ဖန်တာ

သင်္ချာဘာသာရပ် (mathematics) ၏ ကတ်တဂိုရီသီအိုရီ (category theory) တွင် ဖန်တာ (functor) ဆိုသည်မှာ ကတ်တဂိုရီများ (categories) ကြားရှိ ပုံဖော်မှု (mapping) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဖန်တာများကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုပေါ်လော်ဂျီ (algebraic topology) တွင် ပထမဆုံး စတင်အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ထိုဘာသာရပ်တွင် အခြေခံအုပ်စု (fundamental group) ကဲ့သို့သော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများ (topological spaces) နှင့် ဆက်စပ်ပေးထားသည်အပြင် ၎င်းအက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများကြားရှိ ပုံဖော်မှုများကို ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ပုံဖော်မှုများ (continuous maps) နှင့် ဆက်စပ်ပေးထားသည်။ ယနေ့ခေတ်တွင် ဖန်တာများကို ခေတ်သစ်သင်္ချာဘာသာရပ် အနှံ့အပြား၌ ကွဲပြားသော ကတ်တဂိုရီများကို ဆက်စပ်ပေးရန် အသုံးပြုကြသည်။ ထို့ကြောင့် ကတ်တဂိုရီသီအိုရီကို အသုံးချသော သင်္ချာဘာသာရပ် နယ်ပယ်တိုင်းတွင် ဖန်တာများသည် အရေးပါလှသည်။

ကတ်တဂိုရီနှင့် ဖန်တာဟူသော စကားလုံးများကို သင်္ချာပညာရှင်များက ဒဿနိကဗေဒပညာရှင်များဖြစ်ကြသော အရစ္စတိုတယ် (Aristotle) နှင့် ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ် (Rudolf Carnap) တို့ထံမှ အသီးသီး ငှားရမ်းသုံးစွဲခဲ့ကြသည်။ ရူးဒေါ့ဖ် ကာနပ်သည် ဖန်တာဟူသော စကားလုံးကို ဘာသာဗေဒဆိုင်ရာ အကြောင်းအရာများတွင် အသုံးပြုခဲ့သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

အရာဝတ္ထုများ $X$, $Y$, $Z$ နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ $f$, $g$, $g\circ f$ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခု

ဖန်တာ $F$ သည် မော်ဖစ်ဇင်များဖြစ်သော $g$ နှင့် $f$ တို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းကို ထိန်းသိမ်းထားရမည်

ကတ်တဂိုရီ $C$ နှင့် $D$ ကြားရှိ ဖန်တာ (functor) $F:C\rightarrow D$ တစ်ခုတွင် အောက်ပါ အချက်အလက်များ ပါဝင်သည်။

• $C$ အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု (object) $c\in C$ တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် $D$ အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု $Fc\in D$

• $C$ အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) $f:c\rightarrow c^{\prime }\in C$ တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် $D$ အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် $Ff:Fc\rightarrow Fc^{\prime }\in D$

ဤတွင် $Ff$ ၏ အရင်းအမြစ် နှင့် ပစ်မှတ် တို့သည် $F$ ကို $f$ ၏ အရင်းအမြစ် (domain) သို့မဟုတ် ပစ်မှတ် (codomain) အပေါ် အသီးသီး သက်ရောက်ထားခြင်းနှင့် ညီမျှသည်။

နဂိုမှန်အဆိုများ

အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု နဂိုမှန်အဆို (functoriality axioms) နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်။

• $C$ အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ် (composition) ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်တွဲ $f,g$ အတွက်မဆို $Fg\cdot Ff=F(g\cdot f)$ ဖြစ်သည်။
• $C$ အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု $c$ တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် $F(1_{c})=1_{Fc}$ ဖြစ်သည်။

မှတ်ချက်။ ဤသတ်မှတ်ချက်ပါ ဖန်တာသည် မော်ဖစ်ဇင်များ၏ လားရာကို မပြောင်းလဲစေသောကြောင့် ၎င်းကို လားရာတူ ဖန်တာ (covariant functor) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။

ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (Contravariant Functor)

$C$ မှ $D$ သို့သွားသော ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ (contravariant functor) $F$ ဆိုသည်မှာ ဖန်တာ $F:C^{\text{op}}\rightarrow D$ သာဖြစ်သည်။ ၎င်းတွင် အောက်ပါ အချက်အလက်များ ပါဝင်သည်။

• $C$ အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု $c\in C$ တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် $D$ အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု $Fc\in D$

• $C$ အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် $f:c\rightarrow c^{\prime }\in C$ တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် $D$ အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် $Ff:Fc^{\prime }\rightarrow Fc\in D$

ဤတွင် $Ff$ ၏ အရင်းအမြစ်နှင့် ပစ်မှတ်တို့သည် $F$ ကို $f$ ၏ ပစ်မှတ် သို့မဟုတ် အရင်းအမြစ်အပေါ် အသီးသီး သက်ရောက်ထားခြင်းနှင့် ညီမျှသည်။

နဂိုမှန်အဆိုများ

အထက်ပါအချက်အလက်များသည် အောက်ဖော်ပြပါ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု နဂိုမှန်အဆို နှစ်ခုကို မဖြစ်မနေ လိုက်နာရမည်။

• $C$ အတွင်းရှိ ပေါင်းစပ်၍ရသော မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ $f,g$ အတွက်မဆို $Ff\cdot Fg=F(g\cdot f)$ ဖြစ်သည်။

• $C$ အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု $c$ တစ်ခုစီတိုင်းအတွက် $F(1_{c})=1_{Fc}$ ဖြစ်သည်။

ဖန်တာများသည် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များကို ထိန်းသိမ်းထားသည် (Functors preserve isomorphisms)

ကတ်တဂိုရီ $C$ အတွင်းရှိ မော်ဖစ်ဇင် $f$ သည် ပြောင်းပြန်မော်ဖစ်ဇင် $g$ ရှိသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ မည်သည့် ဖန်တာ $F:C\rightarrow D$ မဆိုအတွက် ၎င်း၏ပုံရိပ် $Ff$ သည် ကတ်တဂိုရီ $D$ အတွင်း၌ ပြောင်းပြန်မော်ဖစ်ဇင် $Fg$ ရှိသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်တစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ဖန်တာအားလုံး၏ အလွန်အရေးပါသော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိတစ်ခုဖြစ်သည်။

ဖန်တာ အမျိုးအစားများ

• သစ္စာရှိဖန်တာ (Faithful functor)
• ပြည့်ဝဖန်တာ (Full functor)
• အခြေခံအားဖြင့် ဆာဂျက်တစ်ဖြစ်ဖန်တာ(Essentially surjective functor)
• ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding): အရာဝတ္ထုများအပေါ် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော သစ္စာရှိဖန်တာတစ်ခုကို ထည့်သွင်းခြင်း ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်းသည် အရင်းအမြစ် ကတ်တဂိုရီအား ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီ၏ ကတ်တဂိုရီပိုင်း (subcategory) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။
• အပြည့်အဝ ထည့်သွင်းခြင်း (Full embedding): အရာဝတ္ထုများအပေါ် အင်ဂျက်တစ်ဖြစ်သော ပြည့်ဝသစ္စာရှိဖန်တာ (fully faithful functor) ကို အပြည့်အဝ ထည့်သွင်းခြင်း ဟု ခေါ်ဆိုပြီး ၎င်း၏အရင်းအမြစ်သည် ပစ်မှတ်၏ ပြည့်ဝသော ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) တစ်ခုအဖြစ် ဖွဲ့စည်းသည်။

ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (Represented Functor)

$C$ သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီ ဖြစ်ပါက မည်သည့် အရာဝတ္ထု $c\in C$ အတွက်မဆို $c$ ဖြင့် ကိုယ်စားပြုထားသော ဖန်တာနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ အတွဲကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။

$C(c,-):C\rightarrow Set$

$C(-,c):C^{op}\rightarrow Set$

• ဖန်တာ $C(c,-)$ သည် $x\in C$ ကို အစု $C(c,x)$ သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် (dually) ဖန်တာ $C(-,c)$ သည် $x\in C$ ကို အစု $C(x,c)$ သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။

• ဖန်တာ $C(c,-)$ သည် မော်ဖစ်ဇင် $f:x\rightarrow y$ ကို နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဖန်ရှင် (postcomposition function) $f_{*}:C(c,x)\rightarrow C(c,y)$ သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။ ဒွန်တွဲစွာဖြင့် ဖန်တာ $C(-,c)$ သည် မော်ဖစ်ဇင် $f$ ကို ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း ဖန်ရှင် (precomposition function) $f^{*}:C(y,c)\rightarrow C(x,c)$ သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။

နှစ်ဖက်ပါ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (Two-sided Represented Functor)

$C$ သည် ဒေသအလိုက် သေးငယ်သော ကတ်တဂိုရီဖြစ်ပါက နှစ်ဖက်ပါ ကိုယ်စားပြု ဖန်တာ (two-sided represented functor) $C(-,-):C^{op}\times C\rightarrow Set$ တစ်ခု တည်ရှိသည်။

• အရာဝတ္ထုစုံတွဲ $(x,y)$ ကို ဟွမ်း-အစု (hom-set) $C(x,y)$ သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။
• မော်ဖစ်ဇင်စုံတွဲ $f:w\rightarrow x$ နှင့် $h:y\rightarrow z$ တို့ကို အောက်ပါ ဖန်ရှင်သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။

$C(x,y)\xrightarrow {h\cdot -\cdot f} C(w,z)$
$g\mapsto hgf$

၎င်းသည် $g:x\rightarrow y$ ကို ယူ၍ $f$ ဖြင့် ရှေ့ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း နှင့် $h$ ဖြင့် နောက်ဆက်တွဲ ပေါင်းစပ်ခြင်း တို့ကို ပြုလုပ်ကာ $hgf:w\rightarrow z$ ကို ရရှိစေသည်။ ဤသတ်မှတ်ပေးမှုသည် ပေါင်းစပ်ခြင်း၏ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ နှင့် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိ တို့ပြည့်စုံ၍ နှစ်ထပ်ဖန်တာဖြစ်တည်မှု (bifunctorial) ဖြစ်သည်။

ဖန်တာ ဥပမာများ

• အခြေခံအုပ်စု (Fundamental Group): အခြေခံအုပ်စုကို ဖန်တာ $\pi _{1}:Top_{*}\rightarrow Group$ တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ အခြေခံအမှတ်ပါသော ရပ်ဝန်းများကြားရှိ အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် $f:(X,x)\rightarrow (Y,y)$ တစ်ခုသည် အုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $f_{*}:\pi _{1}(X,x)\rightarrow \pi _{1}(Y,y)$ တစ်ခုကို သက်ရောက်ဖြစ်ပေါ်စေသည်။

• အုပ်စုသက်ရောက်ချက်များ (Group actions): အုပ်စု $G$ ကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီ $BG$ အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည် ။ ဖန်တာ $X:BG\rightarrow C$ တစ်ခုသည် ကတ်တဂိုရီ $C$ အတွင်းရှိ အရာဝတ္ထု $X$ အပေါ် $G$ ၏ ဘယ်သက်ရောက်ချက် (left action) ကို တိကျစွာ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည် ။ ထို့အတူ ညာသက်ရောက်ချက် (right action) ကို ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ $X:BG^{op}\rightarrow C$ အဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည် ။ ဖန်တာဖြစ်တည်မှု၏ ဂုဏ်သတ္တိများအရ ဤသက်ရောက်ချက်များရှိ အုပ်စုဝင်များသည် အရာဝတ္ထု $X$၏ အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) အဖြစ် မဖြစ်မနေ သက်ရောက်ရမည် ဖြစ်သည် ။ ဥပမာအားဖြင့် $C=Set$ ဖြစ်လျှင် ၎င်းကို $G$-အစု ($G$-set) ဟုခေါ်ပြီး $C=Vect_{\mathbb {K} }$ ဖြစ်လျှင် ၎င်းကို $G$-ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု ($G$-representation) ဟုခေါ်သည် ။

• ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ (Chain Complexes): ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ်များ၏ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ $f_{\bullet }:C_{\bullet }\rightarrow C_{\bullet }^{\prime }$ တွင် မည်သည့် $n\in \mathbb {Z}$ အတွက်မဆို $df_{n}=f_{n-1}d$ ဖြစ်စေမည့် ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $f_{n}:C_{n}\rightarrow C_{n}^{\prime }$ များ စုစည်းပါဝင်သည်။ ယင်းအပေါ်အခြေခံ၍ အောက်ပါ ဖန်တာများကို ထပ်မံသတ်မှတ်နိုင်သည်။
  • စက်ဝိုင်းပုံများ (Cycles, $Z_{n}$): ဖန်တာ $Z_{n}$ သည် $Z_{n}C_{\bullet }=\ker(d:C_{n}\rightarrow C_{n-1})$ အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော n-စက်ဝိုင်းပုံ (n-cycle) များကို တွက်ချက်ပေးသည်။
  • နယ်နိမိတ်များ (Boundaries, $B_{n}$): ဖန်တာ $B_{n}$ သည် $B_{n}C_{\bullet }={\text{im}}(d:C_{n+1}\rightarrow C_{n})$ အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသော n-နယ်နိမိတ် (n-boundary) ကို တွက်ချက်ပေးသည်။
  • ဟိုမိုလော်ဂျီ (Homology, $H_{n}$): ဖန်တာ $H_{n}$ သည် n ကြိမ်မြောက် ဟိုမိုလော်ဂျီ (nth homology) ကို $H_{n}C_{\bullet }:=Z_{n}C_{\bullet }/B_{n}C_{\bullet }$ အဖြစ် တွက်ချက်ပေးသည်။
• ဒွန်တွဲ ဗက်တာရပ်ဝန်း (Dual Vector Space): ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ $(-)^{*}:Vect_{\mathbb {K} }^{\text{op}}\rightarrow Vect_{\mathbb {K} }$ သည် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ၎င်း၏ ဒွန်တွဲ ဗက်တာရပ်ဝန်း $V^{*}={\text{Hom}}(V,\mathbb {K} )$ သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။

• Spec (ရောင်စဉ်): ဆန့်ကျင်ဘက် ဖန်တာ ${\text{Spec}}:CRing^{\text{op}}\rightarrow Top$ သည် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) $R$ ကို ဇာရစ်စကီး တိုပေါ်လော်ဂျီ (Zariski topology) တပ်ဆင်ထားသော ၎င်း၏ သုဒ္ဓကိန်း အိုင်ဒီးလ်များ (prime ideals) အစု ${\text{Spec}}(R)$ သို့ ပို့ဆောင်ပေးသည်။

• ပါဝင်မှု နှင့် မေ့လျော့ ဖန်တာများ (Inclusion and Forgetful Functors): ဖွဲ့စည်းပုံများကို ထည့်သွင်းခြင်း သို့မဟုတ် ချန်လှပ်ခြင်း ပြုလုပ်သော အောက်ပါ အခြေခံ ဖန်တာများလည်း ရှိသည်။
  • $I:Ab\rightarrow Group$ (ပါဝင်မှု ဖန်တာ - inclusion functor)
  • $U:Ring\rightarrow Ab$ (မြှောက်ခြင်းကို ချန်လှပ်ထားသော မေ့လျော့ ဖန်တာ - forgetful functor)
  • $(-)^{\times }:Ring\rightarrow Group$ (ယူနစ်များ၏ အုပ်စုထုတ်ယူသော ဖန်တာ)
  • $I:Ring\rightarrow Rng$ (ထည့်သွင်းမှု ဖန်တာ)
  • $I:Field\rightarrow Ring$ (ထည့်သွင်းမှု ဖန်တာ)
• ကဲကုလပ်မှ ဆင်းသက်ချက် (Derivative): ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော ကဲကုလပ် (multivariable calculus) မှ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) သည် ဖန်တာဖြစ်တည်မှု၏ သရုပ်ပြချက်တစ်ခု ဖြစ်သည် ။ $D:Euclid_{*}\rightarrow Mat_{\mathbb {R} }$ ဟူသော ဖန်တာတစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်ပါ ။ ဤဖန်တာသည် ယူကလစ်ဒ် ရပ်ဝန်း (Euclidean space) တစ်ခုကို ၎င်း၏ အတိုင်းအတာ (dimension) ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးပြီး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော ဖန်ရှင်တစ်ခုကို ၎င်း၏ ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံ (Jacobian matrix) ဆီသို့ ပို့ဆောင်ပေးသည် ။ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းအရ ပေါင်းစပ်ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံသည် မူလဖန်ရှင်များ၏ ဂျေးကိုဘီယန် ကိန်းအုံများကို မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်းဖြင့် ရရှိနိုင်ကြောင်း ဖော်ပြထားခြင်းသည် ဖန်တာ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိကို တိုက်ရိုက် ကိုယ်စားပြုနေခြင်း ဖြစ်သည် ။
• အစုအဖွဲ့ခွဲခြားခြင်း ဖန်တာ (Clustering functor): တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အချက်အလက်များကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရာတွင် (topological data analysis) အစုအဖွဲ့ခွဲခြားခြင်း အယ်လ်ဂိုရီသမ် (clustering algorithm) များကို ဖန်တာများအဖြစ် ရှုမြင်နိုင်သည် ။ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ (metric spaces) မှ အစုအဖွဲ့ ကတ်တဂိုရီ (cluster category) သို့သွားသော သင့်လျော်သည့် ဖန်တာများကို ရှာဖွေခြင်းဖြင့် ဒေတာများကို ပိုမိုထိရောက်စွာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနိုင်ရန် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီက ကူညီပေးသည် ။

ဖန်တာဖြစ်တည်မှု၏ အသုံးချမှုများ (Applications of Functoriality)

ဖန်တာဖြစ်တည်မှု သဘောတရားသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ဖြေရှင်းရခက်ခဲသော ပြဿနာများကို ရိုးရှင်းသော အက္ခရာသင်္ချာ ပြဿနာများအဖြစ်သို့ ပြောင်းလဲပေးနိုင်သည်။ ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ ဘရောင်းဝါး အထိုင်မှတ် သီအိုရမ် (Brouwer Fixed Point Theorem) ကို သက်သေပြခြင်းဖြစ်သည်။ အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော အပိတ်ပြား (2-dimensional disk) $D^{2}$ ၏ မည်သည့် အဆက်မပြတ် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်မဆိုတွင် အထိုင်မှတ်တစ်ခု အနည်းဆုံး ပါရှိရမည်ဟု အဆိုပါသီအိုရမ်က ဆိုသည်။ အခြေခံအုပ်စု ($\pi _{1}$) ဖန်တာကို အသုံးပြု၍ ပုံစံတကျ ရုပ်သိမ်းခြင်း (retraction) မဖြစ်နိုင်ကြောင်းကို ချေပသက်သေပြခြင်းအားဖြင့် ဖန်တာများ မည်မျှစွမ်းအားကြီးကြောင်းကို ဤသီအိုရမ်က မီးမောင်းထိုးပြသည်။

ကိုးကား

• Riehl၊ Emily (2016)၊ Category Theory in Context၊ Dover၊ ISBN 9780486809038