အုပ်စု (သင်္ချာ)

သင်္ချာပညာတွင် အုပ်စု (group) ဆိုသည်မှာ အစုဝင်နှစ်ခုကို ပေါင်းစပ်၍ ၎င်းအစုအတွင်းရှိ တတိယအစုဝင်တစ်ခုကို ထုတ်ပေးနိုင်သော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) တစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု (set) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းတွက်ချက်မှုသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associative property) ပြည့်စုံရမည်။ ထို့ပြင် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခု ပါရှိရမည်။ အစုဝင်တိုင်းတွင် ပြောင်းပြန်အစုဝင် (inverse element) တစ်ခုစီ မဖြစ်မနေ ပါရှိရမည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းပြည့်များ (integers) သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှု (addition operation) ဖြင့် အုပ်စုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။

ကိန်းများ၊ ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဍာန်များ (geometric shapes) နှင့် ပိုလီနိုမီရယ် ကိန်းရင်းအဖြေများ (polynomial roots) ကဲ့သို့သော သင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (mathematical structures) ကို တစ်ပြေးညီ ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းနိုင်ရန်အတွက် အုပ်စုဟူသော သဘောတရားကို ဖော်ထုတ်ခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။ ဂျီဩမေတြီ (geometry) ဘာသာရပ်တွင် အချိုးညီမှုများ (symmetries) နှင့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (geometric transformations) ကို လေ့လာရာ၌ အုပ်စုများသည် သဘာဝအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာသည်။ အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ အချိုးညီမှုများသည် အုပ်စုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်းကို ထိုအရာဝတ္ထု၏ အချိုးညီအုပ်စု (symmetry group) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထို့ပြင် သတ်မှတ်ထားသော အမျိုးအစားတစ်ခု၏ အသွင်ပြောင်းခြင်းများသည် ယေဘုယျ အုပ်စု (general group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဂျီဩမေတြီရှိ အချိုးညီအုပ်စုများတွင် လီအုပ်စုများ (Lie groups) ပါဝင်လာတတ်သည်။ လီအုပ်စုများကို အမှုန်ရူပဗေဒ (particle physics) ၏ စံမော်ဒယ် (Standard Model) တွင်လည်း တွေ့ရှိရသည်။ ပွန်ကာရေး အုပ်စု (Poincaré group) ဆိုသည်မှာ အထူးနှိုင်းရသီအိုရီ (special relativity) ရှိ အာကာသအချိန် (spacetime) ၏ အချိုးညီမှုများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော လီအုပ်စုတစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်လီကျူး ဓာတုဗေဒ (molecular chemistry) တွင် အချိုးညီမှုကို ဖော်ပြရာ၌ အမှတ်အုပ်စုများ (point groups) ကို အသုံးပြုကြသည်။

ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို လေ့လာရာမှ အုပ်စုဟူသော သဘောတရား ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ၁၈၃၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် အီဗာရစ်စ်တီ ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ ကိန်းရင်းအဖြေများ (roots) မှဖြစ်ပေါ်လာသော အချိုးညီအုပ်စုအတွက် အုပ်စု (group) ဟူသော ဝေါဟာရကို စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းကို ယခုအခါ ဂယ်လ်ဝါ အုပ်စု (Galois group) ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ ကိန်းသီအိုရီ (number theory) နှင့် ဂျီဩမေတြီ ကဲ့သို့သော အခြားနယ်ပယ်များမှ ပံ့ပိုးမှုများ ရရှိပြီးနောက် အုပ်စုသဘောတရားကို ယေဘုယျပြုချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် ၁၈၇၀ ဝန်းကျင်တွင် ခိုင်မာစွာ အခြေချနိုင်ခဲ့သည်။ ခေတ်သစ် အုပ်စုသီအိုရီ (modern group theory) သည် သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခုဖြစ်ပြီး အုပ်စုများကို သီးခြားလေ့လာသည်။ အုပ်စုများကို စူးစမ်းလေ့လာရန်အတွက် သင်္ချာပညာရှင်များသည် ၎င်းတို့ကို ပိုမိုငယ်ရွယ်ပြီး နားလည်ရလွယ်ကူသော အစိတ်အပိုင်းများအဖြစ် ခွဲထုတ်ရန် အယူအဆအမျိုးမျိုးကို တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုပိုင်းများ (subgroups)၊ စားလဒ်အုပ်စုများ (quotient groups) နှင့် ရိုးရှင်းအုပ်စုများ (simple groups) တို့ဖြစ်သည်။ အုပ်စုသီအိုရီ ပညာရှင်များသည် အုပ်စုများ၏ သရုပ်မဲ့ ဂုဏ်သတ္တိများ (abstract properties) အပြင် ၎င်းတို့ကို ခိုင်မာစွာ ဖော်ပြနိုင်သည့် နည်းလမ်းအမျိုးမျိုးကိုလည်း လေ့လာကြသည်။ အုပ်စု၏ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ (representations of the group) မှတစ်ဆင့် လေ့လာခြင်းဖြစ်သည်။ တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ အုပ်စုသီအိုရီ (computational group theory) ရှုထောင့်မှလည်း လေ့လာကြသည်။ အဆုံးရှိအုပ်စုများ (finite groups) အတွက် သီအိုရီတစ်ခုကို တီထွင်ခဲ့ပြီး ၂၀၀၄ ခုနှစ်တွင် အဆုံးရှိ ရိုးရှင်းအုပ်စုများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (classification of finite simple groups) ဖြင့် အထွတ်အထိပ်သို့ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ ၁၉၈၀ ပြည့်လွန်နှစ်များ အလယ်ပိုင်းမှစ၍ အဆုံးရှိ ထုတ်လုပ်ပေးသော အုပ်စုများ (finitely generated groups) ကို ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဍာန်များအဖြစ် လေ့လာသည့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အုပ်စုသီအိုရီ (geometric group theory) သည် အုပ်စုသီအိုရီတွင် တက်ကြွသော နယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။

အုပ်စုများ နှင့် BG ကတ်တဂိုရီ (Groups and the BG Category)

အုပ်စု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

အုပ်စု (group) ဆိုသည်မှာ အစု (set) $G$ တစ်ခုနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) $\star$ တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အောက်ပါ အုပ်စု နဂိုမှန်အဆိုများ (group axioms) ကို ပြည့်စုံစေရမည်။

ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) $\forall a,b,c\in G:(a\star b)\star c=a\star (b\star c)$
ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) $\exists e\in G,\forall a\in G:e\star a=a\star e=a$
ပြောင်းပြန် (inverse) $\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G:a\star a^{-1}=a^{-1}\star a=e$

ထို့ကြောင့် မည်သည့် $a$ အတွက်မဆို ပြောင်းပြန် $a^{-1}$ သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် $G$ သည် ဗလာမဟုတ်သောအစု (non-empty set) ဖြစ်သည်။

ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော အဓိပ္ပာယ်အရ အုပ်စုတစ်ခု ဆိုသည်မှာ အစုဝင်တိုင်းတွင် ပြောင်းပြန် တစ်ခုစီရှိနေသော မိုနွိုက် (monoid) တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ ၎င်းပြောင်းပြန်သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့် မဖြစ်မနေ ဖြစ်ရမည်။

အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) ဆိုသည်မှာ အစုဝင်နှစ်ခု မြှောက်သည့် အစီအစဉ်သည် အရေးမကြီးသော အုပ်စုတစ်မျိုး ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းသည် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိ (commutativity) ဖြစ်သော $\forall a,b\in G:a\star b=b\star a$ ကို ပြည့်စုံစေသည်။

ကတ်တဂိုရီ $\mathbf {B} G$ တည်ဆောက်ပုံ

$G$ သည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိရှိသော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုနှင့် ထပ်တူရအစုဝင် $e$ တို့ ပါဝင်သည့် အုပ်စုတစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတွက်ချက်မှုသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှု ဖြစ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ $\mathbf {B} G$ ကို $G$ မှတစ်ဆင့် အောက်ပါအတိုင်း တည်ဆောက်သည်။

အရာဝတ္ထုများ (Objects): အရာဝတ္ထုများ စုစည်းမှုတွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ တိကျစွာ ပါဝင်သည်။ ၎င်းကို ဤနေရာတွင် $*$ ဟု သင်္ကေတပြုသည်။
မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms): $*$ မှ $*$ သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များကို (hom-set) ${\text{Hom}}_{\mathbf {B} G}(*,*)$ ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုစီသည် အုပ်စု $G$ ၏ အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ရှိသောကြောင့် မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) တစ်ခုစီ ဖြစ်သည်။
ပေါင်းစပ်ခြင်း (Composition): ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ $g,h\in {\text{Hom}}_{\mathbf {B} G}(*,*)$ အတွက် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းစပ်ခြင်း (categorical composition) $g\circ h$ ကို အုပ်စုမြှောက်ခြင်း $gh$ ဖြင့် သတ်မှတ်သည်။
ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင် (Identity Morphism): တစ်ခုတည်းသော အရာဝတ္ထု အတွက် ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်ကို $1_{*}$ ဟု သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းကို အုပ်စု ထပ်တူရအစုဝင် $e\in G$ အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

ကတ်တဂိုရီ နဂိုမှန်အဆိုများကို အတည်ပြုခြင်း (Verifying Category Axioms)

ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် ပြည့်စုံရန်အတွက် တည်ဆောက်ထားသော အချက်အလက်များသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unitality) တို့ကို ပြည့်စုံစေရမည်။

ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ: ပေါင်းစပ်၍ရသော မော်ဖစ်ဇင်သုံးခုတွဲ $f,g,h\in {\text{Hom}}_{\mathbf {B} G}(*,*)$ အတွက် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$ ကို ပြည့်စုံစေရမည်။ $\mathbf {B} G$ ရှိ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ၎င်းကို အောက်ပါ အုပ်စုမြှောက်ခြင်းအဖြစ် ပြောင်းလဲနိုင်သည်။

$(fg)h=f(gh)$

$G$ သည် အုပ်စုတစ်ခုဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုသည် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ ရှိပြီးသားဖြစ်သဖြင့် ဤနဂိုမှန်အဆိုကို ပြည့်စုံစေသည်။

ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ: မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် $g\in {\text{Hom}}_{\mathbf {B} G}(*,*)$ အတွက်မဆို ထပ်တူရ မော်ဖစ်ဇင်နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်းများသည် $1_{*}\circ g=g$ နှင့် $g\circ 1_{*}=g$ တို့ကို ပြည့်စုံစေရမည်။ $1_{*}$ အစား အုပ်စု ထပ်တူရအစုဝင် $e$ ကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။

$eg=g\quad {\text{and}}\quad ge=g$

အုပ်စုတစ်ခုရှိ ထပ်တူရအစုဝင်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ဤအချက်သည် မူလကတည်းက ပြည့်စုံပြီးဖြစ်သည်။
ထို့ကြောင့် $\mathbf {B} G$ သည် မှန်ကန်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ $\blacksquare$

ဂရုပွိုက် ဂုဏ်သတ္တိကို အတည်ပြုခြင်း (Verifying Groupoid Property)

ဂရုပွိုက် (groupoid) ဆိုသည်မှာ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုရှိ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုဖြစ်ရန် မော်ဖစ်ဇင် $f$ အတွက် $f\circ f^{-1}=1$ နှင့် $f^{-1}\circ f=1$ ဖြစ်စေမည့် မော်ဖစ်ဇင် $f^{-1}$ တစ်ခု တည်ရှိရန် လိုအပ်သည်။

ကတ်တဂိုရီ $\mathbf {B} G$ အတွက် မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းဖြစ်သော $g\in {\text{Hom}}_{\mathbf {B} G}(*,*)$ သည် အုပ်စု $G$ ၏ အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အုပ်စု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ အစုဝင် $g$ တိုင်းတွင် အောက်ပါအခြေအနေကို ပြည့်စုံစေမည့် ပြောင်းပြန် $g^{-1}\in G$ တစ်ခုစီ ပိုင်ဆိုင်သည်။

$gg^{-1}=e\quad {\text{and}}\quad g^{-1}g=e$

ယင်းကို ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသို့ ပြန်လည်ပြောင်းလဲလိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။

$g\circ g^{-1}=1_{*}\quad {\text{and}}\quad g^{-1}\circ g=1_{*}$

ဤအချက်က $\mathbf {B} G$ အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် $g$ တိုင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနေသည်။ $\mathbf {B} G$ သည် မော်ဖစ်ဇင်တိုင်း အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်ဖြစ်နေသော အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာရှိသည့် ကတ်တဂိုရီတစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် အုပ်စုတစ်ခုသည် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်း တိကျစွာပါဝင်သော ဂရုပွိုက်တစ်ခုနှင့် ထပ်တူညီကြောင်း (equivalent) အတည်ပြုနိုင်သည်။ $\blacksquare$

အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များအား ဖန်တာများအဖြစ် ရှုမြင်ခြင်း (Group Homomorphisms as Functors)

$G$ နှင့် $H$ တို့သည် အုပ်စုများ ဖြစ်ကြသည်ဟု ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီများကို $\mathbf {B} G$ နှင့် $\mathbf {B} H$ ဟု သတ်မှတ်မည်။ ဖန်တာ (functor) $F:\mathbf {B} G\to \mathbf {B} H$ တစ်ခုတွင် အရာဝတ္ထုများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များအပေါ် သက်ရောက်သည့် ပုံဖော်မှုများ ပါဝင်သည်။

အရာဝတ္ထုများအပေါ် သက်ရောက်မှု (On Objects): $F$ သည် $\mathbf {B} G$ ၏ တစ်ခုတည်းသော အရာဝတ္ထုကို $\mathbf {B} H$ အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုတစ်ခုဆီသို့ ပုံဖော်ပေးရမည်။ $\mathbf {B} H$ တွင် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ရှိသောကြောင့် ဤပုံဖော်မှုသည် အသေးအဖွဲဖြစ်ပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့် (unique) ဖြစ်သည်။

မော်ဖစ်ဇင်များအပေါ် သက်ရောက်မှု (On Morphisms): $F$ သည် $\mathbf {B} G$ အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် $\mathbf {B} H$ အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုစီကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် ၎င်းသည် အုပ်စုများ၏ အခြေခံအစုများကြားရှိ ဖန်ရှင် $F:G\to H$ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။

ဖန်တာ $F$ သည် အောက်ပါ နဂိုမှန်အဆို (axioms) နှစ်ခုကို ပြည့်စုံစေရမည်။
ထပ်တူရအစုဝင်ကို ထိန်းသိမ်းခြင်း (Preservation of Identity): $F(1_{*})=1_{F(*)}$ ဖြစ်သည်။ အုပ်စု သီအိုရီဆိုင်ရာ ဝေါဟာရအားဖြင့် ဤအချက်သည် $F$ က $G$ ၏ ထပ်တူရအစုဝင်ကို $H$ ၏ ထပ်တူရအစုဝင်ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်ဟု ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် $F(e_{G})=e_{H}$ ဖြစ်သည်။
ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ထိန်းသိမ်းခြင်း (Preservation of Composition): $\mathbf {B} G$ အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ $g_{1},g_{2}$ အတွက်မဆို $F(g_{2}\cdot g_{1})=F(g_{2})\cdot F(g_{1})$ ဖြစ်သည်။ အုပ်စု ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် အုပ်စုမြှောက်ခြင်းနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသောကြောင့် ဤအချက်သည် $F(g_{2}g_{1})=F(g_{2})F(g_{1})$ သို့ တိုက်ရိုက် ကူးပြောင်းသွားသည်။

ဤဖန်တာဖြစ်တည်မှု အခြေအနေ (functoriality conditions) နှစ်ခုသည် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) တစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ပါ နဂိုမှန်အဆိုများ အတိအကျပင် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီများအဖြစ် မှတ်ယူထားသည့် အုပ်စုများကြားရှိ ဖန်တာ (functor) တစ်ခုသည် ပုံမှန်အားဖြင့် အသုံးပြုလေ့ရှိသော အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) နှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။

ကွန်ဂျူဂိတ်အား သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းအဖြစ် ရှုမြင်ခြင်း (Conjugation as a Natural Transformation)

အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီများအဖြစ် မှတ်ယူထားသည့် အုပ်စုနှစ်ခု $G$ နှင့် $H$ တို့ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ထို့ပြင် ၎င်းတို့ကြားရှိ မျဉ်းပြိုင် ဖန်တာအတွဲ (parallel pair of functors) $F,K:\mathbf {B} G\rightrightarrows \mathbf {B} H$ ကိုလည်း စဉ်းစားပါ။ အထက်တွင် သက်သေပြခဲ့သည့်အတိုင်း $F$ နှင့် $K$ တို့သည် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြသည်။

သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) $\alpha :F\Rightarrow K$ တစ်ခုအတွက် အောက်ပါအချက်များ လိုအပ်သည်။

အစိတ်အပိုင်းများ (Components) $\mathbf {B} G$ ၏ တစ်ခုတည်းသော အရာဝတ္ထုနှင့် ဆက်စပ်နေသည့် ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီ $\mathbf {B} H$ အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သည်။ $\mathbf {B} H$ အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင်များဆိုသည်မှာ ရိုးရှင်းစွာပင် $H$ ၏ အစုဝင်များ ဖြစ်ကြသည်။ ဤအစိတ်အပိုင်းကို အုပ်စုဝင် $h\in H$ အဖြစ် သတ်မှတ်မည်။

သဘာဝကျမှု အခြေအနေ (Naturality Condition): $\mathbf {B} G$ အတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် $g$ အတွက်မဆို သဘာဝကျမှုဆိုင်ရာ စတုရန်းသည် ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံစေရမည် (commute)။ သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း $\alpha :F\Rightarrow K$ တစ်ခုအတွက် စည်းမျဉ်းအရ $K(g)\cdot \alpha _{*}=\alpha _{*}\cdot F(g)$ ဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။

ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ မော်ဖစ်ဇင်များနေရာတွင် အုပ်စုဝင်များကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ ပေါင်းစပ်တွက်ချက်မှုသည် $H$ အတွင်းရှိ အုပ်စုမြှောက်ခြင်း ဖြစ်လာသည်။ ထို့ကြောင့် သဘာဝကျမှု အခြေအနေသည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်လာသည်။

$K(g)h=hF(g)$

$H$ သည် အုပ်စုတစ်ခုဖြစ်သောကြောင့် ပြောင်းပြန် $h^{-1}$ မဖြစ်မနေ ရှိနေမည်ကို အာမခံနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ထိုညီမျှခြင်း၏ ညာဘက်မှ $h^{-1}$ ဖြင့် မြှောက်လိုက်သောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။

$K(g)=hF(g)h^{-1}$

ဤညီမျှခြင်းက ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $K$ သည် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $F$ အား အစုဝင် $h\in H$ ဖြင့် ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugate) ပြုလုပ်ထားခြင်း အတိအကျဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနေသည်။ ထို့ကြောင့် အုပ်စု ကတ်တဂိုရီများကြားရှိ ဖန်တာများအကြား သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်းတစ်ခုသည် ပစ်မှတ်အုပ်စုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုဖြင့် ကွန်ဂျူဂိတ်ပြုလုပ်ခြင်းနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီနေကြောင်း တွေ့ရသည်။