တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း

သင်္ချာတွင် ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) သို့မဟုတ် တေလာ ဖြန့်ထုတ်ချက် (Taylor expansion) ဆိုသည်မှာ အမှတ်တစ်မှတ်၌ရှိသော အဆိုပါဖန်ရှင်၏ ဆင်းသက်ချက် (derivative) များဖြင့် ဖော်ပြထားသည့် ကိန်းပိုင်းများ၏ အနန္တ ပေါင်းလဒ် (infinite sum) ဖြစ်သည်။ အသုံးများသော ဖန်ရှင်အများစုအတွက် ဖန်ရှင်နှင့် ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ပေါင်းလဒ်တို့သည် ဤအမှတ်အနီးတွင် ညီမျှကြသည်။ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို 1715 ခုနှစ်တွင် စတင်မိတ်ဆက်ခဲ့သော ဘရွတ်ခ် တေလာ (Brook Taylor) ကို အစွဲပြု၍ ခေါ်ဝေါ်ခြင်းဖြစ်သည်။ ဆင်းသက်ချက်များကို သုညမှတ်၌ တွက်ချက်သောအခါ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းကို မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်း (Maclaurin series) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ 18 ရာစုတွင် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း၏ ဤအထူးအခြေအနေကို ကျယ်ကျယ်ပြန့်ပြန့် အသုံးပြုခဲ့သော ကော်လင် မက်လောရင် (Colin Maclaurin) ကို အစွဲပြု၍ ခေါ်ဝေါ်ခြင်းဖြစ်သည်။

တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ ပထမဆုံး $n+1$ ကိန်းပိုင်းများ(terms) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ် (partial sum) သည် အများဆုံး ဒီဂရီ (degree) $n$ ရှိသော ပိုလီနိုမီရယ် (polynomial) ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို ဖန်ရှင်၏ $n$ ကြိမ်မြောက် တေလာ ပိုလီနိုမီရယ် (Taylor polynomial) ဟု ခေါ်သည်။ တေလာ ပိုလီနိုမီရယ်များသည် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း (approximation) များ ဖြစ်ကြသည်။ $n$ တန်ဖိုး ကြီးမားလာသည်နှင့်အမျှ ယေဘုယျအားဖြင့် ပိုမိုတိကျလာသည်။ တေလာ၏ သီအိုရမ် (Taylor's theorem) သည် ထိုသို့သော ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်းများကို အသုံးပြုရာမှ ဖြစ်ပေါ်လာသည့် အမှားအတွက် ပမာဏဆိုင်ရာ ခန့်မှန်းချက်များကို ပေးသည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းသည် စုဆုံသော (convergent) ကိန်းစဉ်တန်းဖြစ်ပါက ၎င်း၏ပေါင်းလဒ်သည် တေလာ ပိုလီနိုမီရယ်များပါဝင်သည့် အနန္တ ကိန်းစဉ် (infinite sequence) ၏ စုဆုံမှတ် (limit) ဖြစ်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းသည် စုဆုံသော်ငြားလည်း ဖန်ရှင်ကိုယ်တိုင်မှာမူ ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ပေါင်းလဒ်နှင့် ကွဲပြားနိုင်သည်။ ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ပေးထားသော အမှတ်တစ်ခုကို ငုံထားသည့် အဖွင့် အပိုင်းအခြား (open interval) တစ်ခုအတွင်း၌ ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ပေါင်းလဒ်နှင့် ညီမျှပါက ထိုအမှတ်တွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ (analytic) ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ကိန်းထွေးပြင်ညီ (complex plane) တွင်မူ ဤအချက်သည် အဖွင့် အပိတ်ပြား (open disk) တစ်ခုအတွက် အကျုံးဝင်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ ဖန်ရှင်သည် အဆိုပါ အပိုင်းအခြား သို့မဟုတ် အပိတ်ပြား၏ အမှတ်တိုင်းတွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်ဖြစ်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး (real or complex number) $a$ တွင် အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသော (infinitely differentiable) ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေးတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (real or complex-valued function) $f(x)$ ၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းသည် အောက်ပါ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (power series) ဖြစ်သည်။ $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.$ ဤနေရာတွင် $n!$ သည် $n$ ၏ ဖက်တိုရီရယ် (factorial) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ဖန်ရှင် $f^{(n)}(a)$ သည် အမှတ် $a$ တွင် တွက်ချက်ထားသော $f$ ၏ $n$ ကြိမ်မြောက် ဆင်းသက်ချက်ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ $f$ ၏ အစဉ်သုည ဆင်းသက်ချက်ကို $f$ ကိုယ်တိုင်အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ $(x-a)^{0}$ နှင့် $0!$ နှစ်ခုစလုံးကို $1$ အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ဤကိန်းစဉ်တန်းကို ညာဘက်ခြမ်းရှိ ပုံသေနည်းအတိုင်း ဆစ်ဂ်မာ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (sigma notation) ကို အသုံးပြု၍ ရေးသားနိုင်သည်။^[၁] ဒီဂရီ $n$ ရှိသော သက်ဆိုင်ရာ တေလာ ပိုလီနိုမီရယ်မှာ အောက်ပါအတိုင်းဖြစ်သည်။ $T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$ $a=0$ တွင် မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်းသည် အောက်ပါပုံစံကို ယူသည်။^[၂] $f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.$

အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Basic properties)

တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများသည် ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများ၏ အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများကို ဆက်ခံရရှိသည်။ ၎င်းတို့ကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းအရ ပေါင်းစပ်နိုင်သည်။ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများ၏ ပေါင်းလဒ်များ၊ ခြားနားခြင်းရလဒ်များ၊ မြှောက်လဒ်များနှင့် စကေလာဆတိုးကိန်းများကို ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများအပေါ် သက်ဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် ရရှိနိုင်သည်။ အထူးသဖြင့် အမှတ် $x=a$ ပတ်လည်ရှိ $f(x)g(x)$ ၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းသည် $x=a$ ပတ်လည်ရှိ $f(x)$ နှင့် $g(x)$ တို့၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို ကော်ချီ မြှောက်လဒ် (Cauchy product) ပြုလုပ်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။^[၃] တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများရှိသော ဖန်ရှင်များကို ပေါင်းစပ်ရာတွင်လည်း တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို ရရှိသည်။ ၎င်းကို အကျုံးဝင်သော အခြေအနေများတွင် စုဆုံသော ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို အခြားတစ်ခုထဲသို့ အစားထိုးခြင်းဖြင့် ရရှိနိုင်သည်။^[၄]

၎င်း၏ အဖွင့် စုဆုံခြင်း အချင်းဝက် (open radius of convergence) အတွင်း၌ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို ကိန်းပိုင်းအလိုက် (term by term) ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းနှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (integration) တို့ကို တိကျစွာ ပြုလုပ်နိုင်သည်။ ${\frac {d}{dx}}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(x-a)^{n-1},$ နှင့် $\int \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}\,dx=C+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n+1}}(x-a)^{n+1}.$ နယ်နိမိတ် (boundary) တွင် စုဆုံခြင်း သဘာဝ ကွဲပြားနိုင်သော်လည်း ဆင်းသက်ချက်ရှာထားသော ကိန်းစဉ်တန်းနှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ထားသော ကိန်းစဉ်တန်းတို့သည် မူလ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းနှင့် စုဆုံခြင်း အချင်းဝက် တူညီကြသည်။^[၅]^[၆] ဤဂုဏ်သတ္တိများသည် တစ်ခါတစ်ရံတွင် ရှုပ်ထွေးသော ဖန်ရှင်များ၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို ပိုမိုရိုးရှင်းသော ကိန်းစဉ်တန်းများအသွင်ဖြင့် တွက်ချက်နိုင်ရန် အထောက်အကူပြုသည်။

တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း တွက်ချက်ခြင်း (Calculation of Taylor series)

တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို တွက်ချက်ရန် နည်းလမ်းအမျိုးမျိုးကို အသုံးပြုနိုင်သည်။ မြှောက်ဖော်ကိန်းများအတွက် ယေဘုယျ ပုံသေနည်းတစ်ခု ရှာဖွေရန် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို တိုက်ရိုက် အသုံးချနိုင်သည်။ လက်တွေ့တွင် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို ဖြန့်ထုတ်ချက်များမှတစ်ဆင့် ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများအပေါ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ တွက်ချက်မှုများဖြစ်သည့် အစားထိုးခြင်း၊ မြှောက်ခြင်း၊ စားခြင်း၊ ပေါင်းခြင်း နှင့် နုတ်ခြင်းတို့ဖြင့်သော်လည်းကောင်း ကိန်းပိုင်းအလိုက် ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်းနှင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်းတို့ဖြင့်သော်လည်းကောင်း ရယူလေ့ရှိသည်။^[၇] ဤကိန်းစဉ်တန်းများကို အလိုအလျောက် တွက်ချက်ရန်အတွက် ကွန်ပျူတာ အက္ခရာသင်္ချာ စနစ်များ (computer algebra systems) ကို မကြာခဏ အသုံးပြုကြသည်။^[၈]

အခြားသော တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းများကို တွက်ချက်ရာတွင် အောက်ပါ စံ မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်းများ (standard Maclaurin series) အများအပြားကို ကနဦးအစမှတ်များအဖြစ် အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။

အသုံးများသော မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်းများ
ဖန်ရှင်	မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်း	စုဆုံခြင်း
$e^{x}$	$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$	$x$ အားလုံး
$\sin x$	$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots$	$x$ အားလုံး
$\cos x$	$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots$	$x$ အားလုံး
${\frac {1}{1-x}}$	$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots$	$\|x\|<1$

ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း အမှားနှင့် တေလာ၏ သီအိုရမ် (Approximation error and Taylor's theorem)

ဖန်ရှင်တစ်ခုကို ၎င်း၏ ဒီဂရီ $n$ ရှိသော တေလာ ပိုလီနိုမီရယ်ဖြင့် ခန့်မှန်းတွက်ချက်ရာတွင် ဖြစ်ပေါ်လာသော အမှားကို အကြွင်း (remainder) ဟု ခေါ်ပြီး ဖန်ရှင် $R_{n}(x)$ ဖြင့် ကိုယ်စားပြု သတ်မှတ်သည်။ တေလာ၏ သီအိုရမ်ကို အသုံးပြု၍ အကြွင်း၏ ပမာဏအတွက် အကန့်အသတ်တစ်ခုကို ရရှိနိုင်သည်။^[၉]

အထူးသဖြင့် ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် $a$ နှင့် $x$ ပါဝင်သော အပိုင်းအခြားတစ်ခုပေါ်တွင် $n+1$ အကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရသည်ဟု ယူဆပါက တေလာ၏ သီအိုရမ်သည် ဖန်ရှင်ကို အောက်ပါပုံစံဖြင့် ရေးသားပြသည်။ $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R_{n}(x).$ $n$ သည် အနန္တ (infinity) သို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ အကြွင်း၏ သဘာဝသည် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းမှ မူလဖန်ရှင်သို့ စုဆုံခြင်း ရှိမရှိကို ဆုံးဖြတ်ပေးသည်။

ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်းဆိုင်ရာ သဘောတရား ဥပမာတစ်ခုအနေဖြင့် ဒီဂရီ ခုနစ်ရှိသော ပိုလီနိုမီရယ် $\sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}$ သည် အမှတ် $x=0$ ပတ်လည်ရှိ $\sin x$ အတွက် တိကျသော ခန့်မှန်းချက်တစ်ခုအဖြစ် အသုံးဝင်သည်။ ယင်းအမှားသည် $|x|^{9}/9!$ ထက် မပိုနိုင်ပေ။ မူလနေရာ (origin) ဗဟိုပြုထားသည့် အပြည့်အဝ စက်ဝန်းတစ်ခုဖြစ်သော $-\pi <x<\pi$ တွင် အမှားသည် 0.08215 ထက် နည်းပါးသည်။ ဆန့်ကျင်ဘက်အနေဖြင့် $a=0$ ပတ်လည်ရှိ သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ် (natural logarithm) $\ln(1+x)$ အတွက် တေလာ ပိုလီနိုမီရယ်များသည် $-1<x\leq 1$ နယ်ပယ်အတွင်း၌သာ စုဆုံကြသည်။ ဤနယ်ပယ်အပြင်ဘက်တွင် ဒီဂရီပိုမြင့်သော ပိုလီနိုမီရယ်များသည် ပိုမိုဆိုးရွားသော ခန့်မှန်းချက်များ ဖြစ်ကြသည်။

အဆုံးရှိ ခြားနားခြင်းရလဒ်များတွင် ယေဘုယျပြုထားခြင်း (Generalization in finite differences)

ဂရီဂေါ်ရီ-နယူတန် ကြားဖြတ်ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း ပုံသေနည်း (Gregory-Newton interpolation formula) ၏ ပုံစံတစ်မျိုးကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်။ $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}$ ၎င်းသည် အမှတ်တစ်မှတ်တည်းဖြစ်သော $a$ တွင် တွက်ချက်ထားသည့် ၎င်း၏ အဆုံးရှိ ခြားနားခြင်းရလဒ်များ (finite differences) ကို အသုံးပြု၍ ပိုလီနိုမီရယ် $f$ ကို ကြားဖြတ်ခန့်မှန်းတွက်ချက်ပေးသည်။ ဤနေရာတွင် $(x-a)_{k}$ သည် ကျဆင်းခြင်း ဖက်တိုရီရယ် (falling factorial) ဖြစ်သည်။

$(0,\infty )$ အပေါ်ရှိ မည်သည့် အကန့်အသတ်ရှိသော အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (bounded continuous function) အတွက်မဆို ဖန်ရှင်၏တန်ဖိုးဆီသို့ စုဆုံသော တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း၏ ယေဘုယျပြုထားချက်သည် အဆုံးရှိ ခြားနားခြင်းရလဒ်များ၏ ကဲကုလပ် (calculus) ကို အသုံးပြုသည်။ အိုင်နာ ဟီလာ (Einar Hille) ၏ ဖော်ထုတ်ချက်အရ မည်သည့် $a>0$ နှင့် $t>0$ အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။^[၁၀] $\lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).$ ဤနေရာတွင် $\Delta _{h}^{n}$ သည် အဆင့်အရွယ်အစား (step size) $h$ ရှိသော $n$ ကြိမ်မြောက် အဆုံးရှိ ခြားနားခြင်း အော်ပရေတာ (finite difference operator) ဖြစ်သည်။ $f$ သည် $a$ တွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာဖြစ်သောအခါ ဤကိန်းစဉ်တန်းရှိ ကိန်းပိုင်းများသည် ရိုးရာ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း၏ ကိန်းပိုင်းများဆီသို့ စုဆုံသွားကြသည်။

စုဆုံခြင်းနှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာဖြစ်ခြင်း (Convergence and analyticity)

တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို အမှတ်တစ်မှတ်တည်းရှိ ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ဆင်းသက်ချက် အားလုံး၏ တန်ဖိုးများမှ ဖွဲ့စည်းထားသော်လည်း ယင်းအချက်သည် ကိန်းစဉ်တန်းမှ ဖန်ရှင်ဆီသို့ စုဆုံသည်ဟု မဆိုလိုပေ။ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းသည် စုဆုံရန် ပျက်ကွက်နိုင်သည် သို့မဟုတ် မူလဖန်ရှင်နှင့် ကွဲပြားသော ဖန်ရှင်တစ်ခုဆီသို့ စုဆုံသွားနိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဖန်ရှင် $f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0,\\[3mu]0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$ သည် $x=0$ တွင် အနန္တအကြိမ် ဆင်းသက်ချက်ရှာ၍ရပြီး $0$ ရှိ ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်အားလုံးသည် သုညနှင့် ညီမျှကြသည်။ ထို့ကြောင့် $0$ ရှိ ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းသည် သုည ကိန်းစဉ်တန်းဖြစ်ပြီး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာမဟုတ်သော ချောမွေ့သည့် ဖန်ရှင် (smooth function) ၏ စံဥပမာတစ်ခုကို ပေးစွမ်းသည်။^[၁၁]

ဖန်ရှင်တစ်ခုသည် ထိုအမှတ်ပတ်လည်ရှိ အဖွင့် အပိုင်းအခြား တစ်ခုခုအတွင်း သို့မဟုတ် ကိန်းထွေးဖြစ်စဉ်တွင် အဖွင့် အပိတ်ပြား တစ်ခုခုအတွင်း ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ပေါင်းလဒ်နှင့် ညီမျှပါက အဆိုပါဖန်ရှင်ကို အမှတ်တစ်ခုတွင် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာဖြစ်သည်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း ဖြန့်ထုတ်ချက်သည် ၎င်း၏ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီသည်။^[၁၂]

မည်သည့် ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းအတွက်မဆို စုဆုံခြင်း အချင်းဝက်ဟု ခေါ်သော ကိန်း $R$ တစ်ခုရှိပြီး ယင်းကိန်းစဉ်တန်းသည် $|x-a|<R$ အတွက် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံပြီး (converges absolutely) $|x-a|>R$ အတွက် ဖြာထွက်သည် (diverges) ။ ၎င်းကို ကော်ချီ-ဟာဒါမတ် ပုံသေနည်း (Cauchy-Hadamard formula) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြသည်။ ${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }|c_{n}|^{1/n}.$ ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်တစ်ခုအတွက် $a$ ရှိ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း၏ စုဆုံခြင်း အချင်းဝက်သည် $a$ မှနေ၍ ဖန်ရှင်ကို ဟိုလိုမော်ဖစ်နည်းကျ (holomorphically) ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်စေရန် မဖြစ်နိုင်တော့သော အနီးဆုံးအမှတ်အထိ အကွာအဝေးဖြစ်သည်။ ယင်းအမှတ်သည် များသောအားဖြင့် ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်း (singularity) ဖြစ်သည်။

တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းတွင် ဗဟိုပြု၍ မရနိုင်ပေ။ အနန္တတန်ဖိုးမှတ် (pole) များကဲ့သို့သော ဆင်ဂူလာဖြစ်ခြင်းများကို အနုတ် ထပ်ကိန်းများ ပါဝင်သော လော်ရင့် ကိန်းစဉ်တန်း (Laurent series) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်ဖြေရှင်းနိုင်သည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဖြာထွက်အမှတ်များ (algebraic branch points) ကို အပိုင်းကိန်း ထပ်ကိန်းများ (fractional powers) ဆီသို့ ကိန်းရှင်များ ပြောင်းလဲခြင်းဖြင့် ဖြေရှင်းနိုင်ပြီး ယင်းမှတစ်ဆင့် ပွီဇိုး ကိန်းစဉ်တန်း (Puiseux series) ကို ရရှိစေသည်။^[၁၃]

ကိန်းရှင်အများအပြားပါဝင်သော တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series in multiple variables)

တေလာ ကိန်းစဉ်တန်းကို ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော ဖန်ရှင်များအတွက်လည်း အောက်ပါအတိုင်း ယေဘုယျပြုနိုင်သည်။^[၁၄] ${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha$ နောက်ဆုံး ဖော်ပြချက်သည် အညွှန်းစုံ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (multi-index notation) ဖြင့် ဖော်ပြထားသော မသိကိန်းများစွာပါ တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (multivariate Taylor series) ဖြစ်သည်။

ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော စကေလာတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင် (scalar-valued function) တစ်ခု၏ ဒုတိယအဆင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း ဖြန့်ထုတ်ချက်ကို အောက်ပါအတိုင်း ကျစ်လျစ်စွာ ရေးသားနိုင်သည်။ $T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\nabla f(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,$ ဤနေရာတွင် $\nabla f(\mathbf {a} )$ သည် $\mathbf {x} =\mathbf {a}$ ၌ တွက်ချက်ထားသော $f$ ၏ ဂရေးဒီးယင့် (gradient) ဖြစ်ပြီး $D^{2}f(\mathbf {a} )$ သည် ဟက်ရှန် ကိန်းအုံ (Hessian matrix) ဖြစ်သည်။

အချို့သော အသုံးများသည့် ဖန်ရှင်များ၏ မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်း (Maclaurin series of some common functions)

အရေးကြီးသော မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်း ဖြန့်ထုတ်ချက် အချို့ကို အောက်တွင် ဖော်ပြထားသည်။ ဤဖြန့်ထုတ်ချက်အားလုံးသည် ကိန်းထွေး အဝင်ကိန်းများ (complex arguments) $x$ အတွက် အကျုံးဝင်သည်။ တန်ဖိုးများစွာရှိသော ဖန်ရှင်များ (multivalued functions) အတွက်ဆိုလျှင် ပင်မ ဖြာထွက်ဖန်ရှင် (principal branch) အနေဖြင့် နားလည်ရမည်ဖြစ်သည်။

ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (Exponential function)

အခြေ (base) $e$ ပါရှိသော ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) $e^{x}$ တွင် အောက်ပါ မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်း ရှိသည်။^[၁၅] $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .$ ၎င်းသည် $x$ အားလုံးအတွက် စုဆုံသည်။

သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ် (Natural logarithm)

အခြေ $e$ ပါရှိသော သဘာဝ လော့ဂရစ်သမ်တွင် အောက်ပါ မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်း ရှိသည်။^[၁၆] ${\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}$ နောက်ပိုင်းအရာကို မာကေတာ ကိန်းစဉ်တန်း (Mercator series) ဟု သိကြသည်။ ၎င်းတို့နှစ်ခုစလုံးသည် $|x|<1$ အတွက် စုဆုံကြသည်။

ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric series)

ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (geometric series) နှင့် ၎င်း၏ ဆင်းသက်ချက်များတွင် အောက်ပါ မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်းများ ရှိသည်။ ${\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}$ ၎င်းတို့အားလုံးသည် $|x|<1$ အတွက် စုဆုံကြသည်။

ဘိုင်နိုမီရယ် ကိန်းစဉ်တန်း (Binomial series)

ဘိုင်နိုမီရယ် ကိန်းစဉ်တန်း (binomial series) သည် အောက်ပါ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။ $(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}$ ၎င်း၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းများသည် ယေဘုယျပြုထားသော ဘိုင်နိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (generalized binomial coefficients) ဖြစ်ကြသည်။^[၁၇] ${\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.$ မည်သည့် ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး $\alpha$ အတွက်မဆို ၎င်းသည် $|x|<1$ တွင် စုဆုံသည်။

တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များ (Trigonometric functions)

ပုံမှန် တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များနှင့် ၎င်းတို့၏ ပြောင်းပြန်များ (inverses) တွင် အောက်ပါ မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်းများ ရှိကြသည်။^[၁၈] ${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}$

ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ (Hyperbolic functions)

ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ (hyperbolic functions) တွင် သက်ဆိုင်ရာ တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များအတွက် ကိန်းစဉ်တန်းများနှင့် နီးကပ်စွာ ဆက်စပ်နေသော မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်းများ ရှိကြသည်။^[၁၉] ${\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}$

ကိုးကား (References)

Abramowitz၊ Milton; Stegun၊ Irene A. (1970)၊ Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables၊ New York: Dover Publications
Ahlfors၊ Lars V. (1979)၊ Complex analysis (3rd ed.)၊ New York: McGraw-Hill၊ ISBN 978-0-07-000657-7
Banner၊ Adrian (2007)၊ The Calculus Lifesaver: All the Tools You Need to Excel at Calculus၊ Princeton University Press၊ ISBN 978-0-691-13088-0
Bilodeau၊ Gerald; Thie၊ Paul; Keough၊ G. E. (2010)၊ An Introduction to Analysis၊ Jones & Bartlett Publisher၊ ISBN 978-0-7637-7492-9
Bliss၊ Gilbert Ames (1933)၊ Algebraic Functions၊ Dover Publications၊ ISBN 978-0-486-49568-2
Boyer၊ C.; Merzbach၊ U. (1991)၊ A History of Mathematics (2nd ed.)၊ John Wiley and Sons၊ ISBN 0-471-09763-2
Bruce၊ Ian (2007)၊ "Methodus Incrementorum Directa & Inversa"၊ 17centurymaths.com
Campos၊ Luis Manuel Braga da Costa (2011)၊ Complex Analysis with Applications to Flows and Fields၊ CRC Press၊ ISBN 978-1-040-17268-1
Choudhary၊ B. (1992)၊ The Elements of Complex Analysis၊ New Age International Limited၊ ISBN 978-81-224-0399-2
Conway၊ John B. (1978)၊ Functions of one complex variable. I၊ Graduate Texts in Mathematics၊ 11 (2nd ed.)၊ New York: Springer-Verlag၊ ISBN 978-0-387-90328-6
Dani၊ S. G. (2012)၊ "Ancient Indian Mathematics – A Conspectus"၊ Resonance၊ 17 (3): 236–246၊ doi:10.1007/s12045-012-0022-y
Edwards၊ C. Henry (1994)၊ The Historical Development of the Calculus၊ Springer study edition၊ Springer၊ ISBN 978-0-387-94313-8
Enns၊ Richard H.; McGuire၊ George C. (2000)၊ Nonlinear Physics with Maple for Scientists and Engineers (2nd ed.)၊ John Wiley & Sons၊ ISBN 978-0-471-25709-7
Feigenbaum၊ L. (1985)၊ "Brook Taylor and the method of increments"၊ Archive for History of Exact Sciences၊ 34 (1–2): 1–140၊ doi:10.1007/bf00329903
Feller၊ William (2003) [1971]၊ An introduction to probability theory and its applications၊ 2 (3rd ed.)၊ Wiley၊ ISBN 978-9-971-51298-9
Freitag၊ Eberhard; Busam၊ Rolf (2005)၊ Complex analysis၊ Berlin: Springer၊ ISBN 978-3-540-93983-2
Grossman၊ Stanley I. (1984)၊ Calculus (3rd ed.)၊ Academic Press၊ ISBN 978-1-4832-6239-0
Gupta၊ Radha Charan (2019)၊ Ramasubramanian၊ K. (ed.)၊ Gaṇitānanda: Selected Works of Radha Charan Gupta on History of Mathematics၊ Springer၊ doi:10.1007/978-981-13-1229-8_40
Henrici၊ Peter (1974)၊ Applied and Computational Complex Analysis၊ 1၊ New York: Wiley-Interscience
Hille၊ Einar; Phillips၊ Ralph S. (1957)၊ Functional analysis and semi-groups၊ AMS Colloquium Publications၊ 31၊ American Mathematical Society
Hofmann၊ Josef Ehrenfried (1939)၊ "On the Discovery of the Logarithmic Series and Its Development in England up to Cotes"၊ National Mathematics Magazine၊ 14 (1): 33–45၊ doi:10.2307/3028095၊ JSTOR 3028095
Hörmander၊ Lars (2002) [1990]၊ "A Review of Differential Calculus"၊ The Analysis of Partial Differential Operators I (2nd ed.)၊ Springer၊ § 1.1, pp. 5–13၊ doi:10.1007/978-3-642-61497-2_2၊ ISBN 978-3-642-61497-2
Kline၊ M. (1990)၊ Mathematical Thought from Ancient to Modern Times၊ New York: Oxford University Press၊ ISBN 0-19-506135-7
Knapp၊ Anthony W. (2000)၊ Basic Real Analysis၊ Springer၊ ISBN 978-0-8176-4441-3
Kolk၊ Johan A.C.; Duistermaat၊ J.J. (2010)၊ "Taylor Expansion in Several Variables"၊ Distributions: Theory and applications၊ Birkhauser၊ doi:10.1007/978-0-8176-4675-2_6၊ ISBN 978-0-8176-4672-1
Kreyszig၊ Erwin (2011)၊ Advanced Engineering Mathematics၊ John Wiley & Sons၊ ISBN 978-1-119-45592-9
Lang၊ Serge (1999)၊ Complex analysis၊ Graduate Texts in Mathematics၊ 103 (4th ed.)၊ New York: Springer၊ ISBN 978-0-387-98592-3
Lindberg၊ David (2007)၊ The Beginnings of Western Science (2nd ed.)၊ University of Chicago Press၊ ISBN 978-0-226-48205-7
Malet၊ Antoni (1993)၊ "James Gregorie on Tangents and the "Taylor" Rule for Series Expansions"၊ Archive for History of Exact Sciences၊ 46 (2): 97–137၊ doi:10.1007/BF00375656၊ JSTOR 41133959
Markushevich၊ A. I. (1966)၊ Entire Functions၊ Elsevier၊ ISBN 978-1-4832-7490-4
Newton၊ Isaac (1761)၊ Tractatus de quadratura curvarum: in usum studiosae iuventutis mathematicae explicationibus illustratus
Rowlands၊ Peter (2017)၊ Newton and the Great World System၊ World Scientific Publishing၊ doi:10.1142/q0108၊ ISBN 978-1-78634-372-7
Roy၊ Ranjan (1990)၊ "The Discovery of the Series Formula for $\pi$ by Leibniz, Gregory and Nilakantha" (PDF)၊ Mathematics Magazine၊ 63 (5): 291–306၊ doi:10.1080/0025570X.1990.11977541၊ 14 March 2023 တွင် မူရင်း (PDF) အား မော်ကွန်းတင်ပြီး၊ 11 September 2026 တွင် ပြန်စစ်ပြီး
Rudin၊ Walter (1976)၊ Principles of mathematical analysis (3rd ed.)၊ New York: McGraw-Hill၊ ISBN 978-0-07-054235-8
Rudin၊ Walter (1980)၊ Real and Complex Analysis၊ New Delhi: McGraw-Hill၊ ISBN 0-07-099557-5
Saha၊ Swapan K. (2026)၊ Paradigm of Optical Imaging၊ CRC Press၊ ISBN 978-1-040-44735-2
Sandler၊ Stanley I. (2011)၊ An Introduction to Applied Statistical Thermodynamics၊ John Wiley & Sons၊ ISBN 978-0-470-91347-5
Silverman၊ Richard A. (1974)၊ Complex Analysis with Applications၊ Dover Publications
Stein၊ Elias M.; Shakarchi၊ Rami (2003)၊ Complex analysis၊ Princeton Lectures in Analysis၊ 2၊ Princeton, New Jersey: Princeton University Press၊ ISBN 978-0-691-11385-2
Stewart၊ James (2008)၊ Calculus: Early Transcendentals (6th ed.)၊ Thomson Brooks/Cole၊ ISBN 978-0-495-38273-7
Struik၊ D. J. (1969)၊ A Source Book in Mathematics 1200–1800၊ Harvard University Press၊ ISBN 978-0-674-82355-6
Taylor၊ Brook (1715)၊ Methodus Incrementorum Directa et Inversa (လက်တင်ဘာသာစကားဖြင့်)၊ London: William Innys
Thomas၊ George B. Jr.; Finney၊ Ross L. (1996)၊ Calculus and Analytic Geometry (9th ed.)၊ Addison Wesley၊ ISBN 0-201-53174-7
Titchmarsh၊ E. C. (1939)၊ The theory of functions (2nd ed.)၊ London: Oxford University Press
Turnbull၊ Herbert Westren, ed. (1939)၊ James Gregory; Tercentenary Memorial Volume၊ G. Bell & Sons
Varberg၊ Dale E.; Purcell၊ Edwin J.; Rigdon၊ Steven E. (2007)၊ Calculus (9th ed.)၊ Pearson Prentice Hall၊ ISBN 978-0-13-146968-6

↑ Banner (2007), p. 530.
↑ Thomas & Finney (1996), at §8.9.
↑ Stewart (2008), at §11.10.
↑ Henrici (1974).
↑ Stewart (2008), at §11.9.
↑ Ahlfors (1979), pp. 38–40.
↑ Thomas & Finney (1996).
↑ Enns & McGuire (2000), at Introduction, pp. 1–2.
↑ Knapp (2000), pp. 43–44.
↑ Feller (2003), pp. 230–232; Hille & Phillips (1957), pp. 300–327.
↑ Grossman (1984), p. 750.
↑ Silverman (1974), p. 139.
↑ Bliss (1933), at Chapter II.
↑ Hörmander (2002), at Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′; Kolk & Duistermaat (2010), pp. 59–63.
↑ Abramowitz & Stegun (1970), p. 69.
↑ Bilodeau, Thie, & Keough (2010), p. 252; Abramowitz & Stegun (1970), p. 15.
↑ Abramowitz & Stegun (1970), p. 14.
↑ Abramowitz & Stegun (1970), pp. 75, 81.
↑ Abramowitz & Stegun (1970), p. 85.

[1] Banner (2007), p. 530.

[2] Thomas & Finney (1996), at §8.9.

[3] Stewart (2008), at §11.10.

[4] Henrici (1974).

[5] Stewart (2008), at §11.9.

[6] Ahlfors (1979), pp. 38–40.

[7] Thomas & Finney (1996).

[8] Enns & McGuire (2000), at Introduction, pp. 1–2.

[9] Knapp (2000), pp. 43–44.

[10] Feller (2003), pp. 230–232; Hille & Phillips (1957), pp. 300–327.

[11] Grossman (1984), p. 750.

[12] Silverman (1974), p. 139.

[13] Bliss (1933), at Chapter II.

[14] Hörmander (2002), at Eqq. 1.1.7 and 1.1.7′; Kolk & Duistermaat (2010), pp. 59–63.

[15] Abramowitz & Stegun (1970), p. 69.

[16] Bilodeau, Thie, & Keough (2010), p. 252; Abramowitz & Stegun (1970), p. 15.

[17] Abramowitz & Stegun (1970), p. 14.

[18] Abramowitz & Stegun (1970), pp. 75, 81.

[19] Abramowitz & Stegun (1970), p. 85.

[၁]

[၂]

[၃]

[၄]

[၅]

[၆]

[၇]

[၈]

[၉]

[၁၀]

[၁၁]

[၁၂]

[၁၃]

[၁၄]

[၁၅]

[၁၆]

[၁၇]

[၁၈]

[၁၉]