ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်

အပေါ်ပုံတွင် ထောင့်မှန်စတုဂံပုံ ဂရစ်ကွက်ကို ပြသထားပြီး အောက်ပုံတွင် ကွန်ဖော်မယ် ပုံဖော်မှု (conformal map) $f$ အောက်ရှိ ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) ကို ပြသထားသည်။

ဖန်ရှင် (function) $f(z)={1}/{z}$ ၏ ပုံဖော်မှု (mapping) ကို ပြသထားသည်။ ပုံသည် မတူညီသော $z$ ကို အပြာရောင်ဖြင့် ပြသထားပြီး သက်ဆိုင်ရာ $f(z)$ ကို အနီရောင်ဖြင့် ပြသထားသည်။ အမှတ် (point) $z$ နှင့် $f(z)$ တို့ကို $\mathbb {C} {\tilde {=}}\mathbb {R} ^{2}$ တွင် ပြသထားသည်။ $y$-ဝင်ရိုးသည် $z$ နှင့် $f(z)$ တို့၏ ကိန်းထွေး (complex number) ၏ ကိန်းယောင်ပိုင်း (imaginary part) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။

မှတ်ချက် - ဤဆောင်းပါးတွင် သင်္ချာဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ကွဲပြားမှုအပေါ်မူတည်၍ အင်္ဂလိပ်ဝေါဟာရ "domain" အား ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်းများစုဝေးမှုအတွက် "အရင်းအမြစ်စု (domain)" အဖြစ်လည်းကောင်း၊ အဖွင့်ဖြစ်ပြီး ဆက်စပ်နေသော ရပ်ဝန်းအတွက် "နယ်ပယ် (domain)" အဖြစ်လည်းကောင်း၊ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ကွင်းတည်ဆောက်ပုံအတွက် "ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ ဒိုမိန်း (integral domain)" အဖြစ်လည်းကောင်း သီးခြားစီ ခွဲခြားအသုံးပြုထားသည်။

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် (holomorphic function) ဆိုသည်မှာ ကိန်းထွေး ကိုဩဒိနိတ် ရပ်ဝန်း (complex coordinate space) $\mathbb {C} ^{n}$ ရှိ နယ်ပယ် (domain) တစ်ခုအတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုစီ၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighbourhood) တွင် ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (complex differentiable) ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်တစ်ခု (single complex variable) ၏ ကိန်းထွေးတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (complex-valued function) ဖြစ်သည်။ ၎င်းသဘောတရားကို နောက်ပိုင်းတွင် ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်တစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပိုသော ကိန်းရှင်များအဖြစ် ယေဘုယျပြုထားသည်။ ပတ်ဝန်းကျင်တစ်ခုတွင် ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက် (complex derivative) တည်ရှိခြင်းသည် အလွန်အားကောင်းသော အခြေအနေတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းက ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (infinitely differentiable) ဖန်ရှင်ဖြစ်ပြီး ဒေသအလိုက် ၎င်း၏ ကိုယ်ပိုင် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) နှင့် တူညီကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဤသည်မှာ ၎င်းဖန်ရှင်သည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ (analytic) ဖြစ်ကြောင်း ဆိုလိုသည်။ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များသည် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (complex analysis) တွင် လေ့လာမှု၏ အဓိက အရာဝတ္ထုများ ဖြစ်ကြသည်။

ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင် (analytic function) ဟူသော ဝေါဟာရကို ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် နှင့် အပြန်အလှန် အသုံးပြုလေ့ရှိကြသည်။ သို့ရာတွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဟူသော စကားလုံးကို ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စု အတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုစီ၏ ပတ်ဝန်းကျင်တွင် စုဆုံသော ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (convergent power series) အဖြစ် ရေးသားနိုင်သော မည်သည့်ဖန်ရှင်ကိုမဆို ရည်ညွှန်းရန် ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော သဘောတရားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်အားလုံးသည် ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များ (complex analytic functions) ဖြစ်ကြပြီး ပြောင်းပြန်အားဖြင့်လည်း မှန်ကန်ကြောင်း ဆိုခြင်းမှာ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာရှိ အဓိက သီအိုရမ် တစ်ခု ဖြစ်သည်။

ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များကို တစ်ခါတစ်ရံတွင် ပုံမှန် ဖန်ရှင်များ (regular functions) အဖြစ်လည်း ရည်ညွှန်းကြသည်။ အရင်းအမြစ်စုသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) တစ်ခုလုံးဖြစ်သော ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်ကို အလုံးစုံ ဖန်ရှင် (entire function) ဟု ခေါ်သည်။ အမှတ် $z_{0}$ တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်သည် ဟူသော စကားစုသည် ကိန်းထွေးပြင်ညီရှိ $z_{0}$ ၏ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင် (open neighbourhood) တစ်ခုအတွင်း နေရာတိုင်း၌ ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

ဖန်ရှင် $f(z)={\bar {z}}$ သည် သုညတွင် ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရပေ။ အကြောင်းမှာ ${\tfrac {f(z)-f(0)}{z-0}}$ ၏ တန်ဖိုးသည် သုညသို့ ချဉ်းကပ်လာသော လားရာအပေါ် မူတည်၍ ကွဲပြားသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်ဝင်ရိုး (real axis) ပေါ်တွင် $f$ သည် $g(z)=z$ နှင့် ညီမျှသည်။ ဤတွင် စုဆုံမှတ် သည် $1$ ဖြစ်သည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် ကိန်းယောင်ဝင်ရိုး (imaginary axis) ပေါ်တွင် $f$ သည် $h(z)=-z$ နှင့် ညီမျှသည်။ ဤတွင် စုဆုံမှတ်သည် $-1$ ဖြစ်သည်။

ကိန်းထွေး ကိန်းရှင်တစ်ခုရှိ ကိန်းထွေးတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် $f$ တစ်ခုကို ပေးထားပါက ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စုအတွင်းရှိ အမှတ် $z_{0}$ တစ်ခု၌ $f$ ၏ ဆင်းသက်ချက် (derivative) ကို အောက်ပါ စုဆုံမှတ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည် ။

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.$

ဤသည်မှာ ပမာဏများအားလုံး ကိန်းထွေးများ ဖြစ်ကြသည်မှလွဲ၍ ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဆင်းသက်ချက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ထင်ဟပ်စေသည်။ အကယ်၍ စုဆုံမှတ် တည်ရှိပါက $f$ သည် $z_{0}$ တွင် ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်။ ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်မှု (complex differentiability) သည် မျဉ်းဖြောင့် (linear) သဘောတရားရှိပြီး မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း (product rule)၊ စားလဒ်စည်းမျဉ်း (quotient rule) နှင့် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) တို့ကို လိုက်နာသည်။

ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အဖွင့်စု (open set) $U$ ၏ အမှတ်တိုင်းတွင် ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပါက ၎င်းသည် $U$ ပေါ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင် $f$ တစ်ခုသည် $z_{0}$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင်တစ်ခုခုပေါ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် အမှတ် $z_{0}$ ၌ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။

ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် အမှတ်တစ်မှတ်တည်း၌ ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သော်လည်း ထိုနေရာတွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် မဖြစ်နိုင်ပေ။ ဥပမာအားဖြင့် $\textstyle f(z)=\vert z\vert {\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}$ သည် $0$ တွင် ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သော်လည်း အခြားမည်သည့်နေရာတွင်မျှ မရရှိနိုင်ပေ။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် $0$ တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် မဟုတ်ပေ။

အကယ်၍ ကိန်းထွေး ဖန်ရှင် (complex function) $f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ သည် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်ပါက $u$ နှင့် $v$ တို့သည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ညီမျှခြင်းများ (Cauchy-Riemann equations) ကို ပြည့်စုံစေသည့် $x$ နှင့် $y$ အပေါ်မူတည်သော ပထမအဆင့် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (first partial derivatives) ရှိကြသည် ။

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,$

အလားတူပင် $z$ ၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) ဖြစ်သော ${\bar {z}}$ အပေါ်မူတည်သည့် $f$ ၏ ဗာတင်ဂါ ဆင်းသက်ချက် (Wirtinger derivative) သည် သုည ဖြစ်သည် ။

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,$

၎င်း၏ အဓိပ္ပာယ်မှာ $f$ သည် ဒစ်ဖရန်ရှယ် အခြေအနေတစ်ခုအနေဖြင့် ${\bar {z}}$ ထံမှ ပုံစံတကျအားဖြင့် အမှီအခိုကင်းကြောင်း ဖြစ်သည်။

လူးမန်း-မန်ချော့ဖ် သီအိုရမ် (Looman-Menchoff theorem) အရ အကယ်၍ $f$ သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပြီး (continuous) $u$ နှင့် $v$ တို့သည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ညီမျှခြင်းများကို ပြည့်စုံစေသည့် ပထမအဆင့် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ ရှိပါက $f$ သည် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။ ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ကို ကိန်းစစ် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက်များ (real partial derivatives) ဖြင့် $f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}$ အဖြစ် ပြတ်သားစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။

ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းများ (Terminology)

ဟိုလိုမော်ဖစ် ဟူသော ဝေါဟာရကို ၁၈၇၅ ခုနှစ်တွင် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ၏ တပည့်နှစ်ဦးဖြစ်သော ရှားလ် အိုဂတ်စ် ဘရီယို နှင့် ရောန်-ကလော့ဒ် ဘူကေးတို့က မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ၎င်းသည် တစ်ခုလုံး ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော ဂရိစကားလုံး ὅλος (hólos) နှင့် ပုံစံ သို့မဟုတ် အသွင်အပြင် ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော μορφή (morphḗ) တို့မှ ဆင်းသက်လာသည်။ ဤသည်မှာ အစိတ်အပိုင်း ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော μέρος (méros) မှ ဆင်းသက်လာသည့် မီရိုမော်ဖစ် (meromorphic) ဟူသော ဝေါဟာရနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်ဖြစ်သည်။ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် နယ်ပယ် တစ်ခုအတွင်းရှိ အလုံးစုံ ဖန်ရှင်နှင့် တူညီသည်။ တစ်ချိန်တည်းမှာပင် သီးသန့် အနန္တတန်ဖိုးမှတ်များမှလွဲ၍ ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော မီရိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် (meromorphic function) သည် အလုံးစုံ ဖန်ရှင်များ၏ ရာရှင်နယ် အပိုင်းကိန်း (rational fraction) များနှင့် တူညီသည်။

ယနေ့ခေတ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် ကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင် ထက် ပိုမိုအသုံးပြုလေ့ရှိကြသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းတို့၏ ထပ်တူညီမှု (equivalence) သည် အသေးအဖွဲ (trivial) အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်တစ်ခု မဟုတ်ဘဲ အဓိက ဆင်းသက်ရရှိသော ရလဒ်တစ်ခု ဖြစ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။

ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties)

ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းသည် မျဉ်းဖြောင့်သဘောတရားရှိပြီး မြှောက်လဒ်၊ စားလဒ် နှင့် ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းများကို လိုက်နာသောကြောင့် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ၏ ပေါင်းလဒ်များ (sums)၊ မြှောက်လဒ်များ (products) နှင့် ပေါင်းစပ်ခြင်းများ (compositions) သည် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်နှစ်ခု၏ စားလဒ် $f/g$ သည် $g$ တွင် သုညမှတ်များ မရှိသော နေရာတိုင်း၌ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။

$\mathbb {C}$ ကို ကိန်းစစ်ပြင်ညီ (real plane) $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ ဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်ရာတွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းပေးသော အဆက်မပြတ် ပထမအဆင့် ဆင်းသက်ချက်များပါရှိသည့် ကိန်းစစ် ကိန်းရှင်နှစ်ခု၏ ဖန်ရှင်များနှင့် ထပ်တူကျသည်။ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင် $f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ တိုင်းသည် $f$ ၏ အရင်းအမြစ်စုပေါ်ရှိ ဟာမိုနစ် ဖန်ရှင်များ (harmonic functions) ဖြစ်သော ကိန်းစစ်ပိုင်းနှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်းများ အဖြစ်သို့ ကွဲထွက်သွားသည်။ ယင်းဖန်ရှင်များသည် လာပလေ့စ်၏ ညီမျှခြင်း (Laplace's equation) $\textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0$ ကို ပြည့်စုံစေသည်။ ဤတွင် $v$ သည် $u$ ၏ ဟာမိုနစ် ကွန်ဂျူဂိတ် (harmonic conjugate) ဖြစ်သည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ရိုးရှင်းစွာ ဆက်စပ်နေသော နယ်ပယ် (simply connected domain) $\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ ပေါ်ရှိ ဟာမိုနစ် ဖန်ရှင် $u(x,y)$ တိုင်းသည် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း ဖြစ်သည်။

ကော်ချီ၏ အင်တီဂရယ် သီအိုရမ် (Cauchy's integral theorem) က ကွင်းပိတ်တစ်ခုတစ်လျှောက်ရှိ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်တိုင်း၏ ကွန်တို အင်တီဂရယ် (contour integral) သည် ပျောက်ကွယ်သွားကြောင်း ဖော်ပြသည် ။

$\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0,$

ဤတွင် $\gamma$ သည် ၎င်း၏ အစမှတ်နှင့် အဆုံးမှတ် တူညီသော ရိုးရှင်းစွာ ဆက်စပ်နေသော နယ်ပယ် $U\subset \mathbb {C}$ အတွင်းရှိ ဖြောင့်တန်းနိုင်သော လမ်းကြောင်း (rectifiable path) တစ်ခု ဖြစ်သည်။

ကော်ချီ၏ အင်တီဂရယ် ပုံသေနည်း (Cauchy's integral formula) အရ အပိတ်ပြားတစ်ခုအတွင်း ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော ဖန်ရှင်တိုင်းသည် နယ်နိမိတ်ပေါ်ရှိ ၎င်း၏ တန်ဖိုးများဖြင့် အပြည့်အဝ ဆုံးဖြတ်နိုင်ကြောင်း ဖော်ပြသည်။ အကယ်၍ $U\subset \mathbb {C}$ သည် ကိန်းထွေး နယ်ပယ် တစ်ခုဖြစ်ပြီး $f\colon U\to \mathbb {C}$ သည် ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်ကာ အပိတ် အပိတ်ပြား (closed disk) $D\equiv \{z:\vert z-z_{0}\vert \leq r\}$ ကို နယ်နိမိတ် စက်ဝိုင်း (boundary circle) $\gamma$ နှင့်အတူ $U$ အတွင်း ပါဝင်သည်ဆိုပါက $D$ ၏ အတွင်းပိုင်း (interior) ရှိ $a$ တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည် ။

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z$

ဤတွင် အင်တီဂရယ်သည် လက်ဝဲရစ် (counter-clockwise) ဖြစ်သည်။

ကော်ချီ၏ ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း ပုံသေနည်း (Cauchy's differentiation formula) ကို အသုံးပြု၍ ဆင်းသက်ချက် ${f'}(a)$ ကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည် ။

$f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{2}}}\,\mathrm {d} z,$

၎င်းသည် $f$ ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်သော နယ်ပယ်တစ်ခုကို ဘောင်ခတ်ထားသည့် $a$ ပတ်လည်ရှိ ရိုးရှင်းသော အပေါင်းကိန်း ကွင်းပိတ်တစ်ခုအတွက် ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် အလွန်သေးငယ်လွန်းသော (infinitesimal) အပေါင်းကိန်း ကွင်းပိတ်များ $\gamma$ အတွက်မူ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည် ။

$f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},$

ဆင်းသက်ချက် သုညမဟုတ်သော နယ်ပယ်များတွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များသည် ကွန်ဖော်မယ် ပုံဖော်မှုများ (conformal maps) ဖြစ်ကြပြီး သေးငယ်သော ပုံသဏ္ဌာန်များ၏ ထောင့်များနှင့် ပုံစံများကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။

အက္ခရာသင်္ချာနည်းအရ အဖွင့်စုတစ်ခုပေါ်ရှိ ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်များ၏ အစုသည် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) တစ်ခုနှင့် ကိန်းထွေး ဗက်တာရပ်ဝန်း (complex vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဆက်စပ်နေသော အဖွင့်စုတစ်ခုပေါ်တွင် ၎င်းသည် ကိန်းပြည့်ရင်းဆိုင်ရာ ဒိုမိန်း (integral domain) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။

ဂျီဩမေတြီနည်းအရ ဖန်ရှင် $f$ တစ်ခုသည် $z_{0}$ တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ်ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ $z_{0}$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင်တစ်ခုရှိ ၎င်း၏ ပြင်ပ ဆင်းသက်ချက် (exterior derivative) $\mathrm {d} f$ သည် $f'(z)\,\mathrm {d} z$ နှင့် ညီမျှခြင်း ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ရိုးရှင်းစွာ ဆက်စပ်နေသော နယ်ပယ်တစ်ခုရှိ လမ်းကြောင်း $\gamma$ အတွက် $F_{\gamma }(z)=F(z_{0})+\int _{\gamma }f(\zeta )\,\mathrm {d} \zeta$ သည် ယေဘုယျပြုထားသော စတုတ်၏ သီအိုရမ် (generalized Stokes' theorem) အရ လမ်းကြောင်းရွေးချယ်မှုအပေါ် အမှီအခိုကင်းပြီး $F'(z)=f(z)$ ကို ရရှိစေသည်။

ဥပမာများ (Examples)

• အလုံးစုံ ဖန်ရှင်များတွင် ကိန်းထွေး မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (complex coefficients) ပါသော $z$ ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်များအားလုံး၊ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) $\exp z$ နှင့် တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များ (trigonometric functions) ဖြစ်သည့် $\cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}$ နှင့် $\sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}$ တို့ ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့သည် $\mathbb {C}$ တစ်ခုလုံးပေါ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်ကြသည်။
• ကိန်းထွေး လော့ဂရစ်သမ် (complex logarithm) $\log z$ ၏ ပင်မ ဖြာထွက်ဖန်ရှင် (principal branch) သည် အရင်းအမြစ်စု $\mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}$ ပေါ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။
• နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖန်ရှင် (square root function) ${\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}$ သည် လော့ဂရစ်သမ် တည်ရှိသော နေရာတိုင်းတွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။
• အချိုးပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (reciprocal function) ${\tfrac {1}{z}}$ သည် $\mathbb {C} \smallsetminus \{0\}$ ပေါ်တွင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖြစ်ပြီး $\mathbb {C}$ ပေါ်တွင် မီရိုမော်ဖစ် ဖြစ်သည်။

ကော်ချီ-ရီးမန်း ညီမျှခြင်းများ၏ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် ဆက်စပ်နေသော နယ်ပယ်တစ်ခုပေါ်ရှိ မည်သည့် ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ (real-valued) ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်မဆို ကိန်းသေဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) $\vert z\vert$၊ ဝင်ရိုးစွန်းထောင့် (argument) $\arg z$၊ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) $\operatorname {Re} (z)$ နှင့် ကိန်းယောင်ပိုင်း (imaginary part) $\operatorname {Im} (z)$ တို့သည် ဟိုလိုမော်ဖစ် မဟုတ်ကြပေ။ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် ${\bar {z}}$ သည်လည်း ဟိုလိုမော်ဖစ် မဟုတ်ပေ။ ၎င်းသည် ဆန့်ကျင်ဘက်ဟိုလိုမော်ဖစ် (antiholomorphic) ဖြစ်သည်။

ကိုးကား (References)

• Ahlfors၊ Lars (1979)၊ Complex Analysis (3rd ed.)၊ New York: McGraw-Hill၊ ISBN 978-0-07-000657-7၊ MR 0510197၊ Zbl 0395.30001
• Briot၊ Charles Auguste; Bouquet၊ Jean-Claude (1875)၊ Théorie des fonctions elliptiques (2nd ed.)၊ Paris: Gauthier-Villars
• Ebenfelt၊ Peter; Hungerbühler၊ Norbert; Kohn၊ Joseph J.; Mok၊ Ngaiming; Straube၊ Emil J. (2011)၊ Complex Analysis၊ Basel: Springer Science & Business Media၊ ISBN 978-3-0346-0009-5
• European Mathematical Society (2015)၊ "Analytic functions of one complex variable"၊ Encyclopedia of Mathematics၊ European Mathematical Society / Springer
• European Mathematical Society (2021)၊ "Analytic function"၊ Encyclopedia of Mathematics၊ European Mathematical Society / Springer
• Evans၊ Lawrence C. (1998)၊ Partial Differential Equations၊ Graduate Studies in Mathematics၊ 19၊ Providence, RI: American Mathematical Society၊ ISBN 978-0-8218-0772-9၊ MR 1625845၊ Zbl 0902.35002
• Gray၊ J. D.; Morris၊ S. A. (April 1978)၊ "When is a function that satisfies the Cauchy–Riemann equations analytic?"၊ The American Mathematical Monthly၊ 85 (4)၊ doi:10.2307/2321164
• Gunning၊ Robert C.; Rossi၊ Hugo (1965)၊ Analytic Functions of Several Complex Variables၊ Modern Analysis၊ Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall၊ ISBN 978-0-8218-6953-6၊ MR 0180696၊ Zbl 0141.08601
• Harkness၊ James; Morley၊ Frank (1893)၊ A Treatise on the Theory of Functions၊ London: Macmillan
• Henrici၊ Peter (1986)၊ Applied and Computational Complex Analysis, Volume 1၊ New York: John Wiley & Sons၊ ISBN 978-0-471-88924-3၊ MR 0902028၊ Zbl 0661.30001
• Henrici၊ Peter (1993)၊ Applied and Computational Complex Analysis, Volume 3၊ New York: John Wiley & Sons၊ ISBN 978-0-471-58986-0၊ MR 0822470၊ Zbl 1107.30300
• Lang၊ Serge (2003)၊ Complex Analysis၊ Graduate Texts in Mathematics၊ 103 (4th ed.)၊ New York: Springer-Verlag၊ ISBN 978-0-387-98592-3၊ MR 1661605၊ Zbl 1030.30001
• Markushevich၊ A. I. (1965)၊ Theory of Functions of a Complex Variable, Volume 1၊ Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall၊ MR 0171899၊ Zbl 0128.06402
• Ponce Campuzano၊ Juan Carlos (14 August 2021)၊ "2.3: Complex Differentiation"၊ Complex Analysis – A Visual and Interactive Introduction၊ LibreTexts
• Rudin၊ Walter (1987)၊ Real and Complex Analysis (3rd ed.)၊ New York: McGraw-Hill Book Co.၊ ISBN 978-0-07-054234-1၊ MR 0924157၊ Zbl 0925.00005