အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်

ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) ဆိုသည်မှာ အုပ်စု (group) နှစ်ခုကြားရှိ ပုံဖော်မှု (map) $\varphi :G\to H$ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် အုပ်စု၏ တွက်ချက်မှု (operation) ကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။ ၎င်းသည် $x,y\in G$ အားလုံးအတွက် $\varphi (xy)=\varphi (x)\varphi (y)$ အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည်။ ဤသို့ တွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားသော ဂုဏ်သတ္တိ (property) သည် အဆိုပါ ပုံဖော်မှုက ပါဝင်သော အုပ်စုများ၏ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) ကို လိုက်နာထိန်းသိမ်းကြောင်း သေချာစေသည်။

အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Basic Properties)

အုပ်စုတွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားခြင်းအားဖြင့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် ထပ်တူရများ (identities) နှင့် ပြောင်းပြန်များ (inverses) ကို သဘာဝအလျောက် ထိန်းသိမ်းထားသည်။ ၎င်းသည် $G$ ၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) ကို $H$ ၏ ထပ်တူရအစုဝင်ဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤအချက်ကို $\varphi (1_{G})=1_{H}$ ဟု ရေးနိုင်သည်။ ထို့အပြင် ၎င်းသည် ပြောင်းပြန်များကို ပြောင်းပြန်များဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသည်။ ဤအချက်ကို $\varphi (g^{-1})=\varphi (g)^{-1}$ ဟု ရေးနိုင်သည်။ ထို့အပြင် ကိန်းပြည့်များ (integers) $n$ အားလုံးအတွက် $\varphi (g^{n})=\varphi (g)^{n}$ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ အစုဝင် (element) $g$ တွင် အဆုံးရှိ အစီအစဉ် (finite order) $\vert {}g\vert {}$ ရှိပါက ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) ၏ အစီအစဉ် $\vert {}\varphi (g)\vert {}$ သည် $\vert {}g\vert {}$ ကို စားနိုင်ရမည်။ အကယ်၍ $\varphi$ သည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ဖြစ်ပါက ထိုအစီအစဉ်များသည် တိကျစွာ ညီမျှကြသည်။

တိကျသော ပုံဖော်မှုများသည် အုပ်စုတစ်ခု၏ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (commutativity) ကို ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ပြောင်းပြန်လှန်ခြင်း ပုံဖော်မှုနှင့် နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း ပုံဖော်မှုတို့သည် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များအဖြစ် သက်ရောက်မှုရှိသည်။ ထိုပုံဖော်မှုများကို အသီးသီးအားဖြင့် $g\mapsto g^{-1}$ နှင့် $g\mapsto g^{2}$ ဟု ရေးနိုင်သည်။ ၎င်းတို့ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ $G$ သည် အဘီလီယန် (abelian) ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။

ကာနယ်များ၊ ပုံရိပ်များနှင့် ဖိုက်ဘာများ (Kernels, Images, and Fibers)

ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု၏ သဘာဝကို ၎င်း၏ ကာနယ် (kernel) နှင့် ပုံရိပ်တို့က လွှမ်းမိုးထားသည်။ ဤကာနယ်ကို $\ker \varphi =\{g\in G\mid \varphi (g)=1_{H}\}$ ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ပေးထားပြီး ၎င်းကာနယ်သည် အမြဲတမ်း $G$ ၏ မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (normal subgroup) ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို $\ker \varphi \trianglelefteq G$ ဟု သင်္ကေတဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော (injective) အခြေအနေဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်း၏ ကာနယ်သည် အသေးအဖွဲ (trivial) ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ၎င်းအခြေအနေကို $\ker \varphi =1_{G}$ ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။

ပုံရိပ် ${\text{im}}(\varphi )$ ကို $\varphi (G)$ ဟု သတ်မှတ်ထားပြီး ၎င်းသည် $H$ ၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ပုံဖော်မှုများတစ်လျှောက် အုပ်စုပိုင်း တည်ဆောက်ပုံများကို အစဉ်တစိုက် ထိန်းသိမ်းထားသည်။ $G$ ၏ မည်သည့်အုပ်စုပိုင်းမဆိုအတွက် ပုံရိပ်သည် $H$ ၏ အုပ်စုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် $H$ ၏ မည်သည့်အုပ်စုပိုင်းမဆိုအတွက် ပြောင်းပြန်ပုံရိပ် (inverse image) သည် $G$ ၏ အုပ်စုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤပြောင်းပြန်ပုံရိပ်ကို ပူးလ်ဘက် (pullback) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ထို့အပြင် မူမှန်အုပ်စုပိုင်းတစ်ခု၏ ပြောင်းပြန်ပုံရိပ်သည် $G$ တွင် မူမှန်အုပ်စုပိုင်းအဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိသည်။

ပုံဖော်မှု၏ သဘာဝကို ဖိုက်ဘာများ (fibers) အဖြစ် အပိုင်းခွဲခြားထားသည်။ ၎င်းဖိုက်ဘာများဆိုသည်မှာ $H$ အတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုတည်းဆီသို့ ပုံဖော်ပေးသော $G$ အတွင်းရှိ အစုဝင်များပါဝင်သည့် အစုများ ဖြစ်သည်။ ဤဖိုက်ဘာများသည် ကာနယ်၏ ဘယ် ကိုဆက်များ (cosets) နှင့် ညာ ကိုဆက်များနှင့် တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ထို့ကြောင့် $\varphi (x)=\varphi (y)$ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ $x\ker \varphi =y\ker \varphi$ ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။

စားလဒ်အုပ်စုများနှင့် ဖြတ်သန်းသက်ရောက်ခြင်း (Quotient Groups and Factoring)

ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ပထမ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် သီအိုရမ် (First Isomorphism Theorem) မှတစ်ဆင့် စားလဒ်အုပ်စု (quotient group) များနှင့် အခြေခံကျကျ ချိတ်ဆက်ထားသည်။ အကယ်၍ $\varphi :G\to H$ သည် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်ပါက စားလဒ်အုပ်စု $G/\ker \varphi$ သည် ${\text{im}}(\varphi )$ နှင့် သဘာဝ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည် (naturally isomorphic)။ ဤအချက်က $\vert {}G:\ker \varphi \vert {}=\vert {}{\text{im}}(\varphi )\vert {}$ ဟူသော အညွှန်း (index) ဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှု (identity) ကို ရရှိစေသည်။

ပုံဖော်မှုများသည် စားလဒ်များမှတစ်ဆင့်လည်း ဖြတ်သန်းသက်ရောက်သည် (factor through)။ အကယ်၍ $N\trianglelefteq G$ နှင့် $N\leq \ker \varphi$ ဖြစ်ပါက $\varphi$ သည် စားလဒ်အုပ်စုအပေါ် မှန်ကန်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသော (well-defined) ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ${\bar {\varphi }}:G/N\to H$ ကို လှုံ့ဆော်ပေးသည် (induces)။ ၎င်းကို ${\bar {\varphi }}(gN)=\varphi (g)$ ဖြင့် ပေးထားသည်။ ပစ်မှတ်အုပ်စု (target group) $A$ သည် အဘီလီယန်ဖြစ်သောအခါ မည်သည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆို $\varphi :G\to A$ သည် ကွန်မြူတေတာ အုပ်စုပိုင်း (commutator subgroup) $G'$ မှတစ်ဆင့် ဖြတ်သန်းသက်ရောက်ရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $G'\leq \ker \varphi$ ဖြစ်သည်။

တည်ဆောက်ပုံ ထိန်းသိမ်းခြင်းနှင့် ဖော်ပြချက်များ (Structural Preservation and Presentations)

ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် ကျယ်ပြန့်သော အုပ်စုသီအိုရီဆိုင်ရာ အမျိုးအစားခွဲခြားမှုများကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။ အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခု၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော (homomorphic) ပုံရိပ်သည် အဘီလီယန်ဖြစ်ပြီး ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (cyclic group) တစ်ခု၏ ပုံရိပ်သည် ဆိုက်ကလစ်ဖြစ်သည်။ အလားတူပင် ဖြေရှင်း၍ရသော (solvable) သို့မဟုတ် သုညဖြစ်နိုင်စွမ်းရှိသော (nilpotent) အုပ်စုများ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ပုံရိပ်များနှင့် စားလဒ်အုပ်စုများသည်လည်း အသီးသီး ဖြေရှင်း၍ရသော သို့မဟုတ် သုညဖြစ်နိုင်စွမ်းရှိသောအုပ်စုများအဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိသည်။

ဤပုံဖော်မှုများကို ထုတ်လုပ်ကိန်းများ (generators) အပေါ် ၎င်းတို့၏ သက်ရောက်ချက် (action) ဖြင့် အပြည့်အဝ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အစု $S$ မှ အုပ်စု $G$ ဆီသို့ အစုပုံဖော်မှုတစ်ခုသည် လွတ်လပ်သော အုပ်စု (free group) $F(S)$ မှ $G$ ဆီသို့ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုအနေဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) တိုးချဲ့သွားသည်။ ဖော်ပြချက် (presentation) $G=\langle S\mid R\rangle$ ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော အုပ်စုတစ်ခုအတွက် ထုတ်လုပ်ကိန်းများ $S$ ကို အခြားအုပ်စု $H$ အတွင်းရှိ အစုဝင်များဆီသို့ ပုံဖော်ခြင်းသည် မှန်ကန်စွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုကို ရရှိစေသည်။ ဤသို့ရရှိရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ $H$ အတွင်းရှိ ပစ်မှတ်အစုဝင်များသည် $R$ တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသော ဆက်သွယ်ချက်များ (relations) အားလုံးကို ပြည့်စုံစေခြင်းပင် ဖြစ်သည်။

အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များနှင့် အုပ်စုသက်ရောက်ချက်များ (Automorphisms and Group Actions)

ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များသည် အုပ်စုသက်ရောက်ချက်များ (group actions) နှင့် အချိုးညီမှုများ (symmetries) အတွက် အခြေခံကျသော ဘာသာရပ်စကားအသုံးအနှုန်းကို ပံ့ပိုးပေးသည်။ အုပ်စု $G$ မှ ၎င်းကိုယ်တိုင်ဆီသို့ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ဤသို့သော ပုံဖော်မှုများအားလုံး၏ အစုသည် ဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (function composition) အောက်တွင် ${\text{Aut}}(G)$ အုပ်စုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ သတ်မှတ်ထားသော မည်သည့် $g\in G$ အတွက်မဆို $x\mapsto gxg^{-1}$ ပုံဖော်မှုသည် အတွင်း အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (inner automorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းအတွင်း အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ စုစည်းမှုသည် မူမှန်အုပ်စုပိုင်း ${\text{Inn}}(G)\trianglelefteq {\text{Aut}}(G)$ ကို ဖွဲ့စည်းပေးပြီး ၎င်းတွင် ${\text{Inn}}(G)\cong G/Z(G)$ ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။ ဤနေရာတွင် $Z(G)$ သည် $G$ ၏ ဗဟို (center) ဖြစ်သည်။

အစု $A$ အပေါ် $G$ ၏ အုပ်စုသက်ရောက်ချက်တစ်ခုသည် $A$ အပေါ်ရှိ ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (symmetric group) ထဲသို့ဝင်သော ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $\varphi :G\to S_{A}$ တစ်ခုနှင့် ထပ်တူညီသည် (equivalent)။ ၎င်းကို ပါမြူတေးရှင်းဆိုင်ရာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (permutation representation) ဟု ပုံစံတကျ သိထားကြသည်။ ဤသက်ရောက်ချက်၏ ကာနယ်သည် တိကျစွာပင် $\ker \varphi$ ဖြစ်သည်။ အုပ်စု $G$ သည် မူမှန်အုပ်စုပိုင်း $H\trianglelefteq G$ အပေါ်သို့ ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugation) နည်းလမ်းဖြင့် သက်ရောက်သောအခါ ၎င်းသည် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $G\to {\text{Aut}}(H)$ ကို လှုံ့ဆော်ပေးသည်။ ဤတိကျသော သက်ရောက်ချက်၏ ကာနယ်သည် ဗဟိုပြုအုပ်စု (centralizer) $C_{G}(H)$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းက စားလဒ်အုပ်စု $G/C_{G}(H)$ သည် ${\text{Aut}}(H)$ ၏ အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဖြစ်စေသည်။

ကိုးကား

• Dummit၊ David S.; Foote၊ Richard M. (2004)၊ Abstract Algebra (3rd ed.)၊ John Wiley & Sons