အုပ်စုပိုင်း

အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ
အုပ်စုဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ မိုနွိုက် အုပ်စု အဘီလီယန်အုပ်စု အုပ်စုပိုင်း
ကွင်းဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ ကွင်း ဖလှယ်ရ ကွင်း ဖီးလ်ဒ် အစားကွင်း
မော်ဂျူးများ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ မော်ဂျူး ဗက်တာရပ်ဝန်း
မော်ဖစ်ဇင်များ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် အပီမော်ဖစ်ဇင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်
အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ စားလဒ်အုပ်စု / စားလဒ်ကွင်း တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် တိုက်ရိုက် ပေါင်းလဒ် တန်ဆာ မြှောက်လဒ်

အုပ်စုသီအိုရီတွင် အုပ်စု (group) $G$ တစ်ခု၏ အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဆိုသည်မှာ $G$ အတွင်း၌ တည်ရှိနေသော ပို၍ငယ်သည့် အုပ်စု $H$ ကို ဆိုလိုသည်။

အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် (Definition)

$G$ ကို အုပ်စုတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ပါ။ $G$ ၏ အစုပိုင်း (subset) $H$ တစ်ခုသည် အောက်ပါ အခြေအနေသုံးရပ်နှင့် ပြည့်စုံပါက ၎င်းကို အုပ်စုပိုင်း (subgroup) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

• ၎င်းတွင် $G$ ၏ ယူနစ်အစုဝင် ပါဝင်ရမည်။
• ၎င်းသည် ပေါင်းစပ်ခြင်း နိယာမအောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closure property) ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $x,y\in H$ ဖြစ်ပါက $xy\in H$ ဖြစ်ရမည်။
• ၎င်းသည် ပြောင်းပြန်လှန်ခြင်းအောက်တွင်လည်း အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ပြည့်စုံရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $x\in H$ ဖြစ်ပါက $x^{-1}\in H$ ဖြစ်ရမည်။

ယူနစ်အစုဝင် တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော အုပ်စုပိုင်းကို အသေးအဖွဲ အုပ်စုပိုင်း (trivial subgroup) ဟု သုံးနှုန်းသည်။

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ ရှုထောင့် (Category Theoretic Perspective)

အုပ်စုပိုင်းတစ်ခုသည် အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီ (category) တွင် အရာဝတ္ထုပိုင်း (subobject) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် အုပ်စုများ၏ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (monomorphism) $H\hookrightarrow G$ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် $H$ သည် $G$ ၏ အုပ်စုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။

အထူးအခြေအနေများ (Special cases)

• မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (normal subgroup)
• တည်ငြိမ်စေ အုပ်စုပိုင်း (stabilizer subgroup)
• အကြီးဆုံး ကျစ်လျစ်သည့် အုပ်စုပိုင်း (maximal compact subgroup)
• အလိမ် အုပ်စုပိုင်း (torsion subgroup)
• ဘိုရဲလ် အုပ်စုပိုင်း (Borel subgroup)
• ပါရာဘိုလစ် အုပ်စုပိုင်း (parabolic subgroup)