အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း

ယူကလစ်ဒ် စပေ့စ်၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်(metric) ကိုသုံးသည့်အခါ ဤအမှတ်၂ခုကြား အကွာအဝေးသည် အစိမ်းမျဉ်းနှင့် ပြထားသည့်အတိုင်း $6{\sqrt {2}}\approx 8.49$ ဟု ရပ်ဝန်းအတွင်း အတိုဆုံး လမ်းဖြောင့်ကို ရရှိ၏။ အနီ၊ အဝါ၊ အပြာတို့ဖြင့် ပြထားသည်မှာ တက္ကစီကားစပေ့စ် (taxicab space) ၏ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ဖြင့် တွက်ထုတ်ထားသော အကွာအဝေးများ ဖြစ်ပြီး အလျား 12 ရှိ၏။

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) ဆိုသည်မှာ အစု (set) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ အစုဝင်များ (elements) ကြား၌ အကွာအဝေး (distance)ဟူသော သဘောတရားတစ်ခုကို တွဲဖက်ထားသည်။ ထို အကွာအဝေးကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟုခေါ်သော ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြင့် တိုင်းတာသည်။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) နှင့် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တို့ရှိ သဘောတရားများစွာကို လေ့လာရန်အတွက် ယေဘုယျကျသော မူဘောင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

သမိုင်းကြောင်း (History)

အာသာ ကေးလီ (Arthur Cayley) သည် ၎င်း၏ "အကွာအဝေးအကြောင်း (On Distance)" ဟူသော စာတမ်းတွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ဆိုင်ရာ သဘောတရားများကို ယူကလစ်ဒ် ဂျီဩမေတြီနယ်ပယ်မှ ကျော်လွန်၍ ပရိုဂျက်တစ် ရပ်ဝန်း (projective space) အတွင်းရှိ ကတော့ချွန် ဖြတ်ပိုင်း (conic) တစ်ခုဖြင့် ကန့်သတ်ထားသော နယ်ပယ်များအထိ တိုးချဲ့ခဲ့သည် ။ သူ၏ အကွာအဝေး (distance) ကို နှစ်ထပ်အချိုး (cross ratio) ၏ လော်ဂရစ်သမ် (logarithm) ဖြင့် ဖော်ပြခဲ့သည် ။ ကတော့ချွန် ဖြတ်ပိုင်းကို မပြောင်းလဲဘဲ တည်ငြိမ်စေသော မည်သည့် ပရိုဂျက်တစ်ပုံဖော်မှုမဆို နှစ်ထပ်အချိုးကိုလည်း ကိန်းသေဖြစ်စေသည် ။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတွင် အကွာအဝေးထိန်းသိမ်းမှု (isometries) သဘောတရားများ သွယ်ဝိုက်ပါဝင်နေသည် ။ ဤနည်းလမ်းသည် အဲလစ်ပတစ် ဂျီဩမေတြီ (elliptic geometry) နှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဂျီဩမေတြီ (hyperbolic geometry) တို့အတွက် မော်ဒယ်များကို ထောက်ပံ့ပေးသည် ။ ထို့အပြင် ဖီးလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) သည် ကေးလီ-ကလိုင်း အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Cayley-Klein metric) ကို အသုံးပြု၍ ယူကလစ်ဒ်မဟုတ်သော ဂျီဩမေတြီ (non-euclidean geometry) နယ်ပယ်ကို စာတမ်းများစွာမှတစ်ဆင့် အခိုင်အမာ တည်ထောင်ခဲ့သည် ။

အကွာအဝေး ဖန်ရှင် ဂုဏ်သတ္တိများ ပါဝင်သော သရုပ်မဲ့ ရပ်ဝန်း (abstract space) ဟူသော အယူအဆကို ၁၉၀၆ ခုနှစ်တွင် ရီနီ မောရစ် ဖရက်ချေး (René Maurice Fréchet) က စတင်တင်ပြခဲ့သည် ။ ထို့နောက် ၁၉၁၄ ခုနှစ်တွင် ဖီးလစ် ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် (Felix Hausdorff) က အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) ဟူသော ဝေါဟာရကို တီထွင်ဖန်တီးခဲ့သည် ။

ဖရက်ချေး၏ လုပ်ဆောင်ချက်များသည် ဂျီဩမေတြီမဟုတ်သော ရပ်ဝန်းများတွင် စုဆုံခြင်း (convergence)၊ အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity)နှင့် အခြားသော အဓိကသဘောတရားများကို နားလည်ရန်အတွက် အခြေခံအုတ်မြစ်ကို ချပေးခဲ့သည် ။ ၎င်းက သင်္ချာပညာရှင်များအား ဖန်ရှင်များနှင့် ကိန်းစဉ်များကို ပိုမိုကျယ်ပြန့်၍ ပြောင်းလွယ် ပြင်လွယ်ရှိသော နည်းလမ်းဖြင့် လေ့လာနိုင်ရန် အခွင့်အလမ်း ပေးခဲ့သည် ။ ဤအချက်သည် ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်လာသော ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) နယ်ပယ်အတွက် အလွန်အရေးပါခဲ့သည် ။

ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်နှင့် စတီဖန် ဘာနက်ချ် (Stefan Banach) ကဲ့သို့သော သင်္ချာပညာရှင်များသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ၏ မူဘောင်ကို ထပ်မံပြုပြင်မွမ်းမံပြီး တိုးချဲ့ခဲ့ကြသည် ။ ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ်သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological spaces) များကို အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ၏ ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalisation) အဖြစ် မိတ်ဆက်ခဲ့သည် ။ ဘာနက်ချ်၏ ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်များသည် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တည်ဆောက်ပုံအပေါ်တွင် များစွာ မှီခိုနေခဲ့သည် ။

အချိန်ကြာလာသည်နှင့်အမျှ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများသည် ခေတ်သစ်သင်္ချာ (modern mathematics) ၏ အဓိကအစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည် ။ ၎င်းတို့သည် တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology)၊ ဂျီဩမေတြီနှင့် အသုံးချ သင်္ချာ (applied mathematics) အပါအဝင် နယ်ပယ်အသီးသီးအပေါ် လွှမ်းမိုးမှုရှိခဲ့သည် ။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများသည် သရုပ်မဲ့ သင်္ချာဆိုင်ရာ သဘောတရားများကို လေ့လာရာတွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ဆက်လက် ပါဝင်လျက်ရှိသည် ။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

$X$သည် မည်သည့် အစု (set) မဆို ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံသော ပုံဖော်မှု (mapping) $d:X\times X\rightarrow \mathbb {R}$ ကို $X$ အပေါ်ရှိ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) ဟု ခေါ်သည်။ ဤနေရာတွင် $X\times X$ သည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (Cartesian product) ကို ကိုယ်စားပြုသည် ။ ယေဘုယျအားဖြင့် $A\times B$ ဆိုသည်မှာ $a\in A$ နှင့် $b\in B$ ဖြစ်သော အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) $(a,b)$ အားလုံး၏ အစု ဖြစ်သည် ။ ထို့ကြောင့် $X\times X$ သည် $X$ ၏ အစုဝင်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲ အားလုံး၏ အစုပင် ဖြစ်သည် ။

မည်သည့် $x,y,z\in X$ အတွက်မဆို

• (M1) $d$ သည် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိပြီး အဆုံးရှိ (finite) ကာ အနုတ်ကိန်းမဟုတ်သော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည် (အပေါင်းကိန်းဖြစ်မှု - Positivity) ။
• (M2) $d(x,y)=0$ ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ $x=y$ ဖြစ်သည် (တိကျသေချာမှု - Definiteness) ။
• (M3) $d(x,y)=d(y,x)$ (အချိုးညီမှု - Symmetry) ။
• (M4) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (တြိဂံ မညီမျှခြင်း - Triangle inequality) ။

ဤကဲ့သို့ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် တပ်ဆင်ထားသော အစုစုံတွဲ $(X,d)$ ကို အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် ရောထွေးမှုမဖြစ်နိုင်သော အခြေအနေမျိုးတွင် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း $(X,d)$ အစား $X$ ဟုသာ အတိုချုံး၍ ရေးသားလေ့ရှိသည် ။

ဥပမာများ (Examples)

ကိန်းစစ်မျဉ်း (Real line) $\mathbb {R}$

၎င်းသည် ကိန်းစစ်များ (real numbers) အားလုံးပါဝင်သော အစုဖြစ်သည် ။ ၎င်းအပေါ်တွင် ပုံမှန် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည် ။

• $d(x,y):=|x-y|$

ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီ (Euclidean plane) $\mathbb {R} ^{2}$

ကိန်းစစ်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pairs) များ၏ အစုကို ယူလျှင် ယူကလစ်ဒ် ပြင်ညီဟုခေါ်သော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း $\mathbb {R} ^{2}$ ကို ရရှိသည် ။ ထိုအစုဝင်များကို $x=(\xi _{1},\xi _{2})$ နှင့် $y=(\eta _{1},\eta _{2})$ စသည်ဖြင့် ရေးသားသည် ။ ထိုအစုအပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (Euclidean metric) ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည် ။

• $d(x,y)={\sqrt {(\xi _{1}-\eta _{1})^{2}+(\xi _{2}-\eta _{2})^{2}}}$

အထက်ပါ အစုတစ်ခုတည်းအပေါ်တွင်ပင် အခြား အကွာအဝေး ဖန်ရှင် $d_{1}$ ကို အောက်ပါအတိုင်း ရွေးချယ်သတ်မှတ်ပါက အခြားသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ရရှိမည်ဖြစ်သည် ။

• $d_{1}(x,y)=|\xi _{1}-\eta _{1}|+|\xi _{2}-\eta _{2}|$

အစုဝင်တစ်ခုထက်ပို၍ ပါဝင်သော အစုတစ်ခုတည်းမှနေ၍ ကွဲပြားသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်များကို ရွေးချယ်ခြင်းဖြင့် မတူညီသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများကို ရရှိနိုင်ကြောင်း ဤဥပမာက မီးမောင်းထိုးပြနေသည် ။ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် $d_{1}$ ပါရှိသော ရပ်ဝန်းအတွက် စံသတ်မှတ်ထားသော အမည်မရှိသော်လည်း $d_{1}$ ကို တက္ကစီကား အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (taxicab metric) ဟု တစ်ခါတစ်ရံ ခေါ်ဆိုကြသည် ။ $\mathbb {R} ^{2}$ ကို တစ်ခါတစ်ရံတွင် $E^{2}$ ဟုလည်း သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည် ။

အတိုင်းအတာသုံးခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း (Three-dimensional Euclidean space) $\mathbb {R} ^{3}$

ဤအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းသည် ကိန်းစစ်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျသုံးခုတွဲ (ordered triples) များ၏ အစုပင် ဖြစ်သည် ။ ထိုအစုဝင်များကို $x=(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ နှင့် $y=(\eta _{1},\eta _{2},\eta _{3})$ စသည်ဖြင့် ရေးသားသည် ။ ၎င်းအပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည် ။

• $d(x,y)={\sqrt {(\xi _{1}-\eta _{1})^{2}+(\xi _{2}-\eta _{2})^{2}+(\xi _{3}-\eta _{3})^{2}}}$

ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း (Euclidean space) $\mathbb {R} ^{n}$၊ ယူနစ်တရီ ရပ်ဝန်း (Unitary space) $\mathbb {C} ^{n}$ နှင့် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (Complex plane) $\mathbb {C}$

ယခင်ပြသခဲ့သော ဥပမာများသည် အတိုင်းအတာ $n$ ခုရှိသော ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း $\mathbb {R} ^{n}$ ၏ သီးခြား အခြေအနေများပင် ဖြစ်ကြသည် ။ ဤရပ်ဝန်းကို ကိန်းစစ်များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျ $n$-ခုတွဲ (ordered n-tuples) များ၏ အစုဖြင့် တည်ဆောက်ထားသည် ။ ထိုအစုဝင်များကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည် ။

• $x=(\xi _{1},\dots ,\xi _{n})$
• $y=(\eta _{1},\dots ,\eta _{n})$

ထိုအစုအပေါ်တွင် ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည် ။

• $d(x,y)={\sqrt {(\xi _{1}-\eta _{1})^{2}+\dots +(\xi _{n}-\eta _{n})^{2}}}$

အတိုင်းအတာ $n$ ခုရှိသော ယူနစ်တရီ ရပ်ဝန်း $\mathbb {C} ^{n}$ သည် ကိန်းထွေး (complex numbers) များဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစီအစဉ်ကျ $n$-ခုတွဲများ၏ ရပ်ဝန်းဖြစ်သည် ။ ၎င်းအပေါ်ရှိ အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည် ။

• $d(x,y)={\sqrt {|\xi _{1}-\eta _{1}|^{2}+\dots +|\xi _{n}-\eta _{n}|^{2}}}$

အကယ်၍ $n=1$ ဖြစ်ခဲ့ပါက ဤရပ်ဝန်းသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ $\mathbb {C}$ ဖြစ်လာပြီး ၎င်း၏ ပုံမှန်အကွာအဝေး ဖန်ရှင်မှာ $d(x,y)=|x-y|$ ဖြစ်သည် ။ တစ်ခါတစ်ရံတွင် $\mathbb {C} ^{n}$ ကို ကိန်းထွေး ယူကလစ်ဒ် $n$-ရပ်ဝန်း (complex Euclidean n-space) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည် ။

ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း (Sequence space) $l^{\infty }$

ဤဥပမာသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဟူသော သဘောတရား မည်မျှအထိ ကျယ်ပြန့်သည်ကို ပထမဆုံးအကြိမ် မြင်တွေ့ရစေမည့် ဥပမာဖြစ်သည် ။ အစု $X$ အနေဖြင့် အကန့်အသတ်ရှိသော ကိန်းထွေး ကိန်းစဉ် (bounded sequences of complex numbers) များအားလုံး၏ အစုကို ယူပါမည် ။ ဆိုလိုသည်မှာ $X$ ၏ အစုဝင်တိုင်းသည် အောက်ပါကိန်းထွေး ကိန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြသည် ။

• $x=(\xi _{1},\xi _{2},\dots )$

အတိုချုံးအားဖြင့် $x=(\xi _{j})$ ဟု ရေးသားနိုင်သည် ။ မည်သည့် $j=1,2,\dots$ အတွက်မဆို အောက်ပါအခြေအနေကို ကိုက်ညီရမည် ဖြစ်သည် ။

• $|\xi _{j}|\leq c_{x}$

ဤနေရာတွင် $c_{x}$ သည် $x$ အပေါ်တွင် မူတည်နိုင်သော်လည်း $j$ အပေါ်တွင် မူတည်ခြင်းမရှိသော ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည် ။ ဤအစုအပေါ်တွင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည် ။

• $d(x,y)=\sup _{j\in N}|\xi _{j}-\eta _{j}|$

ဤနေရာတွင် $y=(\eta _{j})\in X$ ဖြစ်ပြီး $N=\{1,2,\dots \}$ ဖြစ်သည် ။ $\sup$ သည် စူပရီမမ် (supremum) သို့မဟုတ် အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် (least upper bound) ကို ကိုယ်စားပြုသည် ။ ဤသို့ တည်ဆောက်ထားသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကို ယေဘုယျအားဖြင့် $l^{\infty }$ ဟု သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည် ။ $X$ ၏ အစုဝင် (အမှတ်) တစ်ခုစီတိုင်းသည် ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်နေသောကြောင့်$l^{\infty }$ ကို ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း (sequence space) ဟု ခေါ်ဆိုခြင်း ဖြစ်သည် ။

ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း (Sequence space) $s$

ဤရပ်ဝန်းတွင် အကန့်အသတ်ရှိသော သို့မဟုတ် အကန့်အသတ်မရှိသော ကိန်းထွေး ကိန်းစဉ်များအားလုံး၏ အစု ပါဝင်သည် ။ ၎င်းအပေါ်ရှိအကွာအဝေး ဖန်ရှင် $d$ ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည် ။

• $d(x,y)=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{j}}}{\frac {|\xi _{j}-\eta _{j}|}{1+|\xi _{j}-\eta _{j}|}}$

ဤနေရာတွင် $x=(\xi _{j})$ နှင့် $y=(\eta _{j})$ ဖြစ်ကြသည် ။ ယခင် ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း $l^{\infty }$ ဥပမာတွင် သုံးခဲ့သော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်သည် ယခုအခြေအနေအတွက် သင့်လျော်မည်မဟုတ်ကြောင်း သတိပြုသင့်သည် ။

သက်သေပြချက် (Proof): နဂိုမှန်အဆို (M1) မှ (M3) အထိ ကိုက်ညီကြောင်းကို လွယ်ကူစွာ မြင်တွေ့နိုင်သည် ။ ထို့ကြောင့် (M4) ကို စစ်ဆေးအတည်ပြုပါမည် ။ ဤအတွက် $\mathbb {R}$ အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော အထောက်အကူပြု ဖန်ရှင် (auxiliary function) $f$ကို အောက်ပါအတိုင်း အသုံးပြုပါမည် ။

• $f(t)={\frac {t}{1+t}}$

ဆင်းသက်ချက် (derivative) ရှာလိုက်သောအခါ $f'(t)=1/(1+t)^{2}$ ကို ရရှိပြီး ၎င်းသည် အပေါင်းကိန်းဖြစ်သည် ။ ထို့ကြောင့် $f$ သည် အစဉ်လိုက် တိုးသော (monotone increasing) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည် ။ ရလဒ်အနေဖြင့်$|a+b|\leq |a|+|b|$ ဖြစ်ခြင်းက $f(|a+b|)\leq f(|a|+|b|)$ သက်ရောက်စေသည် ။ ၎င်းကို ဖြန့်ရေး၍ ကိန်းများအတွက် တြိဂံ မညီမျှခြင်းကို အသုံးပြုသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည် ။

• ${\frac {|a+b|}{1+|a+b|}}\leq {\frac {|a|+|b|}{1+|a|+|b|}}={\frac {|a|}{1+|a|+|b|}}+{\frac {|b|}{1+|a|+|b|}}\leq {\frac {|a|}{1+|a|}}+{\frac {|b|}{1+|b|}}$

ဤမညီမျှခြင်းတွင် $a=\xi _{j}-\zeta _{j}$နှင့် $b=\zeta _{j}-\eta _{j}$ ဟု ထားပါမည် ။ ထိုအခါ $z=(\zeta _{j})$ ဖြစ်ပြီး $a+b=\xi _{j}-\eta _{j}$ ဖြစ်လာသောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည် ။

• ${\frac {|\xi _{j}-\eta _{j}|}{1+|\xi _{j}-\eta _{j}|}}\leq {\frac {|\xi _{j}-\zeta _{j}|}{1+|\xi _{j}-\zeta _{j}|}}+{\frac {|\zeta _{j}-\eta _{j}|}{1+|\zeta _{j}-\eta _{j}|}}$

နှစ်ဖက်စလုံးကို $1/2^{j}$ ဖြင့် မြှောက်၍ $j$ ကို $1$ မှ $\infty$ အထိ ပေါင်းလိုက်ပါက ဘယ်ဘက်တွင် $d(x,y)$ ကို ရရှိပြီး ညာဘက်တွင် $d(x,z)$ နှင့် $d(z,y)$ တို့၏ ပေါင်းလဒ်ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည် ။

• $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

၎င်းသည် (M4) ကို ပြည့်စုံစေပြီး $s$ သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြလိုက်ခြင်းပင် ဖြစ်သည် ။ □

ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (1912)

ရပ်ဝန်း (Space) $l^{p}$ နှင့် ဟီလ်ဘတ် ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း (Hilbert sequence space) $l^{2}$

$p\geq 1$ သည် ကိန်းသေ ကိန်းစစ်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့ ။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ ရပ်ဝန်း $l^{p}$ အတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းသည်$|\xi _{1}|^{p}+|\xi _{2}|^{p}+\dots$ စုဆုံသည် (converges) ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည့် ကိန်းစဉ် $x=(\xi _{j})=(\xi _{1},\xi _{2},\dots )$ များ ဖြစ်ကြသည် ။ ထို့ကြောင့် ၎င်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးနိုင်သည် ။

• $\sum _{j=1}^{\infty }|\xi _{j}|^{p}<\infty$

ထို့အပြင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည် ။

• $d(x,y)=\left(\sum _{j=1}^{\infty }|\xi _{j}-\eta _{j}|^{p}\right)^{1/p}$

ဤနေရာတွင် $p\geq 1$ သည် ကိန်းသေဖြစ်ပြီး $y=(\eta _{j})$ ဖြစ်ကာ $\sum |\eta _{j}|^{p}<\infty$ကို ကိုက်ညီသည် ။

အထက်ပါအခြေအနေများကို ကိုက်ညီသော ကိန်းစစ် ကိန်းစဉ်များကိုသာ ယူပါက ကိန်းစစ် ရပ်ဝန်း $l^{p}$ ကို ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ကိန်းထွေး ကိန်းစဉ်များကို ယူပါက ကိန်းထွေး ရပ်ဝန်း $l^{p}$ ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည် ။ ဤကွဲပြားမှုကို ခွဲခြားဖော်ပြရန် အရေးကြီးသော အခြေအနေများတွင် ၎င်းတို့ကို အောက်ခြေအညွှန်း (subscript) $\mathbb {R}$ သို့မဟုတ် $\mathbb {C}$ ဖြင့် အသီးသီး သင်္ကေတပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည် ။

$p=2$ ဖြစ်သော အခြေအနေတွင် ကျော်ကြားလှသော ဟီလ်ဘတ် ကိန်းစဉ် ရပ်ဝန်း (Hilbert sequence space) $l^{2}$ ကို အောက်ပါအကွာအဝေး ဖန်ရှင်ဖြင့် ရရှိသည် ။

• $d(x,y)={\sqrt {\sum _{j=1}^{\infty }|\xi _{j}-\eta _{j}|^{2}}}$

ဤရပ်ဝန်းကို အင်တီဂရယ် ညီမျှခြင်းများနှင့် ဆက်စပ်၍ ၁၉၁၂ ခုနှစ်တွင် ဒေးဗစ် ဟီလ်ဘတ် (David Hilbert) က စတင်မိတ်ဆက်ကာ လေ့လာခဲ့သည် ။ ၎င်းသည် ယနေ့ခေတ်တွင် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Hilbert space) ဟု ခေါ်ဆိုနေကြသော အရာများ၏ အစောဆုံး ဥပမာတစ်ခုပင် ဖြစ်သည် ။

ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်း (Function space) $C[a,b]$

အစု $X$ အနေဖြင့် အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းစစ် ကိန်းရှင် (independent real variable) $t$ ၏ ဖန်ရှင်များဖြစ်ကြသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued functions) $x,y,\dots$ အားလုံး၏ အစုကို ယူပါမည် ။ ထိုဖန်ရှင်များသည် ပေးထားသော အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) $J=[a,b]$ အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားပြီး အဆက်မပြတ် (continuous) ဖြစ်ကြသည် ။ ၎င်းအစုအပေါ်တွင်အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရွေးချယ်သတ်မှတ်ပါမည် ။

• $d(x,y)=\max _{t\in J}|x(t)-y(t)|$

ဤနေရာတွင် $\max$ သည် အကြီးဆုံးတန်ဖိုး (maximum) ကို ကိုယ်စားပြုသည် ။ ဤသို့ဖြင့် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ရရှိပြီး ၎င်းကို $C[a,b]$ ဟု သင်္ကေတပြုသည် ။ $C$ ဟူသော အက္ခရာသည် "continuous" (အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း) ကို ရည်ညွှန်းသည် ။ $C[a,b]$ ၏ အမှတ်တစ်ခုစီတိုင်းသည် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်နေသောကြောင့် ၎င်းကို ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်းဟု ခေါ်ဆိုခြင်း ဖြစ်သည် ။

ကဲကုလပ်စ် (calculus) ဘာသာရပ်တွင် ပုံမှန်အားဖြင့် ဖန်ရှင်တစ်ခု သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်အနည်းငယ်ကိုသာ တစ်ကြိမ် တစ်ကြိမ်လျှင် လေ့လာလေ့ရှိသည် ။ ယခုချဉ်းကပ်မှုတွင်မူ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ကြီးမားသော ရပ်ဝန်းကြီးတစ်ခုအတွင်းရှိ အမှတ်တစ်မှတ်အဖြစ်သာ တည်ရှိနေသည် ။ ဤကွာခြားချက်ကြီးမားပုံကို စာဖတ်သူအနေဖြင့် သတိပြုမိသင့်သည် ။

အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင်များ၏ ရပ်ဝန်း (Space of bounded functions) $B(A)$

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ $x\in B(A)$ အစုဝင်တစ်ခုစီတိုင်းသည် ပေးထားသော အစု $A$ အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားပြီး အကန့်အသတ်ရှိသော ဖန်ရှင် (bounded function) တစ်ခုဖြစ်သည် ။ ထို့အပြင် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည် ။

• $d(x,y)=\sup _{t\in A}|x(t)-y(t)|$

ဤနေရာတွင် $\sup$ သည် စူပရီမမ် (supremum) ကို ကိုယ်စားပြုသည် ။ $A$ သည် $\mathbb {R}$ ၏ အပိုင်းအခြား $A=[a,b]$ ဖြစ်နေသော အခြေအနေမျိုးတွင် $B(A)$ ကို $B[a,b]$ ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည် ။

သက်သေပြချက် (Proof): $B(A)$ သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါမည် ။ (M1) နှင့် (M3) တို့ ကိုက်ညီကြောင်းကို ရှင်းလင်းစွာ မြင်တွေ့နိုင်သည် ။ ထို့အပြင် $d(x,x)=0$ ဖြစ်ကြောင်းမှာလည်း ထင်ရှားသည် ။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် $d(x,y)=0$ ဖြစ်လျှင် မည်သည့် $t\in A$ အတွက်မဆို $x(t)-y(t)=0$ ဖြစ်လာကာ $x=y$ ဟူသော ရလဒ်ကို ရရှိသည် ။ ထို့ကြောင့် (M2) ပြည့်စုံသွားသည် ။ ဆက်လက်၍ မည်သည့် $t\in A$ အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည် ။

• $|x(t)-y(t)|\leq |x(t)-z(t)|+|z(t)-y(t)|\leq \sup _{t\in A}|x(t)-z(t)|+\sup _{t\in A}|z(t)-y(t)|$

၎င်းက $x-y$ သည် $A$ ပေါ်တွင် အကန့်အသတ်ရှိကြောင်းကို ပြသနေသည် ။ အထက်ပါ မညီမျှခြင်း၏ ညာဘက်ခြမ်းအရ ပေးထားသော အထက်ဘောင်သည် $t$ အပေါ်တွင် မူတည်ခြင်းမရှိသောကြောင့် ဘယ်ဘက်ခြမ်းတွင် စူပရီမမ်ကို ယူလိုက်ပါက (M4) ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည် ။ □

တစ်ပိုင်းတစ်စ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (Discrete metric space)

မည်သည့် အစု $X$ ကိုမဆို ယူ၍ ၎င်းအပေါ်တွင် အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်ထားသော တစ်ပိုင်းတစ်စ အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (discrete metric) ကို အသုံးပြုပါမည် ။

1. $d(x,x)=0$
2. $d(x,y)=1\qquad (x\neq y)$

ဤရပ်ဝန်း $(X,d)$ ကို တစ်ပိုင်းတစ်စအကွာအဝေး ရပ်ဝန်းဟု ခေါ်သည် ။ ၎င်းကို လက်တွေ့အသုံးချမှုများတွင် တွေ့ရလေ့မရှိသလောက် ရှားပါးသည် ။ သို့သော်လည်း အချို့သော သဘောတရားများကို ဥပမာပြ ရှင်းလင်းရန်နှင့် သတိမမူမိတတ်သော အမှားများကို ထောက်ပြရန်အတွက် ဤရပ်ဝန်းကို အသုံးပြုသည် ။

အခြေခံ သတ္တိများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ သဘောတရားများ

အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (Metric Space) တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အခြေခံသတ္တိများနှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ သဘောတရားများ ပါဝင်သည် ။

ယေဘုယျ တြိဂံ မညီမျှခြင်း (Generalized Triangle Inequality)

• (M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်းကို အသုံးပြု၍ သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) ဖြင့် ယေဘုယျ တြိဂံ မညီမျှခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ရရှိနိုင်သည် ။

$d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})+\dots +d(x_{n-1},x_{n})$

စတုဂံ မညီမျှခြင်း (Quadrilateral Inequality)

• အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း $X$ တစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် $\varphi ,\psi ,\varphi ^{\prime },\psi ^{\prime }\in X$ အတွက်မဆို အောက်ပါ စတုဂံ မညီမျှခြင်းရှိသည် ။

$$|d(\varphi ,\psi )-d(\varphi ^{\prime },\psi ^{\prime })|\leq d(\varphi ,\varphi ^{\prime })+d(\psi ,\psi ^{\prime })$$

သက်သေပြချက် (Proof):(M4) တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) အရ $d(\varphi ,\psi )\leq d(\varphi ,\varphi ^{\prime })+d(\varphi ^{\prime },\psi ^{\prime })+d(\psi ^{\prime },\psi )$  ဖြစ်သည် ။ ၎င်းမှ (M3) အချိုးညီခြင်း (symmetry) ဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် $d(\varphi ,\psi )-d(\varphi ^{\prime },\psi ^{\prime })\leq d(\varphi ,\varphi ^{\prime })+d(\psi ,\psi ^{\prime })$ ကို ရရှိသည် ။ ထိုနည်းတူစွာ $d(\varphi ^{\prime },\psi ^{\prime })-d(\varphi ,\psi )\leq d(\varphi ,\varphi ^{\prime })+d(\psi ,\psi ^{\prime })$ ကို ရနိုင်သည် ။ □

စက်လုံးများ (Balls)

အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း $X$ ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်သော $\varphi$ နှင့် $r>0$ တို့အတွက်

• အစု $B(\varphi ;r):=\{\psi \in X:d(\varphi ,\psi )<r\}$ ကို $\varphi$ ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် $r$ ရှိသော အဖွင့်စက်လုံး (open ball) ဟု ခေါ်သည် ။
• အစု $B[\varphi ;r]:=\{\psi \in X:d(\varphi ,\psi )\leq r\}$ ကို $\varphi$ ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် $r$ ရှိသော အပိတ်စက်လုံး (closed ball) ဟု ခေါ်သည် ။

အဖွင့်စု (Open Sets)

• အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း $X$ ၏ အစုပိုင်း $U$ အတွင်းရှိ မည်သည့် $\varphi \in U$ အတွက်မဆို $B(\varphi ;r)\subset U$ ဖြစ်စေမည့် $r>0$ တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို $U$ ကို အဖွင့်စု (open set) ဟု ခေါ်သည် ။

• အဖွင့်စက်လုံးများသည် အဖွင့်စုများ ဖြစ်ကြသည် ။

သက်သေပြချက် (Proof): $\varphi \in B(f;r)$ ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့ ။ ထိုအခါ $\rho :=r-d(f,\varphi )>0$ ဖြစ်ပြီး မည်သည့် $\psi \in B(\varphi ;\rho )$ အတွက်မဆို တြိဂံ မညီမျှခြင်းအရ $d(f,\psi )\leq d(f,\varphi )+d(\varphi ,\psi )<d(f,\varphi )+\rho =r$ ဖြစ်သည် ။ ဆိုလိုသည်မှာ $\psi \in B(f;r)$ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် $B(\varphi ;\rho )\subset B(f;r)$ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြနိုင်သည် ။  □

• အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း $X$ နှင့် ဗလာအစု (empty set) တို့သည် အဖွင့်စုများ ဖြစ်ကြသည် ။ အဖွင့်စုများ၏ အဆုံးရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection of finitely many open sets) သည် အဖွင့်စုသာ ဖြစ်သည်။

သက်သေပြချက် (Proof):ပထမအဆိုမှာ သိသာသည် ။ $U_{1},...,U_{n}$ တို့သည် အဖွင့်စုများဖြစ်ပြီး $\varphi \in U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{i}$ ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့ ။ ထို $\varphi$ သည် $U_{i}$ တစ်ခုစီတိုင်းတွင် ပါဝင်သည် ။ ထို့ကြောင့် $i=1,...,n$ အတွက် $B(\varphi ;r_{i})\subset U_{i}$ ဖြစ်စေမည့် $r_{i}>0$ တစ်ခု တည်ရှိသည် ။ $r:=\min _{i=1,...,n}r_{i}$ ဟု သတ်မှတ်လိုက်လျှင် $B(\varphi ;r)\subset U$ ဖြစ်လာသည် ။ □

• မည်မျှပင်များပြားစေကာမူ အဖွင့်စုများအားလုံး၏ ပေါင်းစပ်စု (union of arbitrarily many open sets) သည် အဖွင့်စုသာ ဖြစ်သည်။

သက်သေပြချက် (Proof):$U_{i}$, $i\in I$ တို့သည် အဖွင့်စုများဖြစ်ပြီး $\varphi \in U:=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ ဖြစ်လျှင် $\varphi$ သည် အချို့သော $U_{i}$ တွင် ပါဝင်သည် ။ ထို့ကြောင့် $B(\varphi ;r)\subset U_{i}\subset U$ ဖြစ်စေမည့် $r>0$ တစ်ခု တည်ရှိသည် ။ □

ရပ်ဝန်းပိုင်း (Subspace)

အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း $(X,d)$ တစ်ခုမှနေ၍ ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) $(Y,{\tilde {d}})$ ကို ရယူတည်ဆောက်နိုင်သည် ။ ဤသို့ တည်ဆောက်ရာတွင် $X$၏ အစုပိုင်း (subset) ဖြစ်သော $Y\subset X$ ကို ယူရသည် ။ ထို့နောက် မူလအကွာအဝေး ဖန်ရှင် $d$ ကို $Y\times Y$ အပေါ်သို့ ကန့်သတ်လိုက်သည် ။ ဤသို့ ကန့်သတ်လိုက်သော အကွာအဝေး ဖန်ရှင်ကို ${\tilde {d}}=d|_{Y\times Y}$ ဟု ရေးသားသည် ။ ထို ${\tilde {d}}$ ကို $d$ မှ $Y$ အပေါ်သို့ လှုံ့ဆော်ခံအကွာအဝေး ဖန်ရှင် (induced metric) ဟု ခေါ်ဆိုသည် ။