ဖိုက်ဘာအစည်း

အက္ခရာသင်္ချာသုံး တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) တွင် '''ဖိုက်ဘာအစည်း''' (fiber bundle) ဆိုသည်မှာ ဒေသအလိုက် (locally) တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းနှစ်ခု၏ ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းဆင်တူမှုကို ကိုယ်စားပြုသည့် ပုံဖော်မှုတစ်ခုပါဝင်သည်။ ဖိုက်ဘာအစည်းများသည် ဟိုမိုတိုပီ သီအိုရီ (homotopy theory)၊ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (differential geometry) နှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် တိုပေါ်လော်ဂျီ (differential topology) တို့တွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။

စလင်ဒါပုံ ခေါင်းဖြီးတစ်ခုသည် ဖိုက်ဘာအစည်း၏ သဘောတရားကို ပြသနိုင်သော ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤဥပမာတွင် အခြေခံရပ်ဝန်း (base space)သည် စလင်ဒါတစ်ခုဖြစ်ပြီး ဖိုက်ဘာများသည် မျဉ်းပိုင်းများအဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သော ဖြီး၏အမျှင်တစ်ခုစီ ဖြစ်ကြသည်။ $\pi \colon E\to B$ သည် မည်သည့်အမျှင်ပေါ်ရှိ အမှတ်ကိုမဆို စလင်ဒါပေါ်ရှိ ၎င်း၏ အခြေခံအမှတ်သို့ ပုံဖော်ပေးသည်။

သမိုင်းကြောင်း

မန်နီဖိုးများ (manifolds) ၏ တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) နှင့် ဂျီဩမေတြီ (geometry) တို့နှင့် ဆက်စပ်၍ ဖိုက်ဘာအစည်း (fiber bundle) ဟူသော သဘောတရားသည် ပထမဆုံး ပေါ်ပေါက်လာခဲ့သည်။ ၁၉၃၃ ခုနှစ်တွင် ဟဲရားဘတ် ဇိုင်ဖတ် (Herbert Seifert) သည် ဖိုက်ဘာ (fiber) နှင့် ဖိုက်ဘာပါသော ရပ်ဝန်း (fibered space) ဟူသော ဝေါဟာရများကို စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။

ဖိုက်ဘာအစည်း၏ ပထမဆုံး အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ၁၉၃၅ ခုနှစ်တွင် ဟက်စ်လာ ဝှစ်တနီ (Hassler Whitney) က စက်လုံးရပ်ဝန်း (sphere space) ဟူသော အမည်ဖြင့် ဖော်ပြခဲ့သည်။ ၁၉၃၅ မှ ၁၉၄၀ ခုနှစ်များအတွင်း ဖိုက်ဘာအစည်းများသည် သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် သီးခြား သုတေသနနယ်ပယ်တစ်ခု ဖြစ်လာခဲ့သည်။ ဝှစ်တနီ၊ ဟိန့်ဇ် ဟော့ဖ် (Heinz Hopf) နှင့် အက်ဒ်ဝပ် ချတီးဖဲလ် (Eduard Stiefel) တို့၏ သုတေသနစာတမ်းများသည် တိုပေါ်လော်ဂျီနှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီတို့တွင် ဖိုက်ဘာအစည်းများ၏ အရေးပါမှုကို ထင်ရှားစေခဲ့သည်။

၁၉၅၀ ခုနှစ်အရောက်တွင် ဖိုက်ဘာအစည်း၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ရှင်းလင်းစွာ မှတ်တမ်းတင်နိုင်ခဲ့ပြီး ဆင်းရှန်းချန် (Shiing-Shen Chern)၊ လစ်ဗ် ပွန်ထရီယာဂင် (Lev Pontryagin)၊ ချတီးဖဲလ် နှင့် ဝှစ်တနီ အပါအဝင် သင်္ချာပညာရှင် အများအပြားက ဖိုက်ဘာအစည်းများ၏ ဟိုမိုတိုပီ ခွဲခြားခြင်း (homotopy classification) နှင့် ဝိသေသလက္ခဏာ အတန်းအစားများ (characteristic classes) ဆိုင်ရာ သီအိုရီကို တိုးတက်စေခဲ့သည်။ ၁၉၅၀ မှ ၁၉၅၅ ခုနှစ်များအတွင်း ဖရီးဒရစ် ဟာဇဘရွတ်ခ် (Friedrich Hirzebruch) သည် ဖိုက်ဘာအစည်းများ၏ ဝိသေသလက္ခဏာ အတန်းအစားများကို အသုံးပြု၍ ဟာဇဘရွတ်ခ်-ရီးမန်း-ရော့ခ် သီအိုရမ် (Hirzebruch-Riemann-Roch theorem) ကို သက်သေပြနိုင်ခဲ့သည်။ ၁၉၅၅ ခုနှစ်တွင် ဂျွန် မေးလ်နော (John Milnor) သည် မည်သည့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အုပ်စုများ (topological groups) အတွက်မဆို အသုံးပြုနိုင်သော စကြဝဠာ ဖိုက်ဘာအစည်း (universal fiber bundle) ကိုတည်ဆောက်ပုံဖော်ခဲ့သည်။ ၁၉၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များ အစောပိုင်းတွင် အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် (Alexander Grothendieck)၊ မိုက်ကယ် အာတီယာ (Michael Atiyah) နှင့် ဟာဇဘရွတ်ခ် တို့သည် ယေဘုယျကျသော ကိုဟိုမိုလော်ဂျီ (cohomology) သီအိုရီ တစ်ခုဖြစ်သည့် K-သီအိုရီ (K-theory) ကို ဗက်တာအစည်းများ (vector bundles) ၏ တည်ငြိမ်မှု အတန်းအစားများကို အသုံးပြု၍ တီထွင်ခဲ့သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

ရပ်ဝန်း $E$ အပေါ်ရှိ ဖိုက်ဘာ $F$ ပါဝင်သော ဖိုက်ဘာအစည်း (fiber bundle) တစ်ခုတွင် ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု $\pi \colon E\to B$ တစ်ခု ပါဝင်သည်။ ဤတွင် $B$ ၏ အမှတ်တိုင်းအတွက် ပတ်ဝန်းကျင် (neighbourhood) $U$ တစ်ခုစီရှိပြီး အောက်ပါပုံကြမ်းကို ဖလှယ်ရ ဂုဏ်သတ္တိဖြင့်ပြည့်စုံစေသည့် (diagram commutes) ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် $\varphi \colon \pi ^{-1}(U)\to U\times F$ တစ်ခုရှိသည်။

Fibre bundle local trivial

ထိုပုံကြမ်းရှိ ပုံဖော်မှု $\operatorname {proj} _{1}$ သည် ပထမ အစိတ်အပိုင်း(factor)အပေါ်သို့ သက်ရောက်သော ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည်။ ပုံကြမ်း၏ ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိရှိခြင်းဆိုသည်မှာ $\varphi$ သည် ဖိုက်ဘာ $F_{b}=\pi ^{-1}(b)$ တစ်ခုစီတိုင်းကို $F$ ၏ မိတ္တူ (copy) ဖြစ်သော ${b}\times F$ အပေါ်သို့ ဟိုမီယိုမောဖစ် (homeomorphically) ဖြစ်စွာ သယ်ဆောင်သွားခြင်းကို ဆိုလိုသည်။ ထို့ကြောင့် ဖိုက်ဘာ $F_{b}$ များသည် ဒေသအလိုက်အားဖြင့် မြှောက်လဒ် $B\times F$ ကဲ့သို့ စီစဉ်ဖွဲ့စည်းထားသော်လည်း စုပေါင်းအားဖြင့် (globally) ထိုသို့ဖြစ်ရန် မလိုအပ်ပေ။ အထက်ပါ $\varphi$ ကဲ့သို့သော ပုံဖော်မှုကို အစည်း၏ ဒေသအလိုက် အသေးအဖွဲဖြစ်စေခြင်း (local trivialization) ဟု ခေါ်သည်။ $\varphi$ ၏ ပထမ ကိုဩဒိနိတ်သည် $\pi$ သာဖြစ်သောကြောင့် $\varphi$ ကို ၎င်း၏ ဒုတိယ ကိုဩဒိနိတ်ဖြစ်သော $\pi ^{-1}(U)\to F$ ပုံဖော်မှုဖြင့် အတိအကျ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ထိုပုံဖော်မှုသည် ဖိုက်ဘာ $F_{b}$ တစ်ခုစီတိုင်းအပေါ်တွင် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။

ဖိုက်ဘာအစည်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို ပရိုဂျက်ရှင်း ပုံဖော်မှု $\pi \colon E\to B$ ဖြင့် အတိအကျ သတ်မှတ်နိုင်သော်လည်း ဖိုက်ဘာကို ဖော်ပြလိုသောအခါ ဖိုက်ဘာအစည်းတစ်ခုကို $F\to E\to B$ ဟူ၍ 'ရပ်ဝန်းများ၏ အတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ်တန်း' (short exact sequence of spaces) အဖြစ် တစ်ခါတစ်ရံ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ရပ်ဝန်း $B$ ကို အစည်း၏ အခြေခံရပ်ဝန်း (base space) ဟုခေါ်ပြီး $E$ ကို စုစုပေါင်းရပ်ဝန်း (total space) ဟု ခေါ်သည်။ ဖိုက်ဘာအစည်းတိုင်းသည် ဆဲရ် ဖိုက်ဘာဖွဲ့စည်းခြင်း (Serre fibration) တစ်ခုဖြစ်သည်။

ဥပမာများ

အသေးအဖွဲ အစည်း (Trivial Bundle)

$E=B\times F$ နှင့် $\pi \colon E\to B$ တို့သည် ပထမအစိတ်အပိုင်းအပေါ်သို့ ပရိုဂျက်ရှင်း ဖြစ်သည် ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ $E$ သည် ဒေသအလိုက် မြှောက်လဒ်တစ်ခုဖြစ်ရုံသာမက စုပေါင်းအားဖြင့်လည်း မြှောက်လဒ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထိုကဲ့သို့သော ဖိုက်ဘာအစည်းကို အသေးအဖွဲ အစည်း (trivial bundle) သို့မဟုတ် မြှောက်လဒ်အစည်း (product bundle) ဟု ခေါ်သည်။

ဖုံးအုပ်ရပ်ဝန်း (Covering Space)

တစ်ပိုင်းတစ်စ (discrete) ဖြစ်သော ဖိုက်ဘာပါရှိသည့် ဖိုက်ဘာအစည်းတစ်ခုသည် ဖုံးအုပ်ခြင်းရပ်ဝန်း (covering space) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထိုနည်းတူစွာ ဖိုက်ဘာများအားလုံး တူညီသော အစုအရွယ်အစား (cardinality) ရှိသည့် မည်သည့် ဖုံးအုပ်ခြင်းမဆိုသည် တစ်ပိုင်းတစ်စဖြစ်သော ဖိုက်ဘာပါရှိသည့် ဖိုက်ဘာအစည်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဆက်စပ်နေသော (connected) အခြေခံရပ်ဝန်းတစ်ခုအပေါ်ရှိ ဖုံးအုပ်ခြင်းရပ်ဝန်းတစ်ခုသည် ဖိုက်ဘာအစည်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။

မိုးဘီးယပ်စ် ကြိုးကွင်း (Möbius strip)

မိုးဘီးယပ်စ် ကြိုးကွင်း

မိုးဘီးယပ်စ် ကြိုးကွင်း (Möbius strip) သည် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော ဖိုက်ဘာအစည်း (nontrivial fiber bundle) တစ်ခုအတွက် ဥပမာတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ အခြေခံရပ်ဝန်း (base space) သည် ကြိုးကွင်း၏ အလယ်ဗဟိုတစ်လျှောက် ဖြတ်သန်းသွားသော စက်ဝိုင်းမျဉ်း $S^{1}$ ဖြစ်သည်။ ဖိုက်ဘာ (fiber) သည် အပိတ် ကြားပိုင်း (closed interval) တစ်ခုဖြစ်ပြီးသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $[-1,1]$ ဖြစ်သည်။

စုစုပေါင်းရပ်ဝန်း (total space) ကို စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) $E=([0,1]\times [-1,1])/\sim$ ဖြင့် ဖော်ပြပြီး ဤတွင် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) $\sim$ ကို $(0,a)\sim (1,-a)$ အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ အစည်း၏ ပရိုဂျက်ရှင်း $\pi \colon E\to S^{1}$ သည် ပရိုဂျက်ရှင်း $\operatorname {proj} \colon [0,1]\times [-1,1]\to [0,1]$ မှ လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်လာသော (induced) ပုံဖော်မှုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အစည်း၏ ပရိုဂျက်ရှင်းအောက်တွင် ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား $[(x,y)]\in E$ သည် ထပ်တူညီမှုအတန်းအစား $[x]$ ထံသို့ ပုံဖော်ခံရပြီး ဤတွင် $S^{1}$ အပေါ်ရှိ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်ကို $(0\sim 1)$ အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။

၎င်းနှင့် သက်ဆိုင်သော အသေးအဖွဲ အစည်း (corresponding trivial bundle) $S^{1}\times [-1,1]$ သည် စလင်ဒါတစ်ခု ဖြစ်သည်။ မိုးဘီးယပ်စ် ကြိုးကွင်းနှင့် စလင်ဒါတို့သည် ဖိုက်ဘာ၏ လိမ်ခေါက်နေမှု (twisting) ဖြင့် ကွာခြားသွားသည်။ ဤလိမ်ခေါက်နေမှုကို စုပေါင်းအမြင် (globally) ဖြင့်သာ မြင်တွေ့နိုင်ပြီး ဒေသအလိုက် (locally) အားဖြင့်မူ မိုးဘီးယပ်စ် ကြိုးကွင်းနှင့် စလင်ဒါတို့သည် ထပ်တူညီကြသည်။

ကလိုင်း ပုလင်း (Klein Bottle)

ကလိုင်း ပုလင်း

အခြားသော အသေးအဖွဲမဟုတ်သည့် ဖိုက်ဘာအစည်းတစ်ခုမှာ ကလိုင်း ပုလင်း (Klein bottle) ဖြစ်သည်။ အခြေခံရပ်ဝန်း (base space) နှင့် ဖိုက်ဘာ (fiber) တို့ကို $S^{1}$ ဖြင့် ဖော်ပြပြီး စုစုပေါင်းရပ်ဝန်း (total space) ကို စားလဒ်ရပ်ဝန်း (quotient space) $E=([0,1]\times [0,1])/\sim$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ဤတွင် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) $\sim$ ကို $(0,y)\sim (1,y)$ နှင့် $(x,0)\sim (1-x,1)$ တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ အစည်း၏ ပရိုဂျက်ရှင်း $\pi \colon E\to S^{1}$ သည် အစုဝင် $[(a,b)]\in E$ တစ်ခုကို $\pi ([(a,b)])=[b]$ ထံသို့ ပုံဖော်ပေးပြီး ဤတွင် $S^{1}$ အပေါ်ရှိ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်ကို $(0\sim 1)$ အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။

၎င်းနှင့် သက်ဆိုင်သော အသေးအဖွဲ အစည်း $S^{1}\times S^{1}$ သည် မုန့်လက်ကောက် (torus) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းကို ဒေသအလိုက်အားဖြင့် ကလိုင်း ပုလင်းနှင့် ခွဲခြား၍မရနိုင်ပေ။

ဟော့ဖ်အစည်း (Hopf Bundle)

ဟော့ဖ်ဖိုက်ဘာဖွဲ့စည်းခြင်း(Hopf fibration) ကို $S^{3}$ မှ $\mathbb {R} ^{3}$ သို့ ရပ်လုံးကြွပုံဖော်ပရိုဂျက်ရှင်း (stereographic projection) ပြုလုပ်ပြီးနောက် ၎င်း $\mathbb {R} ^{3}$ ကို ဘောလုံးပုံစံတစ်ခုအတွင်းသို့ ဖိသိပ်ခြင်းဖြင့် မြင်သာအောင် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤပုံတွင် $S^{2}$ ပေါ်ရှိ အမှတ်များနှင့် ၎င်းတို့နှင့် သက်ဆိုင်သောဖိုက်ဘာများကို တူညီသော အရောင်များဖြင့် ဖော်ပြထားသည်။

ဟော့ဖ်အစည်း (Hopf bundle) $S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2}$ တွင် ဖိုက်ဘာ၊ စုစုပေါင်းရပ်ဝန်း နှင့် အခြေခံရပ်ဝန်းတို့အဖြစ် စက်လုံးမျက်နှာပြင်များ (spheres) ပါရှိသော အသေးအဖွဲမဟုတ်သည့် ဖိုက်ဘာအစည်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် $n$-တိုင်းတာမှုရှိသော (n-dimensional) ကိန်းထွေး ပရိုဂျက်တစ် ရပ်ဝန်း (complex projective space) အပေါ်ရှိ ဖိုက်ဘာအစည်း $S^{1}\hookrightarrow S^{2n+1}\to \mathbb {C} P^{n}$ ၏ $n=1$ အတွက် အထူးအခြေအနေတစ်ရပ် ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျ ဟော့ဖ်အစည်းများ (generalized Hopf bundles) ဟုလည်းခေါ်သော အခြားသော ဟော့ဖ်အစည်းများကို ကိန်းထွေးများနေရာတွင် ကိန်းစစ်များ (real numbers)၊ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions) နှင့် အော့တိုနီယွန်များ (octonions) ဖြင့် အစားထိုးခြင်းအားဖြင့် ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။ $n$-တိုင်းတာမှုရှိသော ပရိုဂျက်တစ် ရပ်ဝန်းအပေါ်ရှိ ဖုံးအုပ်ရပ်ဝန်း $S^{0}\hookrightarrow S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}$ သည် $n=1$ အတွက် ကိန်းစစ် ဟော့ဖ်အစည်း $S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1}$ ကို ရရှိစေသည်။ ကွာတာနီယွန်များအတွက် ဟော့ဖ်အစည်း $S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}\cong \mathbb {H} P^{1}$ ကို ရရှိစေသည်။ အော့တိုနီယွန်များအတွက် ဟော့ဖ်အစည်း $S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}$ ကို ရရှိစေသည်။

ဖိုက်ဘာ၊ စုစုပေါင်းရပ်ဝန်း နှင့် အခြေခံရပ်ဝန်းတို့ စက်လုံးမျက်နှာပြင်များ ဖြစ်ကြသော အခြားဖိုက်ဘာအစည်း မရှိတော့ပေ။ ဤအချက်သည် ဟော့ဖ်မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (Hopf invariant) ၁ ရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင်များကြားရှိ ပုံဖော်မှုအရေအတွက်နှင့် ပတ်သက်သည့် ဟော့ဖ်၏ ပုစ္ဆာကို ဖြေရှင်းပေးသော အဒမ်၏ သီအိုရမ် (Adams's theorem) မှ ဆင်းသက်လာသော ကောက်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။

အပိုင်း (Section)

ဖိုက်ဘာအစည်း $(E,B,\pi ,F)$ တစ်ခု၏ အလုံးစုံ အပိုင်း (global section) ဆိုသည်မှာ ပရိုဂျက်ရှင်း $\pi$ ၏ ညာဘက်ပြောင်းပြန် (right inverse) ဖြစ်သော အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု $s\colon B\to E$ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် မည်သည့် $b\in B$ အတွက်မဆို ပရိုဂျက်ရှင်းနှင့် အပိုင်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းသည် ထပ်တူရ (identity) နှင့် ညီမျှသည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့်ဆိုသော် မည်သည့် $b\in B$ အတွက်မဆို အပိုင်း၏ ပုံရိပ်သည် $b$ အပေါ်ရှိ ဖိုက်ဘာအတွင်း၌ တည်ရှိသည်။

ဖိုက်ဘာအစည်းတစ်ခု၏ ဒေသအလိုက် အပိုင်း (local section) ဆိုသည်မှာ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှု $s\colon V\to E$ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ဤတွင် $V\subseteq B$ သည် အဖွင့် အစုပိုင်းတစ်ခုဖြစ်ကာ မည်သည့် $b\in V$ အတွက်မဆို $(\pi \circ s)(b)=b$ ဖြစ်သည်။

အစည်း မော်ဖစ်ဇင် (Bundle Morphism)

ဖိုက်ဘာအစည်း နှစ်ခုဖြစ်သော $(E_{1},B_{1},\pi _{1},F_{1})$ နှင့် $(E_{2},B_{2},\pi _{2},F_{2})$ တို့အကြားရှိ အစည်း မော်ဖစ်ဇင် ဆိုသည်မှာ အစည်း၏ ဖွဲ့စည်းပုံကို ထိန်းသိမ်းပေးသော ပုံဖော်မှုတစ်ခုဖြစ်သည်။ တစ်နည်းအားဖြင့် ၎င်းသည် ဖိုက်ဘာကို ထိန်းသိမ်းသော ပုံဖော်မှု (fiber-preserving mapping) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ပိုမိုတိကျစွာဆိုရသော် အစည်း မော်ဖစ်ဇင်တစ်ခုကို ပုံဖော်မှု နှစ်ခုဖြစ်သည့် $u\colon E_{1}\to E_{2}$ နှင့် $f\colon B_{1}\to B_{2}$ တို့ပါဝင်သော အတွဲ $(u,f)$ ဖြင့် ဖော်ပြပြီး ၎င်းတို့သည် $\pi _{2}\circ u=f\circ \pi _{1}$ ဟူသော အခြေအနေကို ပြည့်စုံစေသည်။ ဤအခြေအနေကို အောက်ပါ ဖလှယ်ရ ပုံကြမ်းဖြင့် ရှင်းလင်းစွာ ဖော်ပြနိုင်သည်။

$b\in B_{1}$ အပေါ်ရှိ ဖိုက်ဘာတစ်ခုသည် $u$ အောက်တွင် $f(b)$ အပေါ်ရှိ ဖိုက်ဘာတစ်ခုထံသို့ ပုံဖော်ခံရသည်။ ဤအချက်ကို $u(\pi _{1}^{-1}(b))\subseteq \pi _{2}^{-1}(f(b))$ ဟူသော ဆက်သွယ်ချက်ဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။

အကယ်၍ အခြေခံရပ်ဝန်းများ ထပ်တူညီနေပါက အစည်း မော်ဖစ်ဇင်ကို $(u,\operatorname {id} _{B})$ ဖြင့် ဖော်ပြပြီး ၎င်းကို $B$-မော်ဖစ်ဇင် သို့မဟုတ် $B$ အပေါ်ရှိ အစည်း မော်ဖစ်ဇင်ဟု ခေါ်ဆိုကာ $B=B_{1}=B_{2}$ ဖြစ်သည်။ $\pi _{1}=\pi _{2}\circ u$ ဆက်သွယ်ချက်ကို အောက်ပါပုံကြမ်းဖြင့် ဖော်ပြသည်။

မည်သည့် $b\in B$ အတွက်မဆို $u(\pi _{1}^{-1}({b}))\subseteq \pi _{2}^{-1}({b})$ ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ကို မှန်ကန်စေသောကြောင့် $u$ ကို ဖိုက်ဘာကို ထိန်းသိမ်းသော (fiber-preserving) ပုံဖော်မှုဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။