ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ

$K$ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ (algebra over a field) ဆိုသည်မှာ မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် မြှောက်လဒ် (bilinear product) ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသော $K$ ဖီးလ်ဒ် (field) အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $K$-အက္ခရာသင်္ချာ ($K$-algebra) ဟူ၍လည်း ခေါ်သည်။ သင်္ချာဆိုင်ရာ အကြောင်းအရာအပေါ်မူတည်၍ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ (definitions) သည် မြှောက်ခြင်း (multiplication) အား ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associative property)၊ ဖလှယ်ရ (commutative) သို့မဟုတ် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိသော (unital) ဖြစ်ရန် ထပ်မံတောင်းဆိုနိုင်သည်။ ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိခြင်းဆိုသည်မှာ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် (multiplicative identity element) တစ်ခု ပိုင်ဆိုင်ထားခြင်းကို ဆိုလိုသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

ပုံစံတကျအားဖြင့် $K$ ဖီးလ်ဒ်အပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ $A$ သည် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု

$A\times A\to A$

ပေးထားသော $K$-ဗက်တာရပ်ဝန်း ($K$-vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤ $K$-မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ် တွက်ချက်မှု ($K$-bilinear operation) ကို မြှောက်ခြင်းဟု ရည်ညွှန်းပြီး ၎င်းကို $x\cdot y$ သို့မဟုတ် $xy$ ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ဤတွက်ချက်မှုသည် ဖီးလ်ဒ်အတွင်းမြှောက်ခြင်းနှင့် စကေလာနှင့် ဗက်တာမြှောက်ခြင်း (scalar-vector multiplication) နှစ်ခုစလုံးနှင့် ကွဲပြားခြားနားသည်။

တိကျစွာဆိုရသော် မျဉ်းဖြောင့်နှစ်ထပ်ဖြစ်မှု (bilinearity) သည် $A$ ၏ အစုဝင်များ (elements) အားလုံးဖြစ်သော $x,y,z\in A$ နှင့် $K$ ၏ စကေလာများ (scalars) အားလုံးဖြစ်သော $\lambda \in K$ တို့အတွက် အောက်ပါအချက်များကို ပြည့်စုံစေရန် တောင်းဆိုသည်။

• $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$
• $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
• $\lambda (x\cdot y)=(\lambda x)\cdot y=x\cdot (\lambda y)$

အခြေခံ ဖီးလ်ဒ်သည် ကိန်းစစ်များ (real numbers) အစု $\mathbb {R}$ ဖြစ်သောအခါ ယင်းတည်ဆောက်ပုံကို ကိန်းစစ် အက္ခရာသင်္ချာ (real algebra) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

ယေဘုယျပြုထားခြင်း (Generalization)

$K$-အက္ခရာသင်္ချာ သဘောတရားသည် အခြေခံ ဖီးလ်ဒ်နေရာတွင် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) ဖြင့် အစားထိုးခြင်းအားဖြင့် $R$-အက္ခရာသင်္ချာ ($R$-algebra) သို့ ယေဘုယျပြုထားခြင်းကို ရရှိစေသည်။ $R$-အက္ခရာသင်္ချာဆိုသည်မှာ ဖလှယ်ရ ကွင်း $R$ တစ်ခုအပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ ဖြစ်သည်။ ထိုသို့အစားထိုးလိုက်ခြင်းကြောင့် အခြေခံကျသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းအဖြစ်မှ $R$-မော်ဂျူး ($R$-module) အဖြစ်သို့ ကူးပြောင်းသွားသည်။

အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းများ နှင့် အိုင်ဒီးလ်များ (Subalgebras and Ideals)

$K$-အက္ခရာသင်္ချာ $A$ တစ်ခု၏ အက္ခရာသင်္ချာပိုင်း (subalgebra) $U$ ဆိုသည်မှာ အက္ခရာသင်္ချာ၏ မြှောက်ခြင်းအောက်တွင် အပိတ်ဖြစ်သော ဗက်တာ ရပ်ဝန်းပိုင်း (vector subspace) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $u,v\in U$ ဖြစ်ပါက မြှောက်လဒ် $uv$ သည်လည်း $U$ ထဲတွင် ရှိနေရမည်ဖြစ်သည်။ ဤအပိတ်ဂုဏ်သတ္တိပြည့်စုံခြင်းက $U$ အား ၎င်းကိုယ်တိုင် သီးခြား အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခုအဖြစ် လုပ်ဆောင်နိုင်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းထွေးများ (complex numbers) ကို ကိန်းစစ် အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ကိုင်တွယ်သောအခါ ကိန်းစစ်များသည် အက္ခရာသင်္ချာပိုင်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းကြသည်။ သို့သော် ကိန်းယောင်သီးသန့်များ (purely imaginary numbers) ကမူ ထိုသို့ မဖွဲ့စည်းကြပေ။

ထို့အပြင် ရပ်ဝန်းပိုင်း (subspace) $U$ တစ်ခုသည် $A$ ၏ ဘယ် အိုင်ဒီးလ် (left ideal) အဖြစ် သတ်မှတ်ခံရရန် သတ်မှတ်ချက်တစ်ခုကို ပြည့်စုံရန် လိုအပ်သည်။ ယင်းသတ်မှတ်ချက်မှာ အစုဝင်အားလုံးဖြစ်သော $u\in U$ နှင့် $a\in A$ တို့အတွက်

$au\in U$

ဖြစ်ရမည် ဟူသောအချက် ဖြစ်သည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ၎င်းသည် ညာ အိုင်ဒီးလ် (right ideal) ဖြစ်ရန်မှာ အစုဝင်အားလုံးဖြစ်သော $u\in U$ နှင့် $a\in A$ တို့အတွက်

$ua\in U$

ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ $U$ သည် ထိုအခြေအနေနှစ်ခုလုံးကို ပြည့်စုံစေပါက သို့မဟုတ် $A$ သည် ဖလှယ်ရဖြစ်ပါက ယင်း $U$ ကို အိုင်ဒီးလ် (ideal) အဖြစ် ရိုးရှင်းစွာ ရည်ညွှန်းသည်။ ၎င်းကို နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ် (two-sided ideal) ဟူ၍လည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။

အက္ခရာသင်္ချာ $A$ တစ်ခုတွင် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော (nontrivial) နှစ်ဖက် အိုင်ဒီးလ်များ မပါဝင်ဘဲ ၎င်း၏ မြှောက်ခြင်းသည် သုညနှင့် အပြည့်အဝ ထပ်တူညီခြင်းမရှိပါက ယင်းအက္ခရာသင်္ချာကို ရိုးရှင်းသော (simple) အက္ခရာသင်္ချာအဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ ဤအခြေအနေသည် $A^{2}\neq \{0\}$ ဖြစ်ခြင်းကို ဆိုလိုသည်။