နုတ်ခြင်း

နုတ်ခြင်း (Subtraction) သည် ပေါင်းခြင်း (addition) ၏ ပြောင်းပြန်ဖြစ်သော ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှု (arithmetical operation) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ပေးထားသော ပေါင်းလဒ်တစ်ခုနှင့် အခြားပေးထားသော ကိန်းတစ်ခုတို့မှ ကျန်ရှိနေသော ကိန်းတစ်ခုကို ရှာဖွေခြင်းဖြစ်သည်။ အဆိုပါ ပေးထားသော ပေါင်းလဒ်ကို တည်ကိန်း (minuend) ဟုခေါ်ပြီး ပေးထားသော အခြားကိန်းကို နုတ်ကိန်း (subtrahend) ဟုခေါ်ကာ ရှာဖွေရမည့်ကိန်းကို ခြားနားခြင်းရလဒ် (difference) ဟုခေါ်သည်။ နုတ်ခြင်းကို - (အနုတ်) သင်္ကေတဖြင့် ဖော်ပြသည်။ ထို့ကြောင့် $a-b=c$ ဟူသော ဖော်ပြချက်တွင် $a$ သည် တည်ကိန်းဖြစ်ပြီး $b$ သည် နုတ်ကိန်းဖြစ်ကာ $c$ သည် ခြားနားခြင်းရလဒ်ဖြစ်သည်။

ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties)

• ဖလှယ်ရဆန့်ကျင်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိ (Anti-commutativity)- နုတ်ခြင်းတွင် ဖလှယ်ရဆန့်ကျင်ခြင်းဂုဏ်သတ္တိ (anti-commutativity) ရှိသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ခြားနားခြင်းရလဒ်တစ်ခုရှိ ကိန်းများကို ဘယ်မှညာသို့ ပြောင်းပြန်လှန်လိုက်ပါက မူလရလဒ်၏ အနုတ်တန်ဖိုးကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတများဖြင့် ဖော်ပြရလျှင် $a$ နှင့် $b$ သည် အလိုရှိရာ ကိန်း (number) နှစ်ခုဖြစ်ပါက $a-b=-(b-a)$ ဖြစ်သည်။
• ဖက်စပ်၍မရသော ဂုဏ်သတ္တိ (Non-associativity)- နုတ်ခြင်းတွင် ဖက်စပ်၍မရသော ဂုဏ်သတ္တိ (non-associativity) ရှိပြီး ၎င်းကို ထပ်ကျော့နုတ်ခြင်းကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ရှင်းလင်းစွာ မြင်တွေ့နိုင်သည်။ $a-b-c$ ဟူသော ဖော်ပြချက်သည် $(a-b)-c$ သို့မဟုတ် $a-(b-c)$ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရနိုင်ပြီး ၎င်းတို့သည် မတူညီသော အဖြေများကို ထွက်ပေါ်စေသည်။ ဤရှုပ်ထွေးမှုကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ အစီအစဉ်တစ်ခုကို သတ်မှတ်ထားရမည်ဖြစ်သည်။ စံသတ်မှတ်ချက်အရ ဘယ်မှညာသို့ တွက်ချက်သည်။
• ထပ်တူရ (Identity)- သုညသည် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် (additive identity element) ဖြစ်သောကြောင့် ကိန်းတစ်ခုထဲမှ ၎င်းကို နုတ်ခြင်းသည် မူလကိန်းကို မပြောင်းလဲစေပေ။ ထို့ကြောင့် $a-0=a$ ဖြစ်သည်။

ရုပ်ပုံဖြင့် ဖော်ပြချက်

ဘယ်ဘက်အစွန်းကို $a$ ဟု သတ်မှတ်ထားပြီး ညာဘက်အစွန်းကို $c$ ဟု သတ်မှတ်ထားသော အလျား (length) $b$ ရှိသည့် မျဉ်းပိုင်း (line segment) တစ်ခုကို စိတ်ကူးကြည့်ပါ။ $a$ မှ စတင်၍ $c$ သို့ရောက်ရန် ညာဘက်သို့ ခြေလှမ်း $b$ လှမ်း လှမ်းရမည်ဖြစ်သည်။ ဤညာဘက်သို့ ရွေ့လျားမှုကို ပေါင်းခြင်းဖြင့် သင်္ချာနည်းကျ ပုံစံဖော်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $a+b=c$ ဖြစ်သည်။

$c$ မှနေ၍ $a$ သို့ ပြန်ရောက်ရန် ဘယ်ဘက်သို့ ခြေလှမ်း $b$ လှမ်း လှမ်းရမည်ဖြစ်သည်။ ဤဘယ်ဘက်သို့ ရွေ့လျားမှုကို နုတ်ခြင်းဖြင့် ပုံစံဖော်နိုင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $c-b=a$ ဖြစ်သည်။

ကိန်း နယ်ပယ်များ (Domains of Numbers)

သဘာဝကိန်းများ (Natural Numbers)

သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) ၏ နုတ်ခြင်းတွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closed property) မရှိပေ။ တည်ကိန်းသည် နုတ်ကိန်းထက် ငယ်နေပါက ခြားနားခြင်းရလဒ်သည် သဘာဝကိန်း မဖြစ်နိုင်ပေ။ ထို့ကြောင့် သဘာဝကိန်းများ၏ မိုနွိုက် (monoid) အပေါ်တွင် နုတ်ခြင်းသည် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ဖန်ရှင် (partial function) တစ်ခုသာ ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် သဘာဝကိန်းတစ်ခု ရရှိစေရန် ၁၁ ထဲမှ ၂၆ ကို နုတ်၍မရနိုင်ပေ။ ကိန်းမျဉ်း (number line) တစ်ခုပေါ်တွင် နေရာ ၃ မှနေ၍ ဘယ်ဘက်သို့ ၃ လှမ်း လှမ်းပါက သုညသို့ ရောက်ရှိမည်ဖြစ်ပြီး $3-3=0$ ဟု ဖော်ပြနိုင်သည်။ သို့သော် ဘယ်ဘက်သို့ ၄ လှမ်း လှမ်းရန် ကြိုးစားခြင်းဖြစ်သော $3-4$ သည် သဘာဝကိန်းများ၏ သဘောတရားအရ အကျုံးမဝင်ပေ။

ကိန်းပြည့်များ (Integers)

သဘာဝကိန်းများ၏ ကန့်သတ်ချက်များကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကိန်းမျဉ်းကို ကိန်းပြည့်များ (integers) ပါဝင်လာစေရန် တိုးချဲ့ထားသည်။ ဤကိန်းပြည့်များတွင် $...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...$ တို့ ပါဝင်သည်။ ဤနယ်ပယ်တွင် ၃ မှနေ၍ ဘယ်ဘက်သို့ ၄ လှမ်း လှမ်းပါက -၁ ရလဒ်ထွက်ပေါ်မည်ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $3-4=-1$ ဖြစ်သည်။ သဘာဝကိန်းများနှင့်မတူဘဲ ကိန်းပြည့်များတွင် နုတ်ခြင်းသည် သင်္ချာနည်းကျ အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ ပြည့်စုံသည်။ ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် ၎င်းကို အပြည့်အဝ တွက်ချက်မှု (total operation) $s:\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ အဖြစ် သတ်မှတ်ထားသည်။ ဤနေရာတွင် $s(a,b)=a-b$ ဖြစ်သည်။

ကိန်းစစ်များ (Real Numbers)

ကိန်းစစ်များ (real numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် (field) ကို ပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်း (multiplication) ဟူသော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) နှစ်ခုတည်းကိုသာ သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။ ယင်းအပြင် အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (additive inverse) နှင့် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် (multiplicative inverse) တို့ကို ထုတ်ပေးသော တစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများ (unary operations) လည်း ပါဝင်သည်။ ထို့ကြောင့် တည်ကိန်းဖြစ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုထဲမှ နုတ်ကိန်းဖြစ်သော အခြားကိန်းစစ်တစ်ခုကို နုတ်ခြင်းကို တည်ကိန်းနှင့် နုတ်ကိန်း၏ အပေါင်းဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန်တို့ကို ပေါင်းခြင်းအဖြစ် တိကျသေချာစွာ သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $3-\pi =3+(-\pi )$ ဖြစ်သည်။ အခြားတစ်နည်းအားဖြင့် နုတ်ခြင်းနှင့် စားခြင်းတို့၏ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုများကို အခြေခံအဖြစ် နဂိုမှန်အဆိုနည်းကျ (axiomatically) သတ်မှတ်နိုင်သည်။