ဗက်တာရပ်ဝန်း

အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ
အုပ်စုဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ မိုနွိုက် အုပ်စု အဘီလီယန်အုပ်စု အုပ်စုပိုင်း
ကွင်းဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ ကွင်း ဖလှယ်ရ ကွင်း ဖီးလ်ဒ် အစားကွင်း
မော်ဂျူးများ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ မော်ဂျူး ဗက်တာရပ်ဝန်း
မော်ဖစ်ဇင်များ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် အပီမော်ဖစ်ဇင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်
အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ စားလဒ်အုပ်စု / စားလဒ်ကွင်း တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် တိုက်ရိုက် ပေါင်းလဒ် တန်ဆာ မြှောက်လဒ်

$k$ သည် ဖီးလ်ဒ် (field) သို့မဟုတ် အစားကွင်း (division ring) တစ်ခုဖြစ်လျှင် $k$ အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space over $k$) သို့မဟုတ် $k$-ဗက်တာရပ်ဝန်း ($k$-vector space) သည် ကွင်း (ring) $k$ အပေါ်အခြေခံသည့် မော်ဂျူး (module) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်းကို ပုံသေမှတ်ယူထားသောအခါ ၎င်း၏ အစုဝင်များကို ဗက်တာများ (vectors) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ $k$ ဖီးလ်ဒ်ကို ဗက်တာရပ်ဝန်း၏ အခြေခံ ဖီးလ်ဒ် (base field) သို့မဟုတ် အောက်ခြေ ဖီးလ်ဒ် (ground field) ဟူ၍ ရည်ညွှန်းပြီး $k$ ၏ အစုဝင်များကို စကေလာများ (scalars) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

တစ်ခါတစ်ရံတွင် $k$ အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းကို $k$-မျဉ်းဖြောင့် ရပ်ဝန်း ($k$-linear space) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ဤအသုံးအနှုန်းကို $k$-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု ($k$-linear map) ဟူသော ဝေါဟာရနှင့် နှိုင်းယှဉ်လေ့လာနိုင်သည်။ အကယ်၍ $k$ သည် အစားကွင်း တစ်ခုသာ ဖြစ်ခဲ့လျှင် ဘယ် $k$-ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (left $k$-vector spaces) နှင့် ညာ $k$-ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (right $k$-vector spaces) ကို ဂရုတစိုက် ခွဲခြားသတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သည်။

ဗက်တာရပ်ဝန်းများ၏ ကတ်တဂိုရီ (category) ကို ယေဘုယျအားဖြင့် $Vect$ ဟု သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည်။ အကယ်၍ အောက်ခြေ ဖီးလ်ဒ်ဖြစ်သော ဖီးလ်ဒ် $k$ ကို ထင်ရှားစွာ ဖော်ပြလိုပါက $Vect_{k}$ ဟု ရေးသား၍ အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။

• $Vect_{k}:=kMod$

ဤကတ်တဂိုရီတွင် $k$ အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းများကို အရာဝတ္ထုများ (objects) အဖြစ် ထားရှိပြီး ၎င်းတို့ကြားရှိ $k$-မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှုများကို မော်ဖစ်ဇင်များ (morphisms) အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။

အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက် (definition)

ဗက်တာရပ်ဝန်းဆိုသည်မှာ အောက်ခြေကွင်းအဖြစ် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုပါဝင်သော မော်ဂျူးတစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ် $k$ အပေါ်အခြေခံသည့် ဗက်တာရပ်ဝန်းကို စုံတွဲ $(V,\lambda )$ အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်ပြီး အောက်ပါအချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။

• $V$ သည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) ဖြစ်သည်။
• $\lambda :k\to {\text{End}}(V)$ သည် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (ring homomorphism) ဖြစ်သည်။

$k$ သည် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဖြစ်သောကြောင့် ၎င်း၏ နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ်များ (two-sided ideals) မှာ $(0)$ နှင့် $k$ တို့သာ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ကြောင့် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုမှ ထွက်ပေါ်လာသော မည်သည့် ကွင်း ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုသည် သုည ပုံဖော်မှု (zero map) သို့မဟုတ် အင်ဂျက်တစ် ပုံဖော်မှု (injective map) တစ်ခုခုသာ ဖြစ်ရမည်။

$V$ သည် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော ရပ်ဝန်းဖြစ်ပြီး $V\neq \{0\}$ ဖြစ်သည်ဟု ယူဆမည်။ ထို့အပြင် ၎င်းဗက်တာရပ်ဝန်းသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ (unital) ပြည့်စုံပြီး $\lambda (1_{k})={\text{id}}_{V}$ ဖြစ်သည်ဟု မှတ်ယူမည်။ ထိုအခြေအနေများအောက်တွင် ပုံဖော်မှု $\lambda$ သည် တိကျစွာ အင်ဂျက်တစ် (strictly injective) ဖြစ်သည်။ ဤသို့ အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်မှုက ဖီးလ်ဒ် $k$ ၏ မိတ္တူတစ်ခုကို အဘီလီယန်အုပ်စု $V$ ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် ကွင်း (endomorphism ring) ထဲသို့ တိုက်ရိုက် ထည့်သွင်းပေးလိုက်သည်။

ကိုးကား (References)

• nLab authors (June 2026)၊ vector space (Revision 42 ed.)၊ 2026-06-12 တွင် ပြန်စစ်ပြီး