အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်

ဖန်ရှင် (function) $f$ တစ်ခု၏ ပစ်မှတ် (codomain) ရှိ အစုဝင် (element) တစ်ခုစီတိုင်းသည် $f$ အရ မူလပုံရိပ် (preimage) အများဆုံး တစ်ခုသာရှိလျှင် ထိုဖန်ရှင်ကို အင်ဂျက်တစ်(injective) သို့မဟုတ် အင်ဂျက်ရှင်း (injection) ဟု ခေါ်သည် ။ ၎င်းမှာ $f$ ဖြင့် အရင်းအမြစ် (domain) ရှိ မတူညီသော အစုဝင်နှစ်ခုကို ပုံဖော်ရာတွင် တူညီသော ပုံရိပ် (image) မရရှိနိုင်ဟု ဆိုလိုခြင်းဖြစ်သည် ။ အကယ်၍ အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် (injective function) တစ်ခုသည် ဆာဂျက်တစ် (surjective) လည်း ဖြစ်ပါက ၎င်းကို ဘိုင်ဂျက်တစ် (bijective) ဟု ခေါ်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

အင်ဂျက်ရှင်း သဘောတရား၏ ဂရပ်ဖစ်ကိုယ်စားပြုမှု - $Y$ ၏ မည်သည့် $y$ အတွက်မဆို $y=f(x)$ ဖြစ်စေမည့် $X$၏ $x$ သည် အများဆုံး တစ်ခုသာ ရှိသည်။

$Y$ အတွင်းရှိ မည်သည့် $y\in Y$ အတွက်မဆို $f(x)=y$ ဖြစ်စေမည့် $X$ အတွင်းရှိ $x\in X$ အများဆုံး တစ်ခုသာ ရှိပါက ဖန်ရှင် $f:X\rightarrow Y$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်။

$\forall (x,x')\in X^{2},(f(x)=f(x')\Rightarrow x=x')$

အထက်ပါ အဆိုသည် ၎င်း၏ ဆန့်ကျင်ဘက်အဆို (contrapositive) နှင့် အဓိပ္ပာယ်ထပ်တူညီသည် (equivalent) ။

$\forall (x,x')\in X^{2},(x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x'))$

ဥပမာများ

လက်တွေ့ဥပမာ

ခရီးသွားဧည့်သည်အုပ်စုတစ်စု တည်းခိုရမည့် အပန်းဖြေစခန်းဟိုတယ်တစ်ခု၏ အခြေအနေကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ ဤခရီးသွားများကို ဟိုတယ်အခန်းများထဲသို့ ခွဲဝေနေရာချသည့် နည်းလမ်းတစ်ခုစီတိုင်းကို ခရီးသွားများပါဝင်သော အစု (set) $X$ မှ အခန်းများပါဝင်သော အစု $Y$ သို့သွားသည့် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခုအနေဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ ခရီးသွားတစ်ဦးစီတိုင်းအတွက် အခန်းတစ်ခန်းစီ သတ်မှတ်ပေးထားသည်ဟု ယူဆပါ။

• ဟိုတယ်ပိုင်ရှင်က ယင်းဖန်ရှင်ကို ဆာဂျက်တစ် (surjective) ဖြစ်စေချင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အခန်းတိုင်းတွင် လူပြည့်နေစေချင်သည်။ ခရီးသွားအရေအတွက်သည် အခန်းအရေအတွက်နှင့် အနည်းဆုံးတူညီနေမှသာလျှင် ဤအခြေအနေ ဖြစ်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။

• ခရီးသွားများကမူ ယင်းဖန်ရှင်ကို အင်ဂျက်တစ် (injective) ဖြစ်စေချင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ သူတို့တစ်ဦးစီတိုင်းသည် သီးသန့်အခန်းတစ်ခန်းစီ ရရှိလိုကြသည်။ ခရီးသွားအရေအတွက်သည် အခန်းအရေအတွက်ထက် မပိုမှသာလျှင် ဤအခြေအနေ ဖြစ်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။

• ခရီးသွားအရေအတွက်နှင့် အခန်းအရေအတွက် တူညီနေမှသာ ဤကန့်သတ်ချက်နှစ်ခုလုံးကို တစ်ပြိုင်နက် ပြည့်မီစေမည်။ ထိုအခြေအနေတွင် အခန်းတစ်ခန်း၌ ခရီးသွားတစ်ဦးတည်းသာရှိပြီး အခန်းအားလုံးလည်း ပြည့်နေမည်။ ထိုအခါ ဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ် လည်းဖြစ် ဆာဂျက်တစ် လည်းဖြစ်သွားပြီး ၎င်းကို ဘိုင်ဂျက်တစ် (bijective) ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

အနန္တအစု (infinite set) များတွင်မူ အခြေအနေမှာ သိသိသာသာ ကွဲပြားသွားပြီး ၎င်းကို ဟီလ်ဘတ်၏ ဟိုတယ် (Hilbert's hotel) က ကောင်းစွာ သရုပ်ဖော်ပြသသည်။

အခြား ဥပမာများ

• မည်သည့် အစု (set) $X$ နှင့် ၎င်း၏ အစုပိုင်း (subset) $S\subseteq X$ တိုင်းအတွက်မဆို အစုဝင် $s\in S$ တိုင်းကို $X$ အတွင်းရှိ ၎င်းကိုယ်တိုင်ထံသို့သာ ပြန်လည်ပို့ဆောင်ပေးသော ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) $S\to X$ သည်အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) $X\to X$ သည် အမြဲတမ်း အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

• ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ် (domain) သည် ဗလာအစု (empty set) ဖြစ်နေပါက ယင်းဖန်ရှင်သည် ဗလာအစု ဖန်ရှင် (empty function) ဖြစ်ပြီး အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

• ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်တွင် အစုဝင် (element) တစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်ပါက (၎င်းသည် အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု သို့မဟုတ် singleton set ဖြစ်ပါက) ယင်းဖန်ရှင်သည် အမြဲတမ်း အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

• $f(x)=2x+1$ ဖြင့် ဖန်ရှင် $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ အလိုရှိသလောက် (arbitrary) ရွေးချယ်ထားသော မည်သည့် ကိန်းစစ်များ (real numbers) $x$ နှင့် $x'$ အတွက်မဆို $2x+1=2x'+1$ ဖြစ်လျှင် $2x=2x'$ ဖြစ်ပြီး $x=x'$ ဖြစ်သောကြောင့် ဤဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သည်။

• ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် $g(x)=x^{2}$ ဖြင့် ဖန်ရှင် $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ သည် အင်ဂျက်တစ် မဟုတ်ပါ ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ဥပမာအားဖြင့် $g(1)=1=g(-1)$ ဖြစ်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။

• ဖန်ရှင် $h:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ ကို $g$ ၏ ဖန်ရှင်ဖြင့် တူညီစွာသတ်မှတ်ပါ။ သို့သော် ၎င်း၏ အရင်းအမြစ် (domain) ကို အပေါင်း ကိန်းစစ်များအစု (positive real numbers) ထံသို့သာ ကန့်သတ်လိုက်မည် (restricted domain) ဆိုပါက ထိုဖန်ရှင် $h$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည် ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ပေးထားသော မည်သည့် အပေါင်းကိန်းစစ် $x$ နှင့် $x'$ အတွက်မဆို $x^{2}=x'^{2}$ ဖြစ်လျှင် ၎င်းတို့၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) များအရ $|x|=|x'|$ ဖြစ်သွားပြီး $x=x'$ ရရှိသောကြောင့်ဖြစ်သည်။

• $\exp(x)=e^{x}$ ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) ${\displaystyle \exp$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။ သို့သော် မည်သည့်ကိန်းစစ်ကိုမျှ အနုတ်ကိန်း သို့ ပုံမဖော်နိုင်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဆာဂျက်တစ် (surjective) မဟုတ်ပါ။

• $x\mapsto \ln x$ ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော သဘာဝ လော်ဂရစ်သမ် (natural logarithm) ဖန်ရှင် ${\displaystyle \ln$ :(0,\infty )\to \mathbb {R} } သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

• $g(x)=x^{n}-x$ ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ သည် အင်ဂျက်တစ် မဟုတ်ပါ၊ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ဥပမာအားဖြင့် $g(0)=g(1)=0$ ဖြစ်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။

ဂုဏ်သတ္တိများ

$X$သည် ဗလာမဟုတ်သော အစုတစ်ခုဖြစ်မည်ဆိုပါက ဖန်ရှင် $f:X\to Y$တစ်ခု အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ $g\circ f$သည် $X$၏ ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) နှင့် ထပ်တူကျစေမည့် ဖန်ရှင် $g:Y\to X$ တစ်ခု တည်ရှိနေခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် $f$ အတွက် ဘယ်ဘက်ပြောင်းပြန် (left-invertible) ရှိသည်။ ထိုဖန်ရှင် $g$ ကို ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction) ဟုခေါ်ပြီး ၎င်းသည် ဆာဂျက်တစ် (surjective) ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် ဖန်ရှင် $f$ တစ်ခု အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ ၎င်းသည် ဘယ်ဘက်မှ ချေဖျက်နိုင်သော (left-cancellative) ဖန်ရှင် ဖြစ်ခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ တစ်နည်းဆိုရသော် မည်သည့် ဖန်ရှင်များ $g,h:Z\to X$ အတွက်မဆို $f\circ g=f\circ h$ ဖြစ်လျှင် $g=h$ ဖြစ်သွားစေသည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုရသော် အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်များသည် Set ကတ်တဂိုရီ (category of sets) ၏ မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ (monomorphisms) ပင် ဖြစ်ကြသည်။

ထို့ပြင် မည်သည့် ဖန်ရှင် $h:Z\to Y$ ကိုမဆို သင့်လျော်သော အင်ဂျက်ရှင်း $f$ နှင့် ဆာဂျက်ရှင်း $g$ တို့ဖြင့် $h=f\circ g$ အဖြစ် ခွဲခြမ်းဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤသို့ ခွဲခြမ်းဖော်ပြခြင်းသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များအရကြည့်လျှင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်သာဖြစ်တည်သည် (unique up to isomorphism)။ ထို့ပြင် $f$ ကို $h$ ၏ ပုံရိပ် $h(Z)$ မှ ၎င်း၏ ပစ်မှတ်အစု $Y$ ဆက်သွယ်ပေးသော ပုံမှန်အင်ဂျက်ရှင်း (canonical injection) တစ်ခုအဖြစ်လည်း သတ်မှတ်ရွေးချယ်နိုင်သည်။

$X$ မှ $Y$ သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်ရှင် $f$ နှင့် $Y$ မှ $Z$ သို့သွားသော မည်သည့် ဖန်ရှင် $g$ အတွက်မဆို-

• ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် (composite function) $g\circ f$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ပါက $f$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။
• $f$ နှင့် $g$ တို့သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ပါက $g\circ f$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။
• $f$ သည် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ပြီး $g\circ f$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ပါက $g$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။