အုပ်စုသက်ရောက်ချက်

ကတ်တဂိုရီ (category) ${\mathcal {C}}$ အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု (object) $S$ အပေါ် အုပ်စု (group) $G$ ၏ သက်ရောက်ချက် (action) ဆိုသည်မှာ $S$ အပေါ် $G$ ၏ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (representation) တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် ၎င်းသည် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (group homomorphism) $\rho \colon G\to Aut(S)$ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် $Aut(S)$ သည် ${\mathcal {C}}$ အတွင်းရှိ $S$ ၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု (automorphism group) ဖြစ်သည်။

အထူးသဖြင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ (topological spaces) ပေါ်ရှိ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) အုပ်စုသက်ရောက်ချက်များကို အသွင်ပြောင်းအုပ်စုများ (transformation groups) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ဤအသုံးအနှုန်းကို ၁၈၇၂ ခုနှစ်ခန့်တွင် ကလိုင်း (Klein) က စတင်သုံးစွဲခဲ့သည်။ အကယ်၍ သက်ရောက်သည့် အုပ်စု $G$ ကို ရှင်းလင်းစွာ သိရှိထားပါက $G$ ၏ သက်ရောက်ချက်ပါဝင်သော ရပ်ဝန်း $X$ ကို တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ G-ရပ်ဝန်း (topological G-space) ဟု ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ အခြေအနေပေါ်မူတည်၍ လိုအပ်သလို G-အစု (G-set) သို့မဟုတ် G-မန်နီဖိုး (G-manifold) စသည်ဖြင့်လည်း ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ ရှုထောင့် (Category Theoretic Perspective)

အုပ်စု $G$ ကို အရာဝတ္ထု $\ast$ တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ သို့မဟုတ် ဂရုပွိုက် (groupoid) တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်ပြီး $\mathbf {B} G$ ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ထိုသို့ဆိုလျှင် ကတ်တဂိုရီ ${\mathcal {C}}$ အတွင်းရှိ $G$ ၏ သက်ရောက်ချက်သည် အောက်ပါပုံစံရှိသော ဖန်တာ (functor) တစ်ခုနှင့် ထပ်တူညီသည်။

• $\rho \colon \mathbf {B} G\to {\mathcal {C}}$

ဤနေရာတွင် ယခင်အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်မှ အရာဝတ္ထု $S$ သည် ထိုတစ်ခုတည်းသော အရာဝတ္ထု၏ $\rho (\ast )$ ပင် ဖြစ်သည်။

ဥပမာအနေဖြင့် ${\mathcal {C}}$ သည် အစုများ ကတ်တဂိုရီ (category of sets) ကဲ့သို့သော ကတ်တဂိုရီဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ သက်ရောက်ချက်တစ်ခုသည် အောက်ပါ ဖန်ရှင် (function) နှင့် ထပ်တူညီသည်။

• ${\begin{array}{ccc}G\times S&\longrightarrow &S\\(g,s)&\mapsto &\rho (g)(s)\end{array}}$

၎င်းဖန်ရှင်သည် အောက်ဖော်ပြပါ သက်ရောက်ချက် ဂုဏ်သတ္တိ (action property) များကို ပြည့်စုံစေရမည်။

• ${\underset {g_{1},g_{2},s}{\forall }}\;\;\;\rho (g_{1}\cdot g_{2})(s)\;=\;\rho (g_{1}){\big (}\rho (g_{2})(s){\big )}$

ထို့ပြင် အောက်ပါအခြေအနေကိုလည်း ပြည့်စုံစေရမည်။

• ${\underset {s}{\forall }}\;\;\;\rho (e)(s)\;=\;s$

ကိုးကား

• nLab authors (June 2026)၊ action (Revision 79 ed.)၊ 2026-06-16 တွင် ပြန်စစ်ပြီး