ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်း

ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်း (Diophantine equation) သို့မဟုတ် ညီမျှခြင်းများ စနစ် (system of equations) သည် ပုံမှန်အားဖြင့် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (integer coefficients) ပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း (polynomial equation) $P(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0$ ဖြစ်သည်။ ယင်းညီမျှခြင်းများ၏ အဖြေများ (solutions) ကို ကိန်းပြည့်များ (integers) သို့မဟုတ် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (rational numbers) တွင်သာ ကန့်သတ်ထားသည်။ ယင်းတို့ကို ကိန်းပြည့်များအပေါ်တွင် ရှေးရိုးစဉ်လာအားဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ ပေးလေ့ရှိသော်လည်း ခေတ်သစ်လေ့လာမှုများတွင် မြှောက်ဖော်ကိန်းများနှင့် အဖြေ ရပ်ဝန်းများ (solution spaces) အား အလိုရှိရာ ကိန်း ဖီးလ်ဒ်များ (number fields) ဆီသို့ သဘာဝကျကျ တိုးချဲ့ထားသည်။ ဤညီမျှခြင်းများတွင် ပါဝင်သော မသိကိန်းများ (unknowns) အရေအတွက်သည် ညီမျှခြင်းအရေအတွက်ထက် ပုံမှန်အားဖြင့် ပိုများလေ့ရှိသည်။ ထို့ကြောင့် ၎င်းတို့ကို မရေမရာ ညီမျှခြင်းများ (indefinite equations) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။

ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်းသည် ကိန်းသီအိုရီ (number theory) ၏ အဓိကမဏ္ဍိုင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ခေတ်သစ်သင်္ချာ (modern mathematics) တွင် ဤသဘောတရားကို ပိုမိုကျယ်ပြန့်လာစေရန် တိုးချဲ့ထားသည်။ ယင်းတွင် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (rational field) $\mathbb {Q}$ မှ အမျိုးမျိုးသော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးချဲ့ချက်များ (algebraic extensions) ၏ ကိန်းပြည့်ရင်းများ (algebraic integers) အတွင်း၌ အဖြေရှာသော ညီမျှခြင်းများ ပါဝင်လာသည်။ ထို့အပြင် p-အခြေခံကိန်းများ (p-adic numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် အတွင်း၌ အဖြေရှာသော ညီမျှခြင်းများလည်း ပါဝင်လာသည်။ ဤပညာရပ်နယ်ပယ်သည် ကိန်းသီအိုရီ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (algebraic geometry) တို့ ပေါင်းဆုံရာတွင် တည်ရှိသည်။ ယင်းနယ်ပယ်ကို ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ဂျီဩမေတြီ (Diophantine geometry) သို့မဟုတ် ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (arithmetic geometry) ဟု မကြာခဏ ခေါ်ဆိုကြသည်။

သမိုင်း (History)

ညီမျှခြင်းများအတွက် ကိန်းပြည့် အဖြေများ ရှာဖွေခြင်းသည် အစောဆုံးသော သင်္ချာဆိုင်ရာ ပြဿနာများအနက်မှ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤပြဿနာသည် ဘီစီ နှစ်ထောင်စုနှစ်ရှိ ဘေဘီလုံလူမျိုးများအထိ သက်တမ်းရှိသည်။ ဤဘာသာရပ်ကို ရှေးဟောင်း ဂရိခေတ်တွင် ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ အထူးသဖြင့် အေဒီ ၃ ရာစုတွင် ဒိုင်အိုဖန်းတပ်စ် (Diophantus) က သူ၏ ဂဏန်းသင်္ချာ (Arithmetica) ကျမ်းတွင် ရေးသားဖော်ပြခဲ့သည်။

ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းရန်မှာ အလွန်ခက်ခဲကြောင်း နာမည်ကြီးသည်။ ထို့ပြင် အလုံးစုံအကျုံးဝင်သော ဖြေရှင်းနည်းလမ်းလည်း မရှိပေ။ မာတင် ဒေးဗစ်၊ ယူရီ မာတီယာဆီဗစ်ချ်၊ ဟီလာရီ ပွတ်တနမ် နှင့် ဂျူလီယာ ရော်ဘင်ဆန် (Martin Davis, Yuri Matiyasevich, Hilary Putnam, and Julia Robinson) တို့ကို အစွဲပြု၍ မှည့်ခေါ်ထားသော အမ်အာဒီပီ သီအိုရမ် (MRDP theorem) ဖြင့် ယင်းအချက်ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ဤသီအိုရမ်သည် ဟီလ်ဘတ် ၏ ဒသမမြောက် ပြဿနာ (Hilbert's tenth problem) ကိုလည်း ဖြေရှင်းပေးခဲ့သည်။ ဤသက်သေပြချက်အရ အလိုရှိရာ ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်း (arbitrary polynomial equation) $F(x_{1},\dots ,x_{n})=0$ တစ်ခုတွင် ကိန်းပြည့် အဖြေများ ရှိမရှိကို ဆုံးဖြတ်ပေးနိုင်မည့် ယေဘုယျ အဆင့်ဆင့်တွက်နည်း (algorithm) မတည်ရှိနိုင်ကြောင်း သိရသည်။

ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများ၏ အဓိက အတန်းအစားများ (Major Classes of Diophantine Equations)

မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ (Linear Equations)

အရှင်းလင်းဆုံးသော ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းမှာ $ax+by=1$ ဟူသော မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်း (linear equation) ဖြစ်သည်။ ၁၇ ရာစုတွင် ကလော့ဒ် ဂတ်စ်ပါ ဘာရှေး ဒီ မီဇီရီရတ် (Claude Gaspard Bachet de Méziriac) က ဤညီမျှခြင်းကို ယေဘုယျ သီအိုရီ (general theory) အဖြစ် တိုးတက်စေခဲ့သည်။ အကယ်၍ $a$ နှင့် $b$ တို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓ ကိန်းပြည့်များ (coprime integers) ဖြစ်ပါက ဤညီမျှခြင်းတွင် အဆုံးမဲ့များပြားသော အဖြေများ ရှိသည်။ $(x_{0},y_{0})$ သည် အဖြေတစ်ခုဖြစ်ပါက အဖြေများအားလုံးသည် $x=x_{0}+bn$ နှင့် $y=y_{0}-an$ ပုံစံကို ယူကြသည်။ ထိုနေရာတွင် $n$ သည် မည်သည့်ကိန်းပြည့်မဆို ဖြစ်နိုင်သည်။

နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများနှင့် ပုံစံများ (Quadratic Equations and Forms)

$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$ ပုံစံရှိ ယေဘုယျ ကိန်းရှင်နှစ်ခုပါ နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) ကို ဖဲမ၊ အွိုင်လာ နှင့် လာဂေါင့် (Fermat, Euler, and Lagrange) တို့က ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် လေ့လာခဲ့ကြသည်။ လာဂေါင့်သည် ဆက်တိုက်အပိုင်းကိန်းများကို (continued fractions) အသုံးပြု၍ လေ့လာခဲ့သည်။ ဂေါက်စ် (Gauss) သည်လည်း နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများ (quadratic forms) ကို အသုံးပြု၍ လေ့လာခဲ့သည်။

• ပိုက်သာဂိုရပ်စ် သုံးခုတွဲများ (Pythagorean Triples) - $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ ညီမျှခြင်းသည် ထောင့်မှန်တြိဂံများ၏ အနားအလျားများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။ နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်သော ကိန်းပြည့် အဖြေများ အားလုံးကို $x=m^{2}-n^{2}$၊ $y=2mn$ နှင့် $z=m^{2}+n^{2}$ ဟူ၍ ကိန်းရှင်ကြားခံညီမျှခြင်းများဖြင့် (parametric equations) ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤနေရာတွင် $m$ နှင့် $n$ တို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓဖြစ်ပြီး $m>n>0$ အခြေအနေရှိရမည်ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် $m$ သို့မဟုတ် $n$ နှစ်ခုအနက်မှ တစ်ခုတိတိသည် စုံကိန်း (even) ဖြစ်ရမည်။
• ကိန်းများ၏ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှုများ (Representations of Numbers) - လာဂေါင့်၏ လေးထပ်ကိန်းလေးခုပေါင်း သီအိုရမ် (Lagrange's four-square theorem) ($x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}=N$) ကဲ့သို့သော နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများဖြင့် ကိန်းများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြခြင်းသည် သေချာစွာ စူးစမ်းလေ့လာထားသော ဘာသာရပ်ခွဲတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်များ (real numbers) ဖြင့်သော်လည်းကောင်း၊ သုဒ္ဓကိန်း (prime) $p$ တိုင်းအတွက် p-အခြေခံကိန်းများဖြင့်သော်လည်းကောင်း ဖြေရှင်း၍ရနိုင်ခြင်းသည် $\sum a_{ij}x_{i}x_{j}=b$ နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံတွင် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော ရာရှင်နယ် အဖြေ (non-trivial rational solution) ရှိစေရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) ဖြစ်ကြောင်း မင်ကော့စကီး-ဟပ်ဆေး သီအိုရမ် (Minkowski–Hasse theorem) က ဆိုသည်။

ပိုမိုမြင့်မားသော ဒီဂရီရှိသည့် ညီမျှခြင်းများ (Higher-Degree Equations)

ဒီဂရီ ၃ နှင့်အထက်ရှိသော ညီမျှခြင်းများတွင် ကြီးမားသော တိုးတက်မှုများကို ၂၀ ရာစုအတွင်း အများဆုံး ရရှိခဲ့သည်။

• သူး ညီမျှခြင်းများ (Thue Equations) - သူး (Thue) က $F(x,y)=c$ ပုံစံရှိ ညီမျှခြင်းများတွင် ကိန်းပြည့် အဖြေအရေအတွက် အများဆုံး အဆုံးရှိတစ်ခုသာရှိကြောင်း ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ထိုနေရာတွင် $F$ သည် $\mathbb {Z}$ အပေါ်ရှိ ဒီဂရီ $n\geq 3$ ပါဝင်သော တစ်ပြေးညီ (homogeneous) ဆမခွဲနိုင်သော ပိုလီနိုမီရယ် (irreducible polynomial) ဖြစ်ပြီး $c$ သည် သုညမဟုတ်သော ကိန်းပြည့် ဖြစ်သည်။ ဤဖော်ထုတ်ချက်သည် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှုများ (Diophantine approximations) သီအိုရီအပေါ် များစွာ မှီခိုနေပြီး သူး-ဆီးဂဲလ်-ရော့သ် သီအိုရမ် (Thue–Siegel–Roth theorem) အထိ ရောက်ရှိခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် ဘေကာ (Baker) က ဤအဖြေများအတွက် ထိရောက်သော အထက်အောက် ဘောင်ခတ်ခြင်းဆိုင်ရာ သီအိုရမ်များကို (effective bounds) ရရှိခဲ့သည်။
• ဖဲမ ၏ နောက်ဆုံး သီအိုရမ် (Fermat's Last Theorem) - $n\geq 3$ အတွက် $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ဟူသော ညီမျှခြင်းသည် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ညီမျှခြင်း၏ သဘာဝကျသော ယေဘုယျပြုထားခြင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။ $n=4$ အတွက် အသေးအဖွဲမဟုတ်သော အဖြေများ မရှိကြောင်းကို ဖဲမ က သက်သေပြခဲ့သည်။ နောက်ပိုင်းတွင် အွိုင်လာ (Euler) က $n=3$ အခြေအနေအတွက် သက်သေပြနိုင်ခဲ့သဖြင့် ယေဘုယျပြဿနာကို မကိန်း သုဒ္ဓကိန်း ထပ်ကိန်းများအတွက်သာ လေ့လာရန် လျှော့ချနိုင်ခဲ့သည်။ ဤညီမျှခြင်းကို စုံစမ်းလေ့လာခြင်းက ကိန်းပြည့်ရင်းများ၏ ကွင်းများ (rings of algebraic integers) တွင် သုဒ္ဓဆခွဲကိန်းခွဲခြင်း (prime factorization) ဆိုင်ရာ သီအိုရီများ တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာစေခဲ့သည်။
• စံနှုန်း ညီမျှခြင်းများ (Norm Equations) - $N(\alpha _{1}x_{1}+\dots +\alpha _{k}x_{k})=m$ ပုံစံရှိ ညီမျှခြင်းများတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ စံနှုန်း (norm) ကို တွက်ယူလိုက်သောအခါ ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် တစ်ခုကို ရရှိသည်။ ဤညီမျှခြင်းမျိုးတွင် ပဲ့လ်၏ ညီမျှခြင်း (Pell's equation) ($x^{2}-dy^{2}=1$) လည်း ပါဝင်သည်။

ခေတ်သစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ နှင့် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ နည်းလမ်းများ (Modern Analytical and Geometric Methods)

စက်ဝိုင်း နည်းလမ်း (The Circle Method)

ကိန်းများကို တတိယ ဒီဂရီ သို့မဟုတ် ၎င်းထက်ပို၍ မြင့်မားသော အလိုရှိရာ ပုံစံများဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြရန်အတွက် တြီဂိုနိုမေတြီ (trigonometric) ပေါင်းလဒ်များ နည်းလမ်းနှင့် ဟာဒီ-လစ်တဲဝုဒ် စက်ဝိုင်း နည်းလမ်း (Hardy–Littlewood circle method) တို့ကို အဓိကအားဖြင့် အသုံးပြုကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $x_{1}^{3}+\dots +x_{9}^{3}=M$ ဟူသော ပုံစံမျိုးဖြစ်သည်။ ဤနည်းလမ်းသည် အဖြေအရေအတွက်ကို ဖူရီယာ အင်တီဂရယ် (Fourier integral) အဖြစ် ဖော်ပြသည်။ ထို့နောက် အဆိုပါပြဿနာကို သက်ဆိုင်ရာ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက်များ (congruences) ၏ အဖြေအရေအတွက်ရှာခြင်းဆီသို့ လျှော့ချပေးသည်။

ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ (Arithmetic Geometry)

ခေတ်သစ် တိုးတက်မှုများတွင် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂျီဩမေတြီ ကို များစွာ အသုံးပြုကြသည်။ ဖေါလ်တင်းစ် (Faltings) ၏ မော်ဒဲလ် ယူဆချက် (Mordell conjecture) အပေါ် သက်သေပြချက်သည် သမိုင်းမှတ်တိုင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဤယူဆချက်အရ ကိန်း ဖီးလ်ဒ် (number field) တစ်ခုအပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော မျိုးစု (genus) 1 ထက်ကြီးသည့် ချောမွေ့သော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မျဉ်းကွေးများ (smooth algebraic curves) ၌ ရာရှင်နယ် အမှတ်များ (rational points) အရေအတွက်မှာ အဆုံးရှိသာ ဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြထားသည်။ $n>3$ ဖြစ်သောအခါ ဖဲမ ညီမျှခြင်း $x^{n}+y^{n}=1$ သည် မျိုးစု $g\geq 3$ ရှိသော မျဉ်းကွေးတစ်ခုကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ပေးသည်။ ထို့ကြောင့် ဖေါလ်တင်းစ်၏ သီအိုရမ်အရ ဤထပ်ကိန်းများအတွက် ယင်းညီမျှခြင်း၌ ရာရှင်နယ် အဖြေ အရေအတွက်မှာ အဆုံးရှိသာဖြစ်ကြောင်းကို တိုက်ရိုက် ရည်ညွှန်းနေသည်။

ဘရောင်ဝါ-မန်နင် တားဆီးမှု (The Brauer–Manin Obstruction)

သုံးထပ်ကိန်း ပုံစံများနှင့် နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံစံများ စနစ်များအတွက် မန်နင် (Manin) မိတ်ဆက်ခဲ့သော ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ (cohomological) နည်းလမ်းများသည် ဟပ်ဆေး မူဝါဒ (Hasse principle) ကို တားဆီးမှုတစ်ခု ဖြစ်စေသည်။ ဟပ်ဆေး မူဝါဒကို ဒေသအလိုက်-အလုံးစုံ မူဝါဒ (local–global principle) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ယင်းကို ဘရောင်ဝါ-မန်နင် တားဆီးမှု (Brauer–Manin obstruction) ဟု သိကြပြီး ရာရှင်နယ် မျက်နှာပြင်များ (rational surfaces) ၏ သဘာဝကို ရှင်းပြပေးသည်။ ဒေသအလိုက် အဖြေများ တည်ရှိနေသော်လည်း ဟပ်ဆေး မူဝါဒ ကျရှုံးရသည့် အခြေအနေများကို ယင်းက အောင်မြင်စွာ ဖြေရှင်းပေးနိုင်သည်။

ကိုးကား

• "Diophantine equations"၊ Encyclopedia of Mathematics