မိုနွိုက်

အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ
အုပ်စုဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ မိုနွိုက် အုပ်စု အဘီလီယန်အုပ်စု အုပ်စုပိုင်း
ကွင်းဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ ကွင်း ဖလှယ်ရ ကွင်း ဖီးလ်ဒ် အစားကွင်း
မော်ဂျူးများ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ မော်ဂျူး ဗက်တာရပ်ဝန်း
မော်ဖစ်ဇင်များ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် အပီမော်ဖစ်ဇင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်
အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ စားလဒ်အုပ်စု / စားလဒ်ကွင်း တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် တိုက်ရိုက် ပေါင်းလဒ် တန်ဆာ မြှောက်လဒ်

ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မိုနွိုက် (monoid) ဆိုသည်မှာ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အစု (set) တစ်ခု၊ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associative property) ရှိသော တွက်ချက်မှုတစ်ခုနှင့် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခုတို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) အစုကို မြှောက်ခြင်း (multiplication) တွက်ချက်မှုနှင့် ထပ်တူရအစုဝင်အဖြစ် ကိန်း ၁ ကို အသုံးပြုထားခြင်းသည် မိုနွိုက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ အစုဝင်တိုင်းကို ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (invertible) မိုနွိုက်တစ်ခုကို အုပ်စု (group) ဟု ခေါ်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition)

မိုနွိုက်တစ်ခုဆိုသည်မှာ သုံးခုတွဲ (triple) $\left(M,*,e\right)$ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အစု $M$ ၊ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation)

$*\colon M\times M\to M,\quad (a,b)\mapsto a*b$

နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် $e\in M$ တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအစုဝင်သည် အဆိုပါတွက်ချက်မှုနှင့်ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများကို ပြည့်စုံစေရမည်။

1. တွက်ချက်မှု၏ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ: $\forall a,b,c\in M\colon \ (ab)c=a(bc)$
2. $e$ သည် ထပ်တူရအစုဝင် ဖြစ်ခြင်း: $\forall a\in M\colon \ ea=ae=a$

သို့ဖြစ်၍ မိုနွိုက်တစ်ခုဆိုသည်မှာ ထပ်တူရအစုဝင်ပါရှိသော ဆီမီးအုပ်စု (semigroup) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် မိုနွိုက်တစ်ခုတွင် ထပ်တူရအစုဝင် အနည်းဆုံးတစ်ခု ပါဝင်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းသည် ဗလာအစု (empty set) ဘယ်သောအခါမျှ မဖြစ်နိုင်ပါ။

မှတ်ချက်များ (Remarks)

မိုနွိုက်တစ်ခုတွင် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ ဤအချက်ကို သက်သေပြရန်အတွက် မိုနွိုက်တစ်ခုအတွင်း ထပ်တူရအစုဝင် နှစ်ခုအဖြစ် $e$ နှင့် $e'$ တို့ တည်ရှိသည်ဟု ယူဆကြည့်ပါ။ $e'$ သည် ထပ်တူရအစုဝင်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းကို $e$ နှင့် တွက်ချက်ရာတွင် $e$ ကိုသာ ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $ee'=e$ ဖြစ်သည်။ ထို့အတူပင် $e$ သည်လည်း ထပ်တူရအစုဝင်ဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းကို $e'$ နှင့် တွက်ချက်ရာတွင် $e'$ ကိုသာ ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $ee'=e'$ ဖြစ်သည်။ ဤအချက်များကို ပေါင်းစပ်လိုက်သောအခါ $e=e'$ ဟူ၍ တိုက်ရိုက် ကောက်ချက်ချနိုင်သည်။ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) $*$ အတွက် အစက်သင်္ကေတ $\,\!\cdot$ ကို အသုံးပြုလေ့ရှိပြီး ယင်းကို မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ မိုနွိုက် (multiplicative monoid) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုအခါ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ယူနစ်အစုဝင် (unit element) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး သင်္ကေတ $1$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ သာမန်မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုများတွင် ပြုလုပ်လေ့ရှိသကဲ့သို့ အခြေအနေအတော်များများတွင် ဤအစက်သင်္ကေတကို ချန်လှပ်ထားနိုင်သည်။

တွက်ချက်မှု $*$ အတွက် အပေါင်းသင်္ကေတ $+$ ကို အသုံးပြု၍ မိုနွိုက်တစ်ခုကို အပေါင်းနည်းဖြင့်လည်း ရေးသားဖော်ပြနိုင်သည်။ ထိုအခါ ထပ်တူရအစုဝင်ကို သုညအစုဝင် (zero element) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး သင်္ကေတ $0$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ အပေါင်းနည်းဖြင့် ရေးသားထားသော မိုနွိုက်များသည် များသောအားဖြင့် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (commutative property) ရှိကြသည်။

ယေဘုယျ ဂုဏ်သတ္တိများ (Generalised Properties)

မိုနွိုက်တစ်ခုအတွင်းရှိ အစုဝင်များဖြစ်သော $x_{1},\dots ,x_{n}$ တို့၏ မြှောက်လဒ်ကို ဆင့်ကဲနည်း (inductive method) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် ကိန်းပြည့် $n>1$ ဖြစ်သည်။

• $\prod _{v=1}^{n}x_{v}=x_{1}\cdots x_{n}=(x_{1}\cdots x_{n-1})x_{n}$

အစုဝင် လုံးဝမပါဝင်သော ဗလာမြှောက်လဒ် (empty product) ကိုမူ ထပ်တူရအစုဝင် $e$ နှင့် ညီမျှသည်ဟု သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $\prod _{v=1}^{0}x_{v}=e$ ဖြစ်သည်။

မိုနွိုက်တစ်ခု၏ အစုဝင် $x_{i}$ များအတွက် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိကို ယေဘုယျအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ပုံသေနည်းထုတ်နိုင်သည်။ မည်သည့်ကိန်းပြည့် $m\geq 1$ နှင့် $n\geq 1$ အတွက်မဆို မြှောက်လဒ်သည် အောက်ပါနိယာမနှင့် ကိုက်ညီရမည်။

• $\prod _{\mu =1}^{m}x_{\mu }\cdot \prod _{v=1}^{n}x_{m+v}=\prod _{v=1}^{m+n}x_{v}$

ဤအချက်အရ မြှောက်လဒ်တစ်ခုအတွင်း ကွင်းများကို မိမိအလိုရှိသလို နေရာချထားနိုင်ပြီး တန်ဖိုးပြောင်းလဲသွားမည်မဟုတ်ကြောင်း သိနိုင်သည်။ ဘယ်ဘက်ခြမ်းရှိ ဒုတိယမြှောက်ဖော်ကိန်းကို $\prod _{m+1}^{m+n}x_{v}$ ဟုလည်း အခြားသင်္ကေတတစ်ခုအနေဖြင့် ရေးသားနိုင်သည်။ အဆိုပါ ယေဘုယျဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိအတွက် သက်သေပြချက်ကို သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း (mathematical induction) ဖြင့် တိုက်ရိုက်တွက်ချက်နိုင်သည်။

အစုနှစ်ခု $S$ နှင့် $T$ တို့ကြားတွင် တွက်ချက်မှုများကို $S\times S\to S$ နှင့် $S\times T\to T$ ဟူ၍ အသီးသီး သတ်မှတ်ထားသည်ဟု ယူဆကြည့်ပါ။ မည်သည့် $x,y\in S$ နှင့် $z\in T$ အတွက်မဆို $(xy)z=x(yz)$ ဟူသော ဆက်သွယ်ချက် မှန်ကန်ပါက ၎င်းတွက်ချက်မှုသည် မတူညီသောအစုများအတွက် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။

တွက်ချက်မှုတစ်ခုတွင် $x$ နှင့် $y$ တို့ကို မည်သည့်အစီအစဉ်ဖြင့် တွက်ချက်စေကာမူ တန်ဖိုးတူညီနေပါက ၎င်းကို ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (commutative property) ရှိသည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် $xy=yx$ ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ မိုနွိုက်တစ်ခု၏ တွက်ချက်မှုသည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ပြည့်စုံနေပါက ထိုမိုနွိုက်ကို ဖလှယ်ရ မိုနွိုက် (commutative monoid) သို့မဟုတ် အဘီလီယန် မိုနွိုက် (abelian monoid) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

မိုနွိုက်တစ်ခုသည် ဖလှယ်ရမိုနွိုက်ဖြစ်ပါက ၎င်း၏မြှောက်လဒ်များတွင် ပါဝင်သောကိန်းများကို နေရာအစီအစဉ်ပြောင်းလဲသော်လည်း တန်ဖိုးပြောင်းလဲမည်မဟုတ်ပါ။ ဤအချက်ကို သက်သေပြရန် ကိန်းပြည့်အစု $\{1,\dots ,n\}$ အပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) $\psi$ တစ်ခုရှိသည်ဟု ယူဆပါ။ ထိုအခါ $\prod _{v=1}^{n}x_{\psi (v)}=\prod _{v=1}^{n}x_{v}$ ဖြစ်ကြောင်း တွေ့ရမည်။ ဤအဆိုကို သင်္ချာဆိုင်ရာ ဆင့်ကဲသက်သေပြနည်း ဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ $n=1$ အတွက် မှန်ကန်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။ $n-1$ အတွက် မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါမည်။ $\psi (k)=n$ ဖြစ်စေမည့် ကိန်းပြည့် $k$ တစ်ခုကို ရွေးချယ်ပါ။ ထို့နောက် မြှောက်လဒ်ကို $\prod _{1}^{k-1}x_{\psi (v)}\cdot x_{\psi (k)}\cdot \prod _{1}^{n-k}x_{\psi (k+v)}$ ဟု ခွဲခြမ်းနိုင်သည်။ မြှောက်ဖော်ကိန်း $x_{\psi (k)}$ ကို အနောက်သို့ ရွှေ့လိုက်သောအခါ $\prod _{1}^{k-1}x_{\psi (v)}\cdot \prod _{1}^{n-k}x_{\psi (k+v)}\cdot x_{\psi (k)}$ ဟု ဖြစ်လာမည်။ ထို့နောက် $\{1,\dots ,n-1\}$ အပေါ်တွင် ပုံဖော်မှု $\varphi$ ကို $v<k$ အတွက် $\varphi (v)=\psi (v)$ နှင့် $v\geq k$ အတွက် $\varphi (v)=\psi (v+1)$ ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ၎င်းကို အစားထိုးလိုက်သောအခါ $\prod _{1}^{n-1}x_{\varphi (v)}\cdot x_{n}$ ဟူ၍ ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ ယူဆချက်အရ ပထမကိန်း $n-1$ လုံး၏ မြှောက်လဒ်သည် $x_{1}\cdots x_{n-1}$ နှင့် ညီမျှသောကြောင့် စုစုပေါင်းမြှောက်လဒ်သည် $x_{1}\cdots x_{n}$ ဖြစ်လာသည်။

အညွှန်းအစု (index set) $I$ တစ်ခုအတွင်းရှိ အဆုံးရှိသောအစုဝင် အနည်းငယ်မှလွဲ၍ ကျန်အစုဝင်အားလုံးအတွက် အခြေအနေတစ်ခု မှန်ကန်နေပါက ၎င်းကို အားလုံးနီးပါး (almost all) မှန်ကန်သည်ဟု သုံးနှုန်းသည်။ ဤသဘောတရားကို အသုံးပြု၍ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အညွှန်းအစုများအတွက် မြှောက်လဒ်ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဖလှယ်ရမိုနွိုက် $G$ နှင့် အညွှန်းအစု $I$ တို့ကြားတွင် ပုံဖော်မှု $f:I\to G$ ရှိသည်ဟု ယူဆပါ။ ၎င်းပုံဖော်မှုတွင် $i$ အားလုံးနီးပါးအတွက် $f(i)=e$ ဖြစ်ရမည်။ ထို့နောက် $f(i)\neq e$ ဖြစ်စေမည့် အဆုံးရှိ အစုပိုင်းကို $I_{0}$ ဟု သတ်မှတ်ပါ။ ထိုအခါ အညွှန်းအစု $I$ တစ်ခုလုံးအတွက် မြှောက်လဒ်သည် $I_{0}$ အတွက် မြှောက်လဒ်နှင့် အတူတူပင်ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် $\prod _{i\in I}f(i)=\prod _{i\in I_{0}}f(i)$ ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိရှိသောကြောင့် ညာဘက်ခြမ်းရှိ မြှောက်လဒ်ကို မည်သည့်အစီအစဉ်ဖြင့်မဆို မြှောက်နိုင်သည်။ အကယ်၍ $I_{0}$ သည် ဗလာအစုဖြစ်နေပါက ထိုမြှောက်လဒ်ကို ထပ်တူရအစုဝင် $e$ နှင့် ညီမျှသည်ဟု သတ်မှတ်သည်။ တွက်ချက်မှုများကို အပေါင်းနည်းဖြင့် ရေးသားသောအခါ မြှောက်လဒ်သင်္ကေတ $\prod$ အစား ပေါင်းလဒ်သင်္ကေတ $\sum$ ကို ပြောင်းလဲအသုံးပြုရမည်။ အညွှန်းအစု နှစ်ခုဖြစ်သော $I$ နှင့် $J$ တို့မှ ဖလှယ်ရမိုနွိုက်တစ်ခုသို့ ပုံဖော်ထားသော $f:I\times J\to G$ ရှိသည်ဟု ယူဆကြည့်ပါ။ ၎င်းပုံဖော်မှုသည် အတွဲ $(i,j)$ အားလုံးနီးပါးအတွက် တန်ဖိုး $e$ ကို ရရှိစေရမည်။ ဤအခြေအနေတွင် နှစ်ထပ်မြှောက်လဒ်များကို အချင်းချင်း ဖလှယ်နိုင်သည်။ သင်္ကေတအားဖြင့် $\prod _{i\in I}\left[\prod _{j\in J}f(i,j)\right]=\prod _{j\in J}\left[\prod _{i\in I}f(i,j)\right]$ ဖြစ်သည်။

ထပ်ကိန်းများနှင့် အစုပိုင်းမြှောက်လဒ်များ (Powers and Products of Subsets)

မိုနွိုက်တစ်ခုအတွင်းရှိ အစုဝင်တစ်ခုကို ၎င်းကိုယ်တိုင်နှင့် ထပ်တလဲလဲ မြှောက်ခြင်းဖြင့် ထပ်ကိန်းများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ မိုနွိုက် $G$ ၏ အစုဝင် $x$ နှင့် ကိန်းပြည့် $n\geq 0$ တို့အတွက် $x$ ၏ $n$ ကြိမ်မြောက် ထပ်ကိန်းကို $x^{n}=\prod _{1}^{n}x$ ဟု သတ်မှတ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ $x^{0}=e$ ဖြစ်ပြီး $x^{1}=x$ ဖြစ်ကာ $x^{2}=xx$ စသည်ဖြင့် အသီးသီး မှတ်ယူနိုင်သည်။ ထပ်ကိန်းများ၏ ဂုဏ်သတ္တိများအနေဖြင့် ကိန်းပြည့် $n,m\geq 0$ များအတွက် $x^{(n+m)}=x^{n}x^{m}$ နှင့် $(x^{n})^{m}=x^{nm}$ ဟူသော ဆက်သွယ်ချက်များ မှန်ကန်သည်။ ထို့အပြင် အစုဝင် $x$ နှင့် $y$ တို့သည် ဖလှယ်၍ရပါက $(xy)^{n}=x^{n}y^{n}$ ဟူသော ဆက်သွယ်ချက်ပါ ထပ်မံမှန်ကန်မည်ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိများကို ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိနှင့် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိတို့မှတစ်ဆင့် သက်သေပြနိုင်သည်။

မိုနွိုက်တစ်ခုအတွင်းရှိ အစုဝင်များကိုသာမက အစုပိုင်း (subset) များကိုပါ မြှောက်နိုင်သည်။ မိုနွိုက် $G$ ၏ အစုပိုင်းများဖြစ်သော $S$ နှင့် $S'$ တို့၏ မြှောက်လဒ် $SS'$ ဆိုသည်မှာ $x\in S$ နှင့် $y\in S'$ ဖြစ်သော $xy$ အစုဝင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် အစုပိုင်းဖြစ်သည်။ အဆုံးရှိသော အစုပိုင်းအရေအတွက်အတွက်လည်း မြှောက်လဒ်ကို ဆင့်ကဲနည်းဖြင့် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ အစုပိုင်းမြှောက်လဒ်များတွင်လည်း $(SS')S''=S(S'S'')$ ဟူ၍ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။ အကယ်၍ $x$ သည် $G$ ၏ အစုဝင်တစ်ခုဖြစ်ပါက $xS$ ဆိုသည်မှာ $y\in S$ ဖြစ်သော $xy$ များအားလုံးပါဝင်သည့် အစုကို ဆိုလိုသည်။ ၎င်းသည် $\{x\}S$ နှင့် သဘောတရား အတူတူပင်ဖြစ်သည်။

ဥပမာများနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်ဥပမာများ (Examples and Counterexamples)

$\left(\mathbb {N} _{0},+,0\right)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။
$(\mathbb {N} ,\cdot ,1)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ $(\mathbb {N} _{0},+,0,\cdot ,1)$ သည် ဆီမီးကွင်း (semiring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။
$(\mathbb {Z} ,+,0)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေါင်းခြင်းတွက်ချက်မှု တပ်ဆင်ထားသော ကိန်းပြည့်များ (integers) အစု ဖြစ်သည်။
$(\mathbb {Z} ,-,0)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု မဟုတ်ပါ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် နှုတ်ခြင်းတွက်ချက်မှုသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ မရှိသောကြောင့်ဖြစ်သည်။
$\left(\mathbb {R} ^{n\times n},\cdot ,I_{n}\right)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပုံမှန် ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း (matrix multiplication) နှင့် ထပ်တူရကိန်းအုံ (identity matrix) $I_{n}$ တပ်ဆင်ထားသော ကိန်းစစ် $n\!\times \!n\!\$ ကိန်းအုံများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် $n\geq 2$ အတွက် ဖလှယ်၍မရသော မိုနွိုက် ဖြစ်သည်။
$\left(\mathbb {R} ^{3},\times ,{\vec {0}}\right)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု မဟုတ်ပါ။ ပထမအကြောင်းရင်းမှာ ဗက်တာမြှောက်လဒ် (vector product) တွင် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ မပြည့်စုံသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတ $e_{i}$ ကို $i$ ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ဗက်တာ (unit vector) ဟု သတ်မှတ်လျှင် $(e_{1}\times e_{1})\times e_{2}={\vec {0}}$ ဖြစ်သော်လည်း $e_{1}\times (e_{1}\times e_{2})=-e_{2}$ ဖြစ်သည်။ ဒုတိယအကြောင်းရင်းမှာ ထပ်တူရအစုဝင်အဖြစ် ယူဆထားသော ${\vec {0}}$ သည် မှားယွင်းနေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ မည်သည့်ဗက်တာ ${\vec {a}}$ နှင့်မဆို မြှောက်ရာတွင် ${\vec {a}}\times {\vec {0}}={\vec {0}}$ သာဖြစ်ပြီး ${\vec {a}}$ ကို ပြန်မရသောကြောင့် ၎င်းသည် ထပ်တူရအစုဝင်မဟုတ်ဘဲ စုပ်ယူအစုဝင် (absorbing element) သာဖြစ်သည်။ အမှန်စင်စစ် $\mathbb {R} ^{3}$ ၏ ဗက်တာမြှောက်လဒ် တွက်ချက်မှုအတွက် ထပ်တူရအစုဝင် လုံးဝမရှိပါ။
$(n\mathbb {Z} ,+,0)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေါင်းခြင်းတွက်ချက်မှု ရှိသော ကိန်းပြည့် $n$ ၏ ဆတိုးကိန်းများ (multiples) အစု ဖြစ်ပြီး အုပ်စု (group) တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။
$\left(\mathbb {Q} _{+},+,0\right)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေါင်းခြင်းတွက်ချက်မှု ရှိသော အနုတ်မဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (non-negative rational numbers) အစု ဖြစ်သည်။
$(\mathbb {Q} _{+}^{*},\cdot ,1)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှု ရှိသော အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (positive rational numbers) အစု ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ $(\mathbb {Q} _{+},+,0,\cdot ,1)$ သည် ဆီမီးကွင်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး ဆီမီးဖီးလ်ဒ် (semifield) တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။
$(\mathbb {Q} _{+}^{*},\div ,1)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု မဟုတ်ပါ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် စားခြင်းတွက်ချက်မှုသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ မရှိသောကြောင့်ဖြစ်သည်။
$\left({\mathcal {P}}(X),\cap ,X\right)$	သည် ဖလှယ်ရ မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူပိုင်းအစု တွက်ချက်မှု (intersection operation) ပါဝင်သော အစု $X$ ၏ ပါဝါအစု (power set) ဖြစ်သည်။
$(\Sigma ^{*},\cdot ,\varepsilon )$	သည် စကားလုံးမိုနွိုက် (word monoid) ဟု ခေါ်သော မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အက္ခရာစဉ် (alphabet) $\Sigma$ ပေါ်ရှိ စကားလုံးများသည် စာသားပေါင်းစည်းမှု (concatenation) $\cdot$ နှင့် ဗလာစကားလုံး (empty word) $\varepsilon$ တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။
$(\operatorname {End} _{\mathtt {C}}(A),\circ ,\operatorname {id} _{A})$	သည် မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ (category) ${\mathtt {C}}$ တွင်မဆို ပါဝင်သော အရာဝတ္ထု $A$ ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်သည်။ ယင်းသည် $A{\longrightarrow }A$ သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြသည်။ မိုနွိုက်တိုင်းကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် ဤသို့ ရှုမြင်နိုင်သည်။

ကျစ်လျစ်၍ ဆက်စပ်နေသော မျက်နှာပြင်များ (compact connected surfaces) ၏ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် အတန်းအစားများ (homeomorphism classes) ပါဝင်သော အစု $M$ ကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ မျက်နှာပြင်နှစ်ခုမှ အချပ်ငယ် (small disc) များကို ဖြတ်ထုတ်၍ ၎င်းတို့၏ နယ်နိမိတ် (boundary) များကို ဆက်ကပ်ခြင်းဖြင့် ဆက်စပ်ပေါင်းလဒ် (connected sum) ဟုခေါ်သော တွက်ချက်မှုကို ပြုလုပ်နိုင်သည်။ ၎င်းကို သင်္ကေတအားဖြင့် $\sigma +\sigma '$ ဟု သတ်မှတ်သည်။ ဤတွက်ချက်မှုအောက်တွင် အစု $M$ သည် ဖလှယ်ရ မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤမိုနွိုက်အတွက် ထပ်တူရအစုဝင်မှာ သာမန် 2-စက်လုံးမျက်နှာပြင် (2-sphere) ၏ အတန်းအစားဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် $M$ ထဲရှိ မည်သည့်အစုဝင် $\sigma$ ကိုမဆို $\sigma =n\tau +m\pi$ ဟူ၍ ပုံစံတစ်မျိုးတည်းဖြင့်သာ ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် $n\geq 0$ သည် ကိန်းပြည့်ဖြစ်ပြီး $m$ သည် $0,1,2$ တန်ဖိုးများထဲမှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ $\tau$ သည် မုန့်လက်ကောက် (torus) ၏ အတန်းအစားဖြစ်ပြီး $\pi$ သည် ပရိုဂျက်တစ် ပြင်ညီ (projective plane) ၏ အတန်းအစားဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့ကြားတွင် $3\pi =\tau +\pi$ ဟူသော ဖွဲ့စည်းပုံဆိုင်ရာ ဆက်သွယ်ချက် ရှိသည်။ တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်အောက်ရှိ မော်ဂျူးများ၏ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် အတန်းအစားများနှင့် နှစ်ထပ်ကိန်းပုံစံများ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများသည်လည်း သဘာဝအလျောက် ဖြစ်တည်နေသော မိုနွိုက်များ ဖြစ်ကြသည်။

ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်များ

မိုနွိုက် $(M,,e)$ တစ်ခုအတွင်းရှိ အစုဝင် $a\in M$ တစ်ခုအတွက်

$ax=e=xa$

ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် $x\in M$ တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို $a$ ကို ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင် (invertible element) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤအစုဝင် $x$ သည် $a$ အပေါ် မူတည်၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိပြီး ၎င်းကို $a$ ၏ ပြောင်းပြန် အစုဝင် (inverse element) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု ကို မြှောက်ခြင်း သို့မဟုတ် အပေါင်းနည်းဖြင့် ရေးသားပါက ၎င်းပြောင်းပြန်အစုဝင်ကို သင်္ကေတ $\textstyle a^{-1}$ သို့မဟုတ် $-a$ ဖြင့် အသီးသီး ဖော်ပြသည်။ မိုနွိုက် $M$ အတွင်းရှိ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် အစုသည် တွက်ချက်မှု $*$ နှင့်ပတ်သက်၍ အုပ်စု (group) တစ်ခု ဖြစ်သည်။

မိုနွိုက်ပိုင်း (Submonoid)

မိုနွိုက် $G$ ၏ အစုပိုင်း $H$ တစ်ခုသည် ထပ်တူရအစုဝင် $e$ ကို ငုံထားပြီး တွက်ချက်မှုနှင့်ပတ်သက်၍ အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closure property) ပြည့်စုံနေပါက ၎င်းကို မိုနွိုက်ပိုင်း (submonoid) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိဆိုသည်မှာ မည်သည့် $x,y\in H$ အတွက်မဆို ၎င်းတို့၏ မြှောက်လဒ် $xy$ သည်လည်း $H$ ထဲတွင် ပါဝင်နေခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ မိုနွိုက်ပိုင်း $H$ သည် မူလမိုနွိုက် $G$ ၏ တွက်ချက်မှုကို အသုံးပြုထားသောကြောင့် ၎င်းကိုယ်တိုင်သည်လည်း မိုနွိုက်တစ်ခု အဖြစ် ရပ်တည်နိုင်သည်။

• မိုနွိုက် $G$ ၏ အစုဝင် $x$ တစ်ခုအတွက် $n=0,1,\dots$ ရှိသော ထပ်ကိန်းအစု $x^{n}$ သည် $G$ ၏ မိုနွိုက်ပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။
• အပေါင်းတွက်ချက်မှု တပ်ဆင်ထားသော သုညနှင့် အပေါင်းကိန်းပြည့်များအစု $\mathbb {N} _{0}$ သည် အပေါင်းအခြေခံ မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။
• ဖလှယ်ရကွင်း $R$ တစ်ခုအတွင်းရှိ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အစုပိုင်း $S$ သည် မိုနွိုက်ပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထိုအစုပိုင်းသည် ယူနစ်အစုဝင်ကို ငုံထားပြီး $x,y\in S$ ဖြစ်တိုင်း $xy\in S$ ဖြစ်သော အစုပိုင်းဖြစ်သည်။

ကိုးကား

• Lang၊ Serge (2002)။ Algebra။ Graduate Texts in Mathematics။ 211 (Revised 3rd ed.)။ New York: Springer-Verlag။ doi:10.1007/978-1-4613-0041-0။ ISBN 978-0-387-95385-4။