ထပ်တူရအစုဝင်

ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) ကို ကြားနေ အစုဝင် (neutral element) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုကြသည်။ ၎င်းသည် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု၏ ထူးခြားသော အစုဝင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထိုအစုဝင်နှင့် မည်သည့်အစုဝင်ကိုမဆို တွက်ချက်မှုပြုလုပ်သောအခါ မူလအစုဝင်ကို ပြောင်းလဲခြင်းမရှိဘဲ ကျန်ရစ်စေသည့် ဂုဏ်သတ္တိ (property) ရှိသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

အစု $S$ နှင့် ၎င်းအပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) $*$ တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် မက်ဂ်မာ (magma) $(S,*)$ တစ်ခုကို ထားရှိပါမည်။ အစုဝင် $e\in S$ ကို အောက်ပါအတိုင်း ခေါ်ဆိုသည်။

• အကယ်၍ $a\in S$ အားလုံးအတွက် $e*a=a$ ဖြစ်ပါက ဘယ် ထပ်တူရ (left identity) ဟု ခေါ်သည်။
• အကယ်၍ $a\in S$ အားလုံးအတွက် $a*e=a$ ဖြစ်ပါက ညာ ထပ်တူရ (right identity) ဟု ခေါ်သည်။
• အကယ်၍ $e$ သည် ဘယ် ထပ်တူရရော ညာ ထပ်တူရပါ နှစ်မျိုးစလုံး ဖြစ်နေပါက ထပ်တူရ (identity) ဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းကို နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် ထပ်တူရ (two-sided identity) ဟုလည်း သုံးနှုန်းသည်။

အကယ်၍ တွက်ချက်မှုသည် ဖလှယ်ရဖြစ်သော (commutative) ဂုဏ်သတ္တိရှိပါက ဤသဘောတရားသုံးခုသည် တစ်ထပ်တည်းကျသွားသည်။ အကယ်၍ တွက်ချက်မှုသည် ဖလှယ်၍မရသော (non-commutative) ဂုဏ်သတ္တိရှိပါက တည်ဆောက်ပုံတစ်ခုတွင် ဘယ် ထပ်တူရမဟုတ်သည့် ညာ ထပ်တူရတစ်ခု ရှိနိုင်သည်။ ထို့အတူ ညာ ထပ်တူရမဟုတ်သည့် ဘယ် ထပ်တူရတစ်ခုလည်း ရှိနိုင်သည်။

ထပ်တူရအစုဝင်တစ်ခု ပါဝင်သော ဆီမီးအုပ်စု (semigroup) $S$ ကို မိုနွိုက် (monoid) ဟု ခေါ်သည်။ ထို့အပြင် $S$ အတွင်းရှိ အစုဝင်တိုင်းအတွက် ပြောင်းပြန် အစုဝင် (inverse element) တစ်ခုစီသည် $S$ အတွင်း၌ပင် တည်ရှိနေပါက $S$ သည် အုပ်စု (group) တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။

မကြာခဏ တွက်ချက်မှု $*$ အတွက် သင်္ကေတ $\cdot$ ကို အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ထိုအခြေအနေတွင် ဆီမီးအုပ်စုကို မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အသွင်ဖြင့် (multiplicatively) ရေးသားသည်ဟု ဆိုသည်။ ထိုအခါ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ယူနစ်အစုဝင် (unit element) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး $1$ ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ၎င်းကို မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ (multiplicative identity) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ မြှောက်ခြင်းအစက် $\cdot$ ကို များသောအားဖြင့် ချန်လှပ်ထားလေ့ရှိသည်။

ဆီမီးအုပ်စုတစ်ခုကို တွက်ချက်မှု $*$ အတွက် သင်္ကေတ $+$ ကို အသုံးပြုကာ အပေါင်းအခြေခံ အသွင်ဖြင့် (additively) လည်း ရေးသားနိုင်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် ထပ်တူရအစုဝင်ကို သုည အစုဝင် (zero element) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး $0$ ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ၎င်းကို အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ (additive identity) ဟုလည်း သုံးနှုန်းသည်။

ဥပမာများ (Examples)

• ကိန်းစစ်များ (real numbers) တွင် ပေါင်းခြင်း (addition) ၏ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ $0$ ဖြစ်ပြီး မြှောက်ခြင်း၏ ထပ်တူရအစုဝင်မှာ $1$ ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ကိန်းစစ် $x$ တိုင်းအတွက် $0+x=x+0=x$ နှင့် $1\cdot x=x\cdot 1=x$ တို့ မှန်ကန်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။
• ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (vector spaces) တွင် သုညဗက်တာ (zero vector) သည် ဗက်တာပေါင်းခြင်း (vector addition) အောက်ရှိ ထပ်တူရအစုဝင် ဖြစ်သည်။
• ဖီးလ်ဒ် (field) တစ်ခုအပေါ်ရှိ $n\times n$ ကိန်းအုံများ၏ ကွင်း (ring) တွင် သုညကိန်းအုံ (zero matrix) သည် ကိန်းအုံပေါင်းခြင်း (matrix addition) အောက်ရှိ ထပ်တူရအစုဝင် ဖြစ်သည်။ ထပ်တူရကိန်းအုံ (identity matrix) သည် ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်း (matrix multiplication) အောက်ရှိ ထပ်တူရအစုဝင် ဖြစ်သည်။
• ဖန်ရှင် ရပ်ဝန်း (function space) တစ်ခုတွင် သုညဖန်ရှင် (zero function) သည် အပေါင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ ဖြစ်သည်။ ကိန်းသေ ဖန်ရှင် (constant function) $f(x)=1$ သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ ဖြစ်သည်။
• ဖန်ရှင်များအတွက် ထပ်တူရ ပုံဖော်မှု (identity map) ဖြစ်သော $\mathrm {id}$ သည် ဖန်ရှင်များ ပေါင်းစပ်ခြင်း (function composition) အောက်ရှိ ထပ်တူရအစုဝင် ဖြစ်သည်။

ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties)

• အကယ်၍ ဆီမီးအုပ်စု $S$ တွင် အနည်းဆုံး ဘယ် ထပ်တူရတစ်ခုနှင့် အနည်းဆုံး ညာ ထပ်တူရတစ်ခု ပါဝင်ပါက ဘယ်နှင့် ညာ ထပ်တူရများအားလုံးသည် ထပ်တူညီကြသည်။ ထိုအခါ $S$ တွင် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် ထပ်တူရတစ်ခု ရှိလာသည်။ ရှင်းလင်းစွာဆိုရလျှင် $a\in S$ အားလုံးအတွက် ညာ ထပ်တူရဖြစ်သည့် $a*e=a$ ကို အမှန်ယူပါမည်။ ထို့အတူ ဘယ် ထပ်တူရဖြစ်သည့် $f*a=a$ ကိုလည်း အမှန်ယူပါမည်။ ထိုအခါ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$f=f*e=e$

• ယင်းအကျိုးဆက်အနေဖြင့် မိုနွိုက်တစ်ခု၏ ထပ်တူရအစုဝင်သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု ရှိသည်။ အုပ်စုတစ်ခု၏ ထပ်တူရအစုဝင်တွင်လည်း ဤဂုဏ်သတ္တိအတိုင်းပင် ဖြစ်သည်။
• အကယ်၍ ဆီမီးအုပ်စုတစ်ခုတွင် နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် ထပ်တူရ မရှိပါက ၎င်းတွင် တစ်ဖက်သတ် (one-sided) ထပ်တူရများစွာ ရှိနိုင်သည်။ အရှင်းဆုံး ဥပမာမှာ အနည်းဆုံး အစုဝင်နှစ်ခုပါဝင်ပြီး ညာ ပရိုဂျက်ရှင်း တွက်ချက်မှု (right-projection operation) $a*b:=b$ ဖြင့် သတ်မှတ်ထားသော အစုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤတည်ဆောက်ပုံတွင် အစုဝင်တိုင်းသည် ဘယ် ထပ်တူရဖြစ်သော်လည်း မည်သည့်အစုဝင်မျှ ညာ ထပ်တူရ မဟုတ်ပေ။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် ဘယ် ပရိုဂျက်ရှင်း တွက်ချက်မှု (left-projection operation) $a*b:=a$ ကို အသုံးပြုပါက ညာ ထပ်တူရများစွာ ထွက်ပေါ်လာမည်ဖြစ်ပြီး ဘယ် ထပ်တူရတစ်ခုမျှ ရှိမည်မဟုတ်ပေ။
• ဤအချိုးမညီမှုသည် ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိမရှိသော ကွင်းများ (rings without identity) တွင်လည်း ဖြစ်ပေါ်တတ်သည်။ ၎င်းတို့ကို rngs (rngs) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ ဥပမာအနေဖြင့် ဖီးလ်ဒ် $K$ တစ်ခုအပေါ်ရှိ $2\times 2$ ကိန်းအုံများ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမည်။

$R=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\;\vert \;a,b\in K\right\}$

၎င်းကွင်း $R$ သည် ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်းအောက်တွင် ဖလှယ်၍မရသော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ ၎င်း၏ ဘယ် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရများ (left multiplicative identities) သည် အတိအကျအားဖြင့် အောက်ပါ ပုံစံရှိသော ကိန်းအုံများ ဖြစ်ကြသည်။

${\begin{pmatrix}1&x\\0&0\end{pmatrix}},\quad x\in K$

အထက်ပါ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု ဂုဏ်သတ္တိအရ $R$ အတွင်းရှိ မြှောက်ခြင်းသည် မည်သည့် ညာ ထပ်တူရကိုမျှ ပိုင်ဆိုင်နိုင်မည် မဟုတ်ပေ။

ကိုးကား

• Bosch၊ Siegfried (2009)၊ Algebra (ဂျာမန်ဘာသာစကားဖြင့်) (7., überarbeitete ed.)၊ Berlin u. a.: Springer၊ p. 2၊ ISBN 978-3-540-92811-9