ပိုလီနိုမီရယ်

ဖန်ရှင်များ
အခြေခံ သဘောတရားများ အရင်းအမြစ်စု ပစ်မှတ်စု ပုံရိပ် မူလပုံရိပ် ဖန်ရှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်
ဖန်ရှင် အမျိုးအစားများ အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် စုံကိန်းဖန်ရှင်နှင့် မကိန်းဖန်ရှင် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ
အခြေခံ ဖန်ရှင်များ ပိုလီနိုမီရယ် ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် လော့ဂရစ်သမ် ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း ဖန်ရှင်များ
ပုံဖော်မှု နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု အပေါင်းအခြေခံ ပုံဖော်မှု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်

ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) သည် မသိကိန်း (indeterminate) တစ်ခု၏ ထပ်ကိန်းများ (powers) ကို ဆတိုးကိန်းများ (multiples) ဖြင့် မြှောက်ထားသော အဆုံးရှိ ပေါင်းလဒ် (finite sum) အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက် (algebraic expression) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤမသိကိန်းကို ကိန်းရှင် (variable) ဟူ၍လည်း ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။

$P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n},\quad n\in \mathbb {N} _{0}$

ယင်းကို ပေါင်းခြင်းဆိုင်ရာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (summation notation) အား အသုံးပြု၍ ကျစ်လျစ်စွာ အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။

$P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},\quad n\in \mathbb {N} _{0}$

အစုဝင်များ (elements) ဖြစ်သော $a_{i}$ တို့သည် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (coefficients) ကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ ယင်းမြှောက်ဖော်ကိန်းများသည် အလိုရှိရာ (arbitrary) ထပ်တူရပါသော ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring with identity) $R$ ၏ အစုဝင်များ ဖြစ်ကြသည်။ $x$ သည် မသိကိန်းဖြစ်သည်။ ထပ်ကိန်းများသည် အနုတ်ကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များ (non-negative integers) ဖြစ်ကြသည်။

ဝေါဟာရရင်းမြစ် (Etymology)

ဤဝေါဟာရသည် ဂရိဘာသာစကားမှ ဆင်းသက်လာသည်။ ဂရိစကားလုံး πολύ (polý) သည် အများအပြားဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ όνομα (onoma) သည် အမည်ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းသည် အမည်များစွာရှိသောဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။ ယူကလစ် (Euclid) သည် သူ၏ အဲလီမင့်စ် (Elements) ကျမ်း အပိုင်း 10 တွင် သီးခြား အပိုင်းနှစ်ပိုင်းပါဝင်သော အီရာရှင်နယ်ကိန်း အလျားရှိ မျဉ်း (irrational line) ကို အမည်နှစ်ခုဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော မျဉ်းဟူ၍ ရည်ညွှန်းခဲ့သည်။ ပိုလီနိုမီရယ်ဟူသော အမည်သတ်မှတ်ချက်သည် ဖရန်စွာ ဗီယက် (François Viète) ထံမှ စတင်ခဲ့သည်။ သူသည် 1591 ခုနှစ်တွင် ရေးသားခဲ့သော သူ၏ အီဆာဂိုဂီ (Isagoge) ကျမ်းတွင် ကိန်းများစွာပါဝင်သော ပမာဏ (magnitude) အတွက် polynomia magnitudo ဟူသော ဖော်ပြချက်ကို အသုံးပြုခဲ့သည်။

အခြေခံ အက္ခရာသင်္ချာ (Elementary Algebra)

• 
  ဒီဂရီ (degree) 0 ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial):
  $f(x)=2$
• 
  ဒီဂရီ 1 ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်:
  $f(x)=2x+1$
• 
  ဒီဂရီ 2 ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်:
  $f(x)=x^{2}-x-2$
  $=(x+1)(x-2)$
• 
  ဒီဂရီ 3 ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်:
  $f(x)=x^{3}/4+3x^{2}/4-3x/2-2$
  $=1/4(x+4)(x+1)(x-2)$
• 
  ဒီဂရီ 4 ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်:
  $f(x)=1/14(x+4)(x+1)(x-1)(x-3)$
  $+0.5$
• 
  ဒီဂရီ 5 ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်:
  $f(x)=1/20(x+4)(x+2)(x+1)(x-1)$
  $(x-3)+2$
• 
  ဒီဂရီ 6 ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်:
  $f(x)=1/100(x^{6}-2x^{5}-26x^{4}+28x^{3}$
  $+145x^{2}-26x-80)$
• 
  ဒီဂရီ 7 ရှိ ပိုလီနိုမီရယ်:
  $f(x)=(x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)$
  $(x+3)$

အခြေခံ အက္ခရာသင်္ချာနှင့် ကျောင်းသင် သင်္ချာဘာသာရပ်တို့တွင် အဆိုပါ ဖော်ပြချက်ကို ဖန်ရှင် (function) $P(x)$ အဖြစ် သတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ ယင်းကို တစ်ခါတစ်ရံတွင် အင်တီဂရယ် ရာရှင်နယ် ဖန်ရှင် (integral rational function) ဟူ၍လည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) သည် ကွင်း $R$ ကိုယ်တိုင် သို့မဟုတ် မည်သည့် ထပ်တူရပါသော R-အက္ခရာသင်္ချာ (unital R-algebra) မဆို ဖြစ်နိုင်သည်။ ၎င်းတို့သည် အများအားဖြင့် ကိန်းစစ် (real number) အစု $\mathbb {R}$, ကိန်းထွေး (complex number) အစု $\mathbb {C}$ သို့မဟုတ် $R$ အပေါ်ရှိ ကိန်းအုံ ကွင်းများ (matrix rings) ဖြစ်ကြသည်။ အလိုရှိရာ အဆုံးရှိ ဒီဂရီ (finite degree) အသီးသီးရှိကြသော ကိန်းစစ် ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင်များအားလုံး၏ အစုသည် ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။

ဝေါဟာရသတ်မှတ်ချက်များနှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Terminology and Properties)

• ဒီဂရီ (degree) $\deg P$ - မိုနိုမီရယ် (monomial) $a_{n}x^{n}$ ၏ မြှောက်ဖော်ကိန်း $a_{n}$ သည် သုညမဟုတ်သော အခြေအနေအတွက် အမြင့်ဆုံး ထပ်ကိန်း $n$ ဖြစ်သည်။
• ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း (leading coefficient) - အမြင့်ဆုံး ထပ်ကိန်း၏ မြှောက်ဖော်ကိန်း $a_{n}$ ဖြစ်သည်။
• မိုးနစ် ပိုလီနိုမီရယ် (monic polynomial) - ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်း 1 ဖြစ်သော ပိုလီနိုမီရယ်ကို ဆိုလိုသည်။
• ပရစ်မစ်တစ် (primitive) - တစ်ခုတည်းသီးသန့် ဆခွဲကိန်းခွဲရ ဒိုမိန်း (Unique Factorization Domain) တစ်ခုအပေါ်တွင် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော (coprime) မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သည့် ပိုလီနိုမီရယ်ဖြစ်သည်။ ၎င်း၏ ပါဝင်မှုပမာဏ သည် ယူနစ် (unit) တစ်ခုဖြစ်ပြီး အများအားဖြင့် 1 အဖြစ် ပုံမှန်သတ်မှတ်ထားလေ့ရှိသည်။
• သုည ပိုလီနိုမီရယ် (zero polynomial) - အကယ်၍ $a_{i}=0$ အားလုံးအတွက် ဖြစ်ပါက ယင်းပိုလီနိုမီရယ်သည် သုည ပိုလီနိုမီရယ် ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျသတ်မှတ်ချက်အရ ၎င်း၏ ဒီဂရီကို $-\infty$ ဟု သတ်မှတ်လေ့ရှိပြီး ၎င်းသည် ဒီဂရီ၏ ပစ်မှတ်စု (codomain) ကို သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) အလွန်အထိ တိုးချဲ့ပေးသည်။
• ကိန်းများ (terms) - $a_{0}$ ကို ကိန်းသေကိန်း (constant term) ဟု ခေါ်သည်။ $a_{1}x$, $a_{2}x^{2}$ နှင့် $a_{3}x^{3}$ တို့ကို မျဉ်းဖြောင့်ကိန်း (linear term)၊ နှစ်ထပ်ကိန်း (quadratic term) နှင့် သုံးထပ်ကိန်း (cubic term) ဟူ၍ အသီးသီး ရည်ညွှန်းကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $P(x)=9x^{3}+x^{2}+7x-3.8$ သည် ဒီဂရီ 3 ရှိသော ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခုကို သရုပ်ဖော်ထားပြီး ၎င်း၏ ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်းမှာ 9 ဖြစ်ကာ ကိန်းသေကိန်းမှာ -3.8 ဖြစ်သည်။
• ပြောင်းပြန် ပိုလီနိုမီရယ် (reverse polynomial) - $a_{0},a_{n}\neq 0$ ဖြစ်သော $P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ အတွက် ပြောင်းပြန် ပိုလီနိုမီရယ်မှာ $P_{\text{rev}}(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}x^{i}$ ဖြစ်သည်။
• ဒီဂရီအလိုက် အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (classification by degree) - ဒီဂရီ 0 မှ 4 အထိရှိသော ပိုလီနိုမီရယ်များကို ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function)၊ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင် (linear function)၊ နှစ်ထပ်ကိန်း ဖန်ရှင် (quadratic function)၊ သုံးထပ်ကိန်း ဖန်ရှင် (cubic function) နှင့် လေးထပ် ဖန်ရှင် (quartic function) ဟူ၍ အသီးသီး အမျိုးအစားခွဲခြားထားသည်။ မျဉ်းဖြောင့် ဖန်ရှင်ကို အဖိုင်း မျဉ်းဖြောင့် (affine linear) ဟူ၍လည်း သတ်မှတ်ကြသည်။

ကိန်းရင်းများ သို့မဟုတ် သုညမှတ်များ (Roots or Zeros)

ကိန်းရင်းများ (roots) ဆိုသည်မှာ $P(x)=0$ ညီမျှခြင်း (equation) အတွက် အဖြေများ (solutions) ပင်ဖြစ်သည်။

• ဖီးလ်ဒ် (field) သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (integral domain) တစ်ခုအပေါ်ရှိ သုညမဟုတ်သော ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခုတွင် ၎င်း၏ ဒီဂရီအရေအတွက်ထက်မပိုသော ကွဲပြားသည့် ကိန်းရင်းများ ရှိသည်။
• အက္ခရာသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental Theorem of Algebra) - ဒီဂရီ $n\geq 1$ ရှိသော ကိန်းထွေး ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် (complex polynomial function) တိုင်းတွင် အနည်းဆုံး ကိန်းထွေး ကိန်းရင်း (complex root) တစ်ခု ရှိသည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အထပ်ထပ်ပါဝင်မှု (algebraic multiplicity) ကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားပါက ကိန်းရင်းအရေအတွက် အတိအကျ $n$ ခု ရှိပြီး ပိုလီနိုမီရယ်သည် မျဉ်းဖြောင့် ဆခွဲကိန်းများ (linear factors) အဖြစ် အပြည့်အဝ ဆခွဲကိန်းကွဲသွားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $(x-2)^{2}$ တွင် အထပ်ထပ်ပါဝင်မှု 2 ရှိသော ကိန်းရင်း $x=2$ ပါရှိသည်။
• အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အပိတ် (Algebraic closure) - ဖီးလ်ဒ် $K$ တိုင်းအတွက် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ချက် (algebraic field extension) $L$ တစ်ခု တည်ရှိပြီး ယင်း $L$ အတွင်း၌ $K$ မှ မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ်အားလုံးသည် မျဉ်းဖြောင့် ဆခွဲကိန်းများအဖြစ် အပြည့်အဝ ကွဲထွက်သွားကြသည်။
• အာဘဲလ်-ရူဖီနီ သီအိုရမ် (Abel-Ruffini Theorem) - ဒီဂရီ 4 အထိရှိသော ပိုလီနိုမီရယ်များ၏ ကိန်းရင်းများကို အရင်း ပုံသေနည်းများ (radical formulas) အသုံးပြု၍ တိကျစွာ တွက်ချက်နိုင်သည်။ ဒီဂရီ 5 သို့မဟုတ် ထို့ထက်ပိုသော ယေဘုယျ ပိုလီနိုမီရယ်များအတွက်မူ၊ အရင်းများကိုသာ အသုံးပြု၍ တိကျသော အဖြေများ (exact solutions) ရှာဖွေရန် အလုံးစုံအကျုံးဝင်သော အက္ခရာသင်္ချာ ပုံသေနည်း (universal algebraic formula) မရှိပါ။

သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ (Abstract Algebra)

သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) သည် ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင် $P(x)$ နှင့် ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) $R[X]$ ၏ ပုံစံတကျ အစုဝင် (formal element) တစ်ခုဖြစ်သော ပိုလီနိုမီရယ် $f(X)$ တို့အကြား တိကျစွာ ခွဲခြားသတ်မှတ်ထားသည်။ ဤကွင်းသည် မြှောက်ဖော်ကိန်းများကွင်း $R$ ကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော (algebraically independent) အစုဝင် $X$ ဖြင့် တိုးချဲ့ချက် (extension) ဖြစ်သည်။

ကိန်းစဉ်တစ်ခုအဖြစ် တည်ဆောက်ပုံ (Construction as a Sequence)

ပိုလီနိုမီရယ် $f\in R[X]$ တစ်ခုကို ၎င်း၏ အနန္တ (infinite) ဖြစ်သော်လည်း နောက်ဆုံးတွင် သုညဖြစ်သွားသော မြှောက်ဖော်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် (uniquely) သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်သည်-

$(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},0,0,\dots )\in R\times R\times R\times \dots$

ဒုတိယမြောက် ပိုလီနိုမီရယ် ကိန်းစဉ် $g=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ ကို ပေးထားလျှင်-

• ပေါင်းခြင်း (addition) - သက်ဆိုင်ရာ ကိန်းအလိုက် ပေါင်းလဒ် $(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ ဖြစ်သည်။
• မြှောက်ခြင်း (multiplication) - ကိန်းစဉ်များ၏ ကွန်ဗော်လူးရှင်း (convolution) ရလဒ် $\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ ဖြစ်သည်။
• မသိကိန်း (indeterminate) - ကိန်းစဉ် $X:=(0,1,0,0,\dots )$ အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားပြီး ယင်းက ပေါင်းလဒ်အသွင် ဖော်ပြချက် $a_{0}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{>0}}a_{n}X^{n}$ ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။

တန်ဖိုးရှာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Evaluation Homomorphism)

ပုံစံတကျအားဖြင့် (formally) ပိုလီနိုမီရယ်များသည် ကိန်းစဉ်များသာဖြစ်ကြပြီး ဖန်ရှင်များမဟုတ်ကြပေ။ ပိုလီနိုမီရယ် ပုံစံမှတစ်ဆင့် ဖန်ရှင်တစ်ခု တည်ဆောက်ရန်အတွက် တန်ဖိုးရှာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (evaluation homomorphism) ကို အသုံးပြုသည်။ ယင်းကို အစားထိုး ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (substitution homomorphism) ဟူ၍လည်း ခေါ်ဆိုသည်။ အနန္တ အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်းများအပေါ်တွင် ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခုနှင့် ၎င်း၏ သက်ဆိုင်ရာ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင်တို့သည် အချင်းချင်း တစ်ခုတည်းသီးသန့် သတ်မှတ်ပေးကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အကြွင်းအတန်းအစားကွင်း (residue-class ring) $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ ကဲ့သို့သော အဆုံးရှိ ကွင်းများ (finite rings) အပေါ်တွင်မူ ခြားနားသော ပိုလီနိုမီရယ်များက ထပ်တူညီသော ဖန်ရှင်ကို လှုံ့ဆော်ပေးနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $X^{3}-X$ နှင့် သုည ပိုလီနိုမီရယ်တို့သည် သုည ပုံဖော်မှု (zero map) ဟူသော ထပ်တူညီသည့် ဖန်ရှင်တစ်ခုတည်းကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ပိုလီနိုမီရယ် ဖန်ရှင်များ၏ အစုသည် ကိုယ်ပိုင်ကွင်းတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ၎င်းသည် ဖန်ရှင်များ၏ ကွင်းမှ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။

ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations)

• မသိကိန်းများစွာပါ ပိုလီနိုမီရယ်များ (multivariate polynomials) - ယင်းကို $R[X_{1},\dots ,X_{n}]$ အဖြစ် ရေးသားဖော်ပြသည်။ ၎င်းတို့သည် မသိကိန်းများစွာပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များဖြစ်ကြပြီး မိုနိုမီရယ်များဖြစ်သော $a_{i_{1},\dots ,i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}$ တို့၏ မျဉ်းဖြောင့်ပေါင်းစပ်ခြင်း (linear combination) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ မိုနိုမီရယ်တစ်ခု၏ စုစုပေါင်း ဒီဂရီ (total degree) သည် $i_{1}+\dotsb +i_{n}$ ဖြစ်သည်။ ဦးဆောင်မြှောက်ဖော်ကိန်းကဲ့သို့သော သဘောတရားများကို ယေဘုယျပြုရန်အတွက် မိုနိုမီရယ်များကို မိုနိုမီရယ် အစီအစဉ် (monomial order) အသုံးပြု၍ အစဉ်လိုက် စီစဉ်နိုင်သည်။
• တစ်ပြေးညီ ပိုလီနိုမီရယ်များ (homogeneous polynomials) - သုညမဟုတ်သော မိုနိုမီရယ်များအားလုံးသည် တူညီသော စုစုပေါင်း ဒီဂရီ အတိအကျရှိကြသည့် ပိုလီနိုမီရယ်များ ဖြစ်သည်။
• အချိုးညီ ပိုလီနိုမီရယ်များ (symmetric polynomials) - ၎င်းတို့၏ မသိကိန်းများ၏ ပါမြူတေးရှင်း (permutation) အပြောင်းအလဲများအောက်တွင် မပြောင်းလဲဘဲ တည်ရှိနေသော ပိုလီနိုမီရယ်များ ဖြစ်သည်။
• မသိကိန်းများစွာပါ ပိုလီနိုမီရယ်များ၏ ပေါင်းစပ်ခြင်းဆိုင်ရာ သင်္ချာ (combinatorics of multivariate polynomials) - ဖလှယ်၍ရသော (commuting) မသိကိန်း $n$ ခုအတွက် တိကျသော ဒီဂရီ $k$ ရှိသည့် ဖြစ်နိုင်ခြေရှိသော ကွဲပြားသော မိုနိုမီရယ် အရေအတွက် အတိအကျကို ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (binomial coefficient) ${\binom {n+k-1}{k}}$ ဖြင့် ပေးထားသည်။ ၎င်းကို ထပ်ခါတလဲလဲ ပါဝင်ခွင့်ပြုသော ပေါင်းစပ်မှုများ (combinations with repetition) ဟူ၍လည်း ခေါ်ဆိုသည်။ ဒီဂရီ $k$ အထိ ဖြစ်နိုင်ခြေရှိသော မိုနိုမီရယ်များအားလုံး၏ အရေအတွက်မှာ ${\binom {n+k}{k}}$ ဖြစ်သည်။
• ပုံစံတကျ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများ (formal power series) - ယင်းသည် $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}$ ပုံစံရှိသော အနန္တ ကိန်းစဉ်တန်းများ (infinite series) အဖြစ် ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။
• လော်ရင့် ပိုလီနိုမီရယ်များ သို့မဟုတ် ကိန်းစဉ်တန်းများ (Laurent polynomials/series) - လော်ရင့် ပိုလီနိုမီရယ်များ (Laurent polynomials) သည် အဆုံးရှိ အရေအတွက်ရှိသော အနုတ်ထပ်ကိန်းများကို ခွင့်ပြုထားပြီး ၎င်းကို $\sum _{i=-N}^{M}a_{i}X^{i}$ ပုံစံဖြင့် ရေးသားသည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အားဖြင့် လော်ရင့် ကိန်းစဉ်တန်းများ (Laurent series) သည် အထက်ဘောင် (upper bound) ကို အနန္တ (infinity) အထိ တိုးချဲ့ခွင့်ပြုထားပြီး ၎င်းကို $\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}X^{i}$ ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြသည်။