အုပ်စုသီအိုရီ၏ သမိုင်းကြောင်း

အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ နယ်ပယ်တစ်ခုဖြစ်ပြီး အုပ်စုများ (groups) ၏ ပုံစံအမျိုးမျိုးကို လေ့လာသည်။ အုပ်စုသီအိုရီ (history of group theory) သည် လမ်းကြောင်းအမျိုးမျိုးဖြင့် ပြိုင်တူတိုးတက်လာခဲ့ပြီး ၎င်း၏ အဓိက သမိုင်းကြောင်းဆိုင်ရာ အရင်းအမြစ် သုံးခုမှာ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများ သီအိုရီ (theory of algebraic equations)၊ ကိန်းသီအိုရီ (number theory) နှင့် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တို့ဖြစ်ကြသည်။ ဂျိုးဆက် လူဝီ လာဂရန့်ဂျ် (Joseph Louis Lagrange)၊ ပေါ်လို ရူဖီနီ (Paolo Ruffini)၊ နီးလ် ဟင်နရစ် အာဘဲလ် (Niels Henrik Abel) နှင့် အေဗာရစ်စ် ဂယ်လွိုင် (Évariste Galois) တို့သည် အုပ်စုသီအိုရီ နယ်ပယ်အစောပိုင်းရှိ သုတေသီများ ဖြစ်ခဲ့ကြသည်။

၁၉ ရာစု အစောပိုင်း

အုပ်စုများ (groups) နှင့် ပတ်သက်သော အစောဆုံး သုတေသနသည် ၁၈ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် လာဂရန့်ဂျ်၏ လေ့လာမှုများမှ စတင်ခဲ့ဖွယ်ရှိသည်။ သို့ရာတွင် ဤလေ့လာမှုများသည် အနည်းငယ် သီးခြားဖြစ်နေခဲ့ပြီး ၁၈၄၆ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin Louis Cauchy) နှင့် ဂယ်လွိုင် တို့၏ စာတမ်းများကိုသာ အုပ်စုသီအိုရီ၏ အစအဖြစ် ပိုမိုရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ ဤသီအိုရီသည် ရုတ်တရက် အလိုအလျောက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်းမဟုတ်ဘဲ နောက်ခံသမိုင်းကြောင်းများ ရှိခဲ့သောကြောင့် သီအိုရီမတိုင်မီကာလ၏ အရေးကြီးသော လမ်းကြောင်းများကို ဤနေရာတွင် ရှင်းလင်းဖော်ပြထားသည်။

ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှု (Development of permutation groups)

အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) ၏ အခြေခံကျသော အရင်းအမြစ်တစ်ခုမှာ ဒီဂရီ (degree) $4$ ထက်ပိုမိုမြင့်မားသော ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ၏ အဖြေများကို ရှာဖွေခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ဒီဂရီ $n>m$ ရှိသော ပေးထားသည့် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ ကိန်းရင်းများ (roots) အနက်မှ $m$ ခုပါဝင်မည့် ဒီဂရီ $m$ ရှိ ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ခြင်း ပြဿနာတွင် အစောပိုင်း အရင်းအမြစ်တစ်ခုကို တွေ့ရှိရသည်။ ရိုးရှင်းသော အခြေအနေများ (simple cases) အတွက် ဤပြဿနာသည် ယိုဟန်း ဗန် ဝါဗရန် ဟတ်ဒ် (Johann van Waveren Hudde) (1659) အထိ အရင်းခံသည်။ နီကိုးလတ်စ် ဆောင်းဒါဆန် (Nicholas Saunderson) (1740) က စတုတ္ထထပ်ကိန်းဖော်ပြချက် (biquadratic expression) တစ်ခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်း အစိတ်အပိုင်းများ (quadratic factors) ကို ဆုံးဖြတ်ခြင်းသည် ဆဌမထပ် ညီမျှခြင်း (sextic equation) တစ်ခုဆီသို့ မလွဲမသွေရောက်ကြောင်း မှတ်ချက်ပြုခဲ့ပြီး သောမတ်စ် လီ ဆူးရ် (Thomas Le Seur) (1703–1770) (1748) နှင့် အက်ဒဝပ် ဝါရင်း (Edward Waring) (1762 မှ 1782 အထိ) တို့က ဤအယူအဆကို ဆက်လက်ချဲ့ထွင်ခဲ့သည်။ ဝါရင်းသည် အချိုးညီ ပိုလီနိုမီရယ်များ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (fundamental theorem of symmetric polynomials) ကို သက်သေပြခဲ့ပြီး စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်း (quartic equation) တစ်ခု၏ ကိန်းရင်းများနှင့် ၎င်းကိုဖြေရှင်းပေးသော တတိယထပ်ကိန်း (resolvent cubic) တို့ကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်ကို အထူးတလည် စဉ်းစားလေ့လာခဲ့သည်။

လာဂရန့်ဂျ် (Lagrange) ၏ ရည်မှန်းချက်ပန်းတိုင် (1770 - 1771) မှာ တတိယနှင့် စတုတ္ထထပ် ညီမျှခြင်းများသည် အဖြေများအတွက် ပုံသေနည်းများကို အဘယ်ကြောင့် လက်ခံရရှိနိုင်ကြောင်းကို နားလည်ရန်ဖြစ်ပြီး အဓိကကျသော အရာဝတ္ထုမှာ ကိန်းရင်းများ၏ ပါမြူတေးရှင်းများ (permutations of roots) စုစည်းထားသော အုပ်စုပင်ဖြစ်သည်။ အစားထိုးခြင်း သီအိုရီ (theory of substitutions) ကို ဤအပေါ်တွင် တည်ဆောက်ခဲ့သည်။ လာဂရန့်ဂျ် ဖြေရှင်းကိန်းများ (Lagrange resolvents) အားလုံး၏ ကိန်းရင်းများသည် သက်ဆိုင်ရာ ညီမျှခြင်းများ၏ ကိန်းရင်းများကို အသုံးပြုထားသော ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင်များ (rational functions) ဖြစ်ကြောင်း လာဂရန့်ဂျ် ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ ဤဖန်ရှင်များ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို လေ့လာရန်အတွက် သူသည် ပေါင်းစပ်ခြင်း တွက်ချက်မှုပညာ (Calcul des Combinaisons) ကို တီထွင်ခဲ့သည်။ အလက်ဇန္ဒား-သီအိုဖိုင်း ဗန်ဒါမွန်း (Alexandre-Théophile Vandermonde) (1770) ၏ ခေတ်ပြိုင်လုပ်ဆောင်ချက်သည် အချိုးညီ ဖန်ရှင်များ သီအိုရီ (theory of symmetric functions) နှင့် ဆိုက်ကလိုတိုးမစ် ပိုလီနိုမီရယ်များ (cyclotomic polynomials) ကို ဖြေရှင်းခြင်းတို့ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။ အက္ခရာသင်္ချာ၏ ခေတ်သစ်ခေတ်ဆန်း တစ်ခုသည် ဗန်ဒါမွန်း၏ ပထမဆုံးစာတမ်းနှင့်အတူ စတင်ခဲ့သည်ဟု လီယိုပို ကရိုနက်ကာ (Leopold Kronecker) က ပြောကြားခဲ့ကြောင်း ကိုးကားကြသည်။ အချို့က ကော်ချီ (Cauchy) ကလည်း အချိုးညီ ဖန်ရှင်များနှင့် ကိန်းရှင်များ (variables) ၏ ပါမြူတေးရှင်းများကို လေ့လာခဲ့ခြင်းအတွက် လာဂရန့်ဂျ် နှင့် ဗန်ဒါမွန်း နှစ်ဦးစလုံးကို အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည် ဟုဆိုကြသည်။ အချို့သော အရင်းအမြစ်များကလည်း အဆုံးတွင် အုပ်စုသီအိုရီကို လေ့လာရန် လမ်းစဖွင့်ပေးခဲ့သော ဤထူးခြားသည့် အယူအဆနှင့် ပတ်သက်၍ ဗန်ဒါမွန်းသည် လာဂရန့်ဂျ်ထက် ဦးစွာ ဖော်ထုတ်နိုင်ခဲ့သည်ဟု ကော်ချီက မှတ်ချက်ပြုခဲ့ကြောင်း ဆိုကြသည်။

ပေါ်လို ရူဖီနီ (Paolo Ruffini) (1799) သည် ပဉ္စမထပ် (quintic) နှင့် ထို့ထက်ပိုမိုမြင့်မားသော ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းရန် မဖြစ်နိုင်ကြောင်း သက်သေပြရန် ကြိုးပမ်းခဲ့သည်။ ရူဖီနီသည် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ သီအိုရီ (theory of permutation groups) အတွင်းရှိ အုပ်စုတစ်ခု၏ အစုဝင်တစ်ခု၏ အစဉ် (order of an element of a group)၊ ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြစ်မှု (conjugacy) နှင့် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ၏ အစုဝင်များကို စက်ဝိုင်းပုံ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (cycle decomposition) ကဲ့သို့သော အယူအဆများကို ပထမဆုံး စူးစမ်းလေ့လာခဲ့သူ ဖြစ်သည်။ ရူဖီနီသည် ကူးပြောင်းနိုင်ခြင်းမရှိသော (intransitive) နှင့် ကူးပြောင်းနိုင်သော (transitive) အုပ်စုများ၊ မူလမဟုတ်သော (imprimitive) နှင့် မူလ (primitive) အုပ်စုများ ဟု ယနေ့တွင်ခေါ်ဆိုကြသည့် အရာများကို ခွဲခြားပြသခဲ့ပြီး 1801 တွင် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ အုပ်စုကို ပါမြူတေးရှင်းများ စုစည်းမှု (l'assieme delle permutazioni) ဟူသော အမည်ဖြင့် အသုံးပြုခဲ့သည်။ ပီယက်ထရို အဘားတီး (Pietro Abbati) မှ သူ့ထံသို့ပေးပို့သော စာတစ်စောင်ကိုလည်း ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး ထိုစာထဲတွင် အုပ်စုအယူအဆမှာ ထင်ရှားသည်။ သို့သော်လည်း သူသည် အုပ်စုတစ်ခု သို့မဟုတ် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုတစ်ခု၏ သဘောတရားကိုပင် ပုံစံတကျ (formalise) မပြုလုပ်နိုင်ခဲ့ပေ။

ယခုအခါ ဂယ်လွိုင် သီအိုရီ (Galois theory) ဟုခေါ်ဆိုသော သီအိုရီနှင့်အတူ အုပ်စုသီအိုရီ နှင့် ဖီးလ်ဒ် သီအိုရီ (field theory) တို့ကို ဆက်စပ်ပေးခဲ့သည့် ပထမဆုံး သင်္ချာပညာရှင်အဖြစ် အေဗာရစ်စ် ဂယ်လွိုင် (Évariste Galois) အား မှတ်တမ်းတင်အသိအမှတ်ပြုကြသည်။ ဂယ်လွိုင်သည် မော်ဂျူလာ ညီမျှခြင်းများ (modular equations) သီအိုရီနှင့် အဲလစ်ပတစ် ဖန်ရှင်များ (elliptic functions) သီအိုရီတို့တွင်လည်း ကူညီပံ့ပိုးခဲ့သည်။ အုပ်စုသီအိုရီနှင့် ပတ်သက်သော သူ၏ ပထမဆုံး ထုတ်ဝေမှုကို အသက်တစ်ဆယ့်ရှစ်နှစ်အရွယ် (1829) တွင် ပြုလုပ်ခဲ့သော်လည်းသူကွယ်လွန်ပြီးနောက် 1846 ခုနှစ်တွင် သူ၏ စုဆောင်းထားသော စာတမ်းများကို မထုတ်ဝေမီအချိန်အထိ သူ၏ ပံ့ပိုးမှုများသည် အာရုံစိုက်မှုကို သိပ်မရရှိခဲ့ပေ။ ပါမြူတေးရှင်းများ၏ အုပ်စုတစ်ခုတွင် ယခုအခါ အပိတ် ဂုဏ်သတ္တိ (closure property) ဟုခေါ်ဆိုသည့်အရာကို သူက ပထမဆုံး စဉ်းစားခဲ့ပြီး ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြခဲ့သည်။

အကယ်၍ ထိုသို့သော အုပ်စုတစ်ခုတွင် အစားထိုးခြင်းများဖြစ်သည့် $S$ နှင့် $T$ တို့ ရှိပါက အစားထိုးခြင်း $ST$ သည်လည်း ရှိနေရမည်ဖြစ်သည်။

အကယ်၍ $r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}$ တို့သည် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ ကိန်းရင်း $n$ ခု ဖြစ်ပါက $r$ များ၏ ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုတစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိပြီး ၎င်းမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်ကြောင်း ဂယ်လွိုင် တွေ့ရှိခဲ့သည်။

1. အုပ်စု၏ အစားထိုးခြင်းများဖြင့် ပြောင်းလဲခြင်းမရှိသော ကိန်းရင်းများ၏ ဖန်ရှင်တိုင်းကို ရာရှင်နယ်ဖန်ရှင်အဖြစ် (as a rational function) သိရှိနိုင်ပြီး
2. ပြောင်းပြန်အားဖြင့် (conversely) ရာရှင်နယ်ဖန်ရှင်အဖြစ် ဆုံးဖြတ်နိုင်သော ကိန်းရင်းများ၏ ဖန်ရှင်တိုင်းသည် အုပ်စု၏ အစားထိုးခြင်းများအောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) ရှိသည်။

မျက်မှောက်ခေတ် အသုံးအနှုန်းများအရ ညီမျှခြင်းတွင် တွဲထားသော ဂယ်လွိုင်အုပ်စု၏ ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်း (solvability) သည် ညီမျှခြင်းအား အရင်းများ (radicals) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍ရနိုင်စွမ်းကို ဆုံးဖြတ်ပေးသည်။

မျက်မှောက်ခေတ် အဓိပ္ပာယ်များဖြင့် အုပ်စု (group) နှင့် မူလ (primitive) ဟူသော စကားလုံးများကို ပထမဆုံး အသုံးပြုခဲ့သူမှာ ဂယ်လွိုင် ပင်ဖြစ်သည်။ သူသည် မူလအုပ်စု (primitive group) ဟူ၍ အသုံးမပြုခဲ့သော်လည်း ၎င်း၏ ဂယ်လွိုင်အုပ်စုသည် မူလဖြစ်နေသော ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို မူလညီမျှခြင်း (equation primitive) ဟု ခေါ်ဆိုခဲ့သည်။ မူမှန်အုပ်စုပိုင်းများ (normal subgroups) ဟူသော အယူအဆကို သူရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ပြီး ဖြေရှင်း၍ရသော မူလအုပ်စုတစ်ခုသည် သုဒ္ဓကိန်း အစဉ် (prime order) ရှိ အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (finite field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ အဖိုင်း ရပ်ဝန်း (affine space) တစ်ခု၏ အဖိုင်း အုပ်စု (affine group) အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်ကြောင်း တွေ့ရှိခဲ့သည်။

ဂယ်လွိုင်အုပ်စုများနှင့် ဆင်တူသော အုပ်စုများကို ယနေ့ခေတ်တွင် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ (permutation groups) ဟု ခေါ်ဆိုကြသည်။ ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ သီအိုရီသည် အော်ဂက်စတင် ကော်ချီ (Augustin Cauchy) နှင့် ကာမိုင်း ဂျော်ဒန် (Camille Jordan) တို့၏ ခေတ်တွင် ပိုမိုကျယ်ပြန့်တိုးတက်မှုများ ရှိခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ နှစ်ဦးစလုံးသည် အယူအဆသစ်များကို မိတ်ဆက်ခြင်းဖြင့် လည်းကောင်း ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ၏ အထူးအတန်းအစားများနှင့် ပတ်သက်သော များပြားလှသည့် ရလဒ်များအပြင် ယေဘုယျ သီအိုရမ် အချို့ကိုပါ အဓိကအားဖြင့် ဖော်ထုတ်ခြင်းဖြင့် လည်းကောင်း လေ့လာခဲ့ကြသည်။ ဂျော်ဒန်သည် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုများ၏ အခြေအနေတွင်သာ ကန့်သတ်ထားသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) ၏ အယူအဆတစ်ခုကို လေ့လာသတ်မှတ်ခဲ့သည်။ အုပ်စု (group) ဟူသော ဝေါဟာရကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုလာစေခဲ့သူမှာလည်း ဂျော်ဒန် ပင်ဖြစ်သည်။

အဆုံးရှိသော အုပ်စုတစ်ခု၏ သရုပ်မဲ့ (abstract) အယူအဆသည် အာသာ ကေလီ (Arthur Cayley) ၏ 1854 ခုနှစ် စာတမ်းဖြစ်သော သင်္ကေတညီမျှခြင်း $\theta ^{n}=1$ အပေါ် မူတည်သည့် အုပ်စုများ သီအိုရီအကြောင်း (On the theory of groups, as depending on the symbolic equation $\theta ^{n}=1$) တွင် ပထမဆုံးအကြိမ် ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ အဆုံးရှိအုပ်စု (finite group) တိုင်းသည် ပါမြူတေးရှင်းအုပ်စုတစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) တစ်ခုနှင့် အိုင်ဆိုမောဖစ် (isomorphic) ဖြစ်သည်ဟု ကေလီက အဆိုပြုခဲ့ပြီး ထိုရလဒ်ကို ယနေ့ခေတ်တွင် ကေလီ၏ သီအိုရမ် (Cayley's theorem) ဟု သိရှိကြသည်။ နောက်ဆက်တွဲ နှစ်များတွင် ကေလီသည် အနန္တအုပ်စုများ (infinite groups) နှင့် မြှောက်ခြင်း၏ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity of multiplication)၊ ပြောင်းပြန်များ (inverses) ရှိနေခြင်းနှင့် ဝိသေသ ပိုလီနိုမီရယ်များ (characteristic polynomials) ကဲ့သို့သော ကိန်းအုံများ (matrices) ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများကို စနစ်တကျ စုံစမ်းလေ့လာခဲ့သည်။