင်း တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် တိုက်ရိုက် ပေါင်းလဒ် တန်ဆာ မြှောက်လဒ်

ကတ်တဂိုရီ (category) $C$ အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု (object) $X$ တစ်ခု၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) ဆိုသည်မှာ $f:X\to X$ ဖြစ်သော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ကို ဆိုလိုသည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်ဟူသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) ပင်ဖြစ်သည်။ ယင်းကို အုပ်စု (group) $(G,\circ )$ တစ်ခုအတွက် သီးသန့်အသုံးပြုသောအခါ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်သည် အုပ်စုတစ်ခုမှ ၎င်းကိုယ်တိုင်ထံသို့ ဘိုင်ဂျက်တစ် (bijective) ဖြစ်သော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) ပင်ဖြစ်သည်။

အရာဝတ္ထု $X$ တစ်ခု၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် မော်ဖစ်ဇင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition of morphisms) အောက်တွင် အုပ်စု (group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ ၎င်းအုပ်စုကို $X$ ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု (automorphism group) ဟု ခေါ်သည်။

အတွင်းနှင့် အပြင် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Inner and Outer Automorphisms)

အုပ်စုတစ်ခုအတွင်း သတ်မှတ်ထားသော အစုဝင် $h\in G$ တစ်ခုအတွက် $i_{h}(g)=hgh^{-1}$ ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော $i_{h}:G\to G$ ပုံဖော်မှုသည် $G$ ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ၎င်းကို $h$ ဖြင့် ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugation) ပြုလုပ်ခြင်းဟု ခေါ်သည်။ ဤနည်းလမ်းဖြင့် ထုတ်လုပ်ရရှိသော အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များကို အတွင်း အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (inner automorphisms) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး အခြားသော အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များအားလုံးကို အပြင် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (outer automorphisms) ဟု ခေါ်သည်။

ဥပမာများ (Examples)

• $g\mapsto g^{-1}$ ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ဘိုင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု $G\to G$ သည် $G$ က အဘီလီယန်အုပ်စု ဖြစ်မှသာလျှင် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။
• ကိန်းပြည့်အုပ်စု $\mathbb {Z}$ တွင် ထပ်တူရ (identity) နှင့် $n\mapsto -n$ ဟူသော ပုံဖော်မှု (mapping) နှစ်ခုသာလျှင် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ${\text{Aut}}(\mathbb {Z} )$ သည် အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်သည့် ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group) $C_{2}$ ပင် ဖြစ်သည်။