ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆို (axiom of choice) သည် ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ (Zermelo-Fraenkel set theory) သို့ ပေါင်းထည့်နိုင်သော နဂိုမှန်အဆို (axiom) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းကို ၁၉၀၄ ခုနှစ်တွင် အန်းစ် ဇာမီလို မှ ပထမဆုံး ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ပင်ကိုသိစိတ်အရ (intuitively) ၎င်းက ဗလာမဟုတ်သောအစု (non-empty set) များ ပါဝင်သည့် မည်သည့် စုစည်းမှု (collection) မှမဆို အစု (set) တစ်ခုစီမှ အစုဝင် (element) တစ်ခုစီကို တိကျစွာ ရွေးချယ်နိုင်ကြောင်း ဖော်ပြသည်။ မည်သည့်အစုဝင်ကို ရွေးချယ်ရမည်ဟူသော တိကျသည့် စည်းမျဉ်း မရှိလျှင်ပင် ထိုသို့ ရွေးချယ်နိုင်သည်။

ပုံစံတကျ ဖော်ပြချက် (Formal Statement)

ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုကို အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဗလာမဟုတ်သောအစုများ ပါဝင်သည့် မည်သည့် အစု $X$ အတွက်မဆို $X$ အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ရွေးချယ်ခြင်း ဖန်ရှင် (choice function) ဟုခေါ်သည့် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်သည် $X$ တွင် ပါဝင်သော အစု $A$ တစ်ခုစီကို ထိုအစု $A$ ၏ အစုဝင်တစ်ခုနှင့် ဆက်သွယ်ပေးသည်။

ယင်းကို ပုံစံတကျအားဖြင့် (formally) အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားသည်။

$\forall X\left[\varnothing \notin X\implies \exists f:X\to \bigcup X\quad \forall A\in X\;(f(A)\in A)\right]$

နဂိုမှန်အဆို မလိုအပ်သော အခြေအနေများ

ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုသည် အနန္တ (infinite) ဖြစ်သော စုစည်းမှုများကို တွက်ချက်ကိုင်တွယ်ရာတွင် အဓိကအားဖြင့် အသုံးဝင်သည်။ အကယ်၍ $X$ သည် အဆုံးရှိအစု (finite set) ဖြစ်ပါက ဤနဂိုမှန်အဆိုကို အသုံးပြုရန် မလိုအပ်ပေ။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) အရ စုစည်းမှုထဲတွင် ပါဝင်သော အစုတိုင်းသည် ဗလာမဟုတ်သောအစုများ ဖြစ်ကြသည်။ ယင်းသည် ၎င်းတို့တွင် အနည်းဆုံး အစုဝင်တစ်ခုစီ ပါဝင်သည်ဟု ဆိုလိုသည်။ ထို့ကြောင့် $X$ တွင် ပါဝင်သော အစုဝင်များ၏ အရေအတွက်အပေါ် မူတည်၍ သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) ကို အသုံးပြုကာ ရွေးချယ်ခြင်း ဖန်ရှင်၏ တည်ရှိမှု (existence) ကို သက်သေပြနိုင်သည်။

ထို့ပြင် ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုကို အသုံးမပြုဘဲ ရွေးချယ်ခြင်း ဖန်ရှင်တစ်ခုကို တိကျစွာ သတ်မှတ်ပေးနိုင်သည့် သီးခြား အနန္တဖြစ်သော အခြေအနေများလည်း ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အကယ်၍ $X$ သည် သဘာဝကိန်း (natural number) များ ပါဝင်သည့် ဗလာမဟုတ်သောအစုများ၏ စုစည်းမှုဖြစ်ပါက $f(A)$ ကို $A$ ၏ အငယ်ဆုံး အစုဝင်အဖြစ် ထားရှိကာ ရွေးချယ်ခြင်း ဖန်ရှင်ကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဤသို့ပြုလုပ်နိုင်ခြင်းမှာ ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုအပေါ် မှီခိုခြင်းမရှိဘဲ သဘာဝကိန်းများ၏ ကောင်းစွာအစဉ်ကျခြင်း (well-ordering) ဂုဏ်သတ္တိ (property) အပေါ်တွင် မှီခိုသောကြောင့် ဖြစ်သည်။

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (Category Theory)

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) တွင် ရွေးချယ်ခြင်း နဂိုမှန်အဆိုသည် $\mathbf {Set}$ ဟုခေါ်သော အစုများ ကတ်တဂိုရီ (category of sets) အတွင်းရှိ ဆာဂျက်ရှင်း (surjection) တိုင်းသည် ခွဲထွက်သည် (splits) နှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည် (equivalent) ။

ယင်းမှာ အစုများကြားရှိ မည်သည့် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် (surjective function) $f:A\to B$ အတွက်မဆို ဖန်ရှင် $g:B\to A$ တစ်ခု တည်ရှိသည်ဟု ဆိုလိုသည်။ ၎င်း ဖန်ရှင် $g$ ကို အပိုင်း (section) သို့မဟုတ် ညာပြောင်းပြန် (right inverse) ဟု သိကြသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်နှစ်ခု၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) $f\circ g$ သည် $B$ အပေါ်ရှိ ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function) ဖြစ်သည်။ ယင်း ထပ်တူရ ဖန်ရှင်ကို ${\text{id}}_{B}:B\to B$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။