ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ

ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ (Distributivity) သည် ကွဲပြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (operations) သို့မဟုတ် တည်ဆောက်ပုံများ (structures) နှစ်ခု အချင်းချင်း မည်သို့ အပြန်အလှန် သက်ရောက်ကြောင်းကို ဖော်ပြသည်။ ခေတ်ဟောင်း အက္ခရာသင်္ချာတွင် ၎င်းသည် အစုဝင်အဆင့်၌ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) တစ်ခုက အခြားတစ်ခုအပေါ် မည်သို့ ဖြန့်ကျက်သွားကြောင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) တွင် မိုနက်များ (monads) ဖြင့် ကိုယ်စားပြုထားသော သီးခြားဖြစ်သည့် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures) နှစ်ခုကို တစ်ခုတည်းသော တည်ဆောက်ပုံအဖြစ် ပေါင်းစည်းရန် ဤသဘောတရားကို ယေဘုယျပြုထားသည်။

ခေတ်ဟောင်း အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ (အစုဝင် အဆင့်) (Classical Algebraic Distributivity (Element Level))

စကြဝဠာ အက္ခရာသင်္ချာ (universal algebra) တွင် အစု (set) $A$ ပေါ်ရှိ အခြား နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု $\oplus$ အပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိရှိသည်ဟု နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု $\otimes$ ကို ဆိုနိုင်ရန်အတွက် ၎င်းသည် အစုဝင်အားလုံးဖြစ်သော $x,y,z\in A$ အတွက် ဘယ်နှင့် ညာ ဖြန့်ဝေရ ထပ်တူညီမှုများ (distributive identities) နှစ်ခုလုံးနှင့် ကိုက်ညီရမည်ဖြစ်သည်။

• ဘယ် ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ (Left distributivity) - $x\otimes (y\oplus z)=(x\otimes y)\oplus (x\otimes z)$
• ညာ ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိ (Right distributivity) - $(x\oplus y)\otimes z=(x\otimes z)\oplus (y\otimes z)$

ဥပမာများ (Examples)

• ကိန်းများ (Numbers) - ကိန်းစစ်များ (real numbers) နှင့် ကိန်းပြည့်များ (integers) တွင် မြှောက်ခြင်း (multiplication) သည် ပေါင်းခြင်း (addition) အပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။
• အစုများ (Sets) - ပေါင်းစပ်စု (union) သည် ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) အပေါ်သို့ ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ ၎င်း၏ ပြောင်းပြန်အားဖြင့်လည်း ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီဆိုင်ရာ ယေဘုယျပြုထားခြင်း (ဖန်တာ အဆင့်) (Category-Theoretic Generalization (Functor Level))

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် တွက်ချက်မှုများကို မိုနက်များဖြင့် လွှမ်းခြုံဖွဲ့စည်းထားသည်။ ခေတ်ဟောင်း ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိသည် တွက်ချက်မှုနှစ်ခုကို မည်သို့ပေါင်းစပ်ရမည်ကို သတ်မှတ်ပြဋ္ဌာန်းသကဲ့သို့ ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိသည် မိုနက်နှစ်ခု ($S$ နှင့် $T$) ကို ပေါင်းစပ်မိုနက် (composite monad) ($TS$) အဖြစ်သို့ မည်သို့ပေါင်းစပ်ရမည်ကို သတ်မှတ်ပြဋ္ဌာန်းသည်။

အဓိက လုပ်ငန်းစဉ် ယန္တရား (The Core Mechanism)

• မိုနက်နှစ်ခု၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း (composition) $TS$ သည် အလိုအလျောက်အားဖြင့် ကိုယ်တိုင် မိုနက်တစ်ခု မဖြစ်လာပေ။
• $TS$ ကို မိုနက်တစ်ခုဖြစ်စေရန် သဘာဝအသွင်ပြောင်းခြင်း (natural transformation) $\lambda :ST\Rightarrow TS$ ကို လိုအပ်သည်။
• ဤအသွင်ပြောင်းခြင်းသည် မိုနက်များ၏ အစီအစဉ်ကို ဖလှယ်ပေးသည်။ ယင်းသို့ ဖလှယ်ခြင်းသည် ပေါင်းစပ်မိုနက်၏ မြှောက်ခြင်း ပုံဖော်မှု $TSTS\xrightarrow {\lambda } TTSS\xrightarrow {\mu ^{T}\mu ^{S}} TS$ ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် လိုအပ်သည်။ ဤအချက်သည် ခေတ်ဟောင်း ဖြန့်ဝေရဂုဏ်သတ္တိအရ ကိန်းများကို မည်သို့ ဖြန့်ကျက်ပြီး အစီအစဉ်ပြန်လည်ချထားကြောင်းကို ပုံစံတကျအားဖြင့် တုပထားခြင်းဖြစ်သည်။

ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal Definition)

မိုနက် $T$ အပေါ်ရှိ မိုနက် $S$ အတွက် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ (distributive law) သည် ၂-မော်ဖစ်ဇင် (2-morphism) $\lambda :ST\Rightarrow TS$ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မိုနက်နှစ်ခုစလုံး၏ ယူနစ် (unit) $\eta$ များနှင့် မြှောက်ခြင်း $\mu$ များနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ ယင်းသို့ ကိုက်ညီရန်အတွက် သီးခြားပုံကြမ်း (diagram) လေးခုကို ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိဖြင့်ပြည့်စုံစေရမည် (commutes) ဖြစ်သည်။ ယင်းပုံကြမ်းများမှာ ယူနစ်များအတွက် တြိဂံပုံ နှစ်ခုနှင့် မြှောက်ခြင်းများအတွက် ပဉ္စဂံပုံ နှစ်ခုတို့ ဖြစ်ကြသည်။

အဓိက ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီဆိုင်ရာ အချက်အလက်များနှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Key Category-Theoretic Facts & Properties)

• ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ $\lambda :ST\Rightarrow TS$ များနှင့် မိုနက် $T$ ကို အထက်သို့ပင့်တင်ရန် (lift the monad $T$) နည်းလမ်းများကြားတွင် ပုံမှန် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (canonical bijection) တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အဆိုပါ အထက်သို့ပင့်တင်ခြင်းသည် $S$-အက္ခရာသင်္ချာများ ($S$-algebras) ၏ ကတ်တဂိုရီဖြစ်သော အိုင်လန်ဘာ့ဂ်-မိုး ကတ်တဂိုရီ (Eilenberg-Moore category) ပေါ်ရှိ မိုနက်တစ်ခုဆီသို့ ပင့်တင်ခြင်းဖြစ်သည်။
• ပေါင်းစပ်မိုနက် $TS$ အတွက် အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခုတွင် $S$-အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံနှင့် $T$-အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ နှစ်ခုစလုံး ပါဝင်တပ်ဆင်ထားသော အရာဝတ္ထု (object) တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံ နှစ်ခုသည် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ $\lambda$ မှတစ်ဆင့် အချင်းချင်း တိကျစွာ ကိုက်ညီမှုရှိကြသည်။
• $S$ နှင့် $T$ နှစ်ခုစလုံးသည် ဖလှယ်ရ မိုနက်များ (commutative monads) ဖြစ်စေကာမူ ပေါင်းစပ်မိုနက် $TS$ သည် အလိုအလျောက် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (commutative) မရှိပေ။ ပေါင်းစပ်မိုနက် $TS$ ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိရှိရန်အတွက် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမ $\lambda$ ကိုယ်တိုင်က ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိရှိခြင်းသည် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်သည်။
• သရုပ်မဲ့အားဖြင့် 2-ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (2-category theory) တွင် ဖြန့်ဝေခြင်း နိယာမတစ်ခုကို မိုနက်များ၏ 2-ကတ်တဂိုရီ (2-category) အတွင်းရှိ မိုနက် (monad) တစ်ခုအဖြစ် နားလည်သဘောပေါက်နိုင်သည်။

ကိုးကား

• Smirnov၊ D. M.၊ Distributivity၊ Encyclopedia of Mathematics၊ ISBN 1402006098
• distributive law၊ nLab