အစီအစဉ်ကျအတွဲ

အစီအစဉ်ကျအတွဲ (Ordered pair) သည် အစိတ်အပိုင်းနှစ်ခုဖြစ်သော $a$ နှင့် $b$ တို့ပါဝင်သည့် သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထု (Mathematical object) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ယေဘုယျအားဖြင့် ၎င်းကို $(a,b)$ ဟု ရေးသားဖော်ပြသည်။ အစီအစဉ်ကျအတွဲ နှစ်ခု ညီမျှရန်အတွက် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေသည် (if and only if) ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ အစိတ်အပိုင်းများ ညီမျှရန် ဖြစ်သည်။ ဤအချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ညီမျှခြင်းဖြင့် ဖော်ပြသည်။

$(a,b)=(c,d)\iff a=c{\text{ and }}b=d$

ပထမ အစိတ်အပိုင်းကို အစု $X$ မှ ရယူပြီး ဒုတိယ အစိတ်အပိုင်းကို အစု $Y$ မှ ရယူထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲများ အားလုံးပါဝင်သည့် အစုသည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (Cartesian product) $X\times Y$ ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ အစီအစဉ်ကျအတွဲများသည် အစိတ်အပိုင်းများ၏ အစဉ်လိုက်ဖြစ်တည်မှု အရေးမကြီးသော အစီအစဉ်မဲ့အတွဲများ (Unordered pairs) နှင့် ကွဲပြားခြားနားသည်။ အဆိုပါ အစီအစဉ်မဲ့အတွဲများ၏ ဥပမာတစ်ခုမှာ အခြေခံ အစု $\{a,b\}$ ဖြစ်သည်။

ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခြင်းများ (Formalizations)

အစီအစဉ်ကျအတွဲများကို ဘော်ဘာကီ၏ အစုသီအိုရီ (Bourbaki's set theory) တွင်ကဲ့သို့ အခြေခံကျသော နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများ (Primitive axiomatic objects) အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ သို့မဟုတ်ပါက ၎င်းတို့ကို ပိုမိုအခြေခံကျသော နဂိုမှန်အဆိုများ (Axioms) မှတစ်ဆင့်လည်း တည်ဆောက်နိုင်သည်။

ရုပ်ဝတ္ထု အစုသီအိုရီ (Material Set Theory)

ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ (Zermelo–Fraenkel set theory) တွင် စံတည်ဆောက်ပုံမှာ ကူရာတော့ဗ်စကီး အတွဲ (Kuratowski pair) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

$(a,b):={\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \}}$

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (Category Theory)

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (Category theory) ရှုထောင့်အရ အစီအစဉ်ကျအတွဲတစ်ခုကို ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်တစ်ခုအတွင်းရှိ အလုံးစုံ အစုဝင် (Global element) တစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ သတ်မှတ်သည်။ ဤသတ်မှတ်ချက်သည် လောဗီးယား၏ အစုများ ကတ်တဂိုရီ၏ အခြေခံ သီအိုရီ (Elementary Theory of the Category of Sets - ETCS) ကို ရောင်ပြန်ဟပ်နေသည်။ အဆိုပါ သီအိုရီသည် အစုများ ကတ်တဂိုရီ (Category of sets) အတွင်း မြှောက်လဒ်များ (Products) ၏ နဂိုမှန်အဆိုအဖြစ် တည်ရှိမှုကို အဆိုပြုထားသည်။

ကိုးကား

• Nicolas Bourbaki (1968)၊ Elements of Mathematics: Theory of Sets (English Translation ed.)၊ Addison-Wesley
• F. William Lawvere (December 1964)၊ "An elementary theory of the category of sets"၊ Proceedings of the National Academy of Sciences၊ 52 (6)၊ 2026-08-17 တွင် ပြန်စစ်ပြီး
• Casimir Kuratowski (1921)၊ "Sur la notion de l'ordre dans la Théorie des Ensembles" (PDF)၊ Fundamenta Mathematicae၊ 2 (1)၊ 2026-08-17 တွင် ပြန်စစ်ပြီး
• Andrej Bauer (May 15, 2011)၊ MathOverflow Answer to "How to define the ordered pair of two classes?"၊ 2026-08-17 တွင် ပြန်စစ်ပြီး