မြှောက်ခြင်း

သင်္ချာပညာတွင် မြှောက်ခြင်း (multiplication) သည် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများ (basic arithmetic operations) ထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ အပေါင်းကိန်းပြည့်များ (positive integers) ၏ အခြေအနေတွင် မြှောက်ခြင်းကို ထပ်ကျော့ပေါင်းခြင်းအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition) ဖွင့်ဆိုထားသည်။ ကိန်း $a$ နှင့် $b$ တို့၏ မြှောက်ခြင်း ($a\times b$) သည် မြှောက်ကိန်း (multiplier) အရေအတွက်နှင့် ညီမျှသော တည်ကိန်း (multiplicand) မိတ္တူများကို ပေါင်းခြင်းနှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။ အဆိုပါ ကိန်းနှစ်ခုစလုံးကို ဆခွဲကိန်းများ (factors) ဟု စုပေါင်းခေါ်ဆိုပြီး ရလဒ်ကို မြှောက်လဒ် (product) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ မြှောက်ခြင်းကို $\times$ သို့မဟုတ် $\cdot$ သင်္ကေတဖြင့် ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ ကိန်းရှင်များ (variables) ကို အသုံးပြုသော သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) တွင် ယင်းသင်္ကေတကို မကြာခဏ ဖယ်လှပ်ထားလေ့ရှိပြီး ဥပမာအားဖြင့် $ab$ ဟု ရေးသားကြသည်။

မည်သည့်ဆခွဲကိန်းကို မြှောက်ကိန်း သို့မဟုတ် တည်ကိန်း အဖြစ် သတ်မှတ်မည်ဆိုသည်မှာ အကြောင်းအရာအပေါ် မူတည်သည်။ အခြေခံကိန်းဂဏန်းများတွင် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (commutative property) ရှိသောကြောင့် ၎င်းတို့နှစ်ခုကို နေရာပြောင်းပြန်လှန်ခြင်းသည် မြှောက်လဒ်အပေါ် သက်ရောက်မှုမရှိပေ။ ထို့ကြောင့် အခြေခံအဆင့်တွင် တည်ကိန်း ဟူသော ဝေါဟာရကို ဆခွဲကိန်း များနှင့် အဓိပ္ပာယ်တူ မကြာခဏ အသုံးပြုကြသည်။ အက္ခရာသင်္ချာ (algebra) တွင် ကိန်းရှင် သို့မဟုတ် ဖော်ပြချက်တစ်ခုကို မြှောက်ပေးသော ကိန်းကို မြှောက်ဖော်ကိန်း (coefficient) ဟု ရည်ညွှန်းသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $3xy^{2}$ ဖော်ပြချက်ရှိ ၃ ဂဏန်းသည် မြှောက်ဖော်ကိန်းဖြစ်သည်။ ကိန်းပြည့်များ၏ မြှောက်လဒ်သည် ၎င်း၏ ဆခွဲကိန်းတစ်ခုချင်းစီ၏ ဆတိုးကိန်း (multiple) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $15$ သည် $3$ နှင့် $5$ တို့၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်ပြီး ယင်းနှစ်ခုစလုံး၏ ဆတိုးကိန်းလည်းဖြစ်သည်။

မြှောက်ခြင်း၏ ပြောင်းပြန်တွက်ချက်မှု (inverse operation) သည် စားခြင်း (division) ဖြစ်သည်။ ကိန်းတစ်ခုကို သုညမဟုတ်သော $x$ ဖြင့် မြှောက်ပြီးနောက် ၎င်း $x$ ဖြင့် ပြန်စားပါက မူလကိန်းကို ပြန်လည်ရရှိသည်။ သုညမဟုတ်သော မည်သည့်ကိန်းကိုမဆို ၎င်းကိန်းကိုယ်တိုင်ဖြင့်စားလျှင် ရလဒ် $1$ နှင့် ညီမျှသည်။ တူညီသော ဆခွဲကိန်းတစ်ခုကို ထပ်တလဲလဲ မြှောက်ခြင်းကို ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း (exponentiation) ($a^{n}$) ဟု လူသိများသည်။ ၎င်းသည် အခြေ (base) $a$ ကို ဆခွဲကိန်း (factor) အနေဖြင့် $n$ ကြိမ်ပါဝင်စေ၍ မြှောက်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဤသင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုအား ထပ်ကိန်းဆိုင်ရာ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (power associativity) နှင့် ပြည့်စုံရန် လိုအပ်သည်။

ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties)

ကိန်းစစ်များ (real numbers)၊ ကိန်းထွေးများ (complex numbers)၊ ကိန်းပြည့်များ (integers) နှင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (rational numbers) အတွက် မြှောက်ခြင်းသည် အောက်ပါ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများကို ပိုင်ဆိုင်သည်။

• ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Commutativity) - ဆခွဲကိန်းများ၏ အစီအစဉ်သည် အရေးမကြီးပေ။ $x\cdot y=y\cdot x$ ဖြစ်သည်။
• ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associativity) - ဆက်တိုက်မြှောက်ခြင်းများတွင် ကိန်းများကို အုပ်စုဖွဲ့သည့် အစီအစဉ်သည် ရလဒ်အပေါ် သက်ရောက်မှုမရှိပေ။ ဥပမာအားဖြင့် $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$ ဖြစ်သည်။
• ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (Distributivity) - မြှောက်ခြင်းသည် ပေါင်းခြင်း (addition) အပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေသက်ရောက်သည်။ $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ ဖြစ်သည်။
• ထပ်တူရအစုဝင် (Identity Element) - မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ (multiplicative identity) သည် $1$ ဖြစ်သည်။ မည်သည့်ကိန်းကိုမဆို $1$ ဖြင့် မြှောက်ပါက မူလအတိုင်း မပြောင်းလဲဘဲ ကျန်ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $x\cdot 1=x$ ဖြစ်သည်။
• သုည သို့မဟုတ် စုပ်ယူအစုဝင် (Zero or Absorbing Element) - မည်သည့်ကိန်းကိုမဆို $0$ ဖြင့် မြှောက်ပါက ရလဒ်အနေဖြင့် $0$ ကို ရရှိသည်။ $x\cdot 0=0$ ဖြစ်သည်။
• အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (Additive inverse) သို့မဟုတ် အနုတ်လက္ခဏာပြောင်းခြင်း (Negation) - ကိန်းတစ်ခုကို $-1$ ဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် ၎င်း၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်ကို ရရှိစေသည်။ $(-1)\cdot x=-x$ ဖြစ်သည်။
• အနုတ်ကိန်းနှစ်ခုကို မြှောက်ခြင်းသည် အပေါင်းကိန်းကို ရရှိစေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အနုတ်တစ် နှင့် အနုတ်တစ် ကိုမြှောက်ခြင်းသည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ရရှိစေသည်။ $(-1)\cdot (-1)=1$ ဖြစ်သည်။
• မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (Multiplicative inverse) သို့မဟုတ် အချိုးပြောင်းပြန် (Reciprocal) - ကိန်းပြည့်များအစု (integers) မှလွဲ၍ အခြားဖော်ပြပါ ကိန်းအစုများရှိ $0$ မဟုတ်သော ကိန်း $x$ တိုင်းတွင် ၎င်း၏ အချိုးပြောင်းပြန် ${\frac {1}{x}}$ ရှိသည်။ ယင်းအတွက်ကြောင့် $x\cdot ({\frac {1}{x}})=1$ ဟု ပြဆိုနိုင်သည်။ ကိန်းပြည့်များတွင် $1$ နှင့် $-1$ မှလွဲ၍ အခြားကိန်းများအတွက် ကိန်းပြည့်အချိုးပြောင်းပြန် မရှိပါ။
• အစီအစဉ်ကို ထိန်းသိမ်းခြင်း (Order Preservation) - မညီမျှခြင်း (inequality) တစ်ခုကို အပေါင်းကိန်း (positive number) တစ်ခုဖြင့် မြှောက်ခြင်းသည် အဆိုပါ အစီအစဉ်ကို မပြောင်းလဲစေဘဲ ထိန်းသိမ်းထားသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $a>0$ နှင့် $b>c$ ဖြစ်ပါက $ab>ac$ ဖြစ်သည်။ သို့သော် အနုတ်ကိန်း (negative number) တစ်ခုဖြင့် မြှောက်ပါက အဆိုပါ အစီအစဉ်ကို ပြောင်းပြန်ဖြစ်သွားစေသည်။ ကိန်းထွေးများတွင် မြှောက်ခြင်းနှင့် ပေါင်းခြင်းတို့နှင့် ကိုက်ညီသော အစီအစဉ်စနစ် (ordering system) မရှိပေ။

ကိန်း နယ်ပယ်များ (Domains of Numbers)

သဘာဝကိန်းများ (Natural Numbers)

သဘာဝကိန်းများ ($\mathbb {N}$) ၏ မြှောက်ခြင်းကို $\sum _{i=1}^{s}r=r+r+\dots +r$ ဟူ၍ $s$ ကြိမ် ထပ်ကျော့ပေါင်းခြင်းဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ နဂိုမှန်အဆိုနည်းကျ (axiomatically) အားဖြင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) လိုအပ်သော ပီအာနို နဂိုမှန်အဆိုများ (Peano axioms) ကို အသုံးပြု၍ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်။

$x\times 0=0$

$x\times S(y)=(x\times y)+x$

ဤနေရာတွင် $S(y)$ သည် $y$ ၏ နောက်ဆက်တွဲ ဖန်ရှင် (successor function) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။

ကိန်းပြည့်များ (Integers)

ကိန်းပြည့်များ ($\mathbb {Z}$) နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်သည် ၎င်းတို့၏ ပကတိတန်ဖိုးများ (absolute values) ၏ မြှောက်လဒ်ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ လက္ခဏာကို ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (distributive law) ဖြင့် ဆုံးဖြတ်သည်။ အပေါင်းကိန်းနှင့် အပေါင်းကိန်းမြှောက်လျှင် အပေါင်းကိန်း ရရှိသည်။ အနုတ်ကိန်းနှင့် အနုတ်ကိန်းမြှောက်လျှင်လည်း အပေါင်းကိန်း ရရှိသည်။ အပေါင်းကိန်းနှင့် အနုတ်ကိန်းမြှောက်လျှင် အနုတ်ကိန်း ရရှိသည်။

ကိန်းပြည့်များအား သဘာဝကိန်းများ၏ အစီအစဉ်ကျအတွဲများ (ordered pairs) ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) အဖြစ် ယူဆသော အစုသီအိုရီ (set theory) အရ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆိုကို $(x_{p},x_{m})\times (y_{p},y_{m})=(x_{p}\cdot y_{p}+x_{m}\cdot y_{m},\,x_{p}\cdot y_{m}+x_{m}\cdot y_{p})$ အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational Numbers)

${\frac {p}{q}}$ နှင့် ${\frac {r}{s}}$ ဟူသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ($\mathbb {Q}$) သို့မဟုတ် အပိုင်းကိန်းများ (fractions) နှစ်ခု၏ မြှောက်ခြင်းကို ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ ပိုင်းဝေများနှင့် ပိုင်းခြေများကို အမှီအခိုကင်းစွာဖြင့် မြှောက်ခြင်းဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ${\frac {p}{q}}\times {\frac {r}{s}}={\frac {p\times q}{r\times s}}$

ကိန်းစစ်များ (Real Numbers)

ကိန်းစစ် ($\mathbb {R}$) တိုင်းကို အထက်ဘောင်ရှိသော (bounded above) ရာရှင်နယ်ကိန်းများပါဝင်သည့် အစုတစ်ခု၏ အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် (least upper bound) အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အပေါင်း ကိန်းစစ်များ နှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်သည် ၎င်းတို့၏ ဒသမကိန်း ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု ကိန်းစဉ်များ (sequences) မှ ကိန်းတစ်ခုချင်းစီ မြှောက်လဒ်များ၏ အငယ်ဆုံး အထက်ဘောင် သို့မဟုတ် စူပရီမမ် (supremum) ဖြစ်သည်။ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ (Cauchy sequences) ကို အသုံးပြု၍ ကိန်းစစ်များ တည်ဆောက်နိုင်သည်။

ကိန်းထွေးများ (Complex Numbers)

ကိန်းထွေးများ ($\mathbb {C}$) ၏ မြှောက်ခြင်းကို ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ နှင့် $i^{2}=-1$ ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိတို့ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်သည်။ အက္ခရာသင်္ချာ ပုံသေနည်း (algebraic formula) အနေဖြင့် တွက်ချက်မှုသည် $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ ဖြစ်သည်။ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ် (geometric meaning) အားဖြင့် ဝင်ရိုးစွန်း ကိုဩဒိနိတ်များ (polar coordinates) ($re^{i\phi }$) သို့ ပြောင်းလဲသောအခါ ကိန်းထွေးမြှောက်ခြင်းသည် ပမာဏများ (magnitudes) ကို မြှောက်ရန်နှင့် ဝင်ရိုးစွန်းထောင့်များ (arguments) ကို ပေါင်းရန် ညွှန်ပြသည်။ ၎င်းကို $r_{1}r_{2}e^{i(\phi _{1}+\phi _{2})}$ အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်။

ကိန်းစဉ်များ နှင့် အနန္တ မြှောက်လဒ်များ (Sequences and Infinite Products)

ဆခွဲကိန်းများပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို အင်္ဂလိပ်အက္ခရာအကြီး Pi သင်္ကေတ (Π) ဖြင့် $\prod _{i=m}^{n}x_{i}$ အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ အကယ်၍ $m=n$ ဖြစ်ပါက မြှောက်လဒ်သည် $x_{m}$ သာဖြစ်သည်။ အကယ်၍ အထက်ဘောင် (upper bound) သည် အောက်ဘောင် (lower bound) ထက် တိကျစွာ ပိုငယ်နေပါက ၎င်းသည် ဗလာမြှောက်လဒ် (empty product) ဖြစ်သွားပြီး ၎င်း၏ စံတန်ဖိုးကို $1$ အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အနန္တ ကိန်းစဉ် (infinite sequence) တစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကို ဖော်ပြရာတွင် အထက်ဘောင် $n$ အစား $\infty$ ဖြင့် အစားထိုးသည်။ အဆိုပါ မြှောက်လဒ်ကိုမူ $n$ တန်ဖိုးသည် အကန့်အသတ်မရှိ (without bound) ကြီးမားလာချိန်တွင် ရှိလာမည့် ပထမဆုံးသော $n$ ဆခွဲကိန်းတို့၏ မြှောက်လဒ်များ၏ သင်္ချာဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ် (limit) အဖြစ် $\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}$ ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

အဆင့်မြင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Advanced Algebraic Generalizations)

ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် စံကိန်းများမှလွဲ၍ အခြားသော အရာဝတ္ထုများ (objects) အပေါ် သက်ရောက်သည့် တွက်ချက်မှုများဆီသို့ မြှောက်ခြင်းကို ယေဘုယျပြု (generalize) လေ့ရှိသည်။ ဤနယ်ပယ်များတွင် အခြေခံဂုဏ်သတ္တိများကို မကြာခဏ ပြောင်းလဲခြင်း သို့မဟုတ် ဖယ်ရှားခြင်းများ ရှိတတ်သည်။

• ဖလှယ်၍မရသော ဂုဏ်သတ္တိ (Non-commutativity) - ကိန်းအုံများ (matrices)၊ အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (transformations) နှင့် ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) ကဲ့သို့သော စံကိန်းမဟုတ်သည့် အရာဝတ္ထုများကို မြှောက်ရာတွင် တွက်ချက်မှုသည် ယေဘုယျအားဖြင့် ဖလှယ်၍မရသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $a\cdot b\neq b\cdot a$ ဖြစ်သည်။
• အုပ်စုများ (Groups) - အစု (set) တစ်ခုသည် မြှောက်ခြင်းအောက်တွင် အုပ်စု (group) တစ်ခု ဖြစ်ပေါ်လာစေရန်အတွက် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closure property)၊ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ၊ ထပ်တူရအစုဝင် နှင့် ပြောင်းပြန်များကို ပိုင်ဆိုင်ရမည်ဖြစ်သည်။ သုညမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းများသည် $1$ ကို ထပ်တူရအဖြစ် ပိုင်ဆိုင်သော အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) သို့မဟုတ် ဖလှယ်ရအုပ်စု (commutative group) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ သုညသည် ပြောင်းပြန်မရှိသောကြောင့် ၎င်းကို ဖယ်ထုတ်ထားခြင်းဖြစ်သည်။ အတိုင်းအတာ $n\geq 2$ ရှိသည့် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော စတုရန်းကိန်းအုံများ (invertible square matrices) သည် အဘီလီယန်မဟုတ်သော (non-abelian) မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အုပ်စုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ကိန်းပြည့်များသည် ၎င်းတို့၏ အစုဝင်များတွင် $1$ နှင့် $-1$ မှလွဲ၍ ကိန်းပြည့်ပြောင်းပြန်များ မရှိသောကြောင့် မြှောက်ခြင်းအောက်တွင် အုပ်စုတစ်ခု ဖွဲ့စည်းနိုင်ခြင်းမရှိပေ။
• ကွင်းများ (Rings) - ကွင်း (ring) တစ်ခုတွင် မြှောက်ခြင်းကို သရုပ်မဲ့ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) တွင် ပိုလီနိုမီရယ်များသည် ကိန်းများမဟုတ်သော်လည်း ၎င်းတို့ကို မြှောက်လေ့ရှိသည်။ အစားကွင်း (division ring) တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန်များ တည်ရှိသော်လည်း ကွင်းသည် ဖလှယ်၍မရသော ဂုဏ်သတ္တိရှိပါက $xy^{-1}\neq y^{-1}x$ ဖြစ်နိုင်သည့်အတွက် အပိုင်းကိန်းပုံစံ စားလဒ် ${\frac {x}{y}}$ ဖြင့် ရေးသားအသုံးပြုခြင်းသည် အဓိပ္ပာယ် ဝေခွဲမရဖြစ်နိုင်သည်။