ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်

ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် (bijective function) တစ်ခု

ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်မှု (bijectivity) သည် အစုသီအိုရီ (set theory) နယ်ပယ်မှ သင်္ချာဆိုင်ရာ သဘောတရားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပုံဖော်မှုများ (mappings) နှင့် ဖန်ရှင်များ (functions) ၏ အထူး ဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုကို ရည်ညွှန်းသည်။ ဘိုင်ဂျက်တစ် (bijective) ဖြစ်သော ပုံဖော်မှုများနှင့် ဖန်ရှင်များကို ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ (bijections) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ သင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (mathematical structure) တစ်ခုတွင် ဖြစ်ပေါ်သော ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism)၊ ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင် (diffeomorphism)၊ ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် (homeomorphism)၊ ရောင်ပြန်ဟပ်မှု (reflection) စသဖြင့် ၎င်းတို့၏ ကိုယ်ပိုင်အမည်များ ရှိတတ်ကြသည်။ ဤသို့ခေါ်ဆိုရာတွင် သက်ဆိုင်ရာ တည်ဆောက်ပုံကို ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ရန်အတွက် အခြားထပ်ဆောင်း ကန့်သတ်ချက်များ ပြည့်မီရန်လည်း များသောအားဖြင့် လိုအပ်သည်။

ဘိုင်ဂျက်ရှင်းတစ်ခုသည် အရင်းအမြစ် (domain) နှင့် ပစ်မှတ် (codomain) တို့၏ အစုဝင်များ (elements) ကြား၌ ပြီးပြည့်စုံသော အစုံလိုက်တွဲဖက်မှု (complete pairing) တစ်ခု ဖြစ်ပေါ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများသည် ၎င်းတို့၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့ကို အချိုးညီစွာ (symmetrically) ဆက်စပ်ပေးသည်။ သို့ဖြစ်၍ ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင်တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) တစ်ခု အမြဲတမ်း ရှိသည်။

ဘိုင်ဂျက်ရှင်းတစ်ခုတွင် အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တို့သည် အစုအရွယ်အစား (cardinality) တူညီကြပြီး အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) ဖြစ်ပါက အစုဝင် အရေအတွက် တူညီကြသည်။

အစုတစ်ခုမှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့ သွားသော ဘိုင်ဂျက်ရှင်းကို ပါမြူတေးရှင်း (permutation) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ဤနေရာတွင်လည်း သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံအပေါ်မူတည်၍ ကိုယ်ပိုင်အမည်များ ရှိတတ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ထိုဘိုင်ဂျက်ရှင်းသည် တည်ဆောက်ပုံကို ထိန်းသိမ်းသော ဂုဏ်သတ္တိများပါ ပိုင်ဆိုင်ပါက ၎င်းကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (automorphism) ဟု ခေါ်သည်။

အစုနှစ်ခုကြားရှိ ဘိုင်ဂျက်ရှင်းကို တစ်ခါတစ်ရံတွင် ဘိုင်ဂျက်တစ် ကိုက်ညီမှု (bijective correspondence) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

$X$ နှင့် $Y$ တို့သည် အစုများဖြစ်ပြီး $f$ သည် $X$ မှ $Y$ သို့သွားသော ပုံဖော်မှု သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု $f\colon X\to Y$ ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ မည်သည့် $y\in Y$ အတွက်မဆို $f(x)=y$ ဖြစ်စေမည့် $x\in X$ တစ်ခုတည်းသာ တိကျစွာ (exactly one) တည်ရှိပါက $f$ ကို ဘိုင်ဂျက်တစ် (bijective) ဖြစ်သည်ဟု ခေါ်သည်။ ပုံစံတကျ (formally) အားဖြင့်

$\forall y\in Y:\exists !x\in X:\quad f(x)=y$ ဖြစ်သည်။

ဆိုလိုသည်မှာ $f$ သည် အောက်ပါအချက်နှစ်ချက်လုံးကို ပြည့်စုံစေလျှင်နှင့်မှသာလျှင် (if and only if) ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

(၁) အင်ဂျက်တစ် (injective) ဖြစ်ခြင်း

$Y$ အတွင်းရှိ မည်သည့် $y\in Y$ အတွက်မဆို $f(x)=y$ ဖြစ်စေမည့် $X$ အတွင်းရှိ $x\in X$ အများဆုံး တစ်ခုသာ ရှိပါက ဖန်ရှင် $f:X\rightarrow Y$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

(၂) ဆာဂျက်တစ် (surjective) ဖြစ်ခြင်း

ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် သည် ၎င်း၏ ပုံရိပ် (image) နှင့် ၎င်း၏ ပစ်မှတ်တို့ ထပ်တူညီသော ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ အရင်းအမြစ် $X$ နှင့် ပစ်မှတ် $Y$ ပါရှိသော ဖန်ရှင် $f$ တစ်ခုသည် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ရန်အတွက် $Y$ အတွင်းရှိ မည်သည့် $y$ အတွက်မဆို $f(x)=y$ ဖြစ်စေမည့် အနည်းဆုံး $x$ တစ်ခုသည် $X$ အတွင်း၌ တည်ရှိရမည်ဖြစ်သည်။

ဂရပ်ဖစ်ကိုယ်စားပြုမှုများ

• 
  ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်မှု၏ သဘောတရား- ပစ်မှတ် $Y$ အတွင်းရှိ အမှတ်တိုင်းသည် တစ်ကြိမ်သာ တိကျစွာ ပုံဖော်ခံရသည်။
• 
  ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော (strictly monotonically increasing) အဆက်မပြတ် ကိန်းစစ် ဖန်ရှင် (real continuous function) လေးခု။
• 
  ဘိုင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော တိကျစွာ အစဉ်လိုက် လျော့သော (strictly monotonically decreasing) အဆက်မပြတ် ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်လေးခု။

ဥပမာများနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်ဥပမာများ

ဤတွင် ကိန်းစစ်များ (real numbers) ၏ အစုကို $\mathbb {R}$ ဖြင့် ဖော်ပြပြီး အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်များ၏ အစုကို $\mathbb {R} _{\geq 0}$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။

• ဖန်ရှင် $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x+a$ သည် ဘိုင်ဂျက်တစ် (bijective) ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) မှာ $f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x-a$ ဖြစ်သည်။
• ထိုနည်းတူစွာ $a\neq 0$ အတွက် ဖန်ရှင် $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto ax$ သည် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ပြီး ၎င်း၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်မှာ $g^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto {\frac {x}{a}}$ ဖြစ်သည်။
• တစ်လင်တစ်မယားစနစ်ဖြင့် အိမ်ထောင်ကျပြီးသူတိုင်းအား ၎င်းတို့၏ အိမ်ထောင်ဖက်နှင့် တွဲဖက်ပေးမည်ဆိုပါက ၎င်းသည် အိမ်ထောင်ကျပြီးသူများအားလုံး ပါဝင်သော အစုမှ ၎င်းအစုကိုယ်တိုင်သို့ သွားသော ဘိုင်ဂျက်ရှင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မိမိကိုယ်တိုင် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော ပုံဖော်မှု (self-inverse mapping) ၏ ဥပမာတစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။

• အောက်ဖော်ပြပါ နှစ်ထပ်ကိန်း ဖန်ရှင် (quadratic functions) လေးခုသည် ၎င်းတို့၏ အရင်းအမြစ် (domain) နှင့် ပစ်မှတ် (codomain) အစုများ၌သာ ကွာခြားကြသည်-

$f_{1}\colon \mathbb {R} \ \ \rightarrow \mathbb {R} ,\ \ \ x\mapsto x^{2}$

$f_{2}\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} ,\ \ \ x\mapsto x^{2}$

$f_{3}\colon \mathbb {R} \ \ \rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\ x\mapsto x^{2}$

$f_{4}\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\ x\mapsto x^{2}$

ဤသတ်မှတ်ချက်များအရ

$f_{1}$ သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်ပါ၊ ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်ပါ၊ ဘိုင်ဂျက်တစ် မဖြစ်ပါ။

$f_{2}$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်၊ ဆာဂျက်တစ် မဖြစ်ပါ၊ ဘိုင်ဂျက်တစ် မဖြစ်ပါ။

$f_{3}$ သည် အင်ဂျက်တစ် မဖြစ်ပါ၊ ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်သည်၊ ဘိုင်ဂျက်တစ် မဖြစ်ပါ။

$f_{4}$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်၊ ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်သည်၊ ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

ဂုဏ်သတ္တိများ

• $A$ နှင့် $B$ တို့သည် အစုဝင်အရေအတွက် တူညီသော အဆုံးရှိအစုများ (finite sets) ဖြစ်ကြပြီး $f\colon A\to B$ သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။
  • $f$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ပါက $f$ သည် ဘိုင်ဂျက်တစ် လည်း ဖြစ်သည်။
  • $f$ သည် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်ပါက $f$ သည် ဘိုင်ဂျက်တစ် လည်း ဖြစ်သည်။

• အထူးသဖြင့် အဆုံးရှိအစု $A$ တစ်ခုမှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့ သွားသော ဖန်ရှင်များ $f\colon A\to A$ အတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။
  • $f$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည် ⇔ $f$ သည် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်သည် ⇔ $f$ သည် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။
  • အနန္တအစုများ (infinite sets) အတွက်မူ ယေဘုယျအားဖြင့် ဤအချက် မှားယွင်းသည်။ ၎င်းတို့ကို အစုပိုင်းအစစ်များ (proper subsets) ပေါ်သို့ အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်စွာ ပုံဖော်နိုင်သည်။ ထို့အတူ အနန္တအစုတစ်ခုမှ ၎င်းကိုယ်တိုင်သို့ သွားသော ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်သည့် ပုံဖော်မှုများ ရှိသော်လည်း ၎င်းတို့သည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းများ မဟုတ်ကြပေ။

• ဖန်ရှင် $f\colon A\to B$ နှင့် $g\colon B\to C$ တို့သည် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ကြပါက ၎င်းတို့၏ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင် (composite function) $g\circ f\colon A\to C$ သည်လည်း ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။ ထိုအခါ $g\circ f$ ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်မှာ $f^{-1}\circ g^{-1}$ ဖြစ်သည်။

• $g\circ f$ သည် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ပါက $f$ သည် အင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ပြီး $g$ သည် ဆာဂျက်တစ် ဖြစ်သည်။

• အကယ်၍ $f\colon A\to B$ သည် ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ညီမျှခြင်း နှစ်ခုလုံးကို ပြည့်စုံစေမည့် ဖန်ရှင် $g\colon B\to A$ တစ်ခု တည်ရှိပါက

$g\circ f=\operatorname {id} _{A}$ ($\operatorname {id} _{A}$ = အစု $A$ အပေါ်ရှိ ထပ်တူရ ဖန်ရှင် (identity function))

$f\circ g=\operatorname {id} _{B}$ ($\operatorname {id} _{B}$ = အစု $B$ အပေါ်ရှိ ထပ်တူရ ဖန်ရှင်)

$f$ သည် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖြစ်ပြီး $g$ သည် $f$ ၏ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $g=f^{-1}$ ဖြစ်သည်။

• အခြေခံအစု $A$ တစ်ခု၏ ပါမြူတေးရှင်းများ (permutations) အစုသည် ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) တွက်ချက်မှုနှင့်အတူ အုပ်စု (group) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်သည်။ ၎င်းကို $A$ ၏ အချိုးညီအုပ်စု (symmetric group) ဟု ခေါ်သည်။

ဝေါဟာရဖြစ်ပေါ်လာပုံ သမိုင်းကြောင်း

ကာလရှည်ကြာစွာ "one-to-one and onto" (တစ်-တစ် နှင့် လွှမ်းခြုံဖြစ်ခြင်း) ကဲ့သို့သော စကားလုံးများဖြင့် လုံလောက်ခဲ့သော်လည်း ၂၀ ရာစု အလယ်ပိုင်းတွင် သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲ အားလုံးကို အစုသီအိုရီ (set theory) နည်းလမ်းကျကျ တင်ပြလာမှုနှင့်အတူ ပိုမိုတိကျသော ဝေါဟာရတစ်ခု လိုအပ်လာခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ဘိုင်ဂျက်တစ်၊ အင်ဂျက်တစ် နှင့် ဆာဂျက်တစ် ဟူသော ဝေါဟာရများကို ၁၉၅၀ ပြည့်လွန်နှစ်များတွင် စာရေးဆရာအဖွဲ့ဖြစ်သော နီကိုလတ်စ် ဘော်ဘာကီ (Nicolas Bourbaki) က စတင်တီထွင် အသုံးပြုခဲ့သည်။

ကိုးကား

• Heinz-Dieter Ebbinghaus (2003)။ Einführung in die Mengenlehre (4 ed.)။ Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag။ ISBN 3-8274-1411-3။
• Gerd Fischer (2010)။ Lineare Algebra (17 ed.)။ Wiesbaden: Vieweg+Teubner။ ISBN 978-3-8348-0996-4။
• Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber, ed. (1978)။ Fachlexikon ABC Mathematik။ Thun und Frankfurt/Main: Verlag Harri Deutsch။ ISBN 3-87144-336-0။CS1 maint: multiple names: editors list (link)