အင်ဗော်လူးရှင်း

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အင်ဗော်လူးရှင်း (Involution) ဆိုသည်မှာ မိမိကိုယ်တိုင် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (self-inverse) ပုံဖော်မှု (mapping) တစ်ခုကို ဆိုလိုသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

အရင်းအမြစ် (domain) နှင့် ပစ်မှတ် (codomain) နှစ်ခုစလုံးသည် တူညီသော အစု $A$ ဖြစ်နေသည့် ပုံဖော်မှု $f\colon A\rightarrow A$ တစ်ခုကို အင်ဗော်လူးရှင်း ဟုခေါ်ဆိုရန်အတွက် မည်သည့် $x\in A$ အတွက်မဆို အောက်ပါသတ်မှတ်ချက်နှင့် ပြည့်စုံရမည်-

 $f(f(x))=x$

ဤသတ်မှတ်ချက်ကို $f\circ f=\operatorname {id} _{A}$ သို့မဟုတ် $f^{2}=\operatorname {id} _{A}$ အဖြစ် ပိုမိုကျစ်လျစ်စွာ ရေးသားဖော်ပြနိုင်သည်။

ဤတွင် $\operatorname {id} _{A}$ သည် $A$ ပေါ်ရှိ ထပ်တူကျ ပုံဖော်မှု (identity mapping) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။

ဂုဏ်သတ္တိများ

• အင်ဗော်လူးရှင်းတိုင်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) တစ်ခုဖြစ်ပြီး $f^{-1}=f$ ဖြစ်သည်။

• $f\colon A\to A$ နှင့် $g\colon A\to A$ တို့သည် အင်ဗော်လူးရှင်းများ ဖြစ်ကြပါက $f\circ g=g\circ f$ ဖြစ်မှသာလျှင် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း $f\circ g$ သည် အင်ဗော်လူးရှင်းတစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။

• $f\colon A\to A$ သည် အင်ဗော်လူးရှင်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး $g\colon A\to A$ သည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်ခြင်း $g\circ f\circ g^{-1}$ သည်လည်း အင်ဗော်လူးရှင်းတစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြု၍ အင်ဗော်လူးရှင်း အသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။

ဗက်တာရပ်ဝန်းများပေါ်ရှိ အင်ဗော်လူးရှင်းများ

$V$ သည် ဖီးလ်ဒ် (field) $K$ အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့။

• အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) $f\in \operatorname {End} (V)$ တစ်ခု၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် (minimal polynomial) သည် $x^{2}-1$, $x-1$ သို့မဟုတ် $x+1$ ပုံစံရှိမှသာလျှင် $f$ သည် အင်ဗော်လူးရှင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းအချက်မှ ဆင်းသက်လာသော အထူးဂုဏ်သတ္တိများမှာ
  • အခြေခံဖီးလ်ဒ် $K$ ၏ ဝိသေသတန်ဖိုး (characteristic) သည် ၂ မဟုတ်ပါက အင်ဗော်လူးရှင်းဖြစ်သောအန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် တိုင်းကို ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်းနိုင်ပြီး (diagonalizable) ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုးများ (eigenvalues) အားလုံးသည် $\{-1,1\}$ အတွင်း တည်ရှိသည်။
  • အင်ဗော်လူးရှင်း $f\in \operatorname {End} (V)$ တိုင်းသည် ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု $\operatorname {GL} (V)$ အတွင်းရှိ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ အုပ်စု၏ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (representation) တစ်ခုဖြစ်သည်။
  • ဝိသေသတန်ဖိုး ၂ ရှိသော ဖီးလ်ဒ် $K$ များအပေါ်တွင် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်း၍မရသော အင်ဗော်လူးရှင်းဖြစ်သည့် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း $\mathbb {F} _{2}^{2}$ တွင် ကိန်းအုံ ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ သည် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်း၍မရသော အင်ဗော်လူးရှင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။