ပုံရိပ် နှင့် မူလပုံရိပ်

သင်္ချာဘာသာရပ်ရှိ အစုသီအိုရီ (set theory) တွင် ပုံရိပ် (image) နှင့် မူလပုံရိပ် (preimage) တို့သည် အခြေခံကျသော သဘောတရားများ ဖြစ်ကြသည်။

ပုံရိပ် (Image)

ဖန်ရှင် $f:X\to Y$ တစ်ခု ရှိသည် ဆိုပါစို့။ $f$ ၏ ပုံရိပ်ဆိုသည်မှာ $x\in X$ အချို့အတွက် $f(x)$ ပုံစံရှိသော အစုဝင် $y\in Y$ အားလုံး ပါဝင်သည့် $Y$ ၏ အစုပိုင်း (subset) ကို ခေါ်ဆိုခြင်း ဖြစ်သည်။

$\operatorname {im} (f)=\left\{f(x),x\in X\right\}$

ပုံရိပ်ရှာခြင်း တွက်ချက်မှု (the image operation) သည် ပေါင်းစပ်စု (union) များကို ထိန်းသိမ်းထားနိုင်သော်လည်း ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) များကိုမူ ယေဘုယျအားဖြင့် ထိန်းသိမ်းထားနိုင်ခြင်း မရှိပေ။ ဖန်ရှင် $f:X\to Y$ တစ်ခုနှင့် $X$ ၏ အစုပိုင်းများ မိသားစု $\{S_{i}\}_{i\in I}$ တစ်ခု ရှိသည် ဆိုပါစို့။ ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်စု၏ ပုံရိပ်သည် ၎င်းတို့ တစ်ခုချင်းစီ၏ ပုံရိပ်များကို ပေါင်းစပ်ထားသော ပေါင်းစပ်စုနှင့် တိကျစွာ ထပ်တူညီသည်။

$f\left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(S_{i})$

သို့သော်လည်း ၎င်းတို့၏ ထပ်တူပိုင်းအစု၏ ပုံရိပ်သည် ၎င်းတို့ ပုံရိပ်များ၏ ထပ်တူပိုင်းအစု၏ အစုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်းကိုသာ သေချာပေါက် ဆိုနိုင်သည်။

$f\left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in I}f(S_{i})$

ထပ်တူပိုင်းအစုများအတွက် ဤနေရာတွင် ညီမျှခြင်း ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ (if and only if) ဖန်ရှင် $f$ သည် အင်ဂျက်တစ် (injective) ဖြစ်ရန်ပင် ဖြစ်သည်။

မူလပုံရိပ် (Preimage)

ဖန်ရှင် $f:X\to Y$ တစ်ခုနှင့် အစုပိုင်း $S\subseteq Y$ တစ်ခု ရှိသည် ဆိုပါစို့။ $f$ အရ $S$ ၏ မူလပုံရိပ် သို့မဟုတ် ပြောင်းပြန်ပုံရိပ် (inverse image) ဆိုသည်မှာ $f$ ဖြင့် ပုံဖော်လိုက်သော တန်ဖိုးများသည် $S$ ထဲတွင် ပါဝင်နေမည့် အစုဝင်အားလုံး စုစည်းထားသော $X$ ၏ အစုပိုင်းပင် ဖြစ်သည်။

$f^{*}(S)=\{x\in X\mid f(x)\in S\}$

သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းဆိုင်ရာ မှတ်သားဖွယ်ရာ (A Note on Notation)

မူလပုံရိပ်အတွက် ရိုးရာအရ အသုံးပြုသော သင်္ကေတမှာ $f^{-1}(S)$ ဖြစ်သည်။ သို့သော် ဤသင်္ကေတသည် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် (inverse function) ၏ သင်္ကေတနှင့် ရောထွေးမှု ရှိလာနိုင်သည်။ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်ဆိုသည်မှာ အမြဲတမ်း တည်ရှိနေမည် မဟုတ်ပေ။ ဖန်ရှင် $f$ တစ်ခုအတွက် အမှန်တကယ် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင် $f^{-1}:Y\to X$ တစ်ခု တည်ရှိရန်မှာ ၎င်းဖန်ရှင်သည် ဘိုင်ဂျက်တစ် (bijective) ဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အဆိုပါ ဖန်ရှင်သည် အင်ဂျက်တစ်လည်း ဖြစ်ရမည်ဖြစ်ပြီး ဆာဂျက်တစ် (surjective) လည်း ဖြစ်ရမည် ဖြစ်သည်။

ဥပမာအားဖြင့် $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ကို $f(x)=x^{2}$ ဟု သတ်မှတ်ထားသည် ဆိုပါစို့။ ဤနေရာတွင် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်တန်ဖိုး $f^{-1}(4)$ သည် မည်မျှနည်းဟု မေးမြန်း၍ မရနိုင်ပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် အဖြေသည် $2$ သို့မဟုတ် $-2$ ဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်မှာ အမှန်တကယ် မတည်ရှိပေ။ သို့ရာတွင် အစု $\{4\}$ ၏ မူလပုံရိပ်ကိုမူ ရှင်းလင်းတိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ယင်းမူလပုံရိပ်သည် $f^{*}(\{4\})=\{-2,2\}$ ဟူသော အစုသာလျှင် ဖြစ်သည်။ ဤသို့ မရေရာမှုမျိုးကို ရှောင်ရှားနိုင်ရန် အချို့သော စာရေးသူများသည် မူလပုံရိပ်များအတွက် $f^{*}$ ကို ပိုမို ရွေးချယ်အသုံးပြုကြသည်။

ပုံရိပ်များနှင့် မတူညီသည်မှာ မူလပုံရိပ်သည် အလွန်အမင်း ကိုက်ညီမှုကောင်းစွာ ရှိခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ မူလပုံရိပ်သည် ပေါင်းစပ်စုများနှင့် ထပ်တူပိုင်းအစုများကိုသာမက ဖြည့်စွက်စု (set complement) များကိုပါ တိကျစွာ ထိန်းသိမ်းပေးထားနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $f^{*}(A\cap B)=f^{*}(A)\cap f^{*}(B)$ ဖြစ်သည်။

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ ရှုထောင့် (The Category Theory Perspective)

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ရှုထောင့်မှ ကြည့်လျှင် $S$ ၏ မူလပုံရိပ်ဆိုသည်မှာ ပါဝင်မှု ပုံဖော်ခြင်း (inclusion map) $i:S\hookrightarrow Y$ တစ်လျှောက် ဖန်ရှင် $f:X\to Y$ ၏ ပူးလ်ဘက် (pullback) ပင် ဖြစ်သည်။

ပူးလ်ဘက်တစ်ခုတွင် တူညီသော ပစ်မှတ် (target) တစ်ခုဆီသို့ ညွှန်ပြနေသည့် မြား (arrow) နှစ်ခု ပါဝင်သည်။ ဤဥပမာတွင် ထိုပစ်မှတ်မှာ $Y$ ဖြစ်သည်။ အစုများ ကတ်တဂိုရီ (category of sets) တွင် ပူးလ်ဘက် $X\times _{Y}S$ ကို ကိုက်ညီမှုရှိသော စုံတွဲများ ပါဝင်သည့် အစုအဖြစ် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

$X\times _{Y}S=\{(x,s)\in X\times S\mid f(x)=i(s)\}$

ဤနေရာတွင် $i(s)$ သည် $s$ ကိုယ်တိုင်သာ ဖြစ်သောကြောင့် ကျွန်ုပ်တို့သည် $f(x)=s$ ဖြစ်မည့် $(x,s)$ စုံတွဲအားလုံးကို ရှာဖွေနေခြင်း ဖြစ်သည်။

ဤသည်မှာ မူလပုံရိပ်၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို အသေးအဖွဲ ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) အနေအထားအထိ တိကျစွာ ပေးစွမ်းနိုင်သည်။ $s$ ကို $f(x)$ အဖြစ် တိကျစွာ သတ်မှတ်ထားရသောကြောင့် ပူးလ်ဘက်အစုနှင့် $X$ ၏ စံထားရသော မူလပုံရိပ် အစုပိုင်းအကြားတွင် ပြီးပြည့်စုံသော အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် (isomorphism) တစ်ခု တည်ရှိနေသည်။

$(x,f(x)){\overset {\sim }{\mapsto }}x\quad \quad x{\overset {\sim }{\mapsto }}(x,f(x))$

ဖိုက်ဘာ (Fiber)

စံသတ်မှတ်ချက်အရ $f^{-1}(\{y\})$ အဖြစ် ရေးသားလေ့ရှိသော အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) $\{y\}$ ၏ မူလပုံရိပ်ကို $y$ အပေါ်ရှိ ဖိုက်ဘာ (fiber) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းကို တစ်ခါတစ်ရံတွင် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို $f^{-1}(y)$ ဟုလည်း အလွယ်တကူ ရေးသားတတ်ကြသည်။

ကတ်တဂိုရီ သဘောတရားအရ ပြောရလျှင် ဖိုက်ဘာများကို အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထု (terminal object) $*$ နှင့် ပူးလ်ဘက်များ ပါဝင်သော မည်သည့် ကတ်တဂိုရီတွင်မဆို အသုံးပြုနိုင်သည်။ ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အစုဝင် $y\in B$ တစ်ခုကို အဆုံးသတ် အရာဝတ္ထုမှ မော်ဖစ်ဇင် (morphism) တစ်ခုအဖြစ် ပုံစံတကျ ရှုမြင်ကြသည်။ ယင်းမော်ဖစ်ဇင်ကို ${\text{pt}}_{y}:*\to B$ ဟု ဖော်ပြနိုင်ပြီး ၎င်းကို အလုံးစုံ အစုဝင် (global element) သို့မဟုတ် အခြေခံအမှတ်ပါသော အရာဝတ္ထု တည်ဆောက်ပုံ (pointed object structure) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

ထိုသို့သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအတွင်းရှိ မည်သည့် မော်ဖစ်ဇင် $f:A\to B$ အတွက်မဆို $y$ အပေါ်ရှိ $f$ ၏ ဖိုက်ဘာသည် $f$ နှင့် ${\text{pt}}_{y}$ တို့၏ ဖိုက်ဘာ မြှောက်လဒ် (fiber product) ပင် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ဖိုက်ဘာသည် ပူးလ်ဘက် $A\times _{B}*$ နှင့် တိကျစွာ အတူတူပင်ဖြစ်ပြီး ၎င်းသည် အောက်ပါ ဖလှယ်ရ စတုရန်း (commutative square) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။

${\begin{array}{ccc}A\times _{B}*&\longrightarrow &*\\\downarrow &&\downarrow {\text{pt}}_{y}\\A&\xrightarrow {f} &B\end{array}}$