အစုအရွယ်အစား

သင်္ချာ (mathematics) တွင် အစုအရွယ်အစား (cardinality) ဟူသော သဘောတရားသည် ဂျော့ ကန်တာ ၏ အစုသီအိုရီ (set theory) မှ စတင်ပေါ်ပေါက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) တွင် အသုံးပြုသော အစုတစ်ခုရှိ အစုဝင်များ (elements) ၏ အရေအတွက်ဟူသော သဘောတရားမှသည် အနန္တအစုများ (infinite sets) အထိ ယေဘုယျပြုရန် အသုံးပြုသည်။

အဆုံးရှိအစုတစ်ခုအတွက် အစုအရွယ်အစားသည် ၎င်းတွင်ပါဝင်သော အစုဝင်များ၏ အရေအတွက်နှင့် ညီမျှသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် $0$ အပါအဝင်ဖြစ်သော သဘာဝကိန်း (natural number) $n\in \mathbb {N} _{0}$ ဖြစ်သည်။

သို့သော် အနန္တအစုများအတွက်မူ ၎င်းတို့၏ အစုအရွယ်အစားများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်ရန် သဘောတရားရေးရာ ယန္တရားတစ်ခု လိုအပ်သည်။ ၎င်းယန္တရားကို အစုသီအိုရီ၏ မူဘောင်အတွင်း၌ ဖန်တီးထားခြင်းဖြစ်သည်။ သို့သော် အောက်တွင်တင်ပြထားသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (definitions)၊ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများ (notations) နှင့် အကျိုးဆက်များသည် အဆုံးရှိအစုများနှင့် အနန္တအစုများ နှစ်ခုစလုံးအတွက် မှန်ကန်မှုရှိသည်။

အစု $A$ ၏ အစုအရွယ်အစားကို များသောအားဖြင့် $\vert {}A\vert {}$ အဖြစ် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ အခြား အများသုံး သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းတစ်ခုမှာ $\#A$ ဖြစ်သည်။ တစ်ခါတစ်ရံတွင် ${\text{card }}A$ သို့မဟုတ် ${\bar {\bar {A}}}$ ဟူသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းများကိုလည်း တွေ့ရှိရသည်။

အဆုံးရှိအစုများ၏ အစုအရွယ်အစား (Cardinality of finite sets)

• ဥပမာများ

$A=\{1,3,7,21\}\Rightarrow \vert {}A\vert {}=4$ ။

$B=\{{\text{cat}},{\text{dog}},{\text{bird}},{\text{fish}},{\text{rabbit}}\}\Rightarrow \vert {}B\vert {}=5$ ။

$C=\{{\text{red}},{\text{yellow}},{\text{blue}},{\text{orange}},{\text{Combray}},{\text{Madeleine}}\}\Rightarrow \vert {}C\vert {}=6$ ။

• $\vert {}X\vert {}=n\in \mathbb {N} _{0}$ ဖြစ်သော အဆုံးရှိအစု $X$ ၏ ပါဝါအစု (power set) ${\mathcal {P}}(X)$ တွင် အစုဝင်အရေအတွက် တိကျစွာ $2^{n}$ ခု ပါဝင်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အစုပိုင်း (subset) တစ်ခုကို ရွေးချယ်ခြင်းသည် အမှီအခိုကင်းသော ရွေးချယ်မှု $n$ ခုနှင့် ကိုက်ညီသောကြောင့်ဖြစ်သည်။ ဤရွေးချယ်မှုတစ်ခုချင်းစီတွင် $X$ ၏ တိကျသော အစုဝင်တစ်ခုသည် အဆိုပါအစုပိုင်းထဲတွင် ပါဝင်သင့်၊ မပါဝင်သင့် ဟူသော ဖြစ်နိုင်ခြေ နှစ်ခုကြားတွင် ရွေးချယ်ရခြင်းဖြစ်သည်။

ထပ်တူညီသော အစုအရွယ်အစား (Equinumerosity)

• ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (Bijection) - အစု $A$ နှင့် $B$ တို့ကြားတွင် တစ်-တစ် (one-to-one) နှင့် လွှမ်းခြုံဖြစ်သော (onto) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) တစ်ခု တည်ရှိမှသာလျှင် ၎င်းတို့နှစ်ခုသည် တူညီသော အစုအရွယ်အစား ရှိကြသည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ယင်းကဲ့သို့ တူညီသောအစုအရွယ်အစားရှိခြင်းကို ထပ်တူညီမှု (equinumerosity) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး $|A|=|B|$ သို့မဟုတ် $A\sim B$ အဖြစ် ဖော်ပြသည်။
• ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (Equivalence Relation) - $\sim$ ဖြင့်ပြဆိုသော ထပ်တူညီမှုသည် အစုများအားလုံး၏ အတန်းအစား (class) တစ်ခုလုံးအပေါ်တွင် သက်ရောက်သော ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) တစ်ခုဖြစ်သည်။
• အဆုံးရှိ နှင့် အနန္တ နှိုင်းယှဉ်ချက် (Finite vs. Infinite) - အဆုံးရှိအစုနှစ်ခုသည် ၎င်းတို့တွင် တူညီသော အစုဝင်အရေအတွက် ရှိမှသာလျှင် ထပ်တူညီကြသည်။ သို့သော် အနန္တအစုတစ်ခုကိုမူ ၎င်း၏ အနည်းဆုံး အစုပိုင်းအစစ် (proper subset) တစ်ခုနှင့် ထပ်တူညီခြင်းဟူသော အချက်ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) ဝိသေသပြုနိုင်သည်။

အရေးကြီးသော အစုအရွယ်အစားများ (Important Set Cardinalities)

• ရေတွက်နိုင်သောအစုများ (Countable Sets) - အစုတစ်ခုသည် $\mathbb {N}$ ဖြင့်ပြဆိုသော သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) အစုနှင့် အစုအရွယ်အစား တူညီပါက ၎င်းကို ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) သို့မဟုတ် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) အစုဟု ခေါ်သည်။
• အရွယ်အစားတူညီသော အနန္တအစုများ (Equally large infinite sets) - သဘာဝကိန်းများ $\mathbb {N}$၊ ကိန်းပြည့်များ (integers) $\mathbb {Z}$ နှင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (rational numbers) $\mathbb {Q}$ အစုများအားလုံးတွင် တူညီသော ရေတွက်နိုင်သည့် အစုအရွယ်အစား ရှိကြသည်။
• ရေတွက်၍မရသောအစုများ (Uncountable Sets) - ကိန်းစစ်များ (real numbers) $\mathbb {R}$ အစုသည် $\mathbb {N}$ ထက် တိကျစွာ ပိုမိုကြီးမားသော အစုအရွယ်အစားကို ပိုင်ဆိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် ရေတွက်၍မရသောအစု (uncountable set) ဖြစ်သည်။
• အရွယ်အစားတူညီသော ရေတွက်၍မရသည့်အစုများ (Equally large uncountable sets) - ကိန်းစစ်များ $\mathbb {R}$၊ အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) $(0,1)$၊ ကန်တာ အစု (Cantor set) $C$ နှင့် သဘာဝကိန်းများ၏ ပါဝါအစု ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ တို့အားလုံးတွင် တူညီသော ရေတွက်၍မရသည့် အစုအရွယ်အစား ရှိကြသည်။

ကာဒီနယ်ကိန်းများ နှင့် အာလက်ဖ် ဖန်ရှင် (Cardinal Numbers & Aleph Function)

• ကာဒီနယ်ကိန်းများ (Cardinal Numbers) - ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်အောက်ရှိ အစုတစ်ခု၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား (equivalence class) ကို ၎င်း၏ ကာဒီနယ်ကိန်း (cardinal number) ဟု ခေါ်သည်။ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (Axiom of Choice) ကို မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါက အစုတစ်ခု၏ ကာဒီနယ်ကိန်းကို ၎င်းနှင့် ထပ်တူညီသော အငယ်ဆုံး အော်ဒီနယ် (ordinal) ကိန်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။
• အာလက်ဖ် ဖန်ရှင် (Aleph Function) - အနန္တ အစုအရွယ်အစားများကို အာလက်ဖ် ဖန်ရှင် (Aleph function) ($\aleph _{i}$) အသုံးပြု၍ ဖော်ပြသည်။ အနန္တအစု $A$ တိုင်းတွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော $\aleph _{i}$ ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည့် အစုအရွယ်အစားတစ်ခုစီ ရှိသည်။
• အငယ်ဆုံး အနန္တ ကာဒီနယ် (Smallest Infinite Cardinal) - သဘာဝကိန်းများ $\mathbb {N}$ ၏ အစုအရွယ်အစားသည် အငယ်ဆုံး အနန္တ ကာဒီနယ်ကိန်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $\aleph _{0}$ ဟု သင်္ကေတပြုပြီး အာလက်ဖ်-နော့တ် (Aleph-null) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

အစုအရွယ်အစားများကို နှိုင်းယှဉ်ခြင်း (Comparing Cardinalities)

• ငယ်သည် သို့မဟုတ် ညီသည် (Less than or Equal) - အကယ်၍ အစု $A$ မှ အစု $B$ ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဆီသို့ ဘိုင်ဂျက်ရှင်းတစ်ခု တည်ရှိပါက $A$ ၏ အစုအရွယ်အစားသည် $B$ ၏ အစုအရွယ်အစားထက် ငယ်သည် သို့မဟုတ် ညီသည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို $|A|\leq |B|$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။
• တိကျစွာ ပိုငယ်သည် (Strictly Less) - အကယ်၍ $|A|\leq |B|$ သည် မှန်ကန်သော်လည်း $B$ မှ $A$ ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုဆီသို့ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း မတည်ရှိပါက $A$ ၏ အစုအရွယ်အစားသည် $B$ ထက် တိကျစွာ ပိုငယ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ၎င်းကို $|A|<|B|$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။
• နှိုင်းယှဉ်နိုင်စွမ်း သီအိုရမ် (Comparability Theorem) - ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (axiom of choice) ကို မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါက မည်သည့်အစုနှစ်ခု၏ အစုအရွယ်အစားများကိုမဆို အမြဲတမ်း နှိုင်းယှဉ်နိုင်သည်။ မည်သည့်အစု $A$ နှင့် $B$ အတွက်မဆို $|A|\leq |B|$ သို့မဟုတ် $|B|\leq |A|$ အခြေအနေတစ်ခုခု အမြဲဖြစ်ပေါ်သည်။
• ကန်တာ-ဘန်းစတိန်း-ရှရိုဒါ သီအိုရမ် (Cantor-Bernstein-Schröder Theorem) - အကယ်၍ $|A|\leq |B|$ နှင့် $|B|\leq |A|$ ဖြစ်ပါက ယင်းအစုများသည် ထပ်တူညီကြသည်။ ယင်းကို $|A|=|B|$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤအချက်က ကာဒီနယ်ကိန်းများသည် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသော (totally ordered) ကိန်းများဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနေသည်။

ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (The Continuum Hypothesis)

• ကွန်တင်နျူယမ် ယူဆချက် (Continuum Hypothesis) အရ သဘာဝကိန်းများ $\mathbb {N}$ နှင့် ကိန်းစစ်များ $\mathbb {R}$ ၏ အစုအရွယ်အစားများကြားတွင် တိကျစွာရှိနေသော အစုအရွယ်အစားရှိသည့် အစုဟူ၍ မရှိပေ။
• ၎င်းက $|\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}$ သည် ဒုတိယအငယ်ဆုံး အနန္တ ကာဒီနယ်ကိန်း $\aleph _{1}$ ဖြစ်သည်ဟု အဆိုပြုထားသည်။
• ဤယူဆချက်သည် ဆုံးဖြတ်၍မရနိုင်သော (undecidable) အရာဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုပါဝင်သော စံ ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် နဂိုမှန်အဆိုများ (Zermelo-Fraenkel axioms with the Axiom of Choice) စနစ်အား အသုံးပြု၍ သက်သေပြနိုင်ခြင်းမရှိသလို ချေပနိုင်ခြင်းလည်း မရှိပေ။

ကန်တာ၏ သီအိုရမ် နှင့် အကြီးဆုံး အစုအရွယ်အစား (Cantor's Theorem and the Largest Cardinality)

• ပါဝါအစု၏ အစုအရွယ်အစား (Power Set Cardinality) - အစုဝင် $n$ ခုပါဝင်သော အဆုံးရှိအစု $A$ တစ်ခုအတွက် ၎င်း၏ ပါဝါအစု ${\mathcal {P}}(A)$ တွင် အစုဝင် တိကျစွာ $2^{n}$ ခု ပါဝင်သည်။ ၎င်းကို $|{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}$ ဟု ဖော်ပြသည်။
• ကန်တာ၏ သီအိုရမ် (Cantor's Theorem) - ကန်တာ၏ သီအိုရမ် အရ မည်သည့်အစု $A$ အတွက်မဆို ၎င်း၏ ပါဝါအစု ${\mathcal {P}}(A)$ သည် အစု $A$ ကိုယ်တိုင်ထက် တိကျစွာ ပိုမိုကြီးမားသော အစုအရွယ်အစားကို ပိုင်ဆိုင်သည်။ ၎င်းသည် အဆုံးရှိအစုဖြစ်စေ အနန္တအစုဖြစ်စေ မှန်ကန်သည်။ ၎င်းအချက်ကို $|A|<|{\mathcal {P}}(A)|$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။
• အကြီးဆုံး အစုအရွယ်အစား မရှိခြင်း (No Largest Cardinality) - အစုတစ်ခု၏ ပါဝါအစုကို ယူခြင်းသည် အမြဲတမ်း တိကျစွာ ပိုမိုကြီးမားသော အစုအရွယ်အစားကို ရရှိစေသောကြောင့် အနန္တ ကာဒီနယ်ကိန်းများ အနန္တတိုင်အောင် ရှိနေသည်။ ထို့ကြောင့် အကြီးဆုံး အစုအရွယ်အစားရှိသော အစုဟူ၍ မရှိပေ။

အဆုံးရှိအစုများအတွက် ဂဏန်းသင်္ချာ စည်းမျဉ်းများ (Arithmetic Rules for Finite Sets)

အဆုံးရှိအစု $M$ နှင့် $N$ တို့အတွက် အောက်ပါစည်းမျဉ်းများ သက်ရောက်သည်-

• ပေါင်းခြင်းစည်းမျဉ်း (Sum Rule) - အကယ်၍ အစုများသည် ဘုံမပါသော (disjoint) အစုများဖြစ်ပါက $|M\cup N|=|M|+|N|$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $M\cap N=\emptyset$ အဖြစ် ဖော်ပြသည်။
• ခြားနားခြင်းစည်းမျဉ်း (Difference Rule) - အကယ်၍ $M\subseteq N$ ဖြစ်ပါက $|N\setminus M|=|N|-|M|$ ဖြစ်သည်။
• မြှောက်ခြင်းစည်းမျဉ်း (Product Rule) - ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (Cartesian product) ၏ အစုအရွယ်အစားမှာ $|M\times N|=|M|\cdot |N|$ ဖြစ်သည်။
• ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (Power Rule) - $M$ မှ $N$ ဆီသို့ ဖြစ်နိုင်ခြေရှိသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များအားလုံးပါဝင်သောအစုသည် $|N|^{|M|}$ ဟူသော အစုအရွယ်အစားကို ပိုင်ဆိုင်သည်။ ယင်းအစုကို $N^{M}$ ဟု ဖော်ပြသည်။
• ပါဝင်ခြင်း-ဖယ်ထုတ်ခြင်း မူဝါဒ (Principle of Inclusion-Exclusion) - ထပ်နေသော အဆုံးရှိအစုများအတွက် $|M\cup N|=|M|+|N|-|M\cap N|$ ဖြစ်သည်။ ဤသဘောတရားကို အစုများစွာ၏ ပေါင်းစပ်စုများ (unions) အတွက် ထပ်တူပိုင်းအစုများ (intersections) ကို အလှည့်ကျ ပေါင်းခြင်းနှင့် နုတ်ခြင်းနည်းလမ်းဖြင့် ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။