နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု

ကိန်းနှစ်ခုပါဝင်သော အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှု (algebraic operation) တစ်ခုသည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ် (Cartesian product) $A\times A$ မှ အစု $A$ ကိုယ်တိုင်ဆီသို့ သက်ရောက်သော ဖန်ရှင် $f\colon A\times A\to A$ တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary) သည် ထည့်သွင်းရမည့် ကိန်းအရေအတွက် (arity) $n=2$ ဖြစ်သည့် n-လုံးသွင်း တွက်ချက်မှု (n-ary operation) $f\colon A^{n}\to A$ ၏ တိကျသော ပုံစံတစ်မျိုး ဖြစ်သည်။ အစုဝင်များဖြစ်သော $a,b\in A$ အပေါ် တွက်ချက်မှု သက်ရောက်ခြင်းကို စံပြုထားသော ဖန်ရှင်ဆိုင်ရာ ရှေ့ဆက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (prefix notation) ဖြင့် $f(a,b)$ ဟု ရေးသားနိုင်သည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အခြေအနေအချို့တွင် $a\,b\,f$ သို့မဟုတ် $(a,b)f$ ကဲ့သို့သော နောက်ဆက် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (postfix notation) ကို အသုံးပြုကြသည်။ သို့သော်လည်း အများအားဖြင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများကို $a\star b$ ဟူသော အလယ်ထည့် သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (infix notation) ကို အသုံးပြု၍ ဖော်ပြလေ့ရှိသည်။ ဤနေရာတွင် $\star$ သည် တွက်ချက်မှု သင်္ကေတ ဖြစ်သည်။ ကိန်း အတန်းအစားအမျိုးမျိုး၏ ပေါင်းခြင်း၊ နုတ်ခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းတို့ အပါအဝင် စံ ဂဏန်းသင်္ချာ လုပ်ငန်းစဉ်များသည် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ၏ ထင်ရှားသော ဥပမာများ ဖြစ်ကြသည်။

ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာတွင် $A$ ပေါ်ရှိ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုကို အပြည့်အဝ ဖန်ရှင် (total function) တစ်ခုအဖြစ် တိကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ၎င်းတွက်ချက်မှုကို $A\times A$ အတွင်းရှိ ဖြစ်နိုင်သမျှ အတွဲတိုင်းအတွက် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားရမည် ဖြစ်သည်။ $A$ ပေါ်ရှိ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (partial binary operation) သည် ဤလိုအပ်ချက်ကို ဖြေလျှော့ပေးထားသည်။ ၎င်း၏ အရင်းအမြစ်စု (domain) သည် $A\times A$ ၏ အစုပိုင်းအစစ် (proper subset) ဖြစ်သော ဖန်ရှင်တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ်များ၏ စားခြင်းသည် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုအဖြစ် သက်ရောက်မှုရှိသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် သုညဖြင့် စားခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်မထားသောကြောင့် ဖြစ်သည်။

အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများကို မကြာခဏ ဖော်ပြလေ့ရှိသည့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ၏ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများတွင် အောက်ပါတို့ ပါဝင်သည်။

• ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Commutativity): $a\star b=b\star a$
• ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Associativity): $a\star (b\star c)=(a\star b)\star c$
• ထပ်တူရပေးဂုဏ်သတ္တိ (Idempotence): $a\star a=a$