ပကတိတန်ဖိုး

ကိန်းထွေး (complex number) $z$ ၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) သည် မူလနေရာ (origin) မှ $z$ အထိ အကွာအဝေး (distance) $r$ ဖြစ်သည်။ $z$ နှင့် ယင်း၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) ${\bar {z}}$ တို့သည် တူညီသော ပကတိတန်ဖိုး ရှိကြကြောင်းကိုလည်း ပုံတွင် တွေ့မြင်နိုင်သည်။

ကိန်းစစ် (real number) များအတွက် ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင် (absolute value function) ၏ ဂရပ် (graph) ဖြစ်သည်။

သင်္ချာတွင် $x$ ဟုခေါ်သော ကိန်းစစ် (real number) တစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ် (modulus) ကို $|x|$ ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး ၎င်းသည် လက္ခဏာကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမရှိဘဲ တိုင်းတာထားသော $x$ ၏ အနုတ်ကိန်းမဟုတ်သည့် ပမာဏ (magnitude) ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $x$ သည် အပေါင်းကိန်း (positive number) ဖြစ်လျှင် $|x|=x$ ဖြစ်ပြီး $x$ သည် အနုတ်ကိန်း (negative number) ဖြစ်လျှင် $|x|=-x$ ဖြစ်ကာ ဤအခြေအနေတွင် $-x$ သည် အပေါင်းကိန်းဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် $|0|=0$ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $3$ ၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာ $3$ ဖြစ်ပြီး $-3$ ၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာလည်း $3$ ပင်ဖြစ်သည်။ ကိန်း တစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးကို သုညမှ ယင်းကိန်း၏ အကွာအဝေး (distance) အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။

ကိန်းစစ်များအတွက် ပကတိတန်ဖိုးကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalization) များသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအနေအမျိုးမျိုးတွင် ဖြစ်ပေါ်လေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းထွေးများ (complex numbers)၊ ကွာတာနီယွန်များ (quaternions)၊ အစဉ်ကျသော ကွင်းများ (ordered rings)၊ ဖီးလ်ဒ်များ (fields) နှင့် ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (vector spaces) အတွက်လည်း ပကတိတန်ဖိုးကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ သင်္ချာ နှင့် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ အခြေအနေအမျိုးမျိုးတွင် ပကတိတန်ဖိုးသည် ပမာဏ၊ အကွာအဝေးနှင့် စံနှုန်း (norm) ဟူသော သဘောတရားများနှင့် နီးကပ်စွာ ဆက်စပ်နေသည်။

ဝေါဟာရအသုံးအနှုန်းနှင့် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (Terminology and notation)

1806 ခုနှစ်တွင် ရောန်-ရောဘတ် အာဂန် (Jean-Robert Argand) သည် ကိန်းထွေး ပကတိတန်ဖိုးအတွက် ပြင်သစ်ဘာသာစကားဖြင့် အတိုင်းအတာယူနစ်ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသော မော်ဂျူး (module) ဟူသည့် အသုံးအနှုန်းကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ပကတိတန်ဖိုးဟူသော အသုံးအနှုန်းကို ဤအဓိပ္ပာယ်ဖြင့် အနည်းဆုံး ပြင်သစ်ဘာသာစကားတွင် 1806 ခုနှစ်မှစတင်၍လည်းကောင်း၊ အင်္ဂလိပ်ဘာသာစကားတွင် 1857 ခုနှစ်မှစတင်၍လည်းကောင်း အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ဒေါင်လိုက်မျဉ်းပါရှိသော $|x|$ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) ကို 1841 ခုနှစ်တွင် ကားလ် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် က မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ပကတိတန်ဖိုးအတွက် အခြားအမည်များတွင် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ တန်ဖိုး (numerical value) နှင့် ပမာဏ (magnitude) တို့ ပါဝင်သည်။

ဒေါင်လိုက်မျဉ်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းသည် အခြားသင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအနေများတွင်လည်း ပါဝင်လာတတ်ပြီး အစု (set) တစ်ခုအပေါ် အသုံးချပါက ယင်းအစု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) ကို ရည်ညွှန်းကာ ကိန်းအုံ (matrix) တစ်ခုအပေါ် အသုံးချပါက ၎င်း၏ အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး (determinant) ကို ရည်ညွှန်းသည်။ ဒေါင်လိုက်မျဉ်းများသည် ပကတိတန်ဖိုးဟူသော သဘောတရားကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများ (algebraic objects) အတွက် အထူးသဖြင့် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော အစား အက္ခရာသင်္ချာ (normed division algebra) ၏ အစုဝင် (element) တစ်ခုအတွက်သာလျှင် ပကတိတန်ဖိုးအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။ အောက်ခြေအညွှန်းများပါရှိသော ဒေါင်လိုက်မျဉ်းနှစ်ထပ်များ ($\|\cdot \|_{2}$ နှင့် $\|\cdot \|_{\infty }$) ကို $\mathbb {R} ^{n}$ အတွင်းရှိ ဗက်တာ (vector) တစ်ခု၏ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း (Euclidean norm) သို့မဟုတ် စူပရီမမ် စံနှုန်း (supremum norm) အတွက် ယေဘုယျအားဖြင့် အသုံးပြုသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ဂုဏ်သတ္တိများ (Definition and properties)

ကိန်းစစ်များ (Real numbers)

မည်သည့်ကိန်းစစ် $x$ အတွက်မဆို $x$ ၏ ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ်ကို $|x|$ ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ $$|x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$

ထို့ကြောင့် $x$ ၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် အပေါင်းကိန်း သို့မဟုတ် သုညသာ အမြဲဖြစ်ပြီး မည်သည့်အခါမျှ အနုတ်ကိန်း မဖြစ်ပေ။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ကိန်းစစ်တစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် ကိန်းစစ်မျဉ်း (real number line) တစ်လျှောက် သုညမှ ယင်းကိန်း၏ အကွာအဝေးဖြစ်ပြီး ကိန်းစစ်နှစ်ခု၏ ခြားနားခြင်းရလဒ် (difference) ၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် ၎င်းတို့နှစ်ခုကြားရှိ အကွာအဝေးဖြစ်သည်။

နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) သင်္ကေတသည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) အပေါင်း နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းကို ကိုယ်စားပြုသောကြောင့် ၎င်းကို အပေါင်းကိန်းတစ်ခုအပေါ် အသုံးချသောအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိသည်။ $$|x|={\sqrt {x^{2}}}.$$ ဤထပ်တူညီသော (equivalent) ဖွဲ့စည်းဖော်ပြမှုကို အခြားရွေးချယ်စရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အဖြစ် အသုံးပြုနိုင်သည်။

ပကတိတန်ဖိုးတွင် အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ (fundamental properties) လေးခုရှိသည်။ ( ${\textstyle a}$ နှင့် ${\textstyle b}$ တို့မှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်ကြသည်။ )

$|a|\geq 0$	အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း (non-negativity)
$|a|=0\iff a=0$	အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive-definiteness)
$|ab|=\left|a\right|\left|b\right|$	မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ (multiplicativity)
$|a+b|\leq |a|+|b|$	နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု (subadditivity)၊ အတိအကျအားဖြင့် တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality)

အခြားအသုံးဝင်သော ဂုဏ်သတ္တိအချို့မှာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်၏ တိုက်ရိုက်ရလဒ်များ သို့မဟုတ် အထက်ပါ အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ လေးခုမှ ဆင်းသက်လာခြင်းများ ဖြစ်သည်။

${\bigl |}\left|a\right|{\bigr |}=|a|$	ထပ်တူရပေးဂုဏ်သတ္တိ (idempotence)
$\left|-a\right|=|a|$	ဂရပ်၏ အချိုးညီရောင်ပြန်ဟပ်ခြင်း (reflection symmetry)
$|a-b|=0\iff a=b$	ခွဲခြားမရနိုင်မှုများ၏ ထပ်တူညီမှု (identity of indiscernibles)၊ ၎င်းသည် အပေါင်းကိန်းသေချာမှုနှင့် ထပ်တူညီသည်။
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	တြိဂံ မညီမျှခြင်း၊ ၎င်းသည် နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှုနှင့် ထပ်တူညီသည်။
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\$၊ $b\neq 0$ ဖြစ်လျှင်	စားခြင်းကို ထိန်းသိမ်းခြင်း (preservation of division)
$|a-b|\geq {\bigl |}\left|a\right|-\left|b\right|{\bigr |}$	ပြောင်းပြန် တြိဂံ မညီမျှခြင်း (reverse triangle inequality)

မညီမျှခြင်းများ (inequalities) နှင့်ပတ်သက်သော အခြားအသုံးဝင်သည့် ဂုဏ်သတ္တိနှစ်ခုမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b\$ သို့မဟုတ် $a\geq b$

ကိန်းထွေးများ (Complex numbers)

ကိန်းထွေးများ သည် အစဉ်ကျသော (ordered) သဘာဝမရှိသောကြောင့် ကိန်းစစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို တိုက်ရိုက်အသုံးချ၍မရပေ။ သို့သော်လည်း သုညမှ အကွာအဝေးအဖြစ် ပကတိတန်ဖိုး၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ကောက်ယူမှု (geometric interpretation) ကို ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။ ကိန်းထွေးတစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးကို ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) အတွင်းရှိ ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သော အမှတ်မှ မူလနေရာ (origin) သို့ ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေး (Euclidean distance) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ မည်သည့် ကိန်းထွေး $$z=x+iy,$$ အတွက်မဆို $z$ ၏ ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ်ကို $|z|$ ဖြင့် သင်္ကေတပြုပြီး အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ $$|z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$$

ကိန်းထွေး $z$ တစ်ခုကို ၎င်း၏ ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ (polar form) ဖြင့် $z=re^{i\theta },$ အဖြစ် ဖော်ပြသောအခါ ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာ $|z|=r$ ဖြစ်သည်။

မည်သည့် ကိန်းထွေး $z$ နှင့် ၎င်း၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) ${\overline {z}}=x-iy$ တို့၏ မြှောက်လဒ် (product) သည် အမြဲတမ်း အနုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ် $\left(x^{2}+y^{2}\right)$ ဖြစ်သောကြောင့် $z$ ၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် $z\cdot {\overline {z}}$ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် ယင်းကို ပကတိ နှစ်ထပ်ကိန်း (absolute square) ဟုခေါ်သည်။ $$|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.$$

ကိန်းထွေး ပကတိတန်ဖိုးသည် ကိန်းစစ် ပကတိတန်ဖိုးအတွက် အထက်တွင်ဖော်ပြထားသော အခြေခံဂုဏ်သတ္တိ လေးခုနှင့် တူညီသည်။ $|z|^{n}=|z^{n}|$ ဟူသော ထပ်တူညီမှု (identity) သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ၏ အထူးအခြေအနေတစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းကိုယ်တိုင် မကြာခဏ အသုံးဝင်သည်။

ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင် (Absolute value function)

ကိန်းစစ် ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင် (absolute value function) သည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $x=0$ မှလွဲ၍ နေရာတိုင်းတွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (differentiable) ဖန်ရှင်အဖြစ် တွေ့ရသည်။ ၎င်းသည် $(-\infty ,0]$ အပိုင်းအခြား (interval) တွင် အစဉ်လိုက် လျော့သော (monotonically decreasing) ဖန်ရှင်ဖြစ်ပြီး $[0,+\infty )$ အပိုင်းအခြားတွင် အစဉ်လိုက် တိုးသော (monotonically increasing) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် စုံကိန်းဖန်ရှင် (even function) တစ်ခုဖြစ်ပြီး အပိုင်းလိုက် (piecewise) မျဉ်းဖြောင့် (linear) ဖြစ်သော ခုံးသော ဖန်ရှင် (convex function) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး နှစ်မျိုးစလုံးအတွက် ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်သည် ထပ်တူရပေးဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။

လက္ခဏာ၊ အကြီးဆုံးတန်ဖိုးနှင့် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး ဖန်ရှင်များဖြင့် ဆက်စပ်မှုများ (Relationships to sign, max, and min functions)

ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင် သည် လက္ခဏာကိုထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမရှိဘဲ တန်ဖိုးတစ်ခုကို ပြန်လည်ပေးပို့ပြီး လက္ခဏာ သို့မဟုတ် signum ဖန်ရှင် (sign function) မှာမူ တန်ဖိုးကိုထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမရှိဘဲ ကိန်းတစ်ခု၏ လက္ခဏာကို ပြန်လည်ပေးပို့သည်။ ၎င်းတို့၏ ဆက်စပ်မှုမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

$|x|=x\operatorname {sgn}(x),$

ထို့အပြင် $x\neq 0$ အတွက်

$\operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.$

$s,t\in \mathbb {R}$ အတွက် ပကတိတန်ဖိုးသည် အငယ်ဆုံးတန်ဖိုး (minimum) နှင့် အကြီးဆုံးတန်ဖိုး (maximum) ဖန်ရှင်များနှင့် အောက်ပါအတိုင်း ဆက်စပ်နေသည်။

$|t-s|=-2\min(s,t)+s+t$

$|t-s|=2\max(s,t)-s-t.$

ဤသည်မှတစ်ဆင့် $|t|=\max(t,-t)$ ကို ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။

ဆင်းသက်ချက်နှင့် ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (Derivative and Antiderivative)

ကိန်းစစ် ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်တွင် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရနိုင်သော $x=0$ မှလွဲ၍ မည်သည့် $x\neq 0$ အတွက်မဆို ဆင်းသက်ချက် (derivative) ရှိပြီး ၎င်းကို လက္ခဏာဖန်ရှင်နှင့် ညီမျှသော အဆင့် ဖန်ရှင် (step function) ဖြင့် ပေးထားသည်။ $${\frac {d\left|x\right|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0\end{cases}}=\operatorname {sgn}(x)\quad {\text{for }}x\neq 0.$$ $x=0$ ရှိ $|x|$ ၏ ဆပ်ဒစ်ဖရန်ရှယ် (subdifferential) သည် $[-1,1]$ အပိုင်းအခြားဖြစ်သည်။ ကိန်းထွေး ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်သည် နေရာတိုင်းတွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်နေရာတွင်မျှ ကိန်းထွေး ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍မရနိုင်ပေ။ $z\neq 0$ အတွက် ၎င်းသည် ကော်ချီ-ရီးမန်း ညီမျှခြင်းများ (Cauchy-Riemann equations) ကို ဖောက်ဖျက်သည်။

ကိန်းစစ် ပကတိတန်ဖိုး ဖန်ရှင်၏ ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (antiderivative) မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။

$\int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,$

ထိုနေရာတွင် $C$ သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း ကိန်းသေ (constant of integration) ဖြစ်သည်။

ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်း (chain rule) ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် ပကတိတန်ဖိုးနှင့် ပေါင်းစပ်ထားသော ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရနိုင်သည့် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဆင်းသက်ချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ ${d \over dx}|f(x)|=\operatorname {sgn}(f(x))f'(x)\quad {\text{for }}f(x)\neq 0\,.$ ချိတ်ဆက်စည်းမျဉ်းနှင့် မြှောက်လဒ်စည်းမျဉ်း (product rule) များကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် ကိန်းပြည့်များဖြစ်သော $n$ နှင့် $m$ တို့အတွက် $x^{n}|x|^{m}$ အမျိုးအစား ဖော်ပြချက်များ၏ ထပ်ကိန်းစည်းမျဉ်း (power rule) မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ ${d \over dx}x^{n}|x|^{m}=(n+m)x^{n-1}|x|^{m}\quad {\text{for }}x\neq 0\,.$

အကွာအဝေး (Distance)

ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး နှစ်ခု၏ ခြားနားခြင်းရလဒ်၏ ပကတိတန်ဖိုးသည် ၎င်းတို့ကြားရှိ အကွာအဝေးဖြစ်သည်။ ယူကလစ်ဒ် $n$-ရပ်ဝန်းရှိ အမှတ်နှစ်ခုဖြစ်သော $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ နှင့် $b=(b_{1},\dots ,b_{n})$ ကြားရှိ စံ ယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေးကို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ $${\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$$ ဤယူကလစ်ဒ် အကွာအဝေးသည် အတိုင်းအတာ 1 ခုရှိသော ကိန်းစစ်နှင့် အတိုင်းအတာ 2 ခုရှိသော ကိန်းထွေး ရပ်ဝန်းများအတွက် ပကတိတန်ဖိုး အကွာအဝေး၏ တိုက်ရိုက် ယေဘုယျပြုထားခြင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။

ပကတိတန်ဖိုး၏ ဂုဏ်သတ္တိများသည် အစု $X\times X$ အပေါ်ရှိ နဂိုမှန်အဆို (axioms) လေးခုနှင့် ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric သို့မဟုတ် distance function) $d$ ၏ ယေဘုယျသဘောတရားကို လှုံ့ဆော်ပေးသည်။

$d(a,b)\geq 0$	အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း
$d(a,b)=0\iff a=b$	ခွဲခြားမရနိုင်မှုများ၏ ထပ်တူညီမှု
$d(a,b)=d(b,a)$	အချိုးညီမှု (symmetry)
$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$	တြိဂံ မညီမျှခြင်း

ယေဘုယျပြုထားခြင်းများ (Generalizations)

အစဉ်ကျသော ကွင်းများ (Ordered rings)

အထက်တွင် ကိန်းစစ်များ အတွက် ပေးထားသော ပကတိတန်ဖိုး အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို မည်သည့် အပြည့်အဝ အစဉ်ကျသော ကွင်း (totally ordered ring) $R$ သို့မဆို တိုးချဲ့နိုင်သည်။ $a$ သည် $R$ ၏ အစုဝင် တစ်ခုဖြစ်ပါက ၎င်း၏ ပကတိတန်ဖိုးမှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ $$|a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.$$ ထိုနေရာတွင် $-a$ သည် $a$ ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (additive inverse) ဖြစ်ပြီး $0$ သည် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ (additive identity) ဖြစ်ကာ $<$ နှင့် $\geq$ တို့သည် ကွင်းအတွင်းရှိ အစဉ်ကျခြင်းနှင့် သက်ဆိုင်သည်။

ဖီးလ်ဒ်များ (Fields)

ဖီးလ်ဒ် $F$ တစ်ခုပေါ်ရှိ ကိန်းစစ် တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real-valued function) $v$ တစ်ခုသည် နဂိုမှန်အဆို လေးခုနှင့် ပြည့်စုံပါက ၎င်းကို ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် မော်ဂျူးလပ်စ်၊ ပမာဏ၊ တန်ဖိုးဖြတ်ခြင်း (valuation) ဟုခေါ်သည်။

$v(a)\geq 0$	အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း
$v(a)=0\iff a=\mathbf {0}$	အပေါင်းကိန်းသေချာမှု
$v(ab)=v(a)v(b)$	မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိ
$v(a+b)\leq v(a)+v(b)$	နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု / တြိဂံ မညီမျှခြင်း

ထိုနေရာတွင် $\mathbf {0}$ သည် $F$ ၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရကို ရည်ညွှန်းသည်။ အထက်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခဲ့သော ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး ပကတိတန်ဖိုးများသည် ဥပမာများဖြစ်သည်။

အကယ်၍ $v$ သည် $F$ ပေါ်ရှိ ပကတိတန်ဖိုးတစ်ခုဖြစ်ပါက $d(a,b)=v(a-b)$ ဖန်ရှင်သည် အကွာအဝေး ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး အောက်ပါအခြေအနေများသည် ထပ်တူညီကြသည်။

• $d$ သည် မည်သည့် $x,y,z\in F$ အတွက်မဆို လွန်ကဲအကွာအဝေး မညီမျှခြင်း (ultrametric inequality) $d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))$ ကို ပြည့်စုံစေသည်။
• $\left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}$ သည် $\mathbb {R}$ တွင် အကန့်အသတ်ရှိသည် (bounded)။
• မည်သည့် $n\in \mathbb {N}$ အတွက်မဆို $v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\$ ဖြစ်သည်။
• မည်သည့် $a\in F$ အတွက်မဆို $v(a)\leq 1\Rightarrow v(\mathbf {1} +a)\leq 1\$ ဖြစ်သည်။
• မည်သည့် $a,b\in F$ အတွက်မဆို $v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\$ ဖြစ်သည်။

ဤအခြေအနေများနှင့် ပြည့်စုံသော ပကတိတန်ဖိုးကို အာခီမီးဒီးစ် မဟုတ် (non-Archimedean) ဟုဆိုပြီး ထိုသို့မဟုတ်ပါက ၎င်းသည် အာခီမီးဒီးစ် (Archimedean) ဖြစ်သည်။

ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces)

ပကတိတန်ဖိုး $|\cdot |$ ပါရှိသည့် ဖီးလ်ဒ် $F$ တစ်ခုအပေါ်အခြေခံသော ဗက်တာရပ်ဝန်း $V$ ပေါ်ရှိ $\|\cdot \|$ အဖြစ် ဖော်ပြထားသော ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် တစ်ခုကို အောက်ပါတို့နှင့် ပြည့်စုံပါက ပကတိတန်ဖိုး သို့မဟုတ် စံနှုန်း အဖြစ် ခေါ်ဆိုသည်။

$\|\mathbf {v} \|\geq 0$	အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း
$\|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =\mathbf {0}$	အပေါင်းကိန်းသေချာမှု
$\|a\mathbf {v} \|=\left|a\right|\left\|\mathbf {v} \right\|$	တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု (absolute homogeneity) / အပေါင်း အရွယ်ပြောင်းခြင်း (positive scalability)
$\|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|$	နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု / တြိဂံ မညီမျှခြင်း

$\mathbb {R}$ ကို အတိုင်းအတာ 1 ခုရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း $\mathbb {R} ^{1}$ အဖြစ် စဉ်းစားသောအခါ ပကတိတန်ဖိုးသည် ၎င်း၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော စံနှုန်းဖြစ်ပြီး $\mathbb {R} ^{1}$ ပေါ်ရှိ မည်သည့်စံနှုန်း $\|\cdot \|$ အတွက်မဆို $\|x\|=\|1\|\cdot |x|$ ဖြစ်သည်ဟူသော သဘောဖြစ်သည်။

ပေါင်းစပ်ခြင်း အက္ခရာသင်္ချာများ (Composition algebras)

မည်သည့် ပေါင်းစပ်ခြင်း အက္ခရာသင်္ချာ (composition algebra) $A$ တွင်မဆို ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugation) ဟုခေါ်သော အင်ဗော်လူးရှင်း (involution) $x\to x^{*}$ တစ်ခု ရှိသည်။ $A$ အတွင်းရှိ အစုဝင် $x$ နှင့် ၎င်း၏ ကွန်ဂျူဂိတ် $x^{*}$ တို့၏ မြှောက်လဒ်ကို $N(x)=xx^{*}$ ဟု ရေးသားပြီး $x$ ၏ စံနှုန်း ဟု ခေါ်သည်။

ကိန်းစစ်များ $\mathbb {R}$၊ ကိန်းထွေးများ $\mathbb {C}$ နှင့် ကွာတာနီယွန်များ $\mathbb {H}$ တို့သည် သေချာသော နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများ (definite quadratic forms) ဖြင့် ပေးထားသည့် စံနှုန်းများပါရှိသော ပေါင်းစပ်ခြင်း အက္ခရာသင်္ချာများ ဖြစ်ကြသည်။ ဤအစား အက္ခရာသင်္ချာများ (division algebras) ရှိ ပကတိတန်ဖိုးကို ပေါင်းစပ်ခြင်း အက္ခရာသင်္ချာ စံနှုန်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းဖြင့် ပေးထားသည်။ အစုဝင် $x$ တစ်ခုတွင် သုညမဟုတ်သော စံနှုန်းရှိသောအခါ $x$ တွင် $x^{*}/N(x)$ ဖြင့် ပေးထားသည့် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (multiplicative inverse) တစ်ခု ရှိသည်။

ကိုးကား

• Baronti၊ Marco; De Mari၊ Filippo; van der Putten၊ Robertus; Venturi၊ Irene (2016)၊ Calculus Problems၊ Cham, Switzerland: Springer၊ doi:10.1007/978-3-319-15428-2၊ ISBN 978-3-319-15428-2၊ MR 3525203၊ Zbl 1351.00001
• Bartle၊ Robert G.; Sherbert၊ Donald R. (2011)၊ Introduction to Real Analysis (4th ed.)၊ Hoboken, NJ: John Wiley & Sons၊ ISBN 978-0-471-43331-6
• Bluttman၊ Ken (2015)၊ Excel Formulas and Functions For Dummies၊ Hoboken, NJ: John Wiley & Sons၊ ISBN 978-1-119-07678-0
• Carnot၊ Lazare Nicolas Marguerite (1806)၊ Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points quelconques pris dans l'espace၊ Paris: Courcier
• Curnier၊ A. (1999)၊ Wriggers၊ Peter; Panagiotopoulos၊ Panagiotis (eds.)၊ New Developments in Contact Problems၊ Vienna: Springer၊ doi:10.1007/978-3-7091-6419-8၊ ISBN 978-3-211-83154-0
• González၊ Mario O. (1992)၊ Classical Complex Analysis၊ New York: CRC Press၊ ISBN 978-0-8247-8415-7၊ MR 1152326၊ Zbl 0775.30001
• Higham၊ Nicholas J. (1998)၊ Handbook of Writing for the Mathematical Sciences (2nd ed.)၊ Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics၊ ISBN 978-0-89871-420-3
• Knuth၊ Donald E. (1962)၊ "Invited papers: History of writing compilers"၊ Proceedings of the 1962 ACM National Conference၊ New York: ACM Press၊ doi:10.1145/800198.806098
• Littré၊ Émile (1877)၊ Dictionnaire de la langue française၊ Paris: Hachette
• Mac Lane၊ Saunders; Birkhoff၊ Garrett (1999)၊ Algebra (3rd ed.)၊ Providence, RI: American Mathematical Society၊ ISBN 978-0-8218-1646-2၊ MR 1680053၊ Zbl 0932.00001
• Mendelson၊ Elliott (2008)၊ Schaum's Outline of Beginning Calculus (3rd ed.)၊ New York: McGraw-Hill Professional၊ ISBN 978-0-07-148754-2
• Munkres၊ James (1991)၊ Analysis on Manifolds၊ Boulder, CO: Westview Press၊ ISBN 978-0-201-51035-5၊ MR 1079015၊ Zbl 0725.26012
• Nahin၊ Paul J. (1998)၊ An Imaginary Tale: The Story of \sqrt{-1}၊ Princeton, NJ: Princeton University Press၊ ISBN 978-0-691-02795-1၊ MR 1633979
• O'Connor၊ J. J.; Robertson၊ E. F. (2001)၊ Jean Robert Argand၊ Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews
• Oxford English Dictionary (June 2008)၊ Draft Revision၊ Oxford University Press
• Sargent၊ Murray III (January 22, 2025)၊ A Nearly Plain-Text Encoding of Mathematics (PDF) (Unicode report 28)
• Shechter၊ Eric (1997)၊ Handbook of Analysis and Its Foundations၊ San Diego, CA: Academic Press၊ ISBN 978-0-12-622760-4၊ MR 1417259၊ Zbl 0863.00001
• Siegel၊ Carl Ludwig (1942)၊ "Note on automorphic functions of several variables"၊ Annals of Mathematics၊ Second Series၊ 43 (4)၊ doi:10.2307/1968953၊ MR 0008095၊ Zbl 0063.02983
• Smith၊ Karl (2013)၊ Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving (6th ed.)၊ Burlington, MA: Jones & Bartlett Publishers၊ ISBN 978-0-7637-5177-7
• Spivak၊ Michael (1965)၊ Calculus on Manifolds၊ Boulder, CO: Westview Press၊ ISBN 978-0-8053-9021-6၊ MR 0204620၊ Zbl 0141.05405
• Stewart၊ James B. (2001)၊ Calculus: Concepts and Contexts (2nd ed.)၊ Pacific Grove, CA: Brooks/Cole၊ ISBN 978-0-534-37718-2
• Tabak၊ John (2014)၊ Geometry: The Language of Space and Form၊ Facts on File Math Library၊ New York: Infobase Publishing၊ ISBN 978-0-8160-6876-0
• Varberg၊ Dale E.; Purcell၊ Edwin J.; Rigdon၊ Steven E. (2007)၊ Calculus (9th ed.)၊ Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall၊ ISBN 978-0-13-146968-6
• Weisstein၊ Eric W. (2023)၊ Absolute Value၊ Wolfram Web Resource