ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း

သင်္ချာပညာတွင် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (differential equation) သည် မသိဖန်ရှင် (unknown function) တစ်ခု သို့မဟုတ် တစ်ခုထက်ပိုသော ဖန်ရှင်များကို ၎င်းတို့၏ အဆင့်ဆင့်သော ဆင်းသက်ချက် (derivative) များနှင့် ဆက်စပ်ပေးသည့် ညီမျှခြင်း (equation) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဖန်ရှင်နယ် (functional) ညီမျှခြင်း၏ တိကျသော အမျိုးအစားတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤဝေါဟာရကို အခြားအထူးပြုချက်မပါဘဲ အသုံးပြုသောအခါ ၎င်းသည် ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (ordinary differential equation) ကို ရည်ညွှန်းလေ့ရှိသည်။ ဤညီမျှခြင်းတွင် မသိဖန်ရှင်များသည် ကိန်းရှင် (variable) တစ်ခုတည်းအပေါ်တွင်သာ မှီခိုနေသည်။

ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများသည် ရူပဗေဒ၊ ဘောဂဗေဒ၊ ဇီဝဗေဒနှင့် အင်ဂျင်နီယာ သိပ္ပံပညာရပ်များ (engineering sciences) ရှိ အမျိုးမျိုးသော ဖြစ်စဉ်များကို မော်ဒယ် (model) တည်ဆောက်ရာတွင် အလွန်အရေးကြီးသည်။ ၎င်းတို့သည် ပမာဏ (quantity) တစ်ခုကို ၎င်း၏ ပြောင်းလဲနှုန်းများ (rates of change) သို့မဟုတ် ပိုမိုမြင့်မားသောအဆင့် ဆင်းသက်ချက် (higher-order derivative) များနှင့် တိုက်ရိုက် ဆက်စပ်ပေးသည်။ ရိုးရှင်းသော ညီမျှခြင်းများတွင် တိကျသော (exact) ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ အဖြေများ (analytical solutions) ရှိသော်လည်း အများစုတွင် ထိုသို့မရှိပေ။ တိကျသော အဖြေများကို မရရှိနိုင်သောအခါ အဖြေများ၏ ဂုဏ်သတ္တိ (property) များကို ဒိုင်းနမစ်စနစ်များ (dynamical systems) သီအိုရီ (theory) ကို အသုံးပြု၍ အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (qualitative analysis) ပြုလုပ်နိုင်သည်။ သို့မဟုတ် ခေတ်သစ် ကွန်ပျူတာနည်းပညာများဖြင့် အလွန်ထိရောက်မှုရှိစေရန် ဖန်တီးထားသော ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ နည်းလမ်းများ (numerical methods) ကို အသုံးပြု၍ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (approximation) ကိုလည်း ပြုလုပ်နိုင်သည်။

မက္ကင်းနစ်မှ ဥပမာ (Example from mechanics)

ကလပ်စစ်ကယ် မက္ကင်းနစ် (classical mechanics) တွင် နယူတန် ၏ ရွေ့လျားမှု နိယာမများသည် အရာဝတ္ထုတစ်ခု၏ ရွေ့လျားမှုကို ရွေ့လျားမှု ညီမျှခြင်း (equation of motion) ဟု လူသိများသော ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း တစ်ခုအနေဖြင့် ဖော်ပြသည်။ တည်နေရာသည် အချိန်၏ မသိဖန်ရှင် ဖြစ်သည်။ အလျင် (velocity) နှင့် အရှိန် (acceleration) တို့သည် ၎င်း၏ ပထမနှင့် ဒုတိယ ဆင်းသက်ချက်များ အသီးသီး ဖြစ်ကြသည်။

ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းသေ (constant) ဒြပ်ဆွဲအား ( $G$ ) နှင့် ၎င်း၏ အလျင် ( $v$ ) နှင့် တိုက်ရိုက်အချိုးကျခြင်း (direct proportionality) ရှိသော လေထုခုခံမှု (air resistance) ( $R$ ) တို့ကိုသာ ခံစားရသည့် ကျဆင်းနေသော ဘောလုံးတစ်လုံးကို အောက်ပါအတိုင်း မော်ဒယ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။

{\vec {\mathrm {G} }}+{\vec {\mathrm {R} }}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}

လေထု၏ ခုခံဆွဲအား (aerodynamic drag)သည် ${\vec {R}}=-k{\vec {v}}(t)$ ဖြစ်သည်ဟု ယူဆရမည်။ ဤနေရာတွင် $k>0$ ဖြစ်ပြီး $m$ သည် ဒြပ်ထု (mass) ဖြစ်သည်။ ဤအင်အားများ (forces) ကို ဒေါင်လိုက်ဝင်ရိုး (vertical axis) ပေါ်သို့ ပရိုဂျက်ရှင်း (projection) ချသောအခါ $v$ သည် အလျင်၏ ဒေါင်လိုက် အစိတ်အပိုင်းဖြစ်ပြီး အောက်ပါ ပထမအဆင့် မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (first-order linear differential equation) ကို ရရှိသည်။

v(t)+{\frac {m}{k}}{\frac {dv(t)}{dt}}={\frac {G}{k}}

ဤညီမျှခြင်းအတွက် တိကျသော ယေဘုယျအဖြေမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

v(t)={\frac {G}{k}}+C\mathrm {e} ^{-{\frac {k}{m}}t}

ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ၏ သမိုင်း (History of differential equations)

သင်္ချာဆိုင်ရာ မော်ဒယ် တည်ဆောက်ခြင်းသည် ဉာဏ်တဖန်မွေးခေတ် အတွင်း စတင်ပေါ်ပေါက်ခဲ့သော်လည်း ပုံစံတကျ (formal) ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများသည် အိုင်းဆက် နယူတန် နှင့် ဂေါ့ဖရီးဒ် ဝီလ်ဟမ် လိုက်ဘနစ် တို့၏ ကဲကုလပ် (calculus) ကို တီထွင်မှုနှင့်အတူ ပေါ်ထွက်လာခဲ့သည်။ သူ၏ 1671 ခုနှစ် စာတမ်းတွင် နယူတန် သည် ${\frac {dy}{dx}}=f(x)$ နှင့် ${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$ ကဲ့သို့သော ညီမျှခြင်းများကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခဲ့ပြီး ၎င်းတို့ကို အနန္တ ကိန်းစဉ်တန်း (infinite series) များကို အသုံးပြု၍ ဖြေရှင်းခဲ့သည် ^[၁]။ 1695 ခုနှစ်တွင် ဂျေးကော့ဘ် ဘာနူးလီ သည် မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော ဘာနူးလီ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းကို အဆိုပြုခဲ့ပြီး ထိုညီမျှခြင်းကို လိုက်ဘနစ် က မကြာမီတွင် ရိုးရှင်းအောင်ပြုလုပ်၍ ဖြေရှင်းခဲ့သည်။

တုန်ခါနေသော ကြိုးကဲ့သို့သော အစောပိုင်း ရူပဗေဒ ပြဿနာများကို ရောန် လီ ရွန် ဒီအာလမ်ဘတ်၊ လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ၊ ဒန်နီယယ် ဘာနူးလီ နှင့် ဂျိုးဆက် လူဝီ လာဂေါင့် တို့က လေ့လာခဲ့ကြသည် ^[၂]^[၃]။ ဤသည်မှာ 1746 ခုနှစ်တွင် ဒီအာလမ်ဘတ် အား 1D လှိုင်းညီမျှခြင်း (wave equation) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိစေခဲ့ပြီး များမကြာမီတွင် အွိုင်လာ သည် 3D ပုံစံကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည် ^[၄]။

1750 ခုနှစ်များတွင် အွိုင်လာ နှင့် လာဂေါင့် တို့သည် tautochrone မျဉ်းကွေး (curve) ပြဿနာကို ဖြေရှင်းရန် အွိုင်လာ-လာဂေါင့် ညီမျှခြင်းကို တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ဤသည်မှာ နောက်ဆုံးတွင် လာဂေါင့်ဂျီယံ မက္ကင်းနစ် (Lagrangian mechanics) ကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခြင်းသို့ ရောက်ရှိစေခဲ့သည်။ ထို့နောက် 1822 ခုနှစ်တွင် ဂျိုးဇက် ဖူရီယေး သည် အပူကူးပြောင်းခြင်းနှင့် ပတ်သက်သော သူ၏ အခြေခံကျသည့် သုတေသနကို ထုတ်ဝေခဲ့ပြီး အပူ ညီမျှခြင်း (heat equation) ကို ရောက်ရှိစေခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ယခုအခါ ဖြစ်တန်စွမ်း သီအိုရီ (probability theory)၊ ဘဏ္ဍာရေးဆိုင်ရာ သင်္ချာနှင့် ကွမ်တမ် မက္ကင်းနစ် (quantum mechanics) ကဲ့သို့သော ကွဲပြားသည့် နယ်ပယ်များအတွက် အခြေခံကျသော ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (partial differential equation) တစ်ခု ဖြစ်သည် ^[၅]။

ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း အမျိုးအစားများ (Types of differential equations)

ညီမျှခြင်းများကို အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (classifying) သည် ၎င်းတို့ကို ဖြေရှင်းရန် သို့မဟုတ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာရန်အတွက် သင့်လျော်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိရိယာများကို အဆုံးအဖြတ်ပေးသည်။

ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများတွင် ကိန်းရှင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သော ဖန်ရှင်များ ပါဝင်သည်။ သို့သော် ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများတွင် အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းရှင် (independent variable) များစွာပါဝင်သော ဖန်ရှင်များ ပါဝင်သည်။
၎င်းတို့ကို မျဉ်းဖြောင့် (linear) နှင့် မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော ညီမျှခြင်းများ (nonlinear equation) အပြင် တစ်ပြေးညီ (homogeneous) နှင့် တစ်ပြေးညီမဟုတ်သော ပုံစံများဟူ၍ ထပ်မံခွဲခြားထားသည်။

အခြားသော တိကျသည့် အမျိုးအစားခွဲများတွင် အင်တီဂရယ်-ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (integro-differential equation) များ ပါဝင်သည်။ ၎င်းတို့သည် ဆင်းသက်ချက်များနှင့် အင်တီဂရယ် (integral) များကို ပေါင်းစပ်ထားသည်။ တောင့်တင်းသော ညီမျှခြင်း (stiff equation) များသည် ကိန်းရှင်ကြားခံများ ပြောင်းလဲခြင်း (variation of parameters) အပေါ် အလွန်တုံ့ပြန်မှုလွယ်ကူသည်။ ဟိုလိုမော်ဖစ် ညီမျှခြင်း (holomorphic equation) များကို ကိန်းထွေး (complex number) များအပေါ်တွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ စတော့ကတ်စတစ် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (stochastic differential equation) များသည် စတော့ကတ်စတစ် လုပ်ငန်းစဉ် (stochastic process) များကို ပေါင်းစပ်ထည့်သွင်းထားသည်။ နှောင့်နှေး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (delay differential equation) များသည် ယခင် အခြေအနေများအပေါ် မှီခိုသည်။ သရုပ်မဲ့ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများသည် ဖန်ရှင်နယ် ရပ်ဝန်းများအတွင်း လုပ်ဆောင်ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Hilbert space) နှင့် ဘာနက် ရပ်ဝန်း (Banach space) တို့ဖြစ်သည်။

အဖြေများ တည်ရှိမှု (Existence of solutions)

ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းခြင်းသည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (algebraic equation) များကို ဖြေရှင်းခြင်းထက် များစွာ ပိုမိုရှုပ်ထွေးသည်။ ပြတ်သားသည့် အဖြေများသည် ရှားပါးပြီး တည်ရှိမှု (existence) ကို အာမခံချက် မပေးနိုင်ပေ။

မူလအခြေအနေ (initial condition) $y(x_{0})=y_{0}$ ပါရှိသော ပထမအဆင့် ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း ${\frac {dy}{dx}}=g(x,y)$ များအတွက် ပီကတ်-လင်ဒီလော့ဖ် သီအိုရမ် (Picard-Lindelöf theorem) က $x_{0}$ ပတ်လည်ရှိ အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုပေါ်တွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) ဒေသအလိုက် အဖြေတစ်ခုကို အာမခံပေးသည်။ ဤသို့ဖြစ်ရန် $g(x,y)$ သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) ဖန်ရှင်ဖြစ်ရန်နှင့် $y$ တွင် ဒေသအလိုက် လစ်ပ်ရှစ်ဇ် အဆက်မပြတ် (locally Lipschitz continuous) ဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်။ ${\frac {\partial g}{\partial y}}$ သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ပါက ဤအခြေအနေသည် အလိုအလျောက် ပြည့်စုံသွားသည်။

မျဉ်းဖြောင့်ဖြစ်သော $n$ -အဆင့် မူလအခြေအနေပေး ပြဿနာ (initial value problem) တစ်ခုအတွက်

f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)

မြှောက်ဖော်ကိန်း (coefficient) များဖြစ်သော $\{f_{0},\dots ,f_{n}\}$ နှင့် $g$ တို့သည် မူလအမှတ် $x_{0}$ ပါဝင်သော အပိုင်းအခြားတစ်ခုပေါ်တွင် အဆက်မပြတ်ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထို့ပြင် ထိုအပိုင်းအခြားပေါ်ရှိ နေရာတိုင်းတွင် $f_{n}(x)\neq 0$ ဖြစ်မည်ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ ၎င်းသည် $n$ ခုသော မူလအခြေအနေများဖြစ်သည့် $y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y_{1},\dots ,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1}$ တို့နှင့် ကိုက်ညီပါက တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေတစ်ခု တည်ရှိသည် ^[၆]။

ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ၏ ဥပမာများ (Examples of differential equations)

ပထမအဆင့် ညီမျှခြင်းများ (First-order equations)

ခွဲထုတ်၍ရသော ကိန်းရှင်များ (Separable variables)

ရိုးရှင်းသော ပထမအဆင့် မျဉ်းဖြောင့် ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းတစ်ခုသည် အောက်ပါပုံစံကို ဆောင်သည်။

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+f(t)y=0

$y\neq 0$ ဟု ယူဆပါက ကိန်းရှင်များ ခွဲထုတ်ခြင်း (separation of variables) ဖြင့် ${\frac {\mathrm {d} y}{y}}=-f(t)\mathrm {d} t$ ကို ရရှိသည်။ နှစ်ဖက်စလုံးကို အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) ဖြင့် ယေဘုယျအဖြေကို ရရှိသည်။

y=A\exp \left(-\int f(t)\mathrm {d} t\right)

ဤနေရာတွင် $A$ သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော (arbitrary) ကိန်းသေ တစ်ခုဖြစ်သည်။ $A=0$ ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် အသေးအဖွဲ (trivial) အဖြေဖြစ်သော $y(t)=0$ ကို ပြန်လည်ရရှိသည်။

ခွဲထုတ်၍မရသော ကိန်းရှင်များ (Non-separable variables)

ယေဘုယျ တစ်ပြေးညီမဟုတ်သော ပုံစံမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x)

၎င်းကို အင်တီဂရယ်အထောက်အကူပြု ဆခွဲကိန်း (integrating factor) $\mu (x)=\exp \left(\int _{x_{0}}^{x}p(t)\mathrm {d} t\right)$ မိတ်ဆက်ခြင်းဖြင့် ဖြေရှင်းနိုင်သည်။ ညီမျှခြင်းကို $\mu (x)$ ဖြင့် မြှောက်ခြင်း (multiplication) အားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ပြန်လည်ရေးသားနိုင်သည်။

{\frac {\mathrm {d} (\mu (x)y)}{\mathrm {d} x}}=\mu (x)q(x)

ဆက်စပ်နေသော အပိုင်းအခြား (connected interval) တစ်ခုပေါ်ရှိ တိကျသောအဖြေသို့ ဦးတည်သွားစေသည်။

y(x)={\frac {\int _{x_{0}}^{x}\mu (s)q(s)\,\mathrm {d} s+y(x_{0})}{\mu (x)}}

ဒုတိယအဆင့် ညီမျှခြင်းများ (Second-order equations)

အားလျော့ခြင်းမရှိသော ရိုးရှင်းသည့် တုန်ခါမှု (Undamped simple oscillation)

ပွတ်တိုက်မှုကင်းမဲ့သော ကာလမှန် (periodic) ရွေ့လျားမှုကို အောက်ပါအတိုင်း မော်ဒယ် တည်ဆောက်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် စပရိန် ဒြပ်ထုတစ်ခု၏ ရွေ့လျားမှုဖြစ်သည်။

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\omega ^{2}x\,

ဤနေရာတွင် $\omega >0$ ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျအဖြေမှာ $x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$ ဖြစ်သည်။ မူလအခြေအနေများကို အသုံးချခြင်းဖြင့် $A=1$ နှင့် $B=0$ တို့ကို ရရှိပြီး $x(t)=\cos(\omega t)$ ဟူသော ရလဒ်ထွက်ပေါ်လာသည်။ ဥပမာအားဖြင့် မူလ ယူနစ် အရွေ့ဖြစ်သော $x(0)=1$ နှင့် သုညဖြစ်သော မူလအလျင် $x'(0)=0$ တို့ကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ လွှဲကျယ် (amplitude) $R$ နှင့် အခြေပြထောင့် (phase) $\phi$ တို့ကို အသုံးပြု၍ ယေဘုယျအဖြေကို $x(t)=R\cos(\omega t+\phi )$ အဖြစ်လည်း ရေးသားနိုင်သည်။

အားလျော့ တုန်ခါမှု (Damped oscillation)

လက်တွေ့ကျသော စနစ်များတွင် ပွတ်တိုက်မှုသည် အလျင်နှင့် တိုက်ရိုက်အချိုးကျသော ဆွဲငင်အားတစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ညီမျှခြင်းကို အောက်ပါအတိုင်း ပြောင်းလဲသွားစေသည်။

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-c{\frac {dx}{dt}}-\omega ^{2}x\,

ဤနေရာတွင် $c>0$ သည် အားလျော့မှု မြှောက်ဖော်ကိန်းဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ကိန်းသေမြှောက်ဖော်ကိန်းများပါသော မျဉ်းဖြောင့် (linear differential equation with constant coefficients) ဒုတိယအဆင့် တစ်ပြေးညီ ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ $A\mathrm {e} ^{rt}$ ပုံစံရှိသော အဖြေတစ်ခုကို အစားထိုးခြင်း (substitution) ဖြင့် အောက်ပါ ဝိသေသလက္ခဏာ ညီမျှခြင်း (characteristic equation) ကို ရရှိသည်။

r^{2}+cr+\omega ^{2}=0\,

$c<2\omega$ ဖြစ်ပါက ကိန်းရင်းများသည် ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugate) များ ဖြစ်ကြသည်။ ထို့ပြင် စနစ်သည် ထပ်ကိန်းအလိုက် ကျဆင်းသွားသော တုန်ခါမှုများကို ပြသသည်။ ထိုစနစ်ကို အားလျော့မှုနည်းပါးသော စနစ်ဟုခေါ်သည်။

x(t)={\rm {e}}^{-{\frac {c}{2}}t}\left(C_{1}\cos \left(t{\sqrt {\omega ^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}\right)+C_{2}\sin \left(t{\sqrt {\omega ^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}\right)\right)\,

ဤနေရာတွင် $C_{1}$ နှင့် $C_{2}$ တို့သည် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော ကိန်းသေများ ဖြစ်ကြသည်။

ကိုးကားများ

Boyer၊ Carl B. (1959)၊ The History of the Calculus and Its Conceptual Development၊ New York: Dover Publications၊ ISBN 978-0-486-60509-8
Cajori၊ Florian (1923)၊ "The History of Notations of the Calculus"၊ Annals of Mathematics၊ Princeton, NJ: Princeton University၊ 25 (1): 1–46၊ doi:10.2307/1967725
Fourier၊ Joseph (1822)၊ Théorie analytique de la chaleur၊ Paris: Firmin Didot Père et Fils
Fraser၊ Craig (1983)၊ "Review of The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742, by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky"၊ Bulletin of the American Mathematical Society၊ Providence, RI: American Mathematical Society၊ 9 (1): 107–113၊ doi:10.1090/S0273-0979-1983-15175-3
Newton၊ Isaac (1744)၊ Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum၊ Opuscula Mathematica, Philosophica et Philologica၊ 1၊ Lausanne: Marc-Michel Bousquet & Co.
Speiser၊ David (2008)၊ Williams၊ Kim; Caparrini၊ Sandro (eds.)၊ Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800၊ Basel: Birkhäuser၊ ISBN 978-3-7643-8564-4
Struik၊ Dirk Jan, ed. (1969)၊ A Source Book in Mathematics, 1200-1800၊ Cambridge, MA: Harvard University Press၊ ISBN 978-0-674-82355-6
Wheeler၊ Gerard F.; Crummett၊ William P. (1987)၊ "The Vibrating String Controversy"၊ American Journal of Physics၊ College Park, MD: American Association of Physics Teachers၊ 55 (1): 33–37၊ doi:10.1119/1.15311
Zill၊ Dennis G. (2001)၊ A First Course in Differential Equations (Classic 5th ed.)၊ Pacific Grove, CA: Brooks/Cole၊ ISBN 978-0-534-37388-7

↑ Newton (1744), p. 66
↑ Fraser (1983), pp. 107–113
↑ Wheeler and Crummett (1987), pp. 33–37
↑ Speiser (2008), p. 191
↑ Fourier(1822)
↑ Zill (2001)

[1] Newton (1744), p. 66

[2] Fraser (1983), pp. 107–113

[3] Wheeler and Crummett (1987), pp. 33–37

[4] Speiser (2008), p. 191

[5] Fourier(1822)

[6] Zill (2001)

[၁]

[၂]

[၃]

[၄]

[၅]

[၆]