ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်

အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) တွင် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (homomorphism) ဆိုသည်မှာ အမျိုးအစားတူညီသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures) နှစ်ခုကြားရှိ တည်ဆောက်ပုံကို ထိန်းသိမ်းပေးသော ပုံဖော်မှု (map) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤအက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများဆိုရာ၌ အုပ်စုများ (groups) နှစ်ခု၊ ကွင်းများ (rings) နှစ်ခု သို့မဟုတ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (vector spaces) နှစ်ခု စသည်တို့ ပါဝင်သည်။

ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် ဟူသော စကားလုံးသည် ရှေးဟောင်းဂရိဘာသာစကားမှ ဆင်းသက်လာခြင်းဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် တူညီသောဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည့် ὁμός ခေါ် homos နှင့် ပုံစံ သို့မဟုတ် ပုံသဏ္ဌာန်ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည့် μορφή ခေါ် morphe ဟူသော စကားလုံးတို့ ပါဝင်သည်။ သို့သော်လည်း ဤစကားလုံးကို သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် စတင်အသုံးပြုလာခြင်းမှာ ဆင်တူသောဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည့် ဂျာမန်စကားလုံး ähnlich ကို တူညီသောဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည့် ဂရိစကားလုံး ὁμός သို့ အဓိပ္ပာယ်လွဲမှားစွာ ဘာသာပြန်ဆိုခဲ့ခြင်းကြောင့် ဖြစ်ပုံရသည်။^[၁]

ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်ဟူသော ဝေါဟာရသည် ၁၈၉၂ ခုနှစ်ခန့်ကပင် စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သည်။ ၎င်းဝေါဟာရကို ဂျာမန် သင်္ချာပညာရှင် ဖဲလစ် ကလိုင်း (Felix Klein) က စတင်သုံးစွဲခဲ့သည်ဟု မှတ်ယူကြသည်။^[၂] ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များကို မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများ (linear maps) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ၎င်းတို့ကို လေ့လာသော ဘာသာရပ်မှာ မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) ဖြစ်သည်။

ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်ဟူသော သဘောတရားကို မော်ဖစ်ဇင် (morphism) ဟူသော အမည်ဖြင့် အခြားသော တည်ဆောက်ပုံများစွာသို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်း ရှိသည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံများသည် အခြေခံအစုများ (underlying sets) မရှိသော သို့မဟုတ် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မဟုတ်သော တည်ဆောက်ပုံများ ဖြစ်နိုင်သည်။ ဤသို့ ယေဘုယျပြုခြင်းသည် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ၏ အစပြုရာနေရာ ဖြစ်သည်။

ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism)၊ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) သို့မဟုတ် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) စသည်တို့လည်း ဖြစ်နိုင်ပေသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်ဆိုသည်မှာ အမျိုးအစားတူညီသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ နှစ်ခုကြားရှိ ပုံဖော်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် အုပ်စုများ နှစ်ခု၊ ဖီးလ်ဒ်များ (fields) နှစ်ခု သို့မဟုတ် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ နှစ်ခုကြားရှိ ပုံဖော်မှုမျိုး ဖြစ်သည်။

၎င်းသည် ယင်းတည်ဆောက်ပုံများ၏ သင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (operations) ကို ထိန်းသိမ်းထားပေးသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ တူညီသော တည်ဆောက်ပုံပါရှိသည့် အစုများ (sets) $A$ နှင့် $B$ နှစ်ခုကြားရှိ ပုံဖော်မှု $f:A\to B$ ဖြစ်သည်။

အကယ်၍ $\cdot$ သည် ယင်းတည်ဆောက်ပုံ၏ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ပြည့်စုံရမည်ဖြစ်သည်။ လွယ်ကူစေရန်အတွက် ဤနေရာတွင် ၎င်းတွက်ချက်မှုကို နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) အဖြစ် ယူဆထားသည်။

$f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$

ဤညီမျှခြင်းသည် အစု $A$ ၏ အစုဝင်များ (elements) ဖြစ်ကြသော $x$ နှင့် $y$ အတွဲတိုင်းအတွက် မှန်ကန်ရမည်ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် $A$ နှင့် $B$ နှစ်ခုလုံး၏ တွက်ချက်မှုအတွက် တူညီသောသင်္ကေတကို အသုံးပြုထားသော်လည်း အမြဲတမ်းထိုကဲ့သို့ဖြစ်လေ့မရှိပါ။ ပုံဖော်မှု $f$ သည် တွက်ချက်မှုကို ထိန်းသိမ်းထားသည် (preserving the operation) သို့မဟုတ် တွက်ချက်မှုနှင့် ကိုက်ညီမှု (compatible with the operation) ရှိသည်ဟု မကြာခဏ ဆိုလေ့ရှိကြသည်။

ကိုးကား (References)

↑ Fricke၊ Robert (1897–1912)။ Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)။ B. G. Teubner။ OCLC 29857037။
↑ See: "Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze" (in de) (1892). Mathematische Annalen 41: 1–82. doi:10.1007/BF01443449. “[footnote p. 22:] Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: 'holoedrisch, bezw. hemiedrisch u.s.w. isomorph' die Benennung 'isomorph' auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von 'Homomorphismus' sprechen, ...” "Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen" (in de) (1892). Mathematische Annalen 41 (3): 443–468. doi:10.1007/BF01443421. “[p. 466] Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ(63) auf die Gruppe der mod. n incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 begründet. ... *) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung 'meroedrischer Isomorphismus' die sinngemässere 'Homomorphismus'.”

[1] Fricke၊ Robert (1897–1912)။ Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)။ B. G. Teubner။ OCLC 29857037။

[2] See: "Die eindeutigen automorphen Formen vom Geschlecht Null, eine Revision und Erweiterung der Poincaré'schen Sätze" (in de) (1892). Mathematische Annalen 41: 1–82. doi:10.1007/BF01443449. “[footnote p. 22:] Ich will nach einem Vorschlage von Hrn. Prof. Klein statt der umständlichen und nicht immer ausreichenden Bezeichnungen: 'holoedrisch, bezw. hemiedrisch u.s.w. isomorph' die Benennung 'isomorph' auf den Fall des holoedrischen Isomorphismus zweier Gruppen einschränken, sonst aber von 'Homomorphismus' sprechen, ...” "Ueber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2,3,7) und (2,4,7) gehörenden Dreiecksfunctionen" (in de) (1892). Mathematische Annalen 41 (3): 443–468. doi:10.1007/BF01443421. “[p. 466] Hierdurch ist, wie man sofort überblickt, eine homomorphe*) Beziehung der Gruppe Γ(63) auf die Gruppe der mod. n incongruenten Substitutionen mit rationalen ganzen Coefficienten der Determinante 1 begründet. ... *) Im Anschluss an einen von Hrn. Klein bei seinen neueren Vorlesungen eingeführten Brauch schreibe ich an Stelle der bisherigen Bezeichnung 'meroedrischer Isomorphismus' die sinngemässere 'Homomorphismus'.”

[၁]

[၂]