အနုတ်ကိန်း

ကိန်းစနစ်များ
စံ ကိန်းစနစ်များ သဘာဝကိန်းများ $\mathbb {N}$ အနုတ်ကိန်းများ ကိန်းပြည့်များ $\mathbb {Z}$ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ $\mathbb {Q}$ ကိန်းစစ်များ $\mathbb {R}$ ကိန်းထွေးများ $\mathbb {C}$
တိုးချဲ့ ကိန်းစနစ်များ ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များ အိုင်ဆင်စတိုင်း ကိန်းပြည့်များ ဒွန်တွဲကိန်းများ ဟိုက်ပါကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ ကွာတာနီယွန်များ $\mathbb {H}$ အော့တိုနီယွန်များ $\mathbb {O}$ p-အခြေခံကိန်းများ $\mathbb {Q} _{p}$
အက္ခရာသင်္ချာ ကိန်းအမျိုးအစားများ ကိန်းရင်းများ ${\bar {\mathbb {Q} }}$ ကိန်းပြည့်ရင်းများ ကိန်းလွန်များ တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်းများ တွက်ချက်နိုင်သောကိန်းများ
အနန္တ ကိန်းများ အော်ဒီနယ်များ ကာဒီနယ်ကိန်းများ အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ

သင်္ချာပညာတွင် အနုတ်ကိန်း (negative number) သည် သုည (zero) ထက်ငယ်သော ကိန်းစစ် (real number) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အနုတ်ကိန်းများသည် ဆန့်ကျင်ဘက်ဖြစ်မှုများကို ကိုယ်စားပြုသည်။ အပေါင်းသည် ညာဘက်သို့ ရွေ့လျားမှုကို ကိုယ်စားပြုပါက အနုတ်သည် ဘယ်ဘက်သို့ ရွေ့လျားမှုကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ခေတ်သစ် သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် အနုတ်ကိန်းကို အစဉ်ကျသော ကွင်းများ (ordered rings) နှင့် ဖီးလ်ဒ်များ (fields) ကဲ့သို့သော အစဉ်ကျသော သင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (ordered mathematical structures) အတွင်းရှိ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (additive inverse) သဘောတရားမှတစ်ဆင့် ပုံစံတကျ သတ်မှတ်ထားသည်။ သမိုင်းကြောင်းအရ နုတ်ခြင်း (subtraction) ကို အဓိက ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှု (arithmetic operation) တစ်ခုအဖြစ် ရှုမြင်ခဲ့ကြသော်လည်း ခေတ်သစ်သင်္ချာကမူ ၎င်းကို အနုတ်ပမာဏတစ်ခုအား ပေါင်းခြင်း (addition) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

သမိုင်းကြောင်း (History)

အနုတ်ကိန်းများကို သဘောတရားအဖြစ် ဖန်တီးခြင်းနှင့် လက်ခံခြင်းသည် ရှည်လျားပြီး မညီညာသော သမိုင်းဝင်လုပ်ငန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ရုပ်ဝတ္ထုပစ္စည်းများ၏ အနုတ်ပမာဏများကို သဘောတရားအဖြစ် စိတ်ကူးပုံဖော်ရာတွင် ကြုံတွေ့ရသော အခက်အခဲများနှင့် အနုတ်ရလဒ်များ ထွက်ပေါ်လာသော ညီမျှခြင်း (equation) များသည် အဓိပ္ပာယ်မရှိဟု ယုံကြည်မှုတို့ကြောင့် ဤလုပ်ငန်းစဉ်သည် ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ ကြန့်ကြာခဲ့ရသည်။ ဟယ်လင်နစ်စတစ် ဂရိခေတ်တွင် အလက်ဇန္ဒရီးယားမြို့မှ ဒိုင်အိုဖန်းတပ်စ် (Diophantus) သည် $4x+20=4$ နှင့် ထပ်တူညီသော ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ အဖြေမှာ အနုတ်ဖြစ်နေသောကြောင့် ၎င်းကို အဓိပ္ပာယ်မရှိဟု ကျော်ကြားစွာ ယူဆခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ဂရိဂျီဩမေတြီပညာရှင်များသည် အပေါင်း ကိန်းရင်းများ (positive roots) မရှိသော နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများ (quadratic forms) ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်း မပြုခဲ့ကြပေ ။ အနုတ်ပမာဏများကို စနစ်တကျ ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းထားသည့် အစောဆုံး ကျန်ရစ်သောမှတ်တမ်းသည် ဟန်ခေတ်မှစတင်ခဲ့သော ရှေးဟောင်းတရုတ်နိုင်ငံ၏ သင်္ချာအနုပညာဆိုင်ရာ အခန်းကိုးခန်း (Nine Chapters on the Mathematical Art) ကျမ်းထဲတွင် ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည် ။ ယင်နှင့် ယန်ကဲ့သို့သော ဒဿနိကဗေဒဆိုင်ရာ အစုံလိုက်သဘောတရားများ၏ လွှမ်းမိုးမှုကြောင့် တရုတ်သင်္ချာပညာရှင်များသည် အပေါင်းနှင့် အနုတ်ကိန်းများကို တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်ရန် ရေတွက်တုတ်ချောင်းများကို အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ၎င်းတို့သည် အပေါင်း မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (coefficients) အတွက် အနီရောင်တုတ်ချောင်းများကို အသုံးပြုခဲ့ပြီး အနုတ်များအတွက် အနက်ရောင်တုတ်ချောင်းများကို အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ တတိယရာစုတွင် လျှိုဟွေ (Liu Hui) သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းခြင်းနှင့် နုတ်ခြင်းအတွက် ရှင်းလင်းပြတ်သားသော စည်းမျဉ်းများကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း တရုတ်လူမျိုးများသည် အနုတ်ပမာဏများကို ညီမျှခြင်းများ၏ သီးခြားအဖြေများအဖြစ် လက်မခံခဲ့ကြသေးပေ ။

ရှေးခေတ်နှင့် အလယ်ခေတ် အိန္ဒိယနိုင်ငံတွင် အနုတ်ကိန်းများကို အက္ခရာသင်္ချာနှင့် လက်တွေ့အသုံးချမှုများတွင် ပိုမိုကျယ်ပြန့်စွာ တွေ့ရှိခဲ့ရသည်။ စီအီး အစောပိုင်းရာစုနှစ်များမှ ကိုးရာစုအထိ ခန့်မှန်းသက်တမ်းရှိသော ရှေးဟောင်း ဘာခ်ရှာလီ လက်ရေးစာမူ (Bakhshali Manuscript) သည် အနုတ်ကိန်းများကို ညွှန်ပြရန် အပေါင်း သင်္ကေတ ($+$) ကို အသုံးပြု၍ အနုတ်တန်ဖိုးများဖြင့် တွက်ချက်မှုများကို လုပ်ဆောင်ခဲ့သည် ။ စီအီး ၆၂၈ ခုနှစ်တွင် ဗြဟ္မဂုတ္တ (Brahmagupta) သည် သူ၏ Brahmasphutasiddhanta ကျမ်းတွင် အနုတ်ကိန်းများကို ကြွေးမြီများအဖြစ်နှင့် အပေါင်းကိန်းများကို ဓနဥစ္စာများအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုကာ အနုတ်ကိန်းများနှင့် သုညတို့၏ ဂဏန်းသင်္ချာကို ပုံစံတကျဖြစ်စေခဲ့သည် ။ ဗြဟ္မဂုတ္တသည် လက္ခဏာပါသော ပမာဏများအတွက် ပြည့်စုံသော တွက်ချက်မှုစည်းမျဉ်းများကို သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ အနုတ်ကိန်းနှစ်ခု သို့မဟုတ် အပေါင်းကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်များ (products) နှင့် စားလဒ်များ (quotients) သည် အပေါင်းဖြစ်ကြောင်းနှင့် လက္ခဏာမတူသော ကိန်းများ၏ မြှောက်လဒ်များနှင့် စားလဒ်များသည် အနုတ်ဖြစ်ကြောင်း သူက ဖော်ပြခဲ့သည်။ ထို့အပြင် ၎င်းစည်းမျဉ်းများကို အသုံးပြု၍ နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) အတွက် ယေဘုယျ အဖြေများကို ဖော်ထုတ်ခဲ့သည် ။ ဆယ့်နှစ်ရာစုတွင် ဘာစကာရာ-၂ (Bhāskara II) သည် နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ၏ အနုတ် ကိန်းရင်းများကို အသိအမှတ်ပြုခဲ့သည်။ သို့သော်လည်း လက်တွေ့ကမ္ဘာရှိ ဂျီဩမေတြီနှင့် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အခြေအနေများတွင် ၎င်းတို့ကို မကြာခဏ ဖယ်ထုတ်လေ့ရှိကြောင်း သူက ဖော်ပြခဲ့သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် လူအများသည် အနုတ် ကိန်းရင်းများကို သဘောမတူသောကြောင့် ဖြစ်သည် ။

အစ္စလာမ့် ရွှေခေတ်အတွင်း သင်္ချာပညာရှင်များသည် အိန္ဒိယ ဂဏန်းသင်္ချာကို လက်ခံရယူခဲ့ကြသော်လည်း အနုတ်ကိန်းများနှင့်ပတ်သက်၍ အစပိုင်းတွင် သတိထားချဉ်းကပ်ခဲ့ကြသည်။ မိုဟာမက် အစ်ဗင် မူဆာ အယ်လ်-ခိုဝါရစ်ဇ်မီ (Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi) သည် သူ၏ ကိုးရာစုထုတ် အယ်လ်-ဂျာဘာ (Al-Jabr) ကျမ်းတွင် အနုတ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများနှင့် အနုတ်အဖြေများကို ချန်လှပ်ခဲ့သည်။ အပေါင်းပမာဏများကိုသာ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းထားရန်အတွက် ၎င်းသည် နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို သီးခြားအခြေအနေများအဖြစ် ခွဲခြားခဲ့သည် ။ သို့သော် ဆယ်စုနှစ်များအတွင်းမှာပင် အဘူ ကာမစ်လ် (Abu Kamil) သည် $(a\pm b)(c\pm d)$ ပုံစံရှိသော မြှောက်လဒ်များ၏ ဖြန့်ထုတ်ချက်များတွင် လက္ခဏာစည်းမျဉ်းကို သရုပ်ပြခဲ့သည်။ အဘူလ်-ဝါဖာ (Abu'l-Wafa) သည် စီးပွားရေးကြွေးမြီများကို အနုတ်ကိန်းများအဖြစ် သတ်မှတ်ကိုင်တွယ်ခဲ့သည်။ အယ်လ်-ကရာဂျီ (Al-Karaji) ကလည်း အနုတ်ပမာဏများကို ပုံစံတကျ အက္ခရာသင်္ချာ ကိန်းများအဖြစ် သတ်မှတ်ရမည်ဟု သူ၏ အယ်လ်-ဖာခရီ (Al-Fakhri) ကျမ်းတွင် အခိုင်အမာဆိုခဲ့သည် ။ ဆယ့်နှစ်ရာစုတွင် အယ်လ်-ဆာမာဝေါလ် (Al-Samawal) သည် လက္ခဏာပါသော ကိန်းများကို ပိုလီနိုမီရယ် ဂဏန်းသင်္ချာ (polynomial arithmetic) အတွင်းသို့ အပြည့်အဝ ပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းခဲ့သည်။ သူသည် ယေဘုယျ နုတ်ခြင်း စည်းမျဉ်းများနှင့် ပိုလီနိုမီရယ် စားခြင်း (polynomial division) ရှိ မြှောက်ခြင်းအတွက် လက္ခဏာစည်းမျဉ်းများကို ရှင်းလင်းစွာ ဖော်ပြခဲ့သည် ။

အလယ်ခေတ် ဥရောပတွင် ဖီဘိုနာချီ (Fibonacci) ဟုလည်းသိကြသော ပီဆာမှ လီယိုနာဒို (Leonardo of Pisa) သည် သူ၏ ၁၂၀၂ ခုနှစ်ထွက် လစ်ဘာ အဘာချီ (Liber Abaci) ကျမ်းနှင့် ၁၂၂၅ ခုနှစ်ထွက် ဖလော့စ် (Flos) ကျမ်းတို့တွင် အနုတ်ကိန်းများကို ခွင့်ပြုအသုံးပြုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ကို ဘဏ္ဍာရေးဆိုင်ရာ ဆုံးရှုံးမှုများ သို့မဟုတ် ကြွေးမြီများအဖြစ် သူက အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုခဲ့သည် ။ ဉာဏ်တဖန်မွေးခေတ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းမှုများ ပိုမိုတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ၁၄၈၄ ခုနှစ်တွင် နီကိုလတ်စ် ချူကေး (Nicolas Chuquet) သည် အနုတ်ထပ်ကိန်းများ (negative exponents) ကို အသုံးပြုခဲ့သည်။ သူသည် ဤရလဒ်များကို အဓိပ္ပာယ်မရှိဟု ယူဆခဲ့သော်လည်း အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း ($4x=-2$) တွင် သီးသန့် အနုတ်ပမာဏတစ်ခုကို ဖော်ပြသည့် ပထမဆုံး ဥရောပတိုက်သား ဖြစ်လာခဲ့သည် ။ မီခါအဲလ် ရှတီးဖဲလ် (Michael Stifel) ၏ ၁၅၄၄ ခုနှစ်ထုတ် အရစ်သမက်တီကာ အင်တီဂရာ (Arithmetica Integra) ကျမ်းသည် နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများကို ပေါင်းစည်းရန်အတွက် အနုတ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများကို အသုံးပြုခဲ့သည်။ သို့တိုင်အောင် အနုတ်ကိန်းများကို အဓိပ္ပာယ်မဲ့ကိန်းများဟု ဆက်လက်ခေါ်ဆိုခဲ့ပြီး ၎င်းတို့ကို ကိန်းရင်းများအဖြစ် လက်မခံဘဲ ပယ်ချခဲ့သည် ။ ၁၅၄၅ ခုနှစ်တွင် ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို (Gerolamo Cardano) သည် သူ၏ အာစ် မက်ဂ်နာ (Ars Magna) ကျမ်းတွင် အနုတ်ကိန်းများကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ကို နူးမရီ ဖစ်တီ (numeri ficti) ဟု သူက အမည်ပေးခဲ့သည်။ သို့သော် အနုတ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများကို ရှောင်ရှားလိုမှုကြောင့် သူသည် သုံးထပ် ညီမျှခြင်းများ ၏ သီးခြားအခြေအနေ ဆယ့်သုံးခုကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရန် လိုအပ်ခဲ့သည် ။ နောက်ပိုင်း ရှေ့ဆောင်ပညာရှင်များဖြစ်သော ဖရန်စွာ ဗီယက် (François Viète) နှင့် သောမတ်စ် ဟယ်ရီယော့ (Thomas Harriot) တို့သည် အနုတ် ကိန်းရင်းများကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားရန် ဝန်လေးမှုကြောင့် အဟန့်အတားဖြစ်ခဲ့ကြဆဲဖြစ်သည် ။ ၁၆၂၉ ခုနှစ်တွင် အယ်လ်ဘတ် ဂျီရတ် (Albert Girard) ထံမှ ပိုမိုရှင်းလင်းသော ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အခြေခံတစ်ခု ထွက်ပေါ်လာခဲ့သည်။ သူသည် ဂျီဩမေတြီတွင် အပေါင်းက ရှေ့တိုးခြင်းဖြစ်ပြီး အနုတ်က နောက်ဆုတ်ခြင်းကို ညွှန်ပြသည်ဟု ဖော်ပြခဲ့သည်။ ထို့အပြင် အနုတ် ကိန်းရင်းများသည် အပေါင်း ကိန်းရင်းများနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်သို့ ဦးတည်နေကြောင်း ရှင်းပြခြင်းဖြင့် ကိန်းမျဉ်း (number line) သဘောတရားကို ကြိုတင်မှန်းဆခဲ့သည် ။

ဆယ့်ခုနစ်ရာစုနှင့် ဆယ့်ရှစ်ရာစုနှစ်များတွင် ကိုဩဒိနိတ် ဂျီဩမေတြီ (coordinate geometry) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis) တို့အတွင်းသို့ အနုတ်ကိန်းများ တဖြည်းဖြည်း ပေါင်းစပ်ပါဝင်လာသည်ကို တွေ့မြင်ခဲ့ရသည်။ ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) သည် သူ၏ ၁၆၃၇ ခုနှစ်ထုတ် လာ ဂျီဩမေတြီ ကျမ်းတွင် အနုတ် ကိန်းရင်းများကို မှားယွင်းသော ကိန်းရင်းများအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့ကို ခြေရာခံရန် သူ၏ နာမည်ကျော် လက္ခဏာ စည်းမျဉ်း ကို ဖန်တီးခဲ့သော်လည်း အနုတ် အက်ဘ်ဆစ်ဆာ (x-ကိုဩဒိနိတ်) (abscissas) များကိုမူ အသုံးမပြုခဲ့ပေ ။ အနုတ် ကိုဩဒိနိတ်များကို ရင်းနှီးကျွမ်းဝင်မှုမရှိခြင်းကြောင့် ခေတ်ပြိုင်သင်္ချာပညာရှင်များသည် ဒေကားတ်၏ ဖိုလီယမ် (Folium of Descartes) သို့မဟုတ် ဆလူးစ်၏ ပုလဲမျဉ်းကွေးများ (Pearls of de Sluze) ကဲ့သို့သော မျဉ်းကွေးများ (curves) ၏ သဘောသဘာဝကို မှားယွင်းစွာ သတ်မှတ်ခဲ့ကြသည်။ ခရစ္စတီယန် ဟွိုင်ဂန်း (Christiaan Huygens) က ၎င်းတို့ကို ကွဒ်ဒရန့် (quadrant) လေးခုစလုံးဖြတ်၍ ပုံကြမ်းဆွဲပြသည့်အချိန်ရောက်မှသာ ထိုအမှားများ ပြေလည်သွားခဲ့သည်။ ထို့နောက် ၁၆၇၆ ခုနှစ်တွင် အိုင်းဆက် နယူတန် (Isaac Newton) သည် အနုတ် ကိုဩဒိနိတ်များပါဝင်သော ဝင်ရိုးအပြည့်နှစ်ခုကို စနစ်တကျ အသုံးပြုခြင်းဖြင့် ဤအဓိပ္ပာယ် ဝေခွဲမရဖြစ်မှုများကို ဖယ်ရှားပေးခဲ့သည် ။ ဆယ့်ရှစ်ရာစုအထိတိုင်အောင် အခြေခံဆိုင်ရာ သံသယများ ကျန်ရှိနေခဲ့ပြီး ဖတ်စာအုပ်ရေးသားသူများကို မြှောက်ခြင်းစည်းမျဉ်းများနှင့်ပတ်သက်၍ ငြင်းခုံရန် သို့မဟုတ် အနုတ် မြှောက်လဒ်များကို လုံးဝပယ်ချရန် တွန်းအားပေးခဲ့သည် ။ လာဇာ ကာနို (Lazare Carnot) သည် ဖြတ်မျဉ်းများ (secants) နှင့် လေးကြိုးများ (chords) ဆိုင်ရာ ကွဲပြားသော သီအိုရမ်များကို လက္ခဏာပြောင်းလဲခြင်းတစ်ခုအောက်တွင် သီအိုရမ်တစ်ခုတည်းအဖြစ် လျှော့ချပြခြင်းဖြင့် ဂျီဩမေတြီရှိ အနုတ်ပမာဏများ၏ ပေါင်းစည်းနိုင်စွမ်းကို သရုပ်ပြခဲ့သည် ။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာတွင် အနုတ်ကိန်းများ၏ လော့ဂရစ်သမ်များ (logarithms) နှင့်ပတ်သက်၍ ယန် ဘာနူးလီ (Johann Bernoulli) နှင့် ဂေါ့ဖရိဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Gottfried Wilhelm Leibniz) တို့ကြား ရှည်လျားသော ငြင်းခုံမှုတစ်ခု ဖြစ်ပွားခဲ့သည်။ ယန် ဘာနူးလီက $\ln(-x)=\ln(x)$ ဖြစ်သည်ဟု လက်ခံထားခဲ့သည်။ ဤငြင်းခုံမှုကို ၁၇၄၇ ခုနှစ်တွင် လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) က ဖြေရှင်းပေးခဲ့သည်။ အွိုင်လာသည် $e^{i\pi }=-1$ ကို အသုံးပြု၍ အနုတ်ကိန်းများ၏ လော့ဂရစ်သမ်များသည် ယေဘုယျအားဖြင့် ကိန်းထွေးတန်ဖိုးများဖြစ်ကြောင်းနှင့် $x>0$ နှင့် $k\in \mathbb {Z}$ အတွက် $\log(-x)=\log(x)+i(2k+1)\pi$ ဟူသော ဆက်နွယ်မှုကို သရုပ်ပြခဲ့သည် ။ အင်္ဂလိပ် သင်္ချာပညာရှင်များသည် ဆယ့်ကိုးရာစုအတွင်းအထိ အနုတ်ကိန်းများနှင့်ပတ်သက်၍ ရှေးရိုးစွဲ သံသယကို ထိန်းသိမ်းထားခဲ့ကြသည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ပုံစံတကျ သင်္ကေတ ယုတ္တိဗေဒ (formal symbolic logic) နှင့် ခေတ်သစ် သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာများ ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အနုတ်ကိန်းများမပါဘဲ ရည်ရွယ်ချက်ရှိရှိ တွက်ချက်သည့် ဘူးလီးယန်း အက္ခရာသင်္ချာ (Boolean algebra) ကဲ့သို့သော ဘာသာရပ်များ ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ထိုအခါမှသာ သင်္ချာဘာသာရပ်သည် ပမာဏများကိုသာလေ့လာခြင်းမဟုတ်ဘဲ ပုံစံတကျ သရုပ်မဲ့ စနစ်များကို လေ့လာခြင်းဖြစ်ကြောင်း အဆုံးသတ်တွင် အခိုင်အမာ တည်ဆောက်နိုင်ခဲ့သည် ။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

ခေတ်သစ်သင်္ချာတွင် အစုဝင်တစ်ခုကို "အနုတ်" အဖြစ် သတ်မှတ်ရန် အစဉ်ကျသော တည်ဆောက်ပုံ (ordered structure) တစ်ခု လိုအပ်သည်။ အစဉ်ကျသော အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (ordered integral domain) သို့မဟုတ် အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ် (ordered field) တစ်ခုတွင် $x<0$ ဖြစ်ပါက အစုဝင် $x$ ကို အနုတ်အဖြစ် ပုံစံတကျသတ်မှတ်ပြီး $x>0$ ဖြစ်ပါက အပေါင်းအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ မညီမျှခြင်း (inequality) ၏ နှစ်ဖက်စလုံးသို့ $-x$ ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းဖြင့် $-x<0$ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ $x>0$ ဖြစ်သည် ။

အလိုရှိရာ အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) $(G,+)$ ကဲ့သို့သော ပိုမိုယေဘုယျကျသည့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအနေတွင် အစုဝင်များသည် ပင်ကို အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု သို့မဟုတ် အနုတ်ကိန်းဖြစ်မှုတို့ကို ပိုင်ဆိုင်ထားခြင်းမရှိပေ။ ထိုအစား အနုတ်လက္ခဏာပြောင်းခြင်းနှင့် သက်ဆိုင်သော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းမှာ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (additive inverse) ဖြစ်သည်။ မည်သည့်အစုဝင် $a$ အတွက်မဆို ၎င်း၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ကို $-a$ ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး အောက်ပါ အုပ်စု နဂိုမှန်အဆို (group axiom) ကို ပြည့်စုံစေသည်။

$a+(-a)=(-a)+a=0$

အထက်ပါ ညီမျှခြင်းတွင် $0$ သည် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ (additive identity) ဖြစ်သည် ။

ထို့အပြင် သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာသည် နုတ်ခြင်းကို လွတ်လပ်သော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) အဖြစ် မဟုတ်ဘဲ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ကို ပေါင်းထည့်ခြင်းအတွက် အတိုကောက်အဖြစ်သာ ပြန်လည်အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ထို့ကြောင့် $a-b=a+(-b)$ ဖြစ်သည် ။ နုတ်ခြင်းသည် တိကျစွာ အပေါင်းဖြစ်သည့် ကိန်းများ၏ အစုပိုင်းများ (subsets) အပေါ်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံသော တွက်ချက်မှု မဖြစ်သောကြောင့် ဤတည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ လိုအပ်ချက် ပေါ်ပေါက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းအစုပိုင်းများ၏ ဥပမာများမှာ $\mathbb {Z} ^{+}$ သို့မဟုတ် $\mathbb {Q} ^{+}$ တို့ဖြစ်ကြသည်။ $a<b$ ဖြစ်သည့်အချိန်တိုင်း $a-b$ ဖော်ပြချက်သည် အစု၏အပြင်ဘက်တွင်ရှိသော အနုတ်တန်ဖိုးတစ်ခုကို ထုတ်ပေးသည် ။

အနုတ်ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties of negative numbers)

လက္ခဏာများကို ကိုင်တွယ်ရာတွင် အသုံးပြုသော ရင်းနှီးကျွမ်းဝင်သည့် ဂဏန်းသင်္ချာ စည်းမျဉ်းများသည် အလိုရှိရာသတ်မှတ်ချက်များ မဟုတ်ပေ။ ကွင်းသီအိုရီ (ring theory) တွင် ၎င်းတို့သည် ကွင်းတစ်ခု၏ အခြေခံ နဂိုမှန်အဆိုများမှ ကောက်ချက်ချထားသော သင်္ချာနည်းကျ တိကျခိုင်မာသည့် သီအိုရမ်များ ဖြစ်ကြသည်။ အထူးသဖြင့် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (distributive law) နှင့် အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်များ တည်ရှိမှုတို့မှ ကောက်ချက်ချထားခြင်းဖြစ်သည် ။ မည်သည့်ကွင်း $R$ နှင့် အစုဝင် $a,b\in R$ တို့အတွက်မဆို

• သုညဖြင့် မြှောက်ခြင်း (Multiplication by Zero): $0a=(0+0)a=0a+0a$ ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် $0a=0$ ဖြစ်ရန် လိုအပ်စေသည်။
• အနုတ်နှင့် အပေါင်း မြှောက်ခြင်း (Negative times a positive): $(-a)b=a(-b)=-(ab)$ ဖြစ်သည်။ $ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0$ ဖြစ်ကြောင်း မှတ်သားခြင်းဖြင့် ၎င်းကို သက်သေပြနိုင်သည်။ ဤနည်းအားဖြင့် $(-a)b$ သည် $ab$ ၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ဖြစ်ကြောင်း တည်ဆောက်နိုင်သည် ။
• အနုတ်နှင့် အနုတ် မြှောက်ခြင်း (Negative times a negative): $(-a)(-b)=ab$ ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ သက်သေပြချက်သည် $(-a)(-b)=-[(-a)b]=-[-(ab)]$ ဖြစ်တည်မှုမှ ဆင်းသက်လာသည်။ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်တစ်ခု၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်သည် မူလအစုဝင်ကို ပြန်လည်ရရှိစေသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $-(-x)=x$ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ရလဒ်မှာ $ab$ ဖြစ်သည်။
• $-1$ ၏ သက်ရောက်ချက် (Action of $-1$): မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ (multiplicative identity) $1$ ပါဝင်သော မည်သည့်ကွင်းတွင်မဆို $-1$ ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် အနုတ်လက္ခဏာပြောင်းခြင်းကို လုပ်ဆောင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $-a=(-1)a$ ဖြစ်ပြီး အကျိုးဆက်အားဖြင့် $(-1)^{2}=1$ ဖြစ်သည် ။

နှစ်ထပ်ကိန်းများနှင့် မညီမျှခြင်းများ (Squares and Inequalities)

အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်များနှင့် ဒိုမိန်းများ၏ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုမှာ အပေါင်းဖြစ်စေ အနုတ်ဖြစ်စေ သုညမဟုတ်သော အစုဝင်တစ်ခုခု၏ နှစ်ထပ်ကိန်းသည် အပေါင်းကိန်းသာ တိကျစွာဖြစ်ရမည် ($c^{2}>0$) ဟူသောအချက်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ $c<0$ ဖြစ်ပါက ၎င်း၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်သည် အပေါင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် $-c>0$ ဖြစ်သည်။ ဤအပေါင်းပမာဏများကို မြှောက်ခြင်းက $(-c)(-c)>0$ ကို ရရှိစေသည်။ $(-c)(-c)=c^{2}$ ဖြစ်သောကြောင့် $c^{2}>0$ ဖြစ်ကြောင်း ထွက်ပေါ်လာသည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိကြောင့် မည်သည့် အစဉ်ကျသော ဖီးလ်ဒ်တွင်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတန်ဖိုး အနုတ်ဖြစ်နေသော အစုဝင် မပါဝင်နိုင်ပေ။ ထိုအချက်သည် သမိုင်းကြောင်းအရ ကိန်းစစ်များမှ ကိန်းထွေးများ (complex numbers) သို့ တိုးချဲ့ခြင်းကို လှုံ့ဆော်ပေးခဲ့သည် ။

စားခြင်းဆိုင်ရာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (The Division Algorithm)

အခြေခံ ကိန်းသီအိုရီ (number theory) တွင် အနုတ် ကိန်းပြည့်များနှင့် တွက်ချက်သည့်အခါ အကြွင်းများ (remainders) သည် အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ရန် စားခြင်းဆိုင်ရာ အယ်လ်ဂိုရီသမ် (Division Algorithm) ကို ကန့်သတ်ထားသည်။ တည်ကိန်း $m$ နှင့် စားကိန်း $n>0$ တို့အတွက် $m=nq+r$ ဖြစ်စေမည့် စားလဒ် $q$ နှင့် အကြွင်း $r$ ဟူသော တစ်ခုတည်းသီးသန့် ကိန်းပြည့်များ တည်ရှိသည်။ အကြွင်းသည် အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ရန် ($0\leq r<n$) တိကျစွာ လိုအပ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $-25$ ကို $8$ ဖြင့် စားခြင်းသည် အနုတ်အကြွင်းကို မထွက်ပေါ်စေပေ။ ထိုအစား စားလဒ်မှာ $q=-4$ ဖြစ်ပြီး အကြွင်းမှာ $r=7$ ဖြစ်သောကြောင့် $-25=8(-4)+7$ ညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေသည် ။

အဆင့်မြင့် သင်္ချာ (advanced mathematics)

ပိုလီနိုမီရယ်များနှင့် ကိန်းရင်းများ (Polynomials and Roots)

ပိုလီနိုမီရယ် ကိန်းရင်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းနှင့် စုဆုံမှတ်များ (limits) တွင် အနုတ်သဘောတရားသည် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ကိန်းစစ်များအပေါ်ရှိ သုံးထပ် ပိုလီနိုမီရယ် (cubic polynomial) တစ်ခုအတွက် ခွဲခြားကိန်း (discriminant) $D$ ၏ လက္ခဏာသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အညွှန်းတစ်ခုအဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။ ခွဲခြားကိန်း တိကျစွာ အနုတ်ဖြစ်ခြင်း ($D<0$) က ထိုပိုလီနိုမီရယ်တွင် ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းတစ်ခုတည်းရှိပြီး ကိန်းစစ်မဟုတ်သော ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) ကိန်းရင်းနှစ်ခုရှိမည်ဖြစ်ကြောင်း အာမခံပေးသည် ။ ထို့အပြင် မကိန်းဒီဂရီ ပိုလီနိုမီရယ်များအတွက် ကိန်းရင်း တည်ရှိမှု၏ အခြေခံသက်သေပြချက်သည် အစွန်းဖျား အပြုအမူ (end behavior) ကို တန်ဖိုးရှာဖွေခြင်းဖြင့် ကြားခံတန်ဖိုး သီအိုရမ် (intermediate value theorem) အပေါ် မှီခိုသည်။ ကိန်းစစ် မကိန်းဒီဂရီ ပိုလီနိုမီရယ်များသည် လုံလောက်စွာ ကြီးမားသော အနုတ် အဝင်ကိန်းများအတွက် အနုတ်တန်ဖိုးများကို ထုတ်ပေးပြီး အပေါင်း အဝင်ကိန်းများအတွက် အပေါင်းတန်ဖိုးများကို ထုတ်ပေးသည်။ ဤနည်းအားဖြင့် ၎င်းတို့သည် အနည်းဆုံး တစ်ကြိမ် သုညကို ဖြတ်သန်းသွားမည်ဖြစ်ကြောင်း အာမခံပေးသည် ။

တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း သီအိုရီနှင့် အိုင်ဒီးလ်များ (Valuation Theory and Ideals)

သရုပ်မဲ့ ကွင်းများတွင် ပြောင်းပြန် တည်ဆောက်ပုံများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန် အနုတ် ကိန်းပြည့်များကို အသုံးပြုသည်။ တစ်ပိုင်းတစ်စ တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း ကွင်းများ (discrete valuation rings - D.V.R.) တွင် တန်ဖိုးဖြတ် ဖန်ရှင် (valuation function) $v:K^{\times }\to \mathbb {Z}$ သည် အစုဝင်များကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တန်ဖိုးရှာဖွေပေးသည်။ အပေါင်း တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်းက ပုံမှန် သုညမှတ်ကို ညွှန်ပြသော်လည်း အနုတ် တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း ($v(f)<0$) သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အနန္တတန်ဖိုးမှတ် (pole) ကို တည်ဆောက်ပုံအရ သတ်မှတ်ပေးသည် ။ အလားတူစွာ ဖလှယ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (commutative algebra) တွင် ဒက်ဒီကင်း ဒိုမိန်း (Dedekind domain) ရှိ အပိုင်းကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ (fractional ideals) ၏ အုပ်စုသည် သုညမဟုတ်သော သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များကို အနုတ် ကိန်းပြည့် ထပ်ကိန်းများ ပိုင်ဆိုင်ခွင့်ပြုသည်။ ဤနေရာတွင် $I=P_{1}^{a_{1}}\cdots P_{n}^{a_{n}}$ ဖြစ်ပြီး $a_{i}\in \mathbb {Z}$ ဖြစ်သည်။ အနုတ် ထပ်ကိန်းသည် အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (field of fractions) ထဲရှိ ပြောင်းပြန် အိုင်ဒီးလ်ဖြင့် မြှောက်ခြင်းကို ညွှန်ပြသည် ။