အီရာရှင်နယ်ကိန်း

သင်္ချာပညာတွင် ကိန်းစစ် (real number) သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး (complex number) တစ်ခုသည် ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational number) မဟုတ်ပါက ၎င်းကို အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) ဟု ခေါ်သည်။ ထို့ကြောင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု၏ ဝိသေသလက္ခဏာမှာ ၎င်းကို ကိန်းပြည့် (integer) နှစ်ခု၏ စားလဒ် (quotient) အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရနိုင်ခြင်း ဖြစ်သည်။

ဒသမကိန်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (decimal notation) တွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများကို ပြန်မထပ်သော အနန္တဒသမကိန်းလုံးများ ကိန်းစဉ် (non-periodic infinite sequence of decimal digits) ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် 0.10110111011110… ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့သည် အဆုံးမသတ်သည့် ပြန်မထပ်ဒသမကိန်းများ (infinite non-periodic decimal fractions) ဖြစ်ကြသည်။

လူသိများသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများမှာ အွိုင်လာ၏ ကိန်း (Euler's number) ${\rm {e}}$ နှင့် $\pi$ (ပိုင်) တို့ ဖြစ်ကြပြီး ၎င်းတို့သည် ကိန်းလွန်များ (transcendental numbers) လည်း ဖြစ်ကြသည်။ နှစ်၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ${\sqrt {2}}$ နှင့် ရွှေအချိုး (golden ratio) တို့သည်လည်း အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

ကိန်းစစ်တစ်ခုကို ကိန်းပြည့်နှစ်ခု၏ အပိုင်းကိန်း (fraction) အဖြစ် ဖော်ပြ၍မရနိုင်ပါက ၎င်းကို အီရာရှင်နယ်ကိန်းဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းကို $p,q\in \mathbb {Z} ,\;q\neq 0$ ဖြစ်သော ${\tfrac {p}{q}}$ အဖြစ် ရေးသား၍ မရနိုင်ပါ။

အဆုံးရှိသော (finite) သို့မဟုတ် ပြန်ထပ်ဒသမကိန်းများ (periodic decimals) အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများနှင့် မတူဘဲ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဒသမကိန်းဖော်ပြချက်များသည် အဆုံးလည်းမသတ်သလို ပြန်လည်းမထပ်ကြပေ။

အီရာရှင်နယ်ကိန်း နှစ်မျိုးရှိသည်။ ၎င်းတို့မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$1+{\sqrt[{3}]{5}}$ $1+{\sqrt[{3}]{5}}$ ကဲ့သို့သော ကိန်းရင်းများ (algebraic numbers) သို့မဟုတ် ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ကဲ့သို့သော ပြည့်စုံနှစ်ထပ်ကိန်း မဟုတ်သည့် (non-perfect squares) နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။
- နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) ကို ဖြေရှင်းပေးသော အီရာရှင်နယ် ကိန်းရင်းများကို နှစ်ထပ်ကိန်း အီရာရှင်နယ်များ (quadratic irrationals) ဟု ခေါ်သည်။
$\pi =3.14159\ldots$ $\pi =3.14159\ldots$ ကဲ့သို့သော ကိန်း သို့မဟုတ် အွိုင်လာ၏ ကိန်း ${\rm {e=2.71828\ldots }}$ ${\rm {e=2.71828\ldots }}$ ကဲ့သို့သော ကိန်းလွန်များ ဖြစ်ကြသည်။
- ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည် ဒီဂရီ (degree) ၁ ရှိသော ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်ဖြစ်သော ကိန်းလွန်တိုင်းသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။

အီရာရှင်နယ်ကိန်းများအစုကို $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ ဟူသော အစု ခြားနားခြင်း (set difference) ဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။ ထိုနေရာတွင် $\mathbb {R}$ သည် ကိန်းစစ်များအစုကို ကိုယ်စားပြုပြီး $\mathbb {Q}$ သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစုကို ကိုယ်စားပြုသည်။

ကိန်းထွေးများ၏ ဖီးလ်ဒ် (field of complex numbers) $\mathbb {C}$ အတွင်း စူးစမ်းလေ့လာမှုများစွာ ပြုလုပ်သော ကိန်းသီအိုရီ (number theory) တွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခုကို အစု ခြားနားခြင်း $\mathbb {C} \setminus \mathbb {Q}$ မှ ကိန်းတစ်ခုအဖြစ် မကြာခဏ နားလည်သတ်မှတ်ကြသည်။ အထူးသဖြင့် ဤသဘောတရားအရ ကိန်းယောင်သီးသန့်တိုင်း (purely imaginary number) နှင့် တိကျစွာဆိုရသော် ကိန်းယောင်ယူနစ် (imaginary unit) $\mathrm {i}$ သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ပုံမှန်သင်္ချာသတ်မှတ်ချက်များတွင် အီရာရှင်နယ်ကိန်းသည် ကိန်းစစ်ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းယောင်ယူနစ် $\mathrm {i}$ ကို အီရာရှင်နယ်ကိန်းအဖြစ် မသတ်မှတ်ပါ။

အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုအား တွေ့ရှိခြင်း (Discovery of Irrationality)

အီရာရှင်နယ် အချိုးများကို ပထမဆုံး သက်သေပြချက်သည် ဘီစီ ၅ ရာစု ရှေးဟောင်းဂရိခေတ်ရှိ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသားများ (Pythagoreans) ထံမှ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ်၏ တိကျသေချာမှု စံနှုန်းများနှင့် ကိုက်ညီသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များကို ယူကလစ်ဒ် (Euclid) ၏ အဲလီမင့် (Elements) ကျမ်းတွင် တွေ့ရှိနိုင်သည်။ ခေတ်သစ်သင်္ချာဘာသာစကားသို့ ဘာသာပြန်ဆိုမှုများကို ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Karl Weierstrass) နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) တို့က ပထမဆုံး ပံ့ပိုးပေးခဲ့ကြသည်။^[၁]

အနားအလျား $1$ ရှိသော စတုရန်းတစ်ခု (square) ရှိပြီး ၎င်း၏ ထောင့်ဖြတ်မျဉ်း (diagonal) $d$ ကို တွက်ချက်ပါက ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ် (Pythagorean theorem) အရ $d^{2}=1^{2}+1^{2}$ ဖြစ်လာပြီး ထို့ကြောင့် $d^{2}=2$ ဖြစ်သည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ဤညီမျှခြင်း၏ အပေါင်းကိန်းအဖြေကို ${\sqrt {2}}$ ဟု သင်္ကေတပြုသည်။ ဂရိသင်္ချာပညာရှင်များအတွက် ဤထောင့်ဖြတ်မျဉ်း၏ အလျားကို သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) ဖြစ်သော $p$ နှင့် $q$ တို့၏ အချိုး သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်း $p/q$ အဖြစ် အတိအကျ ဖော်ပြနိုင်မည်လားဟူသော မေးခွန်း ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ဤသို့ဖော်ပြရန် မဖြစ်နိုင်ကြောင်းကို ယူကလစ်ဒ်က ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု (contradiction) နည်းလမ်းဖြင့် သက်သေပြချက် (proof by contradiction) ဖြင့် သက်သေပြခဲ့ပြီးဖြစ်သည်။ သူ၏ သက်သေပြချက်ကို ယနေ့တိုင် ကျောင်းများတွင် သင်ကြားနေဆဲ ဖြစ်သည်။ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို တွေ့ရှိခြင်းသည် စတုရန်းတစ်ခုအပေါ် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သီအိုရမ်ကို အသုံးချရာမှ ပေါ်ပေါက်လာခြင်းလား သို့မဟုတ် ကာ့တ် ဖွန် ဖရစ်ဇ် (Kurt von Fritz) အကြံပြုထားသကဲ့သို့ ပန်တာဂရမ် (pentagram) အပေါ် အဆက်မပြတ် အချိုးချခွဲဝေခြင်းမှ ပေါ်ပေါက်လာခြင်းလား ဆိုသည်ကိုမူ မသိရပေ။^[၂]

ရှေးကျသော သမိုင်းသုတေသနပြုမှုများက အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို တွေ့ရှိခြင်းသည် ရှေးဟောင်းဂရိသင်္ချာ သို့မဟုတ် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကိန်းသီအိုရီတွင် အခြေခံဆိုင်ရာ အကျပ်အတည်း (foundational crisis) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်ဟု ယူဆခဲ့ကြသည်။ ယခင်က အရာခပ်သိမ်းကို ကိန်းပြည့်အချိုးများဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်ဟူသော အခြေခံယူဆချက်တစ်ခုကို လက်ခံထားခဲ့ကြပြီး ဤအမြင်ကို ချေပလိုက်ခြင်းသည် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသားများ၏ ကမ္ဘာ့အမြင်ကို တုန်လှုပ်သွားစေခဲ့သည်ဟု ထင်မြင်ခဲ့ကြသည်။ ဤအချက်သည် ရှေးဟောင်း ဒဏ္ဍာရီတစ်ခုနှင့် ဆက်စပ်နေသည်။ အဆိုပါ ဒဏ္ဍာရီအရ မက်တာပွန်တမ်မြို့မှ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသား ဟစ်ပါဆပ်စ် (Hippasus of Metapontum) သည် ဘီစီ ၅ ရာစုတွင် ဤတွေ့ရှိချက်ကို စာဖြင့်ရေးသားထုတ်ပြန်ခြင်းဖြင့် လျှို့ဝှက်ချက်ကို ဖောက်ခဲ့သည်။ ၎င်းနောက် ပင်လယ်ထဲတွင် ရေနစ်သေဆုံးခဲ့ပြီး ၎င်းကို နတ်ဘုရားများ၏ အပြစ်ပေးမှုအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူခဲ့ကြသည်။ ယနေ့ခေတ် သိပ္ပံသမိုင်းပညာရှင်များက ထိုကဲ့သို့သော အကျပ်အတည်းမျိုး မရှိခဲ့ကြောင်းနှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို လျှို့ဝှက်ချက်တစ်ခုအဖြစ် မသတ်မှတ်ခဲ့ကြကြောင်း ယူဆကြသည်။^[၃] သို့သော် ဟစ်ပါဆပ်စ် ပြီးနောက် ကာလတွင် ဂရိသင်္ချာပညာသည် အခြေခံကျကျ ပြောင်းလဲသွားခဲ့သည်မှာ အမှန်တရားပင် ဖြစ်သည်။

အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးသော ကိန်းများ (Numbers whose irrationality is proven)

တာရန်တမ်မြို့မှ ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ကျောင်းသား အာခီးတပ်စ် (Archytas of Tarentum) သည် သဘာဝကိန်းများ $m$ အတွက် ${\sqrt {\tfrac {m+1}{m}}}$ ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့ပြီး ဖြစ်သည်။ $m=1$ ဖြစ်သော ${\sqrt {2}}$ အခြေအနေအတွက် သက်သေပြချက်ကို ယူကလစ်ဒ်၏ အဲလီမင့် ကျမ်းတွင် ထိန်းသိမ်းထားသည်။ ၎င်းကို ယူကလစ်ဒ်၏ ၂ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှု သက်သေပြချက်အဖြစ် လူသိများသည်။ ယူကလစ်ဒ် ကိုယ်တိုင်က အာခီးတပ်စ် ၏ သီအိုရမ်ကို သူ၏ ဂီတသီအိုရီ (music theory) တွင် ယေဘုယျပြုခဲ့ပြီး အလိုရှိရာ ကိန်းရင်းများ ${\sqrt[{n}]{\tfrac {m+1}{m}}}$ ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။
အခြားအရေးကြီးသော နှစ်ထပ်ကိန်း အီရာရှင်နယ်တစ်ခုမှာ ရွှေအချိုး $\textstyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ ဖြစ်သည်။
အွိုင်လာ၏ ကိန်း $\mathrm {e}$ သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) က ၁၇၃၇ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုကို ချားလ်စ် အာမစ် (Charles Hermite) က ၁၈၇၃ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။
၁၇၆၁ ခုနှစ်တွင် ယိုဟန်း ဟိုင်းနရစ် လမ်းဘတ် (Johann Heinrich Lambert) က $\pi$ ကိန်း၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်း၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုကိုမူ ဖာဒီနန် ဖွန် လင်ဒီမန်း (Ferdinand von Lindemann) က ၁၈၈၂ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။
ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (integer coefficients) ပါဝင်သော မိုနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (monic polynomial) $x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{0}$ တစ်ခု၏ ကိန်းပြည့်မဟုတ်သော ကိန်းရင်းများသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ အထူးသဖြင့် ပြည့်စုံနှစ်ထပ်ကိန်း မဟုတ်သည့် နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများဖြစ်သော ${\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {6}},\dotsc$ တို့သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။
၁၉၇၉ ခုနှစ်တွင် ရော်ဂျာ အာပယ်ရီ (Roger Apéry) သည် အာပယ်ရီ ကိန်းသေ (Apéry's constant) $\textstyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}$ ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။^[၄]
သုညမဟုတ်သော ကိန်းရင်း ${\alpha }\neq 0$ တိုင်းအတွက် ${\rm {e^{\alpha }}}$ သည် ကိန်းလွန် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို လင်ဒီမန်း-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ် (Lindemann–Weierstrass theorem) တွင် လေ့လာနိုင်သည်။
ဂဲ့လ်ဖွန် ကိန်းသေ (Gelfond's constant) ${\rm {e^{\pi }}}$ နှင့် ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ ကိန်းသေ (Gelfond–Schneider constant) $2^{\sqrt {2}}$ တို့အပြင် ၎င်းတို့၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သော ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}$ တို့၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုနှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုတို့သည် ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ သီအိုရမ် (Gelfond–Schneider theorem) မှ ဆင်းသက်လာသည်။ $2^{\sqrt {2}}$ သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်းကို ကားလ် လူဒဗစ် ဇီးဂဲလ် (Carl Ludwig Siegel) ကလည်း သက်သေပြခဲ့သည်။
လမ်းနစ်စကိတ် ကိန်းသေ (lemniscate constant) $\varpi =2.622057\ldots$ သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်းကို သီအိုဒေါ ရွှနိုက်ဒါ (Theodor Schneider) က ၁၉၃၇ ခုနှစ်တွင် သက်သေပြခဲ့သည်။
၁၉၆၃ ခုနှစ်တွင် ဆိုလိုမွန် ဒဗလျူ ဂိုလုမ် (Solomon W. Golomb) သည် ဖဲမကိန်းများ (Fermat numbers) အားလုံး၏ ပြောင်းပြန်ကိန်းများ (reciprocals) ပေါင်းလဒ်၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို သက်သေပြခဲ့သည်။^[၅] ဤနေရာတွင် $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{n}}+1}}\approx 0.59606317211782167942379392586279$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို OEIS A051158 အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။
လီယူးဗီးလ် ကိန်းများ (Liouville numbers) အားလုံးသည် ကိန်းလွန်များဖြစ်ကြပြီး ထို့ကြောင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။
သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်း $a\neq 0$ $a\neq 0$ တိုင်းအတွက် $\tan a\,$ $\tan a\,$ သည် အမြဲတမ်း အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဤအချက်က $\tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=1$ $\tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=1$ သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ခြင်းကြောင့် $\pi$ $\pi$ ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို ဖော်ပြနေသည်။^[၆]
- ထို့အပြင် လင်ဒီမန်း-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ်အရ သုညမဟုတ်သော ကိန်းရင်းတိုင်းအတွက် $\tan a\,$ သည် ကိန်းလွန် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းအတွက်လည်း ကိန်းလွန်ပင် ဖြစ်သည်။
ထို့အပြင် ${\tfrac {\left(\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right)^{2}}{\sqrt[{4\,}]{\pi }}}$ သည် ကိန်းလွန်တစ်ခုအနေဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီးဖြစ်သည်။ သို့သော် $\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)$ ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုသည် အဖြေမပေါ်သေးသော မေးခွန်းတစ်ခုအဖြစ် ကျန်ရှိနေသေးသည်။^[၇]

အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်ကြောင်း မှန်းဆထားသော ကိန်းများ (Numbers whose irrationality is conjectured)

$\pi +\mathrm {e} ,\pi -\mathrm {e} ,\pi \cdot \mathrm {e} ,\pi /\mathrm {e}$ ကိန်းများ၏ အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်မှုကို မှန်းဆထားသော်လည်း ယခုအချိန်အထိ သက်သေမပြရသေးပါ။ သို့သော် အလိုရှိရာ စုံတွဲများထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်ရမည်ကို လွယ်ကူစွာ သိမြင်နိုင်သည်။ ဤအချက်သည် မည်သည့်ကိန်းလွန် နှစ်ခုဖြစ်သော $a$ နှင့် $b$ အတွက်မဆို ယေဘုယျအားဖြင့် အကျုံးဝင်သည်။
သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် စုံတွဲ $m$ နှင့် $n$ တစ်တွဲတလေအတွက်မျှ $m\cdot \pi +n\cdot \mathrm {e}$ သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်မဖြစ်ကို မသိရှိရသေးပါ။ သို့သော် ရာရှင်နယ်ဖြစ်သော မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (linear combinations) တည်ရှိလာပါက အချိုး $m/n$ သည် ကိန်းသေ (constant) တန်ဖိုးတစ်ခုကို ရရှိမည်ဖြစ်ကြောင်းကိုမူ သိရှိထားသည်။
ထို့အပြင် $2^{\mathrm {e} }$ ၊ $\pi ^{\mathrm {e} }$ ၊ $\pi ^{\sqrt {2}}$ ၊ $\pi ^{\pi }$ ၊ $\mathrm {e} ^{\mathrm {e} }$ ၊ ကာတာလန် ကိန်းသေ (Catalan's constant) $G=0.91596\ldots$ သို့မဟုတ် အွိုင်လာ-မက်စကရိုနီ ကိန်းသေ (Euler–Mascheroni constant) $\gamma =0.57721\ldots$ တို့သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်မဖြစ်ကိုလည်း မသိရှိရသေးပေ။

အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ရေတွက်၍မရသော သဘောတရား (The uncountability of irrational numbers)

ကန်တာ၏ ပထမ ထောင့်ဖြတ်နည်းဖြင့် သက်သေပြချက် (Cantor's first diagonal argument) က ပြသထားသည့်အတိုင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများအစုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်း ပါဝင်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခု တည်ရှိသည်။ ကန်တာ၏ ဒုတိယ ထောင့်ဖြတ်နည်းဖြင့် သက်သေပြချက် (Cantor's second diagonal argument) က ရေတွက်၍မရလောက်အောင် (uncountable) များပြားသော ကိန်းစစ်များ တည်ရှိကြောင်းကို သက်သေပြထားသည်။ ဤသည်မှာ ရေတွက်၍မရလောက်အောင် များပြားသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ ရှိရမည်ဖြစ်ကြောင်းကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း ဆိုလိုသည်။ အထူးသဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများအားလုံးကို "ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်း" သို့မဟုတ် "တွက်ချက်ခြင်း" မပြုလုပ်နိုင်ကြောင်းကို ဆိုလိုသည်။ သို့မဟုတ်ပါက ရေတွက်နိုင်သောအစု နှစ်ခု၏ ပေါင်းစပ်စု (union) ဖြစ်သော ကိန်းစစ်များသည် ၎င်းတို့ကိုယ်တိုင် ရေတွက်နိုင်သော ကိန်းများ ဖြစ်သွားပေလိမ့်မည်။

ကန်တာက ထပ်ကိန်းရင်း ဖော်ပြချက်များ (radical expressions) အားလုံး ပါဝင်သည့် ကိန်းရင်းများအစုသည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်ကြောင်းကို ဆက်လက်ပြသခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ကိန်းစစ်များ သို့မဟုတ် ကိန်းထွေးများ၏ မည်သည့် ရေတွက်နိုင်သော အစုပိုင်း (countable subset) ၏ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (algebraic closure) သည်လည်း ရေတွက်နိုင်သောအစု ဖြစ်သည်။ ယင်းကဲ့သို့သော အစုများတွင် အထူးသဖြင့် ကိန်းလွန်များ ပါဝင်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတွင် ကိန်းစစ်များအားလုံး အသေအချာ မပါဝင်နိုင်ပေ။

အီရာရှင်နယ် ထပ်ကိန်းများ (Irrational exponents)

မည်သည့်အခြေအနေတွင်မဆို $a^{b}\in \mathbb {Q}$ (ဆိုလိုသည်မှာ ရာရှင်နယ်ကိန်း) ဖြစ်စေမည့် $a,b\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ ဟူသော အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ တည်ရှိသည်ဟူသည့် သီအိုရမ်တစ်ခု ရှိသည်။

ဤအတွက် အလွန်ကောင်းမွန်သော သက်သေပြချက်တစ်ခုကို ၁၉၅၃ ခုနှစ်တွင် ဒို့ဗ် ဂျာဒင် (Dov Jarden) က တင်ပြခဲ့သည်။

ပထမဦးစွာ $a=b={\sqrt {2}}$ ဟု သတ်မှတ်ပါမည်။

ယုတ္တိဗေဒဆိုင်ရာ အလယ်မရှိ နိယာမ (law of excluded middle) အရ $a^{b}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ ကိန်းသည် ရာရှင်နယ်ကိန်း သို့မဟုတ် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။ ဂဲ့လ်ဖွန်-ရွှနိုက်ဒါ သီအိုရမ်အရ ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ပြီး အထူးသဖြင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းဖြစ်သည်ဟူသော အချက်သည် ဤသက်သေပြချက်၏ သဘောတရားအတွက် သက်ဆိုင်မှု မရှိပါ။ အကယ်၍ ၎င်းသည် ရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်ပါက အဆိုပါအချက်ကို သက်သေပြပြီး ဖြစ်သွားမည်ဖြစ်သည်။

သို့သော် ၎င်းသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်နေပါက $a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ ဟု အသစ်ထပ်မံသတ်မှတ်ပြီး $b={\sqrt {2}}$ အတိုင်း ထားရှိရမည်ဖြစ်သည်။

ထို့နောက် တွက်ချက်လိုက်သောအခါ $a^{b}={({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}})}={({\sqrt {2}})}^{2}=2$ ကိန်းကို ရရှိသည်။

ဤကိန်းသည် သဘာဝကိန်းတစ်ခုအနေဖြင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းလည်း ဖြစ်သောကြောင့် ဖော်ပြချက်ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့ပြီ ဖြစ်သည်။^[၈] အတိုချုပ်ဆိုရသော် $a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ သည် ရာရှင်နယ်ကိန်း မဟုတ်ပါက $a^{\sqrt {2}}$ သည် ရာရှင်နယ်ကိန်း ဖြစ်သည်။

စာပေများ

Bundschuh၊ Peter (2008)၊ Einführung in die Zahlentheorie၊ Springer-Lehrbuch (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်) (6th, revised and updated ed.)၊ Berlin / Heidelberg: Springer Verlag၊ ISBN 978-3-540-76490-8
Conway၊ John H.; Guy၊ Richard K. (1967)၊ Zahlenzauber: Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ Translated from American English by Manfred Stern၊ Basel: Springer Basel AG၊ doi:10.1007/978-3-0348-6084-0၊ ISBN 978-3-0348-6085-7
Finch၊ Steven R. (2003)၊ Mathematical Constants၊ Encyclopedia of Mathematics and its Applications၊ 94၊ Cambridge [u. a.]: Cambridge University Press၊ ISBN 0-521-81805-2
Müller၊ Tom (2014)၊ Irrationalitätsbeweise၊ Berliner Studienreihe zur Mathematik (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 25၊ Lemgo: Heldermann Verlag၊ ISBN 978-3-88538-125-9
Perron၊ Oskar (1960)၊ Irrationalzahlen၊ Göschens Lehrbücherei, I. Gruppe (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 1 (4th, revised and expanded ed.)၊ Berlin: Walter de Gruyter & Co.
Scheid၊ Harald (2003)၊ Zahlentheorie (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်) (3rd ed.)၊ Heidelberg / Berlin: Spektrum Akademischer Verlag၊ ISBN 3-8274-1365-6
Siegel၊ Carl Ludwig (1967)၊ Transzendente Zahlen၊ BI-Hochschultaschenbücher (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 137*၊ Translated from English by B. Fuchssteiner and Detlef Laugwitz၊ Mannheim: Bibliographisches Institut

ကိုးကား

↑ Lucio Russo: Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 978-3-540-20938-6, pp. 53–56.
↑ Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon. Carl, Nuremberg 1962, pp. 430–440.
↑ Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon. Carl, Nuremberg 1962, pp. 436 f.
↑ Apéry၊ Roger (1979)၊ "Irrationalité de ζ (2) et ζ (3)"၊ Astérisque (ပြင်သစ်ဘာသာစကားဖြင့်) (61): 11–13
↑ Golomb၊ Solomon W. (1963)၊ "On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities" (PDF)၊ Canad. J. Math.၊ 15: 475–478၊ 2016-03-21 တွင် မူရင်း (PDF) အား မော်ကွန်းတင်ပြီး၊ 2016-08-09 တွင် ပြန်စစ်ပြီး
↑ Siegel၊ Carl Ludwig (1967)၊ Transzendente Zahlen၊ BI-Hochschultaschenbücher (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 137*၊ Mannheim: Bibliographisches Institut၊ p. 18
↑ Siegel၊ Carl Ludwig (1967)၊ Transzendente Zahlen၊ BI-Hochschultaschenbücher (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 137*၊ Mannheim: Bibliographisches Institut၊ p. 81
↑ "The square root of two proof"၊ QA9 (အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 2015-01-27၊ 2024-07-16 တွင် ပြန်စစ်ပြီး

[1] Lucio Russo: Die vergessene Revolution oder die Wiedergeburt des antiken Wissens. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 978-3-540-20938-6, pp. 53–56.

[2] Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon. Carl, Nuremberg 1962, pp. 430–440.

[3] Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon. Carl, Nuremberg 1962, pp. 436 f.

[4] Apéry၊ Roger (1979)၊ "Irrationalité de ζ (2) et ζ (3)"၊ Astérisque (ပြင်သစ်ဘာသာစကားဖြင့်) (61): 11–13

[5] Golomb၊ Solomon W. (1963)၊ "On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities" (PDF)၊ Canad. J. Math.၊ 15: 475–478၊ 2016-03-21 တွင် မူရင်း (PDF) အား မော်ကွန်းတင်ပြီး၊ 2016-08-09 တွင် ပြန်စစ်ပြီး

[6] Siegel၊ Carl Ludwig (1967)၊ Transzendente Zahlen၊ BI-Hochschultaschenbücher (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 137*၊ Mannheim: Bibliographisches Institut၊ p. 18

[7] Siegel၊ Carl Ludwig (1967)၊ Transzendente Zahlen၊ BI-Hochschultaschenbücher (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 137*၊ Mannheim: Bibliographisches Institut၊ p. 81

[8] "The square root of two proof"၊ QA9 (အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 2015-01-27၊ 2024-07-16 တွင် ပြန်စစ်ပြီး

[၁]

[၂]

[၃]

[၄]

[၅]

[၆]

[၇]

[၈]