တိကျသော ကိန်းစဉ်

ဟိုမိုလော်ဂျီဆိုင်ရာ အက္ခရာသင်္ချာ (Homological algebra) ဟုခေါ်သော သင်္ချာဘာသာရပ်ခွဲတွင် တိကျသော ကိန်းစဉ် (Exact sequence) ဟူသော သဘောတရားသည် အလွန်အရေးပါသော ကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။ ယင်းတို့အနက်မှ အတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ်များ (Short exact sequences) သည် ပို၍ အရေးကြီးသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

ကတ်တဂိုရီ (Category) တစ်ခုအတွင်းရှိ အရာဝတ္ထုများ (Objects) နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (Morphisms) ပါဝင်သော $A'\longrightarrow A\longrightarrow A''$ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို စဉ်းစားကြည့်မည်။

အကယ်၍ $\mathrm {im} (A'\to A)=\ker(A\to A'')$ ဖြစ်ခဲ့လျှင် ယင်းကိန်းစဉ်သည် $A$ နေရာတွင် တိကျသည် (exact at the position $A$) ဟု ဆိုနိုင်သည်။

ဆိုလိုသည်မှာ မြား (Arrow) တစ်ခု၏ ပုံရိပ် (Image) သည် ၎င်းနှင့် ဆက်စပ်နေသော နောက်ထပ်မြားတစ်ခု၏ ကာနယ် (Kernel) နှင့် ထပ်တူညီနေရမည်။

ပိုမိုရှည်လျားသော $A_{1}\longrightarrow A_{2}\longrightarrow A_{3}\longrightarrow A_{4}\longrightarrow A_{5}$ ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် $A_{2}$၊ $A_{3}$ နှင့် $A_{4}$ နေရာများတွင် တိကျနေမည်ဆိုပါက ယင်းကိန်းစဉ်တစ်ခုလုံးကို တိကျသော ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်ဆိုသည်။

ဤသဘောတရားကို အခြားသော အတို သို့မဟုတ် အရှည် ကိန်းစဉ်များအတွက်လည်း အလားတူ မှတ်ယူနိုင်သည်။

ဤနေရာတွင် ကာနယ်နှင့် ပုံရိပ်တို့၏ အဓိပ္ပာယ်ကို ရှင်းလင်းစွာ ဖော်ပြနိုင်မှသာလျှင် သင့်လျော်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် မှတ်ယူနိုင်မည် ဖြစ်သည်။

အဘီလီယန် ကတ်တဂိုရီများ (Abelian categories) အားလုံးသည် ဤအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။

၎င်းအပြင် အုပ်စုများ (Groups) နှင့် အုပ်စုဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Group homomorphisms) ပါဝင်သည့် $Grp$ ကတ်တဂိုရီကဲ့သို့သော အမျိုးအစားများသည်လည်း ဤအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီသည်။

ဥပမာများ (Examples)

$f\colon A'\to A$ သည် အဘီလီယန်အုပ်စုများ (Abelian groups) ကြားရှိ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (Homomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ $\operatorname {im} (A'\to A)=\operatorname {im} (f):=\{f(a')|a'\in A'\}$ ဖြစ်လာမည်။ ထို့အတူ $\operatorname {ker} (A'\to A)=\operatorname {ker} (f):=\{a'|a'\in A',f(a')=0\}$ ဖြစ်လာမည်။ ထို့ကြောင့် $A'{\overset {f}{\longrightarrow }}A{\overset {g}{\longrightarrow }}A''$ ကိန်းစဉ်သည် $\operatorname {im} (f)=\operatorname {ker} (g)$ ဖြစ်မှသာလျှင် $A$ နေရာတွင် တိကျမည် ဖြစ်သည်။

$0\longrightarrow A'\;{\overset {f}{\longrightarrow }}\;A$ ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် $f\colon A'\to A$ က မိုနိုမော်ဖစ်ဇင် (Monomorphism) ဖြစ်မှသာလျှင် တိကျမည် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေကို ချိတ်ပါသောမြား (Hooked arrow) အသုံးပြု၍ $A'\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;A$ ဟူ၍ အစိတ်အပိုင်း နှစ်ခုဖြင့်လည်း ရေးသားနိုင်သည်။

$A\;{\overset {g}{\longrightarrow }}\;A''\longrightarrow 0$ ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် $g\colon A\to A''$ က အပီမော်ဖစ်ဇင် (Epimorphism) ဖြစ်မှသာလျှင် တိကျမည် ဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေကို ခေါင်းနှစ်ခုပါသောမြား (Two-headed arrow) အသုံးပြု၍ $A\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;A''$ ဟူ၍ အစိတ်အပိုင်း နှစ်ခုဖြင့်လည်း ရေးသားနိုင်သည်။

ဗက်တာရပ်ဝန်းများ (Vector spaces)၊ အဘီလီယန်အုပ်စုများ၊ မော်ဂျူးများ (Modules) အစရှိသည်တို့မှ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $f\colon A\to B$ တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း တိကျသော ကိန်းစဉ်တစ်ခု တည်ရှိသည်။ အဘီလီယန် ကတ်တဂိုရီ တစ်ခု၏ မော်ဖစ်ဇင်တိုင်းအတွက်လည်း အလားတူ မှတ်ယူနိုင်သည်။

• $0\longrightarrow \ker f\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow \mathrm {coker} \,f\longrightarrow 0$

သို့ရာတွင် $Grp$ ကတ်တဂိုရီအတွင်း၌မူ $f$ ၏ ပုံရိပ်သည် $B$ အတွင်းရှိ မူမှန်အုပ်စုပိုင်း (Normal subgroup) ဖြစ်မှသာလျှင် $B$ နေရာတွင် ကိန်းစဉ် တိကျမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် အပေါင်းအခြေခံ ကတ်တဂိုရီ (Additive category) များဖြစ်သော်လည်း အဘီလီယန် ကတ်တဂိုရီ မဟုတ်သော အခြေအနေများတွင် တိကျမှု ရှိမည်ဟု အမြဲတမ်း တပ်အပ်မဆိုနိုင်ပါ။ အထက်ပါ ညီမျှခြင်းရှိ $\operatorname {coker} f$ သည် $f$ ၏ ဒွန်တွဲကာနယ် (Cokernel) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။

အုပ်စု $G$ တစ်ခုအတွက် $Z(G)$ ကို အုပ်စုဗဟို (Center) ဟု သတ်မှတ်မည်။ ထို့အတူ $\mathrm {Aut} \,G$ ကို အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အုပ်စု (Automorphism group) အဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ $\mathrm {Inn} \,G$ ကို အတွင်း အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Inner automorphisms) ၏ အုပ်စုအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး $\mathrm {Out} \,G=\mathrm {Aut} \,G/\mathrm {Inn} \,G$ ကို အပြင် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Outer automorphisms) ၏ အုပ်စုအဖြစ် သတ်မှတ်မည်။ ထိုအခါ အောက်ပါ ကိန်းစဉ်သည် တိကျသော ကိန်းစဉ် ဖြစ်လာမည်။

• $1\longrightarrow Z(G)\longrightarrow G\longrightarrow \mathrm {Aut} \,G\longrightarrow \mathrm {Out} \,G\longrightarrow 1$

ဤနေရာတွင် အလယ်၌ရှိသော မြားကို အောက်ပါ ဆက်သွယ်ချက်ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။

• $g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})\in \mathrm {Inn} \,G\subseteq \mathrm {Aut} \,G$

အတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ်များ (Short Exact Sequences)

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

အောက်ပါ ပုံစံရှိသော တိကျသည့် ကိန်းစဉ်ကို အတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ် (Short exact sequence) ဟု ခေါ်သည်။

• $0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow 0$

ခွဲထွက်နေသော အတိုချုံး တိကျသည့် ကိန်းစဉ်များ (Split Short Exact Sequences)

အကယ်၍ $A\to A''$ တွင် အပိုင်း (Section) တစ်ခု ရှိနေမည်ဆိုပါက ထိုအတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ်သည် ခွဲထွက်သည် (Splits) ဟု ဆိုနိုင်သည်။ သင်္ချာအခေါ်အဝေါ်အနေဖြင့် အတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ်များ ခွဲထွက်ခြင်းကို (Split exact sequence) ဟု သုံးနှုန်းလေ့ရှိသည်။

အပေါင်းအခြေခံ ကတ်တဂိုရီတစ်ခုတွင် ဤအချက်ကြောင့် $A'\to A$ ၌ ရုပ်သိမ်းခြင်း (Retraction) ဂုဏ်သတ္တိ ရှိလာသည်။ ၎င်းအပြင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ပေါ်လာမည့် ကိန်းစဉ်သည်လည်း တိကျမှု ရှိလာမည်။

• $0\longleftarrow A'\longleftarrow A\longleftarrow A''\longleftarrow 0$

ဤကိန်းစဉ်များသည် အောက်ပါပုံစံများအဖြစ်သို့ အိုင်ဆိုမောဖစ် (Isomorphic) ဖြစ်သွားမည်။

• $0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow 0$

သို့မဟုတ်

• $0\longleftarrow A'\longleftarrow A'\oplus A''\longleftarrow A''\longleftarrow 0$

အုပ်စုများ ကတ်တဂိုရီအတွင်းရှိ အတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ်တစ်ခု ခွဲထွက်သွားပါက $A''$ မှ $A'$ အပေါ်သို့ သက်ရောက်သည့် တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ထိုတွက်ချက်မှုအပေါ် အခြေခံ၍ $A$ သည် $A'$ နှင့် $A''$ တို့၏ တစ်ပိုင်းတိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် (Semidirect product) ဖြစ်လာသည်။

ဥပမာအားဖြင့် $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု (Cyclic group) သည် $S_{3}$ အချိုးညီအုပ်စု (Symmetric group) ၏ အုပ်စုပိုင်း (Subgroup) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤအချက်မှနေ၍ အောက်ဖော်ပြပါ အတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ်ကို ရရှိနိုင်သည်။

• $0\longrightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \longrightarrow S_{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \longrightarrow 0$

$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ အတွင်းရှိ ထပ်တူရအစုဝင် (Identity element) မဟုတ်သော အရာဝတ္ထုကို $S_{3}$ အတွင်းရှိ အစီအစဉ်-၂ (Order 2) ရှိသော အစုဝင်တစ်ခုဆီသို့ ပုံဖော်လိုက်ခြင်းဖြင့် ခွဲထွက်မှုတစ်ခုကို ရရှိနိုင်သည်။

ခွဲထွက်နေသော ရှည်လျား တိကျသည့် ကိန်းစဉ်များ (Split Long Exact Sequences)

ရှည်လျား တိကျသည့် ကိန်းစဉ်တိုင်းကို ကာနယ်များနှင့် ဒွန်တွဲကာနယ်များ ထည့်သွင်းခြင်းဖြင့် အတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ်များအဖြစ်သို့ ခွဲခြမ်းနိုင်သည်။ အကယ်၍ အောက်ကိန်းစဉ်သည် တိကျသော ကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။

• $A_{1}\longrightarrow A_{2}\longrightarrow A_{3}\longrightarrow A_{4}\longrightarrow A_{5}$

ထိုအခါ အောက်ပါညီမျှခြင်းကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။

• $Z_{n}:=\ker(A_{n}\to A_{n+1})=\mathrm {im} (A_{n-1}\to A_{n})=\mathrm {coker} (A_{n-2}\to A_{n-1})$

ဤသတ်မှတ်ချက်ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် အောက်ပါ အတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ်များကို ရရှိလာမည်။

• $0\longrightarrow Z_{n}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0$

အကယ်၍ $A_{*}$ သည် ချိတ်တန်း ကွန်ပလက်စ် (Chain complex) တစ်ခုဖြစ်ပါက ဤအတိုချုံး ကိန်းစဉ်များအားလုံး၏ တိကျမှုသည် မူလရှည်လျားသော ကိန်းစဉ်၏ တိကျမှုနှင့် အတိအကျ ထပ်တူညီနေမည် ဖြစ်သည်။

တိုးချဲ့ချက်များ (Extensions)

အတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ် $0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow 0$ ကို လေ့လာသည့်အခါ $A$ ကို $A'$ မှတစ်ဆင့် $A''$ သို့ ပြုလုပ်ထားသော တိုးချဲ့ချက် (Extension) တစ်ခုဟုလည်း သုံးနှုန်းနိုင်သည်။ ဥပမာအနေဖြင့် $N$ သည် $G$ အုပ်စုအတွင်းရှိ မူမှန်အုပ်စုပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး $G/N$ သည် စားလဒ်အုပ်စု (Quotient group) ဖြစ်သည်ဟု ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ အောက်ဖော်ပြပါ အတိုချုံး တိကျသော ကိန်းစဉ်ကို ရရှိနိုင်သည်။

• $0\longrightarrow N\longrightarrow G\longrightarrow G/N\longrightarrow 0$

အထက်ပါ ကိန်းစဉ်တွင် ဒုတိယမြောက်မြားသည် $N$ ကို $G$ အတွင်းသို့ ထည့်သွင်းခြင်း (Embedding) ကို ပြသသည်။ တတိယမြောက်မြားသည် စားလဒ် ပုံဖော်မှု (Quotient map) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။ ထို့ကြောင့် $G$ သည် $N$ နှင့် $G/N$ တို့၏ တိုးချဲ့ချက်တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ ဤအချက်ကို အခြေခံ၍ $N$ နှင့် $G/N$ တို့၏ ဖြစ်နိုင်သမျှ တိုးချဲ့ချက် အားလုံးကို မည်သို့ ခွဲခြားသတ်မှတ်နိုင်မည်နည်း ဟူသော မေးခွန်းကို ဆက်လက် စဉ်းစားနိုင်သည်။ ဤကဲ့သို့သော မေးခွန်းမျိုးများကို ကွင်းများ (Rings) ကတ်တဂိုရီ သို့မဟုတ် သတ်မှတ်ထားသော ကွင်းတစ်ခုအပေါ် အခြေခံသည့် မော်ဂျူးများတွင်လည်း တွေ့ရှိနိုင်သည်။ ဤလေ့လာမှုများမှတစ်ဆင့် $\operatorname {Ext}$ သို့မဟုတ် အုပ်စု ဒွန်တွဲဟိုမိုလော်ဂျီ (Group cohomology) ကဲ့သို့သော အဆင့်မြင့် သင်္ချာသဘောတရားများ ပေါ်ပေါက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။

အညွှန်း

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-76437-3, S. 77–79.