ဖီးလ်ဒ်

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် ဖီးလ်ဒ် (field) သည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ရှိ အခြေခံ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (algebraic structures) အနက်မှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဖီးလ်ဒ်သည် အပေါင်း၊ အနုတ်၊ အမြှောက်နှင့် စားခြင်း (သုညဖြင့်စားခြင်းမှလွဲ၍) စသည့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ (binary operations) ကို လုပ်ဆောင်နိုင်သော အစုတစ်ခုဖြစ်သည်။ ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဆိုသည်မှာ သုညမဟုတ်သော အစုဝင်များက မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) အဖြစ် တည်ရှိနေသော ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) တစ်ခုဖြစ်သည်။

သမိုင်းကြောင်း (History)

ဖီးလ်ဒ်သီအိုရီသည် ၁၉ ရာစုတစ်လျှောက်လုံးတွင် အုပ်စုသီအိုရီ၊ ကွင်းသီအိုရီ (ring theory) နှင့် မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) တို့နှင့်အပြိုင် ဆက်စပ်ဖွံ့ဖြိုးလာခဲ့သည်။ ထိုခေတ်မတိုင်မီအထိ အက္ခရာသင်္ချာဟူသည်မှာ ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) နှင့် ၎င်းတို့၏ အဖြေရှာခြင်း သီအိုရီအဖြစ်သာ အများစုက သတ်မှတ်ထားကြသည်။ ထိုအခြေအနေတွင် နီးလ် အာဘဲလ် (Niels Abel) နှင့် အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) တို့၏ လုပ်ဆောင်ချက်များမှတစ်ဆင့် ဖီးလ်ဒ်သီအိုရီ၏ ပထမဆုံး သဘောတရားများ ထွက်ပေါ်လာခဲ့သည်။ ထိုအချိန်က ဖီးလ်ဒ်၏ တည်ဆောက်ပုံကို တိကျစွာ ခွဲခြားသတ်မှတ်ထားခြင်း မရှိသေးပေ။ ဂယ်လ်ဝါသည် အက္ခရာသင်္ချာ အစုဝင်များကို ပေါင်းထည့်ခြင်းအကြောင်းကို ပထမဆုံး ဆွေးနွေးခဲ့ပြီး ပရစ်မစ်တစ် အစုဝင် သီအိုရမ် (primitive element theorem) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ဂဏန်းသင်္ချာ ပြဿနာများကြောင့် ကိန်းရင်းများ (algebraic numbers) ကို လေ့လာမှုများ အားကောင်းလာသောအခါ ကိန်းပြည့်ရင်းများ (algebraic integers) နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်းများ (unital rings) အယူအဆများနှင့်အတူ ဖီးလ်ဒ်၏ တည်ဆောက်ပုံကို တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုရန် လိုအပ်လာသည်။ ဤအခြေအနေတွင် လီယိုပို ကရိုနက်ကာ (Leopold Kronecker) နှင့် ရစ်ချတ် ဒက်ဒီကင်း (Richard Dedekind) တို့က ဖီးလ်ဒ် တည်ဆောက်ပုံကို သီးခြားစီ မိတ်ဆက်ခဲ့ကြသည်။

ဖီးလ်ဒ်နှင့် ပတ်သက်သော မူလသဘောတရားကို ၁၈၇၁ ခုနှစ်တွင် ဂူစတပ်ဖ် လီဂျွန်း ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး (Gustav Lejeune Dirichlet) နှင့် ဒက်ဒီကင်း တို့က ပူးတွဲဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ၎င်းတို့က ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့် ကားပါး (Körper) ဟုခေါ်သော ဘော်ဒီ (body) ဟူသည့် အမည်ကို အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ယေဘုယျ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုကို သင်္ကေတ $K$ ဖြင့် မကြာခဏ ကိုယ်စားပြုခြင်းမှာ ၎င်းကို အစွဲပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။ ထိုစဉ်က ဒက်ဒီကင်းသည် ဖီးလ်ဒ်ကို အပေါင်း၊ အနုတ်၊ အမြှောက်နှင့် စားခြင်း တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closure property) ပြည့်စုံသော ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေးများ၏ အစုပိုင်းတစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် ဤသဘောတရားသည် ကိန်းထွေးများ၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်းများ (subfields) အတွက်သာ ရည်ညွှန်းခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။

အခြားတစ်ဖက်တွင် ကားလ် ဖရီးဒရစ် ဂေါက်စ် (Carl Friedrich Gauss) သည် ၁၈၀၁ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော သူ၏ ကျမ်းတွင် ကိန်းပြည့်များအပေါ် မော်ဂျူလို ထပ်တူညီမှု (congruences) ကို လေ့လာခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် သုဒ္ဓကိန်း (prime number) ဖြစ်သည့် အခြေအနေကို အသေးစိတ် ဆွေးနွေးခဲ့ပြီး ယင်းမှာ သွယ်ဝိုက်သောအားဖြင့် သုဒ္ဓအဆုံးရှိဖီးလ်ဒ်များ (prime finite fields) ကို လေ့လာခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ၁၈၃၀ ခုနှစ်တွင် ဂယ်လ်ဝါသည် ဂေါက်စ်၏ လေ့လာမှုကို အခြေခံ၍ အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အဆုံးရှိဖီးလ်ဒ်များအထိ တိုးချဲ့လေ့လာခဲ့သည်။ ၎င်းက အဆုံးရှိဖီးလ်ဒ်၏ အစုဝင်များကို ကိန်းများကဲ့သို့ သဘောထားနိုင်သော အဆုံးရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ဖော်ပြချက်များအဖြစ် ရှုမြင်ခဲ့သည်။ ထိုသို့တွက်ချက်ရာတွင် ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (irreducible polynomial) တစ်ခုကို အသုံးပြု၍ မော်ဂျူလို တွက်ချက်ခြင်းဖြစ်သည်။

၁၈၉၃ ခုနှစ်တွင် အီး ဟေးစတင်း မိုး (E. Hastings Moore) သည် အဆုံးရှိဖီးလ်ဒ်တစ်ခုကို ဂယ်လ်ဝါ၏ ချဉ်းကပ်မှုအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုနိုင်ကြောင်း သက်သေပြခဲ့သည်။ မိုးက အဆုံးရှိဖီးလ်ဒ်ကို အတိုင်းအတာအရွယ်အစား $s$ ရှိသော သင်္ကေတများအစုအဖြစ် ရှုမြင်ခဲ့ပြီး ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ၏ သာမန်ထပ်တူရညီမျှခြင်းများနှင့် ကိုက်ညီသော တွက်ချက်မှု လေးခုပါဝင်သည်ဟု ဆိုခဲ့သည်။ ဤအက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံကို ရည်ညွှန်းရန်အတွက် အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကားဖြင့် field ဟူသော ဝေါဟာရကို သူကပင် စတင်တီထွင် သုံးစွဲခဲ့သည်။ ထိုနှစ်မှာပင် ဟိုင်းနရစ် ဗေဘာ (Heinrich Weber) က ဖီးလ်ဒ်၏ အယူအဆကို ယနေ့ခေတ် အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုချက်အဖြစ် ယေဘုယျပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ထိုဖွင့်ဆိုချက်အရ ဖီးလ်ဒ်ကို အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော ဖလှယ်ရ အစားကွင်း (commutative division ring) အဖြစ် သတ်မှတ်လာကြသည်။ ဗေဘာသည် ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီအတွက် ယေဘုယျ အခြေခံကို တင်ပြရန် ရည်ရွယ်၍ ဖီးလ်ဒ်များကို ပထမဆုံး နဂိုမှန်အဆို (axiomatization) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းပေးခဲ့သည်။ သို့သော် သင်္ချာသီအိုရီများအား နဂိုမှန်အဆို ဖွဲ့စည်းခြင်းမှာ အစပျိုးဆဲကာလဖြစ်သဖြင့် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) ကို ထည့်သွင်းဖော်ပြရန် ကျန်ရစ်ခဲ့သည်။ သို့တိုင်အောင် ၎င်း၏လုပ်ဆောင်ချက်များတွင် ထိုဂုဏ်သတ္တိကို အခြေခံအားဖြင့် အသုံးပြုထားသည်။ နောက်ပိုင်း ၁၉၁၀ ခုနှစ်တွင် အန်းစ် ရှတိုင်းနစ် (Ernst Steinitz) သည် ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံကျမ်းတစ်စောင်တွင် ဖီးလ်ဒ်များ၏ နဂိုမှန်အဆို သီအိုရီကို ခိုင်မာစွာ တည်ဆောက်ခဲ့သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုဆိုသည်မှာ ယေဘုယျအားဖြင့် $+$ နှင့် $\times$ ဟု သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ (binary operations) နှစ်ခု ပါဝင်သည့် အစု $K$ တစ်ခုဖြစ်ပြီး အောက်ပါ အခြေအနေများကို ပြည့်စုံစေရမည်။

$(K,+)$ သည် အဘီလီယန်အုပ်စု (abelian group) သို့မဟုတ် ဖလှယ်ရ အုပ်စု (commutative group) တစ်ခု ဖြစ်ရမည်။ ၎င်း၏ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) ကို $0$ ဟု သတ်မှတ်သည်။

$(K\setminus \{0\},\times )$ သည် အဘီလီယန်အုပ်စုတစ်ခု ဖြစ်ရမည်။ ၎င်း၏ ထပ်တူရအစုဝင်ကို $1$ ဟု သတ်မှတ်သည်။ မြှောက်ခြင်းသည် အပေါင်းအပေါ်တွင် ဖြန့်ဝေရ ဂုဏ်သတ္တိ (distributive property) ပြည့်စုံရမည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိသည် ဘယ်နှင့် ညာ နှစ်ဖက်စလုံးမှ ပြည့်စုံရမည်ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

\forall (a,b,c)\in K^{3}\quad a\times (b+c)=a\times b+a\times c\quad {\text{and}}\quad (b+c)\times a=b\times a+c\times a

ဤတည်ဆောက်ပုံကို $(K,+,\times )$ ဖီးလ်ဒ်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

ဖီးလ်ဒ် $K$ တစ်ခု၏ ဖီးလ်ဒ်ပိုင်း (subfield) ဆိုသည်မှာ $K$ ၏ အစုပိုင်း (subset) $L$ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်း $L$ သည် $+$ နှင့် $\times$ တွက်ချက်မှုများအောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ရှိရမည့်အပြင် ၎င်းအပေါ် သက်ရောက်လာသော တွက်ချက်မှုများ (induced operations) နှင့် ယှဉ်တွဲ (equipped) လိုက်ပါက ၎င်းကိုယ်တိုင် ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိနေရမည်ဖြစ်သည်။

ဥပမာများ (Examples)

ဖီးလ်ဒ်များ၏ ဥပမာအချို့မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (rational numbers) အစု $(\mathbb {Q} ,+,\times )$
ကိန်းစစ်များ (real numbers) အစု $(\mathbb {R} ,+,\times )$
ကိန်းထွေးများ (complex numbers) အစု $(\mathbb {C} ,+,\times )$
သုဒ္ဓကိန်း $p$ တစ်ခုအတွက် မော်ဂျူးလပ်စ် $p$ ရှိသော ကိန်းပြည့်များအစု $\left(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ,+,\times \right)$ ။ ဤနေရာတွင် $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ သည် သုဒ္ဓကိန်း $p$ အပေါ်အခြေခံသည့် ကိန်းပြည့်များ၏ စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ အခြားသင်္ကေတအနေဖြင့် $\mathbb {F} _{p}$ ဟုလည်း ရေးသားလေ့ရှိသည်။

ကိုးကား

Kleiner၊ Israel (1999)၊ "Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part I"၊ The American Mathematical Monthly၊ 106 (7): 677–678
Kleiner၊ Israel (1999)၊ "Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part I"၊ The American Mathematical Monthly၊ 106 (7): 679–681
Dedekind၊ R.၊ Gesammelte mathematische Werke (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်) According to Bourbaki, p. 106, ref. 79.
Galois၊ Évariste (1830)၊ "Sur la théorie des nombres"၊ Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac၊ 13: 428–435 Reprinted in Journal de mathématiques pures et appliquées 11, pp. 398–407 (1846).
Kleiner၊ Israel (1999)၊ "Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part I"၊ The American Mathematical Monthly၊ 106 (7): 683
Moore၊ E. H. (1893)၊ "A doubly-infinite system of simple groups"၊ Bull. New York Math. Soc.၊ 3: 73–78 Demonstrated in an article under the same title in Mathematical Papers Read at the International Mathematical Congress [...] Chicago 1893, Macmillan, New York, 1896, pp. 208–242.
Kleiner၊ Israel (1999)၊ "Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part I"၊ The American Mathematical Monthly၊ 106 (7): 683
Weber၊ H. (1893)၊ "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie"၊ Mathematische Annalen (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 43: 521–549 Cited by Kleiner 1999, Part II, pp. 859–860.
Kleiner၊ Israel (1999)၊ "Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part II"၊ The American Mathematical Monthly၊ 106 (9): 860
Steinitz၊ Ernst (1910)၊ "Algebraische Theorie der Körper"၊ J. reine angew. Math. (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 137: 167–309 « travail fondamental qui peut être considéré comme ayant donné naissance à la conception actuelle de l'Algèbre » pour Bourbaki, p. 109 de l'édition Springer.
nLab authors (June 2026)၊ field (Revision 76 ed.)၊ 2026-06-12 တွင် ပြန်စစ်ပြီး
Dirichlet၊ Gustav Lejeune (1871)၊ Dedekind၊ Richard (ed.)၊ Vorlesungen über Zahlentheorie (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 1 (2nd ed.)၊ Braunschweig, Germany: Friedrich Vieweg und Sohn
Weber၊ Heinrich (1893)၊ "Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie"၊ Mathematische Annalen (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ 43 (4): 521–549၊ doi:10.1007/BF01446451၊ ISSN 0025-5831၊ S2CID 120528969
Moore၊ E. Hastings (1893)၊ "A doubly-infinite system of simple groups"၊ Bulletin of the American Mathematical Society၊ 3 (3): 73–78၊ doi:10.1090/S0002-9904-1893-00178-X၊ MR 1557275