အစုဝင်

သင်္ချာဘာသာရပ်ရှိ အစုဝင် (element) ဆိုသည်ကို အစုသီအိုရီ သို့မဟုတ် အတန်းအစား ယုတ္တိဗေဒ ၏ ဘောင်အတွင်းမှ အမြဲတမ်း နားလည်သဘောပေါက်ရမည်။ ဤစကားလုံးသည် လက်တင်ဘာသာစကား elementum နှင့် ဂရိဘာသာစကား στοιχεῖον တို့မှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။^[၁]^[၂]

အကယ်၍ $x$ သည် အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး $M$ သည် အစု သို့မဟုတ် အတန်းအစားတစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ အခြေခံ ဆက်သွယ်ချက်ကို " $x$ သည် $M$ ၏ အစုဝင်ဖြစ်သည် " ဟု ဖော်ပြသည်။ ထိုဆက်သွယ်ချက်ကို အစုဝင်ဖြစ်ကြောင်းပြ သင်္ကေတကို အသုံးပြု၍ " $x\in M$ " ဟု ရေးသားနိုင်သည်။

ဂျော့ ကန်တာ (Georg Cantor) ၏ အစု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်က အစုတစ်ခုနှင့် ဆက်စပ်၍ အစုဝင်ဆိုသည်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရှင်းလင်းစွာ ဖော်ပြထားသည်။

"အစု

M

ဆိုသည်မှာ ကျွန်ုပ်တို့၏ ပင်ကိုသိစိတ် သို့မဟုတ် တွေးခေါ်မှုမှ သိရှိသော ရှင်းလင်းပြတ်သားစွာ ကွဲပြားသည့် အရာဝတ္ထု

m

များကို တစ်ခုတည်းအဖြစ် စုစည်းထားခြင်းကို ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုအရာဝတ္ထု

m

များကို

M

၏ အစုဝင်များဟု ခေါ်သည်။"^[၃]

ရိုးရှင်းသော အစုသီအိုရီ (naive set theory) ၏ သဘောတရားသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်မှု များ (contradictions) နှင့် ကင်းလွတ်ခြင်း မရှိကြောင်း တွေ့ရှိရသည်။ ထို့ကြောင့် ယနေ့ခေတ်တွင် နဂိုမှန်အဆိုကိုအခြေခံသော အစုသီအိုရီ (axiomatic set theory) ကို အသုံးပြုကြပြီး ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ (Zermelo-Fraenkel set theory) ကို အများဆုံး အသုံးပြုကြကာ တစ်ခါတစ်ရံတွင် ပိုမိုယေဘုယျကျသော အတန်းအစား ယုတ္တိဗေဒကိုလည်း အသုံးပြုကြသည်။

ဥပမာများ (Examples)

အခြေခံ ဥပမာများ (Simple examples)

အစုဝင်များ၏ ဥပမာများကို ၎င်းတို့ပါဝင်သည့် အစုများနှင့် ဆက်စပ်၍သာ ရှင်းလင်းစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် ကိန်းအစုများကို သင့်လျော်သော ဥပမာများအဖြစ် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။

$5\in \mathbb {N}$

၅ သည် သဘာဝကိန်းများ အစု၏ အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

${3 \over 4}\in \mathbb {Q}$

၃/၄ သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစု၏ အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

${\sqrt {2}}\in \mathbb {R}$

၂ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း သည် ကိန်းစစ်များ အစု၏ အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$

၂ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း သည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစု၏ အစုဝင် မဟုတ်ပါ။

အထူး ဥပမာများ (Special examples)

သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အချို့သော ဘာသာရပ်ခွဲများတွင် သီးခြား အစုဝင်အမျိုးအစားများ မကြာခဏ ပါဝင်လေ့ရှိသည်။ ထိုအထူးအစုဝင်များကို သတ်မှတ်ထားသော အမည်များဖြင့် ခေါ်ဝေါ်ကြသည်။

အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) တွင် အစုဝင်အချင်းချင်း တွက်ချက်ရသည့် အထူးအစုများ ပါဝင်သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ထိုအစု၏ အစုဝင်အသစ်တစ်ခုကို ထပ်မံရရှိသည်။ အုပ်စု တစ်ခု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ အခြားမည်သည့်အစုဝင်နှင့်မဆို တွက်ချက်ရာတွင် ထိုအခြားအစုဝင်ကို မပြောင်းလဲစေသော အထူးအစုဝင်တစ်ခု အမြဲတမ်း ရှိရမည်။ ယင်းအထူးအစုဝင်ကို ထပ်တူရအစုဝင် ဟု ခေါ်သည်။

ထို့ပြင် အုပ်စု၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ အုပ်စုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ထပ်တူရအစုဝင်ကို ရရှိစေမည့် တွဲဖက်တစ်ခု အမြဲတမ်း တည်ရှိရမည်။ ယင်းတွဲဖက်ကို ပေးထားသော အစုဝင်အတွက် ပြောင်းပြန်အစုဝင် ဟု ခေါ်သည်။

ကိန်းပြည့်များ (integers) အစုအတွင်း သုညသည် အပေါင်း အတွက် ထပ်တူရအစုဝင် ဖြစ်သည်။ မည်သည့်ကိန်း $x$ ကိုမဆို သုညနှင့် ပေါင်းပါက $x$ ကိုပင် ပြန်လည်ရရှိသည်။ ${\begin{matrix}{x+0=x}\end{matrix}}$ အလားတူပင် ကိန်းပြည့် $x$ အတွက် ၎င်း၏ဆန့်ကျင်ဘက် $-x$ သည် ပြောင်းပြန်အစုဝင် ဖြစ်သည်။ ${\begin{matrix}{x+\left(-x\right)=0}\end{matrix}}$

ကိန်းစစ်များ (real numbers) အစုအတွင်း '၁' သည် မြှောက်ခြင်း အတွက် ထပ်တူရအစုဝင် ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းစစ် $x$ ကိုမဆို ၁ နှင့် မြှောက်ပါက $x$ ကိုပင် ပြန်လည်ရရှိသည်။

x\cdot 1=x

အလားတူပင် သုညမဟုတ်သော ကိန်းစစ် $x$ အတွက် ၎င်း၏ပြောင်းပြန်တန်ဖိုး ${\frac {1}{x}}$ သည် မြှောက်ခြင်းအတွက် ပြောင်းပြန်အစုဝင် ဖြစ်သည်။

x\cdot {1 \over x}=1

ရှုပ်ထွေးသော ဥပမာများ (Complex examples)

အစုဝင်နှင့် အစုဆိုင်ရာ သဘောတရားသည် ပိုမိုရှုပ်ထွေးနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အစုတစ်ခု၏ အစုဝင်များသည် မိမိကိုယ်တိုင် အစုများဖြစ်နေနိုင်သည်။ ဥပမာအနေဖြင့် ဖော်ပြခဲ့ပြီးသော အစုများဖြစ်သည့် သဘာဝကိန်းများ $\mathbb {N}$ ၊ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ $\mathbb {Q}$ နှင့် ကိန်းစစ်များ $\mathbb {R}$ တို့ကို အစုဝင်သုံးခုအဖြစ် ပါဝင်သော အစု $T$ ကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။

T:=\{\mathbb {N} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} \}

ထိုအခါ သဘာဝကိန်းများ အစုသည် အစု $T$ ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်လာပြီး ၎င်းကို $\mathbb {N} \in T$ ဟု ရေးသားနိုင်သည်။

အမှန်စင်စစ်အားဖြင့် သင်္ချာဘာသာရပ်၏ အစုသီအိုရီအခြေခံ တည်ဆောက်ပုံများတွင် သဘာဝကိန်းများကို ဤနည်းလမ်းဖြင့် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

${\begin{aligned}0&:=\emptyset \\1&:=\{\emptyset \}=\{0\}\\2&:=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}=\{0,1\}\\3&:=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}=\{0,1,2\}\\&\ \ \vdots \end{aligned}}$

ကိုးကား

Deiser၊ Oliver (2010)၊ Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်) (3., korrigierte ed.)၊ Berlin u. a.: Springer၊ doi:10.1007/978-3-642-01445-1၊ ISBN 978-3-642-01444-4
Ebbinghaus၊ Heinz-Dieter (2003)၊ Einführung in die Mengenlehre၊ Hochschultaschenbuch (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 141 (4. ed.)၊ Heidelberg, Berlin: Spektrum Akademischer Verlag၊ ISBN 3-8274-1411-3
Halmos၊ Paul R. (2017)၊ Naive Set Theory၊ Mineola, NY: Dover Publications၊ ISBN 978-0-486-81487-2
Jech၊ Thomas (2003)၊ Set Theory၊ Springer Monographs in Mathematics (The Third Millennium edition, revised and expanded ed.)၊ Berlin u. a.: Springer Verlag၊ ISBN 3-540-44085-2

↑ Friedrich Kluge, Alfred Götze: Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache. 20. Auflage. Hrsg. von Walther Mitzka. De Gruyter, Berlin / New York 1967; Neudruck („21. unveränderte Auflage“) ebenda 1975, ISBN 3-11-005709-3, S. 162 f.
↑ Franz Dornseiff: Die griechischen Wörter im Deutschen. Berlin 1950, S. 31.
↑ Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. In: Mathematische Annalen. Bd. 46, Nr. 4, ISSN 0025-5831, S. 481–512, doi 10.1007/BF02124929.

[1] Friedrich Kluge, Alfred Götze: Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache. 20. Auflage. Hrsg. von Walther Mitzka. De Gruyter, Berlin / New York 1967; Neudruck („21. unveränderte Auflage“) ebenda 1975, ISBN 3-11-005709-3, S. 162 f.

[2] Franz Dornseiff: Die griechischen Wörter im Deutschen. Berlin 1950, S. 31.

[3] Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. In: Mathematische Annalen. Bd. 46, Nr. 4, ISSN 0025-5831, S. 481–512, doi 10.1007/BF02124929.

[၁]

[၂]

[၃]