အဘီလီယန်အုပ်စု

အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ
အုပ်စုဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ မိုနွိုက် အုပ်စု အဘီလီယန်အုပ်စု အုပ်စုပိုင်း
ကွင်းဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ ကွင်း ဖလှယ်ရ ကွင်း ဖီးလ်ဒ် အစားကွင်း
မော်ဂျူးများ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ မော်ဂျူး ဗက်တာရပ်ဝန်း
မော်ဖစ်ဇင်များ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် အပီမော်ဖစ်ဇင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်
အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ စားလဒ်အုပ်စု / စားလဒ်ကွင်း တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် တိုက်ရိုက် ပေါင်းလဒ် တန်ဆာ မြှောက်လဒ်

ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) ကို ဖလှယ်ရအုပ်စု (commutative group) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းအုပ်စု၏ အစုဝင် နှစ်ခုအပေါ် တွက်ချက်မှု ပြုလုပ်ရာတွင် ထွက်ပေါ်လာသော ရလဒ်သည် ၎င်းတို့၏ အစီအစဉ်အပေါ် မူတည်ခြင်းမရှိသော အုပ်စုတစ်မျိုး ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိကို ဖလှယ်ရ နဂိုမှန်အဆို (axiom of commutativity) ဟု သတ်မှတ်သည်။ အဘီလီယန်အုပ်စုများသည် ကိန်းပြည့်များ (integers) ၏ အပေါင်းတွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ဂဏန်းသင်္ချာကို ယေဘုယျပြုလုပ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းအမည်ကို သင်္ချာပညာရှင် နီးလ်စ် ဟင်နရစ် အာဘဲလ် (Niels Henrik Abel) ကို အစွဲပြု၍ မှည့်ခေါ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။

အဘီလီယန်အုပ်စုဟူသော သဘောတရားသည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာတွင် ပထမဆုံး တွေ့ကြုံရလေ့ရှိသော အခြေခံသဘောတရားများအနက် တစ်ခုဖြစ်သည်။ မော်ဂျူး (module) နှင့် ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) ကဲ့သို့သော အခြား အခြေခံ အရာဝတ္ထုများသည် ဤသဘောတရားကို ပိုမိုချဲ့ထွင်မွမ်းမံထားခြင်းများ ပင်ဖြစ်သည်။ အဘီလီယန်အုပ်စုများဆိုင်ရာ သီအိုရီသည် အဘီလီယန်မဟုတ်သော အုပ်စုများ၏ သီအိုရီထက် ယေဘုယျအားဖြင့် ပိုမိုရိုးရှင်းသည်။ ထို့အပြင် အဆုံးရှိ အဘီလီယန်အုပ်စုများ (finite abelian groups) ၏ သဘောသဘာဝကို သင်္ချာလောကတွင် အလွန်ပြည့်စုံစွာ နားလည်သဘောပေါက်ထားပြီး ဖြစ်သည်။

အဘီလီယန်အုပ်စုများကို အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် ထားရှိပြီး အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (group homomorphisms) ကို မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော ကတ်တဂိုရီ (category) ကို ${\text{Ab}}$ ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ မည်သည့် အဘီလီယန်အုပ်စုမဆိုတွင် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) $\mathbb {Z}$ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူးတစ်ခု၏ ပုံမှန် တည်ဆောက်ပုံ (canonical structure) ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ${\text{Ab}}={\text{Mod}}_{\mathbb {Z} }$ ပင်ဖြစ်သည်။